2010届高三数学总复习专题突破训练：圆锥曲线

2010届高三数学总复习专题突破训练：圆锥曲线

一、选择题

1、（2009揭阳）若点P到直线y??1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P的轨迹方程为（ ）A

A. x?12y B.y?12x C.x?4y D.x?6y 2、（2009吴川）若圆x?y?2x?4y?0的圆心到直线x?y?a?0的距离为的值为（ ）C A．-2或2

B．或2222222,则a2123 2C．2或0 D．-2或0

x2y2x2?y2?13、（2009广东四校）设F1、F2为曲线C1： 6 + 2 =1的焦点，P是曲线C2：3与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为（ ）C 1(A) 4

(B) 1

2(C) 2 (D) 22

4、（2009珠海）经过抛物线y?2x的焦点且平行于直线3x?2y?5?0的直线l的方程是（ A ）

A.6x?4y?3?0 B. 3x?2y?3?0 C.2x?3y?2?0 D. 2x?3y?1?0

x2y25、（2009惠州）若抛物线y?2px的焦点与椭圆??1的右焦点重合，则p的值为

622（ ） D

A．?2 B．2 C．?4 D．4

6、（2009汕头）如图，过抛物线y?2px(p?0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，

交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的

方程为（ ）B

23x 292C．y?x

2A．y?2B．y?3x D．y?9x

22y2x2??1的顶点为焦点,长半轴长为7、（2009广东六校）以

1244的椭圆方程为（ ）D

x2y2x2y2x2y2x2y2A．??1 B. ??1 C. ??1 D.??1

64521612164416x2y28、（2009广州）已知双曲线2??1?a?0?的中心在原点, 右焦点与抛物线y2?16x9a的焦点重合,则该双曲线的离心率等于( ) D A.

8554745 B. C. D.

55754

二、解答题

y21、（2009广东揭阳）已知椭圆x?2?1(0?b?1)的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上

b2顶点为B，过F,B,C三点作?P，其中圆心P的坐标为(m,n)．

(1) 若椭圆的离心率e?3，求?P的方程； 2（2）若?P的圆心在直线x?y?0上，求椭圆的方程．

2、（2009广东潮州）椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为A(0,2)，右焦点F与点

B(2,2)的距离为2。

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率k?0的直线l：y?kx?2，使直线l与椭圆相交于不同的两点M,N满足|AM|?|AN|，若存在，求直线l的倾斜角?；若不存在，说明理由。

x2y2x2y23、（2009珠海期末）已知椭圆E的方程为2?2?1(a?b?0),双曲线2?2?1的

abab两条渐近线为l1和l2，过椭圆E的右焦点F作直线l，使得l?l2于点C，又l与l1交于点P，l与椭圆E的两个交点从上到下依次为A,B（如图）. (1)当直线l1的倾斜角为30?，双曲线的焦距为8时，求椭圆的方程；

(2)设PA??1AF,PB??2BF，证明：?1??2为常数.

4、（2009潮南）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c,0）（c>0）的

a2准线?（准线方程x=?,其中a为长半轴，c为半焦距）与x轴交于点A，OF?2FA，

c过点A的直线与椭圆相交于点P、Q。

（1） 求椭圆方程； （2） 求椭圆的离心率；

（3） 若OP?OQ?0，求直线PQ的方程。

5、（2009广东四校）已知A（－2，0）、B（2，0），点C、点D依次满足

|AC|?2,AD?1(AB?AC). 2 （1）求点D的轨迹方程；

（2）过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y轴的

距离为

4，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程. 5x2y236、（天河）若椭圆2?2?1(a?b?0)过点（-3，2），离心率为，⊙O的圆心为原

3ab点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为(x?8)?(y?6)?4，过⊙M上任一点P作⊙O的切线PA、PB，切点为A、B.（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线PA与⊙M的另一交点为Q，当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程； （Ⅲ）求OA?OB的最大值与最小值.

22x2y27、（2009金山）已知A、B分别是椭圆2?2?1的左右两个焦点，O为坐标原点，点

abP(?1,2）在椭圆上，线段PB与y轴的交点M为线段PB的中点。 2 （1）求椭圆的标准方程；

（2）点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于△ABC，求

sinA?sinB的值。

sinC8、（2009金山）已知曲线C：xy=1，过C上一点An(xn,yn)作一斜率为kn??1的直xn?2线交曲线C于另一点An?1(xn?1,yn?1)，点列An(n?1,2,3,?)的横坐标构成数列{xn}，其中x1?11． 711?}是等比数列；

xn?23n（1）求xn与xn?1的关系式；（2）求证：{

23（3）求证：(?1)x1?(?1)x2?(?1)x3???(?1)xn?1(n?N,n?1)。

9、（2009广东六校一）已知点F??1, 0?和直线l：x??2，动点M到点F的距离与到直线l的距离之比为

2． 2（I）求动点M的轨迹方程；

（II）设过点F的直线交动点M的轨迹于A、B两点，并且线段AB的中点在直线x?y?0上，求直线AB的方程．

l N F y M O x x2y2?1(a?0)的10、（2009朝阳一中）设椭圆C:2?a2??????????左右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，且AF2?F1F2?0，坐标原点O到直

线AF1的距离为

1OF1． 3（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点F(?1,0)，交y轴于点M，若

?????????MQ?2QF，求直线l的斜率．

11、（2009中山一中）已知动圆过定点A?1,0?，且与直线x??1相切. (1) 求动圆的圆心轨迹C的方程；

(2) 是否存在直线l，使l过点B(0,1)，并与轨迹C交于P,Q两点，

????????且满足OP?OQ?0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

x212、（2009广东五校）设F1、F2分别是椭圆?y2?1的左、右焦点.

4（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2的最大值和最小值;

（Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，求直线l的斜率k的取值范围. 祥细答案 1、解：（1）当e???32时，

a?1，∴c?3， 2∴b?a?c?1?22233111,0)，C(1,0)---------2分 ?，b?，点B(0,),F(?24422222设?P的方程为(x?m)?(y?n)?r 由?P过点F,B,C得

∴m?(?n)?r-----------------①

2yB(0,b)1222xA(-1,0)F(-c,0)oC(1,0)(m?32)?n2?r2-----------------② 2(1?m)2?n2?r2-------------------③----------------------------5分

由①②③联立解得

m?2?31?2352，n?，r?-----------------------7分 4442?321?2325)?(y?)?-------------8分 444∴所求的?P的方程为(x?（2）∵?P过点F,B,C三点，∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，

FC的垂直平分线方程为x?1?c--------④----------------------9分 2∵BC的中点为(,)，kBC??b

1b22

∴BC的垂直平分线方程为y?b11?(x?)-----⑤---------------------10分 2b21?cb2?c1?cb2?c由④⑤得x?，即m?----------------11分 ,n?,y?22b22b1?cb2?c∵P(m,n)在直线x?y?0上，∴??0?(1?b)(b?c)?0

22b∵1?b?0 ∴b?c由b?1?c得b2?22221 2∴椭圆的方程为x?2y?1--------------------------------------------------------------14分

x2y22、解：（1）依题意，设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，则其右焦点坐标为

abF(c,0),c?a2?b2 ， ………… 2分

由|FB|?2，得(c?2)?(0?2)?2，

即(c?2)?2?4，解得c?22。 ………… 4分

22xy222??1。 ……5分 又 ∵b?2 ，∴ a?c?b?12，即椭圆方程为124222（2）由|AM|?|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，

?y?kx?2?22由?x2消去y得x?3(kx?2)?12 y2?1???124即(1?3k)x?12kx?0 （*） ………… 7分

2244k?0，即方程（*）有两个不相等的实数根。由k?0，得方程（*）的??(?12k)?1

…………8分

设M(x1,y1)、N(x2,y2)，线段MN的中点P(x0,y0)， 则x1?x2?22x1?x212k6k，， x???02221?3k1?3k6k2?2(1?3k2)?26k?2?，即P(,) ……… 10分 ? y0?kx0?2?22221?3k1?3k1?3k1?3k?2?22?2?2(1?3k2)1?3k，……11分 ??k?0，∴直线AP的斜率为k1?6k6k1?3k2?2?2(1?3k2)由AP?MN，得?k??1， …… 12分

6k∴ 2?2?6k?6，解得：k??又0????，故 ??233，即tan???， …… 13分 33?6，或??5?， 6∴ 存在直线l满足题意，其倾斜角??3、解：（1）由已知，

22?6，或??5?。…… 14分 6b32?,a?b2?16，…………………2分 a3解得:a?12,b?4， …………………4分 所以

x2y2?1. …………………5分 E的方程是:?124（2）解法1：设A(x1,y1),B(x2,y2) 由题意得: 直线l1的方程为: y?则直线l的方程为: y?bbx,直线l2的方程为: y??x,………………7分 aaa(x?c),其中点F的坐标为(c,0); ………………………8分 ba22c ,则点P(a,ab); ………9分

ccabcby?xx?a由 得: ay?(x?c)y?bx2y2?2?12c2?a2ab222由 消y得:2x?2cx?(c?a)?0,则x1?x2?c,x1x2?; 10分

2ay?(x?c)b????????cx1?a2a2??1(c?x2),则:?1?由PA??1AF得:x1?,

c(c?x1)c????????cx2?a2同理由PB??2BF得:?2?, …………………………………………………12分

c(c?x2)cx1?a2cx2?a2(cx1?a2)(c?x2)?(cx2?a2)(c?x1)??1??1???c(c?x1)c(c?x2)c(c?x1)(c?x2)?(c?a)(x1?x2)?2cx1x2?2ca(c?a)c?c(c?a)?2ca??0c(c?x1)(c?x2)c(c?x1)(c?x2)22222222

故?1??2?0为常数. ……………………………………………………………………14分 解法2：过P作x轴的垂线m，过A,B分别作m的垂线，垂足分别为A1,B1，…6分 由题意得: 直线l1的方程为: y?则直线l的方程为: y?bbx,直线l2的方程为: y??x,………………8分 aaa(x?c),其中点F的坐标为(c,0); ………………………9分 bba2y?xx?ac ,则直线m为椭圆E的右准线; ………10分

由 得: aaby?(x?c)y?bc????????????????PAPAPBPB则:?????????,????????? ,其中e的离心率; …………………………12分

AFeAA1BFeBB1????????????????PAPBPAPB??1?????,?2??????,?????????,

AFBFAFBF故?1??2?0为常数. ………………………………………………………………14分

a2224、解：（1）由已知得b?2,c?2(?c)，解得：c?4,a?6……………………2分

cx2y2所求椭圆方程为??1………………………………………………4分

62（2）因a?6,c?2，得e?c26??……………………………………7分 a36a2（3）因点A(,0)即A（3，0），设直线PQ方程为y?k(x?3)………………8分

c?y?k(x?3)2222则由方程组?2，消去y得：(1?3k)x?18kx?27k?6?0 2?2x?6y?1218k227k2?6,x1x2?设点P(x1,y1),Q(x2,y2)则x1?x2?……………………10分

1?3k21?3k2????????OQ?0，得x1x2?y1y2?0， 因OP?又y1y2?k(x1?3)(x2?3)?kx1x2?3k(x1?x2)?9k，代入上式得

2222(1?k2)(27k2?6)3k2?18k2(1?k)x1x2?3k(x1?x2)?9k?0，故??9k2?0 221?3k1?3k222解得：k?2155,k??，所求直线PQ方程为y??(x?3)……………………14分 5555、解：（1）设C、D点的坐标分别为C（x0,y0)，D(x,y)，则AC?(x0?2,y0），

AB?(4,0), 则AB?AC?(x0?6,y0)，故AD?xy1(AB?AC)?(0?3,0) 222?x0?3?x?2,??x0?2x?2,?2又AD?(x?2,y),故? 解得?y?2y.?0?y0?y.??22代入|AC|?(x0?2)2?y0?2中, 整理得x?y?1，即为所求点D的轨迹方程.

22（2）易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y?k(x?2) ①.

x2y2又设椭圆方程为2?2?1(a2?4) ②.

aa?4因为直线l：kx－y+2k=0与圆x?y?1相切.故

22|2k|12?1，解得k?.

3k2?12242将①代入②整理得，(ak?a?4)x?4akx?4ak?a?4a?0 ③ 将k?222222213代入上式，整理得 (a2?3)x2?a2x?a4?4a2?0， 34a2设M（x1,y1)，N（x2,y2)，则x1?x2??2，

a?3a242由题意有2?2?(a2?3)，求得a?8.经检验，此时③的判别式??0.

5a?3x2y2??1. 故所求的椭圆方程为844?9??a2b2?1?2?3x2y2?c?a?15??26、解：（Ⅰ）由题意得：?? 所以椭圆的方程为??1

31510??a?b?10?a2?b2?c2??（Ⅱ）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6）时，弦PQ最大因为直线PA的斜率一定存在， 设直线PA的方程为：y-6=k(x-8)

又因为PA与圆O相切，所以圆心（0，0）到直线PA的距离为10 即

|8k?6|1?k2113?10 可得k?或k?

39 所以直线PA的方程为：x?3y?10?0或13x?9y?50?0 (Ⅲ)设?AOP?? 则?AOP??BOP,?AOB?2? 则cos?AOB?2cos??1?2(2OA220)?1??1 2OPOP|OP|max?10?2?12,|OP|min?10?2?8 ?200?10 2OP7、解：（1）∵点M是线段PB的中点 ∴OM是△PAB的中位线

?OA?OB?|OA|?|OB|cos?AOB?又OM?AB∴PA?AB ----------------------------2分

?c?1?11?∴?2?2?12b?a222??a?b?c解得a2?2,b2?1,c2?1 ---------------------------7分

x2?y2=1 ----------8分 ∴椭圆的标准方程为2 （2）∵点C在椭圆上，A、B是椭圆的两个焦点

∴AC＋BC＝2a＝22，AB＝2c＝2 -------------------------10分 在△ABC中，由正弦定理，

ACBBCACAB -----------12分 ??sinAsinBsinCsinA?sinBBC?AC22??2 ------------------14分 ∴＝

AB2sinC8、解：（1）过C：y?1上一点An(xn,yn)作斜率为kn的直线交C于另一点An?1， x

1y?ynxxn11?n?1???? 则kn?n?1， ----------------------------3分

xn?1?xnxn?1?xnxn?1?xnxn?2?于是有：xnxn?1?xn?2 即：xn?1?1?12 ----------------------------4分 xn（2）记an?11?，则 xn?23?11111????2(?)??2an， ----------------6分 3xn?23xn?23?2xnan?1?1xn?1?2因为x1?1111,而a1????2?0， 7x1?23因此数列{

11?}是等比数列。 ----------------------------8分

xn?23n（3）由（2）可知：an?(?2),则xn?2?11(?2)?3n，

(?1)nxn?(?1)n?2?112n?(?1)n?3n?1。 ----------------------------9分

当n为偶数时有：(?1)xn?1?(?1)nxn?

2n?1?2n2n?1?2n11???n?1n?n?1?n， -----------------11分 =

11112?2222n?1?2n?(2n?1?)(2n?)333311于是

①在n为偶数时有：

(?1)x1?(?1)2x2???(?1)nxn?11111?2?3?4???n?1。 -----------------12分 22222②在n为奇数时，前n-1项为偶数项，于是有：

(?1)x1?(?1)2x2???(?1)n?1xn?1?(?1)nxn

?1?(?1)nxn?1?xn?1?(2?1(?2)n?13)??1?12n?13?1。 -----------------13分

综合①②可知原不等式得证。 ----------------------------14分

9、解：（I）设动点M的坐标为?x, y?，由于动点M到点F的距离与到直线l的距离

2之比为，故2?x?1?2?y2|x?2|?2， 2分 2x2化简得：?y2?1，这就是动点M的轨迹方程． 6分

2

（II）设直线AB的方程为y?k(x?1)(k?0),

x2代入?y2?1，整理得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0.

2∵直线AB过椭圆的左焦点F，∴方程有两个不等实根， 8分

4k2记A(x1,y1),B(x2,y2)，AB中点P(x0,y0)， 则x1?x2??2, 2k?112k2kx0?(x1?x2)??2,y0?k(x0?1)?2,

22k?12k?1∵线段AB的中点P在直线x?y?0上，

NlFAyB

Ox

2k2k1?2?0, ∴k?0，或k?. 10分 ∴x0?y0??22k?12k?12当直线AB与x轴垂直时，线段AB的中点F不在直线x?y?0上，

∴直线AB的方程是y?0或x?2y?1?0． 14分

2210、解： （Ⅰ）由题设知F1(?a?2,0),F2(a?2,0),其中a?2 ????????????????????22由于AF2?F1F2?0，则有AF2?F1F2，所以点A的坐标为(a?2,?)……..2分

a故AF1所在直线方程为y??(1?)…………3分

aa2?2axa2?2所以坐标原点O到直线AF1的距离为2

a?1a2?212?a?2 解得：a?2………….5分 又OF1?a?2，所以2a?132x2y2所求椭圆的方程为??1…………7分

42（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k

直线l的方程为y?k(x?1)，则有M(0,k)…………9分

?????????设Q(x1,y1)，由于Q、F、M三点共线，且MQ?2QF

2?x???x1??2??13根据题意得(x1,y1?k)??2(x1?1,y1)解得?或?…………12分

y??k?1?y?k1?3?2k(?)2()2(?2)(?k)又Q在椭圆C上，故??1或3?3?1解得k?0,k??4

424222综上，直线l的斜率为0或?4.…………14分

11、解：（1）设M为动圆圆心，由题意知：|MA|?M到定直线x??1的距离， 由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中A(1,0)为焦点，x??1为准线， ∴ 动圆的圆心M的轨迹C的方程为：y?4x ………………………5分

（2）由题意可设直线l的方程为x?k(y?1)(k?0)，

2由??x?k(y?1)2?y?4x 得 y?4ky?4k?0

2???16k2?16k?0 ? k?1或k?0 ………………………7分

且y1?y2?4k，y1y2?4k …………………………………9分

????????由OP?OQ?0 ? x1x2?y1y2?0 …………………………………………11分

?k2(y1?1)(y2?1)?y1y2?0?(k2?1)y1y2?k2(y1?y2)?k2?0

?4k(k2?1)?k2?4k?k2?0?k??4或k?0（舍去） …………………13分

又k??4?0，所以直线l存在，其方程为：x?4y?4?0 ………………14分 12、解：（Ⅰ）解法一：易知a?2,b?1,c?3,所以F1?3,0,F2???3,0…………1分，

??????????设P?x,y?，则PF1?PF2??3?x,?y,???3?x,?y?x2?y2?3…………3分

??????????因为x???2,2?，故当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值?2…5分

?????????当x??2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值1…………7分

解法二：易知a?2,b?1,c?3，所以F1?3,0,F2设P?x,y?，则

???3,0…………1分，

?????2?????2?????2???????????????????????????PF1?PF2?F1F2 PF1?PF2?PF1?PF2?cos?F1PF2?PF1?PF2??????????2PF1?PF2?221?x?3?y2?x?3?y2?12??x2?y2?3…………3分（以下同解法一）

???2?????（Ⅱ）显然直线x?0不满足题设条件…………8分， 可设直线l:y?kx?2,A?x1,y2?,B?x2,y2?，

?y?kx?2??21?2联立?x2，消去，整理得：y?k??x?4kx?3?0…………9分 24????y?1?4由??(4k)2?4(k2?)?3?4k2?3>0得：k?

1433…………12分 或k??22

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