高考数学140分难点突破训练――圆锥曲线（含详解）概要

高考数学140分难点突破训练——圆锥曲线

1. 已知椭圆C的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线

。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1）求椭圆C的方程；

（2）设A、B为椭圆上的两个动点，为D，求点D的轨迹方程．

的焦点，离心率为

，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足

2. 设直线

与双曲线

相交于A,B两点，O为坐标原点.

（I）为何值时，以AB为直径的圆过原点.

（II）是否存在实数，使在，说明理由.

且，若存在，求的值，若不存

3. （理）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形． （1）求双曲线C的离心率e的值；

（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为

求双曲线c的方程．

（文）在△ABC中，A点的坐标为（3，0），BC边长为2，且BC在y轴上的区间[-3，3]上滑动．

（1）求△ABC外心的轨迹方程；

（2）设直线l∶y＝3x＋b与（1）的轨迹交于E，F两点，原点到直线l的距离为d，求

的最大值．并求出此时b的值．

4. 已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线

（1）求直线AB的方程；

（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且否共圆？为什么？

于A、B两点，且

，那么A、B、C、D四点是

5. 设（1）求（2）令

（

的解析式

为常数），若，且

只有唯一实数根

求数列

的通项公式。

6. 已知点C（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足

（1）当点P在y轴上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（2）是否存在一个点H，使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。

7. 设

为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量，若向量

.

(1求点M（x,y）的轨迹C的方程；

(2过点(0,3作直线与曲线C 的交于A、B两点，设

，是否存在这样的直

线，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 8. 已知倾斜角为（1）求点

的坐标；

的直线过点

和点

，点

在第一象限，

。

（2）若直线与双曲线

段

的中点坐标为

，求的值；

相交于两点，且线

（3）对于平面上任一点的距离。已知9. 如图，已知定点到N，使

，当点在线段上运动时，称到线段

的最小值为与线段

在轴上运动，写出点的距离关于的函数关系式。

交x轴于点M，延长MP

，动点P在y轴上运动，过点P作

⑴求动点N的轨迹C的方程；

⑵设直线与动点N的轨迹C交于A，B两点，若

若线段AB的长度满足：

，求直线 的斜率的取值范围。

10. 在中,

渐近线且离心率为的双曲线⑴求双曲线⑵若直线于不同的两点

、

,且

、

的标准方程;

与双曲线

交

点分线段所成的比为,以恰好经过点.

、

所在的直线为

两点都在以点

的取值范围.

为圆心的同一圆上,求实数

11. 经过抛物线y

的焦点F的直线L与该抛物线交于A,B两点.

（1） 若线段AB的斜率为k，试求中点M的轨迹方程；

（2） 若直线的斜率k＞2，且点M到直线3 x+4y+m=0的距离为12. 一束光线从点

．

（Ⅰ）求点（Ⅱ）求以

关于直线的对称点、

为焦点且过点

的坐标； 的椭圆

的方程； 、

两点，点

出发，经直线

上一点

，试确定m的取值范围。 反射后，恰好穿过点

（Ⅲ）设直线与椭圆 到

的两条准线分别交于为线段上的动点，求点

的坐标．

的距离与到椭圆右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点

13. 已知椭圆E：（1）求

的最值。

，点P

是椭圆上一点。

（2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形面积的最大值。

14. 已知椭圆的一个焦点

足

，，

成等比数列.

，对应的准线方程为，且离心率满

(1求椭圆的方程；

(2试问是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点

、

，且线段

恰被直线

平分？若存在，求出的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由.

15. 已知向量

（Ⅰ）求点

的轨迹C的方程；

.

（Ⅱ）设曲线C与直线

又点

，当

时，求实数

的取值范围。

相交于不同的两点M、N，

16. 设直线与椭圆相交于点C，记O为坐标原点.

相交于A、B两个不同的点，与x轴

（I）证明：（II）若

；

的面积取得最大值时的椭圆方程.

17. 如图，已知⊙

在 ⊙A′取遍⊙

上的点.

：及点A

A′交于点P，若点

，

上任取一点A′，连AA′并作AA′的中垂线l，设l与直线

（1）求点P的轨迹C的方程； （2）若过点求直线

的直线

与曲线

交于

、

两点,且

,则当

时,

的斜率的取值范围.

18. 如图，已知⊙一点遍⊙

′，连上的点.

：′，并作

及点

′的中垂线l，设l与

，在 ⊙

′交于点P， 若点

上任取′取

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）设直线

交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点D.若圆方程．

与轨迹C相

的面积取得最大值时的椭

19. 点A、B分别是以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右

端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，（1）求椭圆C的的方程； （2）求点P的坐标；

（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到M的距离d的最小值。

20. 已知正方形的外接圆方程为

形一边CD所在直线的方向向量为(3，1． （1）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；

（2）若顶点在原点，焦点在轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程． 答案：

，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方

1. （1）设椭圆C的方程为．

由题意可得：，，

（2）（1）当直线AB的斜率存在时，

设直线AB的方程为

，

，

即

①

，

又又

点

，

在直线AB上，

②

③

把②③代入①得，

点D的轨迹方程为

（2）当直线AB的斜率不存在时，，满足

点D的轨迹方程为

2. 解（I）设

由

又以AB为直径的圆过原点.既

且，

（II）

右准线l的方程为：x＝，两条渐近线方程为：

．

∴ 两交点坐标为 ，、，

．

∵ △PFQ为等边三角形，则有

（如图）．

∴ ，即

．

解得 ，c＝2a．∴

．

（2）由（1）得双曲线C的方程为把 把

代入得

．

．

依题意 ∴ ，且

．

∴ 双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为

∵

．

∴ ．

整理得

．

∴ 或

．

∴ 双曲线C的方程为：或

．

（文）（1）设B点的坐标为（0，），则C点坐标为（0，

＋2）（ 则BC边的垂直平分线为y＝

＋1 由①②消去，得．

∵

，∴

．

故所求的△ABC外心的轨迹方程为：．

（2）将

代入

得

．

由及，得

．

-3≤

≤1）， ①

②

所以方程①在区间

，2有两个实根．

设是：

，则方程③在，2上有两个不等实根的充要条件

之得

．

∵

∴ 由弦长公式，得

又原点到直线l的距离为

，

∴

∵ ，∴

．

∴ 当，即时，

．

4. （1）设直线AB：代入 （＊）

得

令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根

∴ 且

∵ ∴

∴ N是AB的中点 ∴

k = 1 ∴AB方程为：y = x + 1

或

（2）将k = 1代入方程（＊）得由∴ ∵

得，

，

∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直线方程为 即

代入双曲线方程整理得及CD中点

令，

则，， ∴，

|CD| =，

，即A、B、C、D到M距离相等

∴ A、B、C、D四点共圆 12分

5. （1）直线方程为代入

，设

得

则

点的坐标为

在椭圆上即

（2）

已知

椭圆方程为

22．（1），又

令得

当当

时得方程的实数根时

和 于是

方程有唯一实数根

或

（2）当时，，令则

，

当时， 为等比数列，

或

6. （1）设M(x,y, P(0, t, Q(s, 0 则由

得3s—t2=0……………………………………………………①

又由得

， ……………………………………②

把②代入①得=0，即y2=4x，又x≠0

∴点M的轨迹方程为：y2=4x（x≠0）

（2）如图示，假设存在点H，满足题意，则

设，则由可得

解得

又

则直线AB的方程为：即

把

代入，化简得

令y=0代入得x=4，∴动直线AB过定点（4，0） 答，存在点H（4，0），满足题意。 7. (1

即点M(x,y到两个定点F1(0,-2、F2(0,2的距离之和为8,

点M（x,y）的轨迹C为以F1(0,-2、F2(0,2为焦点的椭圆，其方程为

.

(2由题意可设直线方程为

，

由消去y得：(4+3kx2 +18kx-21=0.

此时，△=(18k2-4(4+3k2 (-21>0恒成立，且由

知：四边形OAPB为平行四边形.

假设存在直线，使得四边形OAPB为矩形，则因为

，所以

，

.

而

，

故，即

.

所以，存在直线：8. （1）设

，

，使得四边形OAPB为矩形.

，

（2）设

由 得，

，

（3）设线段

上任意一点

当时，即时，当时，；

当时，即时，当时，；

当时，即时，当时，。

9. (1 设动点

。

的方程为

.

则

是MN的中点，

直线，故

的方程为，令

，消去得N的轨迹C

(2 直线的方程为

,由

，直线与抛物线

得

的交点坐标分别为

，

又由得

由是

10. (1由已知得∴(2当

时,

即

可得，解得的取值范围

,∴,

,

∴

,

∴……

(3

①当为偶数时,

（为奇数,则

.

）,假设存在符合条件的使命题成立,则

,由

得

②当为奇数时,由

综合以上知,存在

是偶数,则得

使得

.

矛盾.

,

20.解:(1因为双曲线由此可得渐近线的斜率线段

离心率为,所以可设双曲线

从而

,将点

的标准方程

,又因为点,

分

所成的比为,所以的坐标代入双曲线方程的

所以双曲线(2设

的方程为

线段

. 的中点为

.

由则

且

①

由韦达定理的由题意知

,

所以

②

由①、②得 11. .(1设A(

或

直线AB的方程为y=k(x-1 (k≠0,代入

,得

kx-(2k+4x+k=0 设M(x ,y.则

∴点M的坐标为(

消去k可得M的轨迹方程为

(2由 d=

得

即 0＜＜

,得

0＜,

即 或

故的取值范围为 (-

12. （Ⅰ）设的坐标为，则且．

解得（Ⅱ）， 因此，点 的坐标为．

，根据椭圆定义，

得，．

，

∴所求椭圆方程为．

（Ⅲ）设点的坐标为，椭圆的准线方程为,表示点

．

到

的距离，

表示点

到椭圆的右

准线的距离．

则，．

，

令，则

，

当，， ，．

∴ 在时取得最小值．

因此，注：

最小值＝，此时点的坐标为．

的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．

说明：求得的点即为切点，的最小值即为椭圆的离心率．

13. （1）由得

，则

则所以

的最大值为25，最小值为16。

及椭圆方程得A（5，0）。同理C（0，4），设

，即

。所以B到AC的距离为

为椭

（2）如图，由

圆上任一点，又AC方程为

同理得D到直线AC的距离

所以四边形ABCD最大面积

。

14. （1）∵设

成等比数列 ∴

是椭圆上任意一点，依椭圆的定义得

即为所求的椭圆方程.

（2）假设存在，因与直线因此可设的方程为：

由

相交，不可能垂直轴

①

方程①有两个不等的实数根 ∴

②

设两个交点、的坐标分别为 ∴

∵线段恰被直线平分 ∴

∵ ∴ ③ 把③代入②得

∵ ∴ ∴解得或

∴直线的倾斜角范围为15. 由题意得：

（II）由得

,

由于直线与椭圆有两个不同的交点，（1）当

时，设弦MN的中点为

，即 ①

分别为点M、N的横坐标，则

又 ②.

将②代入①得，解得, 由②得 ,

故所求的（2）当

取值范围是时，

16. 依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故

将，得

①

由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得

，

即

（II）解：设由①，得

因为，代入上式，得

于是，△OAB的面积

其中，上式取等号的条件是

由

将

所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是17. (1 ∵l是线段A

这两组值分别代入①，均可解出

,

的中垂线，∴|－|P

||=|

∴||PA|－|P为焦距，以(2设

,

||=||P|=.即点P在以.

,则由

、A为焦点，以4

为实轴长的双曲线上，故轨迹C的方程为,则直线

的方程为

,得

,.由,得.∴

,

,.由,,

,

消去,得.∵,函数在

上单调递增.

∴,，所以 或

.

故斜率的取值范围为18. (1 ∵l是线段.

的中垂线，∴|+|P

|=|

|=2m

,

.即点P在以∴|PM|+|P|=|P、M为焦点，以为焦距，以为长轴长的椭圆上，故轨迹C的方程为，即.

（2）由 得

将代入消去，得 ①

由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得

整理得，即

设

∵

由①，得而点

, ∴

.

，所以

，

代入上式，得

于是，△OAB的面积 其中，上式取等号的条件是

即

由将

可得

及

.

这两组值分别代入①，均可解出

∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是

19. （1）已知双曲线实半轴a1=4，虚半轴b1=2，半焦距c1=

=

，

，

∴椭圆的长半轴a2=c1=6，椭圆的半焦距c2=a1=4，椭圆的短半轴

∴所求的椭圆方程为（2）由已知

,

，设点P的坐标为由已知得

，则

则，解之得，

由于y>0，所以只能取，于是，所以点P的坐标为9分

（3）直线是

，

又∵点M在椭圆的长轴上，即 ∴当

时，椭圆上的点到

，设点M是，则点M到直线AP的距离是，于

的距离

又 ∴当时，d取最小值

20. (1 由（x－12）2+y2=144－a(a<144,可知圆心M的坐标为(12，0， 依题意，∠ABM=∠BAM=，kAB= , 设MA、MB的斜率k.

则解得

=2，

=－ ．

且

,

∴所求BD方程为x+2y－12=0，AC方程为2x－y－24=0．

(2 设MB、MA的倾斜角分别为θ1，θ2，则tanθ1＝2，tanθ2＝－，

设圆半径为r，则A（12＋），B（12－，），

再设抛物线方程为y2＝2px (p＞0，由于A，B两点在抛物线上，

∴ ∴ r=4，p=2．

则解得

=2，

=－ ．

且

,

∴所求BD方程为x+2y－12=0，AC方程为2x－y－24=0．

(2 设MB、MA的倾斜角分别为θ1，θ2，则tanθ1＝2，tanθ2＝－，

设圆半径为r，则A（12＋），B（12－，），

再设抛物线方程为y2＝2px (p＞0，由于A，B两点在抛物线上，

∴ ∴ r=4，p=2．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mvmr.html