上海市2016届高考数学一轮复习 专题突破训练 圆锥曲线 文

上海市2016届高三数学文一轮复习专题突破训练

圆锥曲线

一、选择、填空题

1、（2015年高考）抛物线y2?2px(p?0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则

p? . x2y2??1的右焦点重合，则该抛物线的准线方2、（2014年高考）抛物线y?2px的焦点与椭圆

952程为 ．

3、（2013年高考）.设AB是椭圆?的长轴，点C在?上，且?CBA?的两个焦点之间的距离为 ?4.若AB=4，BC=2，则?46 . 34、（奉贤区2015届高三二模）以抛物线y2?4x的焦点F为圆心，与抛物线的准线相切的圆的标准方程为__________．

5、（虹口区2015届高三二模）已知抛物线y2?2px(p?0)的焦点在圆(x?1)2?y2?4上，则

p?________

x2y2?1(a?0)的一个焦6、（黄浦区2015届高三二模）已知抛物线y?16x的焦点与双曲线2?a122点重合，则双曲线的渐近线方程是

7、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）已知抛物线y?2px的准线方程是x??2，则

2p? ．

8、（浦东新区2015届高三二模）若直线ax?by?3?0与圆x?y?3没有公共点，设点P的坐

22x2y2??1的公共点的个数为 ( C ) 标(a,b)，则过点P的一条直线与椭圆43(A) 0 (B) 1

9、（普陀区2015届高三一模）若方程2，2）∪（3，+∞） ．

10、（闸北区2015届高三一模）关于曲线C：①曲线C是椭圆；

②关于坐标原点中心对称；

1

(C) 2

(D) 1或2

+=1表示双曲线，则实数k的取值范围是 （﹣

=1，给出下列四个结论：

③关于直线y=x轴对称； ④所围成封闭图形面积小于8． 则其中正确结论的序号是 ②④ ．（注：把你认为正确命题的序号都填上）

11、（长宁、嘉定区2015届高三二模）抛物线x2?8y的焦点到准线的距离是_____________ 12、（崇明县2015届高三一模）已知双曲线k2x2?y2?1(k?0)的一条渐近线的法向量是(1,2)，那么k?

x2y2??1内有两点A?1,3?,B?3,013、已知椭圆?,P为椭圆上一点,则PA?PB的最大值为2516_______.

x2y214、若双曲线C:2?2?1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为_________.

ab15、若双曲线的渐近线方程为y??3x,它的一个焦点是(10,0),则双曲线的标准方程是_____.

二、解答题

1、（2015年高考）已知椭圆x?2y?1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、

22D，设?AOC的面积为S.

（1）设A(x1,y1)，C(x2,y2)，用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明

S?2|x1y2?x2y1|；

（2）设l1:y?kx，C(331,)，S?，求k的值； 333（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1与l2如何变动，面积S保持不变.

2、（2014年高考）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l:ax?by?c?0和点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，记

??(ax1?by1?c)(ax2?by2?c)．若??0，则称点P1,P2被直线l分隔．若曲线C与直线l没有公

共点，且曲线C上存在点P1,P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线． （1）求证；点A(1,2),B(?1,0)被直线x?y?1?0分隔；

（2）若直线y?kx是曲线x?4y?1的分隔线，求实数k的取值范围；

22 2

（3）动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E．求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．

x2?y2?1，曲线C2:y?x?1.P是平面内一点.若存3、（2013年高考）如图，已知双曲线C1:2在过点P的直线与C1、C2都有共同点，则称P为“C1-C2型点”.

（1）在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证k＞1，进而证明圆点不是“C1-C2型点”； （3）求证：圆x?y?

4、（奉贤区2015届高三二模）平面直角坐标系中，点A??2,0?、B?2,0?，平面内任意一点P满足：直线PA的斜率k1，直线PB的斜率k2，k1k2??221内的点都不是“C1-C2型点”. 23，点P的轨迹为曲线C1．双曲线C2以曲线C14的上下两顶点M,N为顶点，Q是双曲线C2上不同于顶点的任意一点，直线QM的斜率k3，直线

QN的斜率k4．

（1）求曲线C1的方程；(5分)

（2）(文)如果k1k2?k3k4?0，求双曲线C2的焦距的取值范围．(9分)

3

225、（虹口区2015届高三二模）已知圆F 1：(x+1)+y=8，点F2(1, 0)，点Q在圆F1上运动，

QF2的垂直平分线交QF1于点P.

(1) 求动点P的轨迹C的方程；

(2) 设M、N分别是曲线C上的两个不同点，且点

QyM在第一象限，点N在第三象限，若OM?2ON?2OF1, O为坐标原点，求直线MN的斜率；

(3)过点S(0,?)的动直线l交曲线C于A、B两点， 求证：以AB为直径的圆恒过定点T(0,1).

?????????????PF1OF2x13(第22题图）6、（黄浦区2015届高三二模）已知点F，平面直角坐标系上的一个动点P(x,y)1(?2,0)、F2(2,0)?????????满足|PF1|+|PF2|=4．设动点P的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的轨迹方程；

??????????22(2)点M是曲线C上的任意一点，GH为圆N:(x?3)?y?1的任意一条直径，求MG?MH的取值范围；

???????? (3)（理科）已知点A、B是曲线C上的两个动点，若OA?OB(O是坐标原点)，试证明：直

线AB与某个定圆恒相切，并写出定圆的方程．

????????（文科）已知点A、B是曲线C上的两个动点，若OA?OB(O是坐标原点)，试证明：原点O到

直线AB的距离是定值．

7、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C的方程为

x2?y2?1，l是线段AB的垂直平分线，设AB是过椭圆C中心O的任意弦，M是l上与O不 8合的点．

（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；

（2）若MO?2OA，当点A在椭圆C上运动时，求点M的轨迹方程；

重

4

（3） 记M是l与椭圆C的交点，若直线AB的方程为y?kx(k?0)，当△AMB的面积为414时，7求直线AB的方程．

8、（浦东新区2015届高三二模）已知直线EA??1ADl与圆锥曲线C相交于A,B两点，与x轴、

y轴分别交于D、E两点，且满足、EB??2BD.

（1）已知直线l的方程为y?2x?4，抛物线C的方程为y2?4x，求?1??2的值；

x211?y2?1，求?（2）已知直线l：x?my?1（m?1），椭圆C：的取值范围； 2?1?2x2?y2?1，?1??2?6，求点D的坐标. （3）已知双曲线C：3

9、（普陀区2015届高三一模）已知P是椭圆的最小值．

10、（闸北区2015届高三一模）已知F1，F2分别是椭圆C：

2

+=1上的一点，求P到M（m，0）（m＞0）的距离

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，

椭圆C过点且与抛物线y=﹣8x有一个公共的焦点． （1）求椭圆C方程；

（2）直线l过椭圆C的右焦点F2且斜率为1与椭圆C交于A，B两点，求弦AB的长； （3）以第（2）题中的AB为边作一个等边三角形ABP，求点P的坐标．

x2y211、（长宁、嘉定区2015届高三二模）已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的焦距为2，且椭

ab圆C的短轴的一个端点与左、右焦点F1、F2构成等边三角形．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设M为椭圆上C上任意一点，求MF1?MF2的最大值与最小值；

5

（3）试问在x轴上是否存在一点B，使得对于椭圆上任意一点P，P到B的距离与P到直线x?4的距离之比为定值．若存在，求出点B的坐标，若不存在，请说明理由．

12、（崇明县2015届高三一模）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1． （1）求椭圆C的标准方程；

（2）是否存在与椭圆C交于A,B两点的直线l:y?kx?m(k?R)，

????????????????使得OA?2OB?OA?2OB成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，

请说明理由.

13、已知抛物线C:y2?2px(p?0),直线l交此抛物线于不同的两个点A(x1,y1)、

B(x2,y2).

0)时,证明y1?y2为定值;

(1)当直线l过点M(?p,(2)当y1y2??p时,直线l是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由; (3)记N(p,0),如果直线l过点M(?p,0),设线段AB的中点为P,线段PN的中点为Q.

问是否存在一条直线和一个定点,使得点Q到它们的距离相等?若存在,求出这条直线和这个定点;若不存在,请说明理由.

14、动圆C过定点?1,0?,且与直线x??1相切. 设圆心C的轨迹?方程为F?x,y??0

(1)求F?x,y??0;

(2)曲线?上一定点P?x0,2?,方向向量d??1,?1?的直线l(不过P点)与曲线?交与A、B两点,设直线PA、PB斜率分别为kPA,kPB,计算kPA?kPB;

(3)曲线?上的一个定点P0?x0,y0?,过点P0作倾斜角互补的两条直线P0M,P0N分别与曲线?交于M,N两点,求证直线MN的斜率为定值;

15、如图,已知点F(0,1),直线m:y??1,P为平面上的动点,过点P作m的垂线,垂足为点Q,且

????????????????QP?QF?FP?FQ.

(1)求动点P的轨迹C的方程;

(2)(文)过轨迹C的准线与y轴的交点M作方向向量为d?(a,1)的直线m?与轨迹C交于不同两点A、B,问是否存在实数a使得FA?FB?若存在,求出a的范围;若不存在,请说明理由;

6

?(3)(文)在问题(2)中,设线段AB的垂直平分线与y轴的交点为D(0,y0),求y0的取值范围.

yFOxm

参考答案

一、选择、填空题 1、【答案】2

【解析】依题意，点Q为坐标原点，所以

p?1，即p?2. 2C 2、解答：知抛物线的焦点坐标为?2,0?，则其准线方程为：x??2 3、【答案】

46 3A D B 【解析】 如右图所示。

设D在AB上，且CD?AB,AB?4,BC?2,?CBA?45??CD?1,DB?1,AD?3?C(1,1)?2a?4,把C(1，1)代入椭圆标准方程得114282222??1,a?b?c?b?,c?

33a2b2?2c?46 3 5、6 6、y=?22??x?1?y?4 4、

3x

7、4 8、C

9、解答： 解：∵程

+

=1表示双曲线，

∴（|k|﹣2）（3﹣k）＜0， 解得k＞3或﹣2＜k＜2，

∴实数k的取值范围是（﹣2，2）∪（3，+∞）． 故答案为：（﹣2，2）∪（3，+∞）． 10、解答： 解：对于①，∵曲线C：

=1，不是椭圆方程，∴曲线C不是椭圆，∴①错误；

对于②，把曲线C中的（x，y ）同时换成（﹣x，﹣y ），方程不变，∴曲线C关于原点对称，②正确；

7

对于③，把曲线C中的（x，y ）同时换成（y，x ），方程变为对称，③错误；

对于④，∵|x|≤2，|y|≤1，∴曲线C：+x=1，∴曲线C不关于直线y=x

4

=1所围成的封闭面积小于4×2=8，∴④正确．

综上，正确的命题是②④． 故答案为：②④． 11、4

12、

12 13、15 ;

x214、

y220?5?1 15、x2?y29?1;

二、解答题

1、【答案】（1）详见解析；（2）k??1或k??15；（3）m??12.

由（1）得S?12|xx1333|k?1|1y2?2y1|?2|3x1?3kx1|?61?2k2 由题意知

3|k?1|11?2k2?3，

6 8

解得k??1或k??1. 5mx，设A(x1,y1)，C(x2,y2)， k（3）设l1:y?kx，则l2:y??y?kx12x?由?2，的， 1221?2k?x?2y?1k2?同理x?， m2k2?2m21?2()k221

11x1?mx1|k2?m|1由（1）知，S?|x1y2?x2y1|?|?x2?kx1|???|x1x2|

22k2|k| ?2|k2?m|21?2k?k?2m4222222，

222整理得(8S?1)k?(4S?16Sm?2m)k?(8S?1)m?0， 由题意知S与k无关，

?21S?2????8S?1?08则?2，解得. ?221??m???4S?16Sm?2m?0?2?所以m??1. 22、解答：

（1）证明：因为???4?0，所以点A,B被直线x?y?1?0分隔．

?x2?4y2?1（2）解：直线y?kx与曲线x?4y?1没有公共点的充要条件是方程组?无解，即

?y?kx22k?1122．当k?时，对于直线y?kx，曲线x?4y?1上的点??1,0?和?1,0?满足22 9

???k2?0，即点??1,0?和?1,0?被y?kx分隔．故实数k的取值范围是

11(??,?]?[,??)．

22（3）证明：设M的坐标为(x,y)，则曲线E的方程为x?(y?2)?x?1．

对任意的y0，?0,y0?不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点．

又曲线E上的点??1,2?和?1,2?对于y轴满足??0，即点??1,2?和?1,2?被y轴分隔．所以

22y轴为曲线E的分隔线．

3、【答案】 （1） 3y?x?3?0

x2222222【解析】 （1） 由C1方程：?y?1可知：a?2,b?1,c?a?b?3,F1(?3,0) 显

2然，由双曲线C1的几何图像性质可知，过F1的任意直线都与曲线C1相交.从曲线C2图像上取点P(0,1),则直线PFC1、C2均有交点。这时直线方程为 1与两曲线y?

3(x?3)?3y?x?3?0 3（2） 先证明“若直线y=kx与C2有公共点，则k＞1”. 双曲线C1的渐近线：y??b1x??x. a212,12）.

若直线y?kx与双曲线C1有交点，则k?A?（-. 若直线y?kx与双曲线C2有交点，则k?B?（-?，-1）?（1，?）所以直线y=kx与C2有公共点，则k＞1 . （证毕）

?A?B??,?直线y?kx与曲线C1、C2不能同时有公共交点。

所以原点不是“C1-C2型点”；（完）

（3）设直线l过圆x?y?221内一点，则直线l斜率不存在时与曲线C1无交点。 2 10

|m|1设直线l方程为：y = kx + m，则：

k2?1?2?2m2?1?k2

假设直线l与曲线C2相交上方，则y?1

y224、（1）?k1k2?x?2?yx?2??34,?x4?y3?1?x??2? 5分（2）设双曲线方程为

y2x23?b2?1?b?0? 6分Q?xy200,y0?在双曲线上，所以3?x20b2?1?b?0? y0?3y2k0?3y0?333k4?x??x2?2 8分

0x00b??34?3b2?0,? 90?b?2分

?0?b?2 10分

（理）双曲线渐近线的方程y??3bx 11分

设倾斜角为?，则tan???3b

11

?33????0,4bk?3b?32,或者k??3b??32 12分 所以一条渐近线的倾斜角的取值范围是??arctan3,???? 13分 ?22?另一条渐近线的倾斜角的取值范围是????,??arctan3??22? 14分 ?（文）焦距是23?b2 12分

?23?b2??23,27?? 14分

5、解：(1) 因为QF2的垂直平分线交QF1于点P. 所以PF2?PQ，从而

PF1?PF2?PF1?PQ?FQ1?22?F1F2?2, 所以，动点P的轨迹C是以点F1、F2为焦点的椭圆. ??3分

设椭圆的方程为x2y2222a2?b2?1，则2a?22,2c?2，b?a?c?1，

故动点P的轨迹C的方程为 x22?y2?1 ??5分

(2) 设M(a1,b1),N(a2,b2)(a1?0,b1?0,a2?0,b2?0)，则

a221?2b21?2,a2?2b22?2 ①

因为????OM??2???ON??2???OF?1，则a1?2a2??2,b1?2b2?0 ② 由①、② 解得 a11?,b1?1424,a5142??4,b2??8 ??8分 所以直线MN的斜率kbMN?2?b1a?31414 . ??10分

2?a1 (3)设直线l的方程为y?kx?1??y?kx?133,则由??，得9(2k2?1)x2?12kx?16?0, ?x2??2?y2?1由题意知，点S(0,?13)在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C必有两个交点，设A(x1,y1)、B(x?x4k162,y2)，则x12?3(2k2?1),x1x2??9(2k2?1). ??12分 假设在y轴上存在定点T(0,m)满足题设，则TA????(x???1,y1?m),TB?(x2,y2?m),

因为以AB为直径的圆恒过点T, 所以TA????TB????(x1,y1?m)?(x2,y2?m)?0,即

x1x2?(y1?m)(y2?m)?0(?) ??14分

12

因为y1?kx1?11,y2?kx2?,故(?)可化为 33121 2?(k?1)x1x2?k(m?)(x1?x2)?m?m?3392x1x2?y1y2?m(y1?y2)?m216(k2?1)14k212???k(m?)??m?m?9(2k2?1)33(2k2?1)39 18(m2?1)k2?3(3m2?2m?5)?9(2k2?1)???????m2?1?0?由于对于任意的k?R,TA?TB?0,恒成立，故?, 解得 m?1. 2??3m?2m?5?0因此，在y轴上存在满足条件的定点T，点T的坐标为(0,1). ?? 16分

6、解(1)依据题意，动点P(x,y)满足(x?2)?y?(x?2)?y?4.

又|F1F2|?22?4，

2222??2a?4,?b?2． 因此，动点P(x,y)的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且???2c?22x2y2??1． 所以，所求曲线C的轨迹方程是42?????????????????????????????(2) 设M(x0,y0)是曲线C上任一点．依据题意，可得MG?MN?NG,MH?MN?NH．

?GH是直径， ??????????????NH??NG．又|NG|=1，

?????????????????????????????MG?MH=(MN?NG)?(MN?GH)?????????????????? =(MN?NG)?(MN?NG)

????????? =|MN|2?|NG|2.?????2 ?|MN|?(x0?3)2?(y0?0)2

＝

1(x0?6)2?7． 2x2y2 由??1，可得?2?x?2，即?2?x0?2．

42???2?? ?1?M|N|?，205?????2????2?M|N?|N|G．? |24???????????????????? ?MG?M的取值范围是H0?MG?MH?24．

13

?????2(另解1?|MN|?25：结合椭圆和圆的位置关系，有||OM|?|ON||?|MN|?|OM|?|ON|(当

且仅当M、N、O共线时，等号成立)，于是有1?|MN|?5．)

(3)证明 设原点到直线AB的距离为d，且A、B是曲线C上满足OA?OB的两个动点．

11ab2310若点A在坐标轴上，则点B也在坐标轴上，有|OA||OB|?|AB|?d，即d?． ?22223a?b

20若点A(xA,yA)不在坐标轴上，可设OA:y?kx,OB:y??1x． k4?2?x2y2x?,A2???1,??1?2k 由?4 得? 22?y?kx.?y2?4k.?A?1?2k2??24k2x?,设点B(xB,yB)，同理可得，??B2?k2

??y2?4.B?2?k2?22223(1?k)1?k1?k22于是，|OA|?2，|OB|?2，|AB|?OA?OB? ． 2221?2k2?k2(2?k)(1?2k)利用

1123|OA||OB|?|AB|?d，得d?． 223002可知，总有d?综合1和2323，即原点O到直线AB的距离为定值． 33(方法二：根据曲线C关于原点和坐标轴都对称的特点，以及OA?OB，求出A、B的一组坐标，再用点到直线的距离公式求解，也可以得出结论)

7、解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为(7,0),(22,0)，?????????1分

2y2x所以在双曲线2?2?1中，a2?7，c2?8，b2?c2?a2?1，

ab2x因而双曲线方程为?y2?1．????????????????????4分 7??????????????????（2）设M(x，y)，A(m，n)，则由题设知：OM?2OA，OA?OM?0．

?x2?y2?4(m2?n2)，即?????????????????????????5分

mx?ny?0，? 14

?m2?1y2，解得??4??????????????????????????7分 ??n2?124x．y22因为点A(m，n)在椭圆C上，所以m2?n2?1，即?

?2?88??x2??1，

x2y2x2y2亦即4?32?1．所以点M的轨迹方程为4?32?1．???????9分

（3）（文）因为AB所在直线方程为y?kx(k?0)．

?解方程组?x2??8?y2?1， 得x2828k2A??y?kx，1?8k2，yA?1?8k2， 所以OA2?x22?81?8k2?8k28(1?k2)1?8k2?1?8k2，AB2?4OA2?32(1?k2)A?yA1?8k2. ?x2又???8?y2?1，28k22828(1?k2)?1 解得xM?k2+8，yM?k2+8，所以OM?k2+8．???? 11分

??y??kx，由于S2?1132(1?k2)8(1?k264(1?k2)222△AMB4AB?OM?4?1?8k2?)k2+8?(1?8k2)(k2+8)?327?????14分解得(6k2?1)(k2?6)?0?k2?16或k2?6即k??66或k??6 又k?0，所以直线AB方程为y?66x或y?6x????????????? 16分 8、解：（1）将y?2x?4，代入y2?4x，求得点A?1,?2?，B?4,4?，

又因为D?2,0?，E?0,?4?，????????????????????2分 由EA??1AD 得到，?1,2???1?1,2????1,2?1?，?1?1，

同理由EB??2BD得，?2??2.所以?1??2=?1.?????????4分

（2）联立方程组：??x?my?1?2?2?0 得?x2?2y2m?2?y2?2my?1?0， y2m1?y2??m2?2,y1?1?1y2??m2?2，又点D?1,0?,E??0,?m??，

由EA??11AD 得到y1?m????1y1，?1?????1?11?my?1??， 同理由EB?? 得到y1?1?2BD2?m???2y2，?2????1?1??my2??， ??1?y2)?1??2=???2?1(y?my?????2?1?2m????4，即?1??2??4，?6分1y2? ??m? 15

1?1?1?2??4?1?2?4?1?4?11?12?4??1?2?2?4, ????????????8分

因为m?1，所以点A在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知 ?1??2?2,0，所以

??1?2????,?2?.????????????10分

x2?y2?1 （3）直线l的方程为x?my?t，代入方程3 得到:m2?3y2?2mty?t2?3?0.

????2mt, y1?y2??2m?3t2?3112mty1y2??2, (1) ???2m?3y1y2t?3 而由EA??1AD、EB??2BD得到：?(?1??2)?2?t?11??? (2) ??m?y1y2?? ?1??2?6 (3) ?????????????????????????12分 由（1）（2）（3）得到：2?t?2mt???2???6，t??2， m?t?3?aaaa，?2?或者?1?，?2??， t?at?at?at?a 所以点D(?2,0)，????????????????????????14分 当直线l与x轴重合时，?1??2a2?6也满足要求， 都有?1??2?22t?a 所以在x轴上存在定点D(?2,0).?????????????????16分

9、考点： 椭圆的简单性质．

专题： 函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 设P（x，y），则

，所以

，﹣2≤x≤2，所以得到|PM|=

，

二次函数的对称轴为x=2m，所以讨论2m和区间[﹣2，2]的关系，根据二次函数的

顶点及在区间[﹣2，2]上的单调性即可求出该二次函数的最小值，从而求出|PM|的最小值． 解答： 解：设P（x，y），则x，y满足：

；

∴；

∴|PM|====

2

；

∴①若0＜2m＜2，即0＜m＜1时，x=2m时，函数∴此时|PM|的最小值为

；

取最小值2﹣m；

②若2m≥2，即m≥1时，二次函数在[﹣2，2]上单调递减；

16

∴x=2时，函数取最小值（m﹣2）；

2

∴此时|PM|的最小值为|m﹣2|． 10、解答： 解：（1）由题意得 F1（﹣2，0），c=2?（2分） 又

4

2

，

2

2

得a﹣8a+12=0，解得a=6或a=2（舍去），?（2分）

2

则b=2，?（1分） 故椭圆方程为

．?（1分）

（2）直线l的方程为y=x﹣2．?（1分）

联立方程组，消去y并整理得2x﹣6x+3=0．?（3分）

2

设A（x1，y1），B（x2，y2）． 故x1+x2=3，则|AB|=

．?（1分） |x1﹣x2|=

=

．?（2分）

（3）设AB的中点为M（x0，y0）． ∵x1+x2=3=2x0，∴∵y0=x0﹣2，∴

，?（1分） ．?（1分）

线段AB的中垂线l1斜率为﹣1，所以l1：y=﹣x+1 设P（t，1﹣t）?（1分） 所以

．?（1分）

当△ABP为正三角形时，|MP|=得

|AB|，

，解得t=0或3．?（2分）

即P（0，1），或P（3，﹣2）．?（1分）

11、（1）已知，c?1，a?2c?2， ????????（2分） 所以b?a?c?3， ??????????????（3分）

222x2y2??1． ????????（4分） 所以椭圆的标准方程为43（2）F1(?1,0)，F2(1,0)，设M(x,y)，则MF2?(1?x,?y)，1?(?1?x,?y)，MF22?2?x?2）， ????????（2分） MF1?MF2?x?y?1（

17

?x2?12x2y2222??1，所以，MF1?MF2?x?y?1?x?3?因为?1?4???4x?2，?（4分） 43??223由0?x?4，得MF1?MF2的最大值为，最小值为． ??????????（6分）

（3）假设存在点B(m,0)，设P(x,y)，P到B的距离与P到直线x?4的距离之比为定值?，则

(x?m)2?y2??， ??????????????????（1分） 有

|x?4|整理得x2?y2?2mx?m2??2(x?4)2， ??????????????（2分）

x2y2?1???1，得???2?x2?(8?2?2m)x?m2?3?16?2?0对任意的x?[?2,2]都成由43?4?立． ????????????????????????（3分）

?1???2?x2?(8?2?2m)x?m2?3?16?2， ?4?22则由F(0)?0得m?3??6??0 ①

22由F(2)?0得m?4m?4?4??0 ②

令F(x)??由F(?2)?0，得m?4m?4?36??0 ③

221

，m?1． ??????????（5分） 2

所以，存在满足条件的点B，B的坐标为(1,0)． ?????????（6分）

由①②③解得得??

x2y212、解（1）设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，半焦距为c，

ab则??a?2c

?a?c?1?a?2

?c?1解得：?x2y2??1 所以，b?3，椭圆方程为43????????????????（2）解：存在直线l，使得OA?2OB?OA?2OB成立。 ?y?kx?m?222由?x2得(3?4k)x?8kmx?4m?12?0 y2??1?3?4由??0得3?4k?m。

228km4m2?12,x1?x2?设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1?x2?? 223?4k3?4k

18

????????????????由OA?2OB?OA?2OB得，OA?OB?0

所以x1?x2?y1?y2?0 化简得7m?12?12k 所以m?22212 72由??0得，m?因此，m?23 412 7

13、解:(1)l过点M(?p,0)与抛物线有两个交点,可知其斜率一定存在,设l:y?k(x?p),其中

?y?k(x?p)k?0(若k?0时不合题意),由?2得k?y2?2py?2p2k?0,?y1?y2?2p2

?y?2px注:本题可设l:x?my?p,以下同.

(2)当直线l的斜率存在时,设l:y?kx?b,其中k?0(若k?0时不合题意).

?y?kx?b由?2得ky2?2py?2pb?0. ?y?2px?y1y2?2pbk??p,从而b?? k2假设直线l过定点(x0,y0),则y0?kx0?b,从而y0?kx0?k1,得(x0?)k?y0?0,即221?1?x0?(,0) ,即过定点2?2??y0?0当

直

线

l的斜率不存在,设

l:x?x0,代入

y2?2px得

y2?2px0,y??2px0,?y1y2?2px0?(?2px0)??2px0??p,从而x0?l:x?11,也过(,0). 22120)

1,即2综上所述,当y1y2??p时,直线l过定点(,(3)依题意直线l的斜率存在且不为零,由(1)得点P的纵坐标为yP?1p(y1?y2)?,代入2k19

pppl:y?k(x?p)得xP?k2?p,即P(k2?p,k) ?y),则??x?1p设Q(x,?2(k2?p?p)消k得y2?p?2x ?y?12?p?k由抛物线的定义知存在直线x??p8,点(p8,0),点Q到它们的距离相等 14、(1)过点C作直线x??1的垂线,垂足为N,由题意知:CF?CN,

即动点C到定点F与定直线x??1的距离相等,

由抛物线的定义知,点C的轨迹为抛物线

其中?1,0?为焦点,x??1为准线,所以轨迹方程为y2?4x; (2)证明:设 A(x1,y1)、B(x2,y2) 由题得直线的斜率?1

过不过点P的直线方程为y??x?b

??y2?4x由?y??x?b得

y2?4y?4b?0 则y1?y2??4.

P?1,2?

ky1?2AP?kBP?x?y2?20=y1?22?y2?2442=? 1?1x2?1y1?1y2?1y1?2y2?244=

4(y1?y2?4)(y=0

1?2)(y2?2)(3)设M?x1,y1?,N?x2,y2?

ky2?y1y2?yMN?x?x=1422= (***) 21y2y1y1?y24?4设MP的直线方程为y?y0?k?x?x0?

由??y2?4x ,244y0?y?yy??4x0?k(x?x0)ky?k0?0

20

44 ?y1??y0 15分 kk2p4同理y0?y2??,得y2???y0

kk则y0?y1?代入(***)计算得:y1?y2??2y0

?kMN??2 y015、(文)(1)设P(x,y),由题意,Q(x,?1),QP?(0,y?1),QF?(?x,2),

FP?(x,y?1),FQ?(x,?2),

由QP?QF?FP?FQ,得2(y?1)?x?2(y?1), 化简得x?4y.所以,动点P的轨迹C的方程为x?4y

(2)轨迹C为抛物线,准线方程为y??1,即直线m,所以M(0,?1), 当a?0时,直线m?的方程为x?0,与曲线C只有一个公共点,故a?0 所以直线m?的方程为

222x?y?1,由a?x?ay?a,2222 得ay?(2a?4)y?a?0,由?2?x?4y，△?4(a?2)?4a?0,得0?a2?1 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1?y2?所以x1?x2?2244?2,y1y2?1, a24,x1x2?4, a若FA?FB,则FA?FB?0,即(x1,y1?1)?(x2,y2?1)?0,

?4?x1x2?y1y2?(y1?y2)?1?0,4?1??2?2??1?0,

?a?解得a2?21.所以a??

22?22?,2?1?,线段AB的垂直平分线的一个法向量为?aa?(3)由(2),得线段AB的中点为?2??2???n?(a,1),所以线段AB的垂直平分线的方程为a?x????y?2?1??0,

a??a?? 21

2?1, a22因为0?a2?1,所以2?1?3.

a令x?0,y0?所以y0的取值范围是(3,??)

22

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