2011版高三数学一轮精品复习学案：圆锥曲线

2011版高三数学一轮精品复习学案：圆锥曲线

【高考目标定位】

一、曲线与方程 1．考纲点击

了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。 2．热点提示

（1）本节重点考查曲线与方程的关系，考查曲线方程的探求方法； （2）本部分在高考试题中主要以解答题的形式出现，属中高档题目。 二、椭圆 1．考纲点击

（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质； （2）了解圆锥曲线的简单应用。 2．热点提示

（1）椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点。

（2）各种题型都有涉及，作为选择题、填空题属中低档题，作为解答题则属于中高档题目。

三、双曲线 1．考纲点击

（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单几何性质。 （2）了解圆锥曲线的简单应用。 2．热点提示

（1）双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；直线与双曲线的位置关系有时也考查，但不作为重点。

（2）主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题。 四、抛物线 1．考纲点击

（1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。 （2）了解圆锥曲线的简单应用。

2．热点提示

（1）抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点。

（2）考题以选择、填空题为主，多为中低档题。

【考纲知识梳理】

一、曲线与方程

1．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

注：如果中满足第（2）个条件，会出现什么情况？（若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”），则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程，如分段函数的解析式。

2．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y). (3)列式——列出动点P所满足的关系式.

(4)代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式，并化简。

(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

注:求轨迹和轨迹方程有什么不同?(求轨迹和轨迹方程的不同:后者只指方程(包括范围)),而前者包含方程及所求轨迹的形状、位置、大小等。

二、椭圆

1．对椭圆定义的理解：平面内动点P到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a,当2a>|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；当2a=|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在。

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程 图 形 范围 对称轴：坐标轴 性 长轴 质 焦距 离心率 a,b,c的关系 轴 短轴的长为2b |F1F2|=2c 的长为2a 顶点 对称性 对称中心：原点 对称中心：原点 对称轴：坐标轴 注：椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度的关系（离心率越接近1，椭圆越扁，离心率越接近0，椭圆就越接近于圆）。

3．点与椭圆的位置关系

三、双曲线 1．双曲线的定义

（1）平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件： ①与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a. ②

。

（2）上述双曲线的焦点是F1，F2，焦距是|F1F2|。

注：当2a=|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a﹥|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a=0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线。

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程 图 形 范围 对称性 对称中心：原点 性 质 线段实虚轴 叫做双曲线的实轴，它的长=2a；线段渐近线 离心率 顶点 顶点坐标： 对称中心：原点 顶点坐标： x≥a或x≤-a 对称轴：坐标轴 y≤-a或y≥a 对称轴：坐标轴 叫做双曲线的虚轴，它的长=2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。 a,b,c的关系 注：离心率越大，双曲线的“开口”越大。 3．等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为率

，渐近线方程为四、抛物线 1．抛物线的定义

，离心

平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

注：当定点F在定直线l时，动点的轨迹是过点F与直线l垂直的直线。 2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 图 形 对称性 轴 焦点坐标 x轴 x轴 y轴 y轴 y2?2px(p?0) y2??2px(p?0)x2??2py(p?0) x2?2py(p?0) pF(,0) 2F(?p,0) 2pF(0,?) 2pF(0,) 2质 准线方x??p 2x?p 2y?p 2y??p 2

程 焦半径 范围 顶点 离心率|PF|?x0?p 2|PF|??x0?p 2|PF|??y0?p 2|PF|?y0?p 2x?0 x?0 y?0 y?0 O(0,0) O(0,0) e?1 e?1 e 【热点难点精析】

一、曲线与方程

（一）用直接法求轨迹方程 ※相关链接※

1．如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x、y的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。

2．用直接法求轨迹方程是近年来高考常考的题型，有时题目以向量为背景，解题中需注意向量的坐标化运算。有时需分类讨论。

※例题解析※

〖例〗如图所示，设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x?2y?4交于A、B两点，P是

22l上满足

的点，求点P的轨迹方程。

求P点

思路解析：设P点坐标为(x,y)?求出A、B两点坐标?代入轨迹?标明x的范围。

解答：设P点的坐标为(x,y)，则由方程x?2y?4，得2y?4?x，∴

22224?x24?x24?x2，∴A、B两点的坐标分别为(x,y??),(x,?)，又222，

∴

4?x24?x2(0,?y)?(0,??y)?122，即

4?x2y?221?,x2?6y2?l1与椭圆交于两点，∴,?又直线-2

1．运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。

2．用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活应用定义。同时用定义法求轨迹方程也是近几年来高考的热点之一。

※例题解析※ 〖例〗如图所示，

一动圆与圆x?y?6x?5?0外切，同时与圆x?y?6x?91?0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的轴线。

思路解析：利用两圆的位置关系一相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再从关系分析满足何种关系的定义。

解答：方法一

设动圆圆心为M（x,y）,半径为R，设已知圆的加以分别为O1、O2， 将圆的方程分别配方得：

当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|=R+2????①

，

2222当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|=R+2?????② 将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|，

∴动圆圆心M（x,y）到点O1（-3，0）和O2（3，0）的距离和是常数12， 所以点M的轨迹是焦点为点O1（-3，0）、O2（3，0），长轴长等于12的椭圆。 ∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6 ∴b2?36?9?27

x2y2??1，轨迹为椭圆。 ∴圆心轨迹方程为

3627方法二：由方法一可得方程两边分别平方得：

两边再平方得：

移项再

x2y2??1 ，整理得

3627x2y2??1，轨迹为椭圆。 所以圆心轨迹方程为

3627注：（1）平面向量知识融入解析几何是高考命题的一大特点，实际上平面向量的知识在这里只是表面上的现象，解析几何的实质是坐标法，就是用方程的思想研究曲线，用曲线的性质研究方程，轨迹问题正是体现这一思想的重要表现形式，我们只要能把向量所表示的关系转化为坐标的关系，这类问题就不难解决了。而与解析几何有关的范围问题也是高考常考的重点。求解参数问题主要是根据条件建立含参数的函数关系式，然后确定参数的值。

（2）回归定义是解圆锥曲线问题十分有效的方法，值得重视。

（3）对于“是否存在型”探索性问题的求解，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在。

（三）用相关点法（代入法）求轨迹方程 ※相关链接※

1．动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x,y）却随另一动点且动点Q的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将x?、y?Q(x?,y?)的运动而有规律的运动，

表示x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。

2．用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式：x??f(x,y),y??g(x,y)，然后代入已知曲线。而求对称曲线（轴对称、中心对称）方程实质上也是用代入法（相关点法）解题。

※例题解析※

????????〖例〗已知A（-1，0），B（1，4），在平面上动点Q满足QA?QB?4，点P是点Q关

于直线y=2(x-4)的对称点，求动点P的轨迹方程。

思路解析：由已知易得动点Q的轨迹方程，然后找出P点与Q点的坐标关系，代入即可。 解答：

????????设Q（x,y），则QA?(?1?x,?y),QB(1?x,4?y),

????????故由QA?QB?4?(?1?x)(1?x)?(?y)(4?y)?4，即x2?(y?2)2?32

所以点Q的轨迹是以C（0，2）为圆心，以3为半径的圆。 ∵点P是点Q关于直线y=2(x-4)的对称点。

∴动点P的轨迹是一个以C0(x0,y0)为圆心，半径为3的圆，其中C0(x0,y0)是点C（0，2）关于直线y=2(x-4) 的对称点，即直线y=2(x-4)过CC0的中点，且与CC0垂直，于是有

?y0?2?2??1??x0?0， ??y0?2?2(x0?0?4)??22解得：??x0?8

?y0?222故动点P的轨迹方程为(x?8)?(y?2)?9。 （四）用参数法求轨迹方程

y2?1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原〖例〗设椭圆方程为x?42点，点P满足OP?111(OA?OB),点N的坐标为(,)，当l绕点M旋转时，求：

222（1）动点P的轨迹方程； （2）NP的最小值与最大值。

解析：（1）直线l过点M(0,1)，当斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y?kx?1,记

?y?kx?1,?B的坐标(x1,y1)、A(x1,y1)、B(x2,y2),由题设可得点A、(x2,y2),是方程组?2y2?1.?x?4?2k?x?x??2??14?k222的解，消去y得(4?k)x?2kx?3?0,??于是

8?y?y?12?4?k2?OP?x?x2y1?y21?k4(OA?OB)?(1,)?(,)， 222224?k4?k?k?x?,2??4?k设点P的坐标为(x,y)，则?

4?y?.2?4?k?消去参数k得4x?y?y?0 ①

当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程①， 所以点P的轨迹方程为4x2?y2?y?0。

2（2）由点P的轨迹方程知x?22111,即??x?, 164412117?4x2??3(x?)2?,故 4612222又NP?(x?)?(y?)?(x?)?1212当x?11时，NP取得最小值为； 44121时，NP取得最大值为。 66当x??

二、椭圆

（一）椭圆的定义以及标准方程 ※相关链接※

求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法。用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：

（1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能。

x2y2x2y2（2）设方程：根据上述判断设方程2?2?1(a?b?0)或2?2?1(a?b?0)。

abba

（3）找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c或m、n的方程组。 （4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求。

注：当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设

x2y2??1(m?0,n?0,m?n)，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为mnAx2?By2?1(A?0,B?0且A?B)，这种形式在解题时更简便。

〖例〗已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。

x2y2x2y2思路解析：设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)或2?2?1(a?b?0)→根据题意

abba求a、b→得方程。

x2y2x2y2解答：设所求的椭圆方程为2?2?1(a?b?0)或2?2?1(a?b?0)，

abba由已知条件得??2a?5?32,a?4,c?2,b?12 222?(2c)?5?3x2y2y2x2??1或??1 故所求方程为

16121612（二）椭圆的几何性质 ※相关链接※

x2y21．椭圆的几何性质涉及一些不等关系，例如对椭圆2?2?1，有

ab等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求

这些量的最大值时，经常用到这些不等关系。

2．求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形。当涉及到顶点、焦点、准线、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系。

3．求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围。离心率e与a、b的关系：

※例题解析※

x2y2〖例〗已知椭圆2?2?1(a?b?0)的长轴、短轴端点分别为A、B，从椭圆上一点

ab?????????M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量。

（1） 求椭圆的离心率e；

（2） 设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围。

?????????思路解析：由AB与OM是共线向量可知AB∥OM，从而可得关于a、b、c的等量关系，

从而求得离心率e；若求∠F1QF2的取值范围，即需求cos∠F1QF2的范围，用余弦定理即可。

b2b2,?kOM??. 解答：（1）设F1（-c,0）,则xM??c,yM?aackAB???????b??????,OM与AB是共线向量，abb2??,?b?c故e?aca22

（2）设|F1Q|=r1，|F2Q|=r2，∠F1QF2=?，∴r1+r2=2a，|F1F2|=2c，

r12?r22?4c2(r1?r2)2?2r1r2?4c2a2cos?????12r1r22r1r2r1ra2??1?0,r1?r22()2当且仅当r1?r2时，cos??0,???[0,].2注：熟练掌握椭圆定义及性质并且其解决相应问题，在求离心率e时，除已知等式

外，还需一个关于a、b、c的等式，即可求得e。

（三）直线与椭圆的位置关系 ※相关链接※

1．直线与椭圆位置关系的判定

?x2y2把椭圆方程2?2?1(a?b?0)与直线方程y=kx+b联立消去y，整理成形如

ab的形式，对此一元二次方程有：

（1）⊿>0,直线与椭圆相交，有两个公共点； （2）⊿=0，直线与椭圆相切，有一个公共点； （3）⊿<0，直线与椭圆相离，无公共点。

2．直线被椭圆截得的张长公式，设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则

注：解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决。

※例题解析※

〖例1〗中心在原点，一个焦点为F1（0，50）的椭圆截直线y?3x?2所得弦的中点横坐标为

1，求椭圆的方程 2思路解析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理

22及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，50）知，c=50，?a?b?50，

最后解关于a、b的方程组即可

x2y222解答：设椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)，由F（得?a?b?50 10，50）

ab把

直

线

方

程

y?3x?2代入椭圆方程整理得：

(a2?9b2)x2?12b2x?b2(4?a2)?0。

设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，则由根与系数的关系得：

12b21x1?x2?2，又AB的中点横坐标为， 22a?9b?a2?3b2，与方程a2?b2?50联立可解出a2?75,b2?25

x2y2??1。 故所求椭圆的方程为：

7525x2??y2?1，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两〖例2〗已知椭圆：

69点，求弦AB的长

解答：a=3,b=1,c=22，则F（-22，0）。

x2?y2?1联立消去y得：l:y?(x?22)与4x2?122x?15?0。由题意知： 931设A（x1,y1)、B（x2,y2)，则x1,x2是上面方程的二实根，由违达定理，

x1?x2??32，x1?x2?点，

x?x23215，xM?1又因为A、B、F都是直线l上的??422所以|AB|=1??|x1?x2|?1323?(x1?x2)2?4x1x2?2318?15?2

（四）与椭圆有关的综合问题 〖例〗如图，

已知椭圆C：经过椭圆C的右焦点F且斜率为k(k≠0)

有直线l交椭圆C于A、B两点，M为线段AB中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点。

（1）是否存在k，使对任意m>0,总有

成立？若存在，求出所有k

的值；

（2）若，求实数k的取值范围。

思路解析：第（1）问为存在性问题，可先假设存在，然后由M点为ON中点，用坐标表示相关量可求。

第（2）问用坐标表示向量数量积，列式求解即可。

可知

解答：椭圆C：AB的方程为：y=k(x-m).

，直线

由消去y得

设

，则

则

若存在k,使∴

总成立，M为线段AB的中点，∴M为ON的中点，

∴

即N点的坐标为。

由N点在椭圆上，则

即

即

故存在k=±1,使对任意m>0，总有（2）

成立。

由即

注：探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神。因此越来越受到高考命题者的青睐。

（1）本题第（1）问是一是否存在性问题，实质上是探索结论的开放性问题。相对于其他的开放性问题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论有时候需讨论），因此，思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试命题者的青睐。解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎推理证明其合理性。探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能的因素。

（2）第（2）问是参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力。在历年高考中占有较稳定的比重。

三、双曲线

（一）双曲线的定义与标准方程 ※相关链接※

1．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支。

2．求双曲线标准方程的方法

（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是

①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上； ②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。

注：若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：

mx2?ny2?1(mn?0)。

※例题解析※

〖例〗已知动圆M与圆C1:(x?4)2?y2?2外切，与圆C2:(x?4)2?y2?2内切，求动圆圆心M的轨迹方程。

思路解析：利用两圆心、外切圆心距与两圆半径的关系找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解。

解

答

：

设

动

圆

M

的

半

径

为

r

则

由

已

知

|MC1|?r?2,|MC2|?r?2,?|MC1|?|MC2|?22。

又C1（-4，0），C2（4，0），∴|C1C2|=8，∴22<|C1C2|。

根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1（-4，0）、C2（4，0）为焦点的双曲线的右支。

?a?2,c?4,?b2?c2?a2?14 x2y2?点M的轨迹方程是??1(x?2)214（二）双曲线的几何性质 ※相关链接※

1．双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互联系。

2．在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程。同时要熟练掌握以下三方面内容：

（1）已知双曲线方程，求它的渐近线；

（2）求已知渐近线的双曲线的方程； （3）渐近线的斜率与离心率的关系。

如

注：（1）已知渐近线方程为

则双曲线的标准方程为

的形式，根据其他条件确定?的正负。若?>0，焦点在x轴

上；若?<0，焦点在y轴上。

x2y2x2y2（2）与双曲线2?2?1共渐近的双曲线方程为2?2??(??0)；

ababx2y2x2y2?2?1(?b2???a2)。 与双曲线2?2?1共焦点的圆锥曲线方程为2a??b??ab※例题解析※

〖例〗中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2，且

|F1F2|?213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7。

（1）求这两曲线方程；

（2）若P为这两曲线的一个交点，求cos?F1PF2的值。

x2y2思路解析：设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，双曲线方程为

abx2y2??1(m?0,n?0)→分别求a,b,m,n的值→利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求得m2n2cos?F1PF2。

解答：（1）由已知：c?13，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，则

?a?m?4??1313，

?3??7?m?a解得a=7,m=3. ∴b=6,n=2.

x2y2x2y2??1,双曲线方程为??1。 ∴椭圆方程为

493694（2）不妨设F1,F2分别为左右焦点，P是第一象限的一个交点，则

所以

又

|F1F2|?213，

∴cos?F1PF2=

（三）直线与双曲线的位置关系

y2?1截得的弦长； 〖例〗（1）求直线y?x?1被双曲线x?42y2?1截得的弦中点轨迹方程 （2）求过定点(0,1)的直线被双曲线x?42?2y2?1?x?4?22?y?x?14x?(x?1)?4?0得3x2?2x?5?0（*） ?解析：由得

25x1?x2?,x1x2??33 得， 设方程（*）的解为x1,x2，则有

d?2|x1?x2|?2(x1?x2)2?4x1x2?24208??2933 （2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为y?kx?1，它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为P(x,y)，

?y?kx?1??2y2?122?x?(4?k)x?2kx?5?0（*） ?4由得

22x,x??4k?20(4?k)?0， 设方程（*）的解为12，则

∴16k?80,|k|?5，

2且

x1?x2?2k5,xx??124?k24?k2，

x?∴

1k114(x1?x2)?,y?(y?y)?(x?x)?1?121224?k2224?k2，

k?x???4?k2??y?4?4?k2 ?224x?y?y?0(y??4或y?0)。 得

方法二：设弦的两个端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，弦中点为P(x,y)，则

22??4x1?y1?4?22??4x2?y2?4得：4(x1?x2)(x1?x2)?(y1?y2)(y1?y2)，

y1?y24(x1?x2)y4x??22x?xy?y4x?y?y?0（图象的一部分）xy?11212∴， 即， 即

注：圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力，所以成为高考的热点。

在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找。对于圆锥曲线的参数的取值范围问题或最值问题，解法通常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时，可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式（如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时⊿>0等），通过解不等式（组）求得参数的取值范围；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系时，则可先建立目标函数，进而转化为求解函数的值域。

四、抛物线

（一）抛物线的定义及应用 ※相关链接※

1．抛物线的离心率e=1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线之间的距

离，这样就可以使问题简单化。

2．焦半径注意灵活运用。

※例题解析※

它们在解题中有重要作用，

〖例〗已知抛物线C的对称轴与y轴平行，顶点到原点的距离为5。若将抛物线C向上平移3个单位，则在x轴上截得的线段长为原抛物线C在x轴上截得的线段长的一半；若将抛物线C向左平移1个单位，则所得抛物线过原点，求抛物线C的方程。

解答：设所求抛物线方程为(x-h)2=a(y-k)(a∈R,a≠0) ① 由①的顶点到原点的距离为5，得h?k=5

22 ②

在①中，令y=0，得x2-2hx+h2+ak=0。设方程的二根为x1,x2，则 |x1-x2|=2?ak。

将抛物线①向上平移3个单位，得抛物线的方程为 (x-h)=a(y-k-3)

令y=0，得x-2hx+h+ak+3a=0。设方程的二根为x3,x4，则 |x3-x4|=2?ak?3a。 依题意得2?ak?3a=

2

2

2

1·2?ak， 22

即 4(ak+3a)=ak ③

将抛物线①向左平移1个单位，得(x-h+1)=a(y-k), 由抛物线过原点，得(1-h)=-ak ④

由②③④得a=1，h=3,k=-4或a=4，h=-3,k=-4。 ∴所求抛物线方程为(x-3)2=y+4，或(x+3)2=4(y+4)。 （二）抛物线的标准方程与几何性质 ※相关链接※

1．求抛物线的标准方程常采用待定系数法。利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值；

2．对于直线和抛物线有两个交点问题，“点差法”是常用法。如若A(x1,y1),B(x2,y2)2

是抛物线y2?2px上两点，则直线AB的斜率kAB与y1?y2可得如下等式kAB?2p。

y2?y1注：抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是关键，在方程类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程。

※例题解析※

〖例〗已知如图所示，抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，A在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方，A到抛物线准线的距离等于5。过A作AB垂直于y轴，垂足为

B，OB的中点为M。

（1）求抛物线方程；

（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标。

思路解析：由抛物线定义求p→求直线FA，MN的方程→解方程组得N点坐标。 解答：（1）抛物线y?2px(p?0)的准线为x??线方程为y2=4x

（２）∵点A的坐标是（４，４），由题意得B(0,4),M(0,2),又∵F(1,0),∴kFA?∵MN⊥FA,∴kMN??2pp于是4+=5，∴p=2．∴抛物224.3343.则FA的方程为y?(x?1),MN的方程为y-2=?x,解方程组43484??x?y?(x?1)????53,得 ??43?y?2??x?y???5?4?∴N(,).

(三)直线与抛物线的位置关系

8455※相关链接※

1.直线与抛物线的位置关系

设抛线方程为y2?2px(p?0),直线Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线方程联立,消去x得到关于y的方程my+ny+q=0,

(1)若m≠0,当⊿＞0时,直线与抛物线有两个公共点; 当⊿=0时,直线与抛物线只有一个公共点; 当⊿＜0时,直线与抛物线没有公共点.

(2)若m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行. 2.焦点弦问题

已知AB是过抛物线y2?2px(p?0)的焦点的弦,F为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),则

2

p2(1) y1·y2=-p,x1·x2=;

42

（2）|AB|?x1?x2?p?（3）S?ABC2p(?为直线AB的倾斜角); sin2?p2?； 2sin?（4）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。 ※例题解析※

〖例〗已知抛物线方程为y?2p(x?1)(p?0)，直线l:x?y?m过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值。

解析：设l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|?3.

由距离公式|AB|=(x1?x2)2?(y1?y2)2=1?1|y1?y2|?2|y1?y2|,则有(y1?y2)2?9.

2k22由?x?y??1?2,消去x,得y2?2py?p2?0. ??y2?2p(x?1).??p

??(2p)2?4p2?0.?y1?y2??2p,y1y2??p2.

24从而(y1?y2)2?(y1?y2)2?4y1y2,即(?2p)2?4p2?9.由于p>0，解得p?3. （四）抛物线的实际应用

〖例〗如图，l1，l2是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路，连接M、N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L1对称．M到L1、L2的距离分别是2 km、4km，N到L1、L2的距离分别是3 km、9 kin．

（1）建立适当的坐标系，求抛物线弧MN的方程；

（Ⅱ）该市拟在点0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点0的距

离大于5km而不超过8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于6km．求 此厂离点0的最近距离．（注：工厂视为一个点）

解析：（1）分别以l1、l2为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M（2，4），

N（3，9）

2y?ax?c，则有 设MN所在抛物线的方程为

?4?4a?c?a?1??9?9a?cc?0 ?，解得?2y?x∴所求方程为（2≤x≤3）

25分

（说明：若建系后直接射抛物线方程为x?2py(p?0)，代入一个点坐标求对方程，

本问扣2分）

2xx （2）设抛物线弧上任意一点P（，）（2≤x≤3）

|PA|?x2?(x2?t)2)t厂址为点A（0，）（5＜t≤8，由题意得≥6

422x?(1?2t)x?(t?6)≥0 ∴

2令u?x，∵2≤x≤3，∴4≤u≤9

7分

22u?[4,9]u?(1?2t)u?(t?6)≥0恒成立（*） ∴对于任意的，不等式22f(u)?u?(1?2t)u?(t?6)，∵5?t≤8 设

8分

91?2t15??2≤2. ∴222(2t?1)?4(t?6)≤0 要使（*）恒成立，需△≤0，即

10分

2525解得t≥4，∴t的最小值为4

所以，该厂距离点O的最近距离为6.25km

12分

注：对实际应用问题，首先应审清题意，找出各量之间的关系，建立数学模型，然后用数学的方法解答，并回到实际问题中验证其正确性。

【感悟高考真题】

1．（2010·陕西文数）9.已知抛物线y＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）＋y＝16相切，则p的值为

（A）

[C] （C）2

（D）4

2

2

2

1 2（B）1

解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y＝2px（p>0）的准线方程为x??圆

（x－3）＋y＝16相切，所以3?2

2

2

2

p2

，因为抛物线y＝2px（p>0）的准线与2p?4,p?2 22

2

法二：作图可知，抛物线y＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）＋y＝16相切与点（-1,0） 所以?p??1,p?2 22．（2010·辽宁理数） (9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

(A) 2 (B)3 (C)【答案】D

3?15?1 (D) 22【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。

x2y2【解析】设双曲线方程为2?2?1(a?0,b?0)，则F（c,0）,B(0,b)直线FB：bx+cy-bc=0

ab与渐近线y=

bbb1?52222x垂直，所以????1，即b=ac所以c-a=ac,即e-e-1=0,所以e?aca2或e?1?5（舍去） 2x2y233．（2010·全国卷2文数）（12）已知椭圆C：2?2?1（a>b>0）的离心率为，过

ab2????????右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若AF?3FB。则k =

（A）1 （B）2 （C）3 （D）2

3????????e?A(x1,y1),B(x2,y2)，∵ AF?3FB，∴ y1??3y2， ∵ 2，设【解析】B：

222a?2t,c?3t，b?t，∴ x?4y?4t?0，直线AB方程为x?sy?3t。代入消去x，

23stt2y1?y2??2,y1y2??2222(s?4)y?23sty?t?0s?4s?4， ∴ ，∴ 123stt22s2??2y2??2,?3y2??22，k?2 s?4s?4，解得

????????4．（2010·重庆理数）(14)已知以F为焦点的抛物线y?4x上的两点A、B满足AF?3FB,

2则弦AB的中点到准线的距离为___________. 解析：设BF=m,由抛物线的定义知

AA1?3m,BB1?m

??ABC中，AC=2m,AB=4m,kAB?3

直线AB方程为y?3(x?1)

与抛物线方程联立消y得3x2?10x?3?0

所以AB中点到准线距离为

x1?x258?1??1? 233x2y25．（2010·天津文数）（13）已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条渐近线方程是

aby?3x，它的一个焦点与抛物线y2?16x的焦点相同。则双曲线的方程

为 。

x2y2??1 【答案】

412【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。 由渐近线方程可知

b?3 ① a因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4 ② 又c2?a2?b2 ③

x2y2??1 联立①②③，解得a?4,b?12，所以双曲线的方程为

412226．（2010·全国卷1文数）(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BFuuruur的延长线交C于点D， 且BF?2FD，则C的离心率为 .

16.

3【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，3考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析1】如图，|BF|?b2?c2?a,

uuruur作DD1?y轴于点D1,则由BF?2FD，得

|OF||BF|2??,所以

|DD1||BD|3|DD1|?33|OF|?c, 22a23c3c23c即xD?,由椭圆的第二定义得|FD|?e(?)?a?

2c22a3c23,?e?又由|BF|?2|FD|,得a?2a? a3x2y2【解析2】设椭圆方程为第一标准形式2?2?1，设D?x2,y2?，F分 BD所成的比为2，

abxc?3y?b3?0?b0?2x2b?2y233b?x2?xc?c;yc??y2?c???，代入 1?2221?22229c21b23??1， ?e?224a4b3m2?0，椭圆7．（2010·浙江理数）(21) （本题满分15分）已知m＞1，直线l:x?my?2x2C:2?y2?1，F1,F2分别为椭圆C的左、

m右焦点.

（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A,B两点，

VAF1F2，VBF1F2的重心分别为G,H.若

原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.

解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

m2m222?0经过F2(m?1,0)，所以m?1? （Ⅰ）解：因为直线l:x?my?,

22得m2?2，

又因为m?1，所以m?2，

2故直线l的方程为x?2y?22?0。 （Ⅱ）解：设A(x1,y1),B(x2,y2)。

??m2 由?x?my??22，消去x得

?x??m2?y2?12y2?my?m24?1?0

??m2?8(m2 则由?1)??m2?8?0，知m24?8，且有ymm21?y2??2,y1?y2?8?12。 由于F1(?c,0),F2(c,0),， 故O为F1F2的中点，

由???AG??2???GO?,???BH??2???HO?，

可知G(x1,y1),h(x2y333,13), 2(x22GH?1?x2)(y1?y2)9?9

设M是GH的中点，则M(x1?x2y1?y26,6)， 由题意可知2MO?GH,

x1?x22y1?y22(x1?x2即4[(6)?(6)]?2)29?(y1?y2)9 即x1x2?y1y2?0

而xm2m21x2?y1y2?(my1?2)(my2?2)?y1y2 ?(m2?1）(m28?12)

m21??0 所以

82即m2?4

又因为m?1且??0 所以1?m?2。

所以m的取值范围是(1,2)。

8．（2010·湖南理数）19．（本小题满分13分）

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线x?2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过65km的5区域；在直线x?2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过45km的区域． （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；

（Ⅱ）如图6所示，设线段PP，当冰川融12，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界）化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．

22【解析】（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为(x,y).当x≥2时，由题意知(x?4)?y?化 区 域

P2(?83,6)3y P3(8,6) 融 冰 已 P) 1(?53,?1A(-4,0) O B(4,0) x=2 川 x 图6

36 5当x?2时，由|PA|+|PB|=45知，点P在以A,B焦点，长轴长为2a＝45 x2y2的椭圆上。此时短半轴长 b?(25)?4?2，因而其方程为??1

20422

故考察区域边界曲线（如图）的方程为

C1:(x?4)2?y2?3636(x?2)和C2:(x?4)2?y2?(x?2) 55

（Ⅱ）设过点P1，P2的直线为l1，点P2，P3的直线为l2，则直线l1，l2的方程分别为

y?3x?14,y?6

x2y2设直线l平行于直线l1,其方程为y?3x?m.代入椭圆方程??1,消去y, 204得16x2?103mx?5(m2?4)?0由??100?3m2?4?16?5(m2?4)?0,解得m?8或m??8.从图中可以看出,当m?8时,直线l与C2的公共点到直线l1的距离最近,此时直线l的方程为y?3x?8,l与l1之间的距离为d?|14?8|?31?365,5

又直线l2到C1和C2的最短距离d??6?而d??3,所以考察区域边界到冰川边界的最短距离为3.设冰川边界线移动到考察区域所需时间为n年,则由题设及等比数列求和公式,得0.2(2n?1)?3,所以n?4.2?1冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年.【命题意图】本题以应用题为背景，考查考察考生数学建模能力，考查圆的方程、椭圆的定义与方程、直线与圆锥曲线的位置关系、等比数列求和。本题属难题。

【考点精题精练】

一、选择题

1．（2010届·山东诸城高三12月质检）7.设曲线y?ax2在点（1,a）处的切线与直线

2x?y?6?0平行,则a?( A)

A．1

B．

1 2C．?1 2D．?1

2．（2010届·湖南省箴言中学高三一模（文））7. 设曲线y?ax2在点(1,a)处的切线与

直线2x?y?6?0平行，则a? ( A ) A、1 B、

11 C、? D、?1 22mn3．（2010届·山东诸城高三12月质检）7． 若2?4?22，则点(m,A．直线x?y?1的左下方 C．直线x?2y?1的左下方

B．直线x?y?1的右上方 D．直线x?2y?1的右上方

n)必在（ C）

x2y2?2?12b4． （广东汕头金平区·2010届高三上联考（文））双曲线a（a＞0,b＞0）的两

个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为( B ) A.（0，3） B.（1，3） C.（3，+∞） D. [3，+∞]

5．（北京西城区·2010届高三期末（理））若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2：1，则称此椭圆或双曲线存在“F点”，下列曲线中存在“F点”的是

（ D ）

x2y2??1 A．

1615y2?1 C．x?152

x2y2??1 B．

2524D．x2?y2?1

22ax?by?ab和ax?by?c?0(其中ab?0,a?b,c?0，它们所表示的曲6．已知方程

线可能是（ B ）

7．已知椭圆C中，原点O为中心，F为左焦点，A为左顶点，椭圆的左准线交x轴于点B，

|PF|P、Q为椭圆上两动点，PD垂直左准线于点D，QF?x轴，则椭圆的离心率为① |PD|；|QF||AO||AF||FO|② |BF|；③ |BO|；④ |BA|；⑤ |AO|.上述离心率正确的个数有（D）

A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8．北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示，

内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC、BD，设内

x2y2?2?1(a?b?0)2b层椭圆方程为a，则外层椭圆方程可设为

x2y29??1?22(ma)(mb)(a?b?0,m?1).若AC与BD的斜率之积为16，则椭圆的离心率为(A) 7263A.4 B.2 C.4 D.4

x2y2??1222639．双曲线的渐近线与圆(x?3)?y?r(r?0)相切，则r等于（A）

A.3 B.2 C. 3 D. 6

x2y??1310．以双曲线的一个焦点为圆心，离心率为半径的圆的方程是( D )

222222222A.(x?2)?y?4 B.x?(y?2)?2 C.(x?2)?y?2 D.x?(y?2)?4

11． （广东省深圳高级中学·2010届高三上二模（文）） 10、.若双曲线的顶点为椭圆

y2x??12长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的方程

2是（ D ）

22222222x?y?2y?x?2 x?y?1y?x?1A. B. C. D.

12．如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为距分别为

a1和a2，半焦

c1和c2.则下列结论不正确的是 （C）

A.

a1?c1?a2?c2 B. a1?c1?a2?c2 C. a1c2?a2c1 D.

a1c2?a2c1

二、填空题

13．（2010届·辽宁锦州高三期末考试（理））（16）△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－

mm12,0),C(2,0)（其中m＞0，且m为常数），且满足条件sinC－sinB=2sinA,则动点A的

16x216y2m??1(x?)224m3m轨迹方程为____.

14．（2010届·辽宁锦州高三期末考试（理））12.曲线y?x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x?2所围成的三角形的面积为 -16 . 215．已知两点A(1,0)，B(b,0)，若抛物线y?4x上存在点C使?ABC为等边三角形，则b?

5或?1 . 322x?y?2的右焦点16．（广东省深圳高级中学·2010届高三上二模（文））14、过双曲线

F作倾斜角为30的直线，交双曲线于P,Q两点，则|PQ｜的值为______42____.

三、解答题

17．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．

0x2y2?2?12F,F12ab已知点是双曲线M：的左右焦点，其渐近线为y??3x，且右

顶点到左焦点的距离为3． (1)求双曲线M的方程；

?F(2) 过2的直线l与M相交于A、B两点，直线l的法向量为n?(k,?1),(k?0)，且

????????OA?OB?0，求k的值；

?????????????OA?OB?mF2C，

(3)在(2)的条件下，若双曲线M在第四象限的部分存在一点C满足

求m的值及△ABC的面积

2S?ABC．

y2x??13解: (1) 由题意得．??????????????????????4分

(2) 直线

l的方程为

y?k(x?2)，由

?2y2?1?x?3??y?k(x?2)?得

(3?k2)x2?4k2x?(4k2?3)?0（*）

?4k2x?x????123?k2?2?x?x??4k?3122?3?k?所以????????????????????????6分

????????x?x?y1?y2?0

由OA?OB?0得12222(1?k)x?x?2k(x?x)?4k?0 1212即

k??代入化简，并解得

35（舍去负值）?????????????????9分

k?(3)把

35代入（*）并化简得4x2?4x?9?0，

?x1?x2??1??9x?x??12??4， 此时

所以

2|AB|?(1?k2)?(x?x)?4x1?x2?12???4?????????????11分

1?x?2?0?m????????????????y??150?C(x,y)OA?OB?mFCm代入双曲线M的方程解得 ?002设，由得

m??3315C(,?)2（舍）2，??????????????14分 ，m=2，所以2d?点C到直线AB的距离为

32，

所以

S?ABC?1d?|AB|?62．????????????????????16分

18．（2010届·浙江春浑中学高三1月月考）21．（本题满分15分）如图，△ABC为直角

??C?90,OA?(0,?4),点M在y轴上，三角形，

AM?1(AB?AC)2，

点C在x轴上移动．

（1）求点B的轨迹E的方程；

1F(0,)2的直线l与曲线E交于P、Q两点，设N(0,a)(a?0),NP与NQ （2）过点

的夹角为?，若恒有

???2，求实数a的取值范围；

（3）设以点N(0，m)为圆心，以2为半径的圆与曲线E在第一象限的交点H， 若圆在点H处的切线与曲线E在点H处的切线互相垂直，求实数m的值．

?AM?21解：（1）

1(AB?AC),?2M是BC的中点

y设B(x,y),则M(0,),C(?x,0),CB?(2x,y),CA?(x,?4).2????2分

??C?90?,?CB?CA,CB?CA?0,(2x,y)?(x,?4)?0,?x2?2y.????5分

1y?kx?,P(x1,y1),Q(x2,y2),NP?(x1,y1,?a)2 （2）设直线l的方程为，

NQ?(x2,y2?a),1??y?kx?,由?2知x2?2kx?1?0,??4k2?1?0恒成立.?x2?2y,??x1?x2?2k,x1x2??1.????7分

由NP?NQ?0,知(x1,y1?a)?(x2,y2?a)?0,x1x2?y1y2?a(y1?y2)?a2?0.11又?y?kx?,?x1x2(1?k2)?(k?ak)(x1?x2)?a?a2?0.22

a2?a??k2?2a34恒成立。 ??????9分

a2?a??34?0.又a?0,?a??1.2a2 ??????11分

（3）由题意知，NH是曲线C的切线，设

H(x0,y0),则

y?|x?x0?x0,kNH?y0?m,x0

?y0?m?x0.x0 ??????13分

2222?x?(y?m)?2,x?2y,?x??2m?0,?m?0.消去x0,y0, 0000又

112m2?m?1?0.解得m?1或?.又?m?0,?m??22 ????15分 得

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