概率论与数理统计试卷 1及答案

概率论与数理统计试卷 (A)

姓名： 班级： 学号： 得分：

一、判断题（10分，每题2分）

1. 在古典概型的随机试验中，P(A)?0当且仅当A是不可能事件. （ ） 2．连续型随机变量的密度函数f(x)与其分布函数F(x)相互唯一确定. （ ） 3．若随机变量X与Y独立，且都服从p?0.1的 (0，1) 分布，则X?Y. （ ） 4．设X为离散型随机变量, 且存在正数k使得P(X?k)?0，则X的数学期望

E(X)未必存在. （ ）

5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类

错误的概率不能同时减少. （ ） 二、 选择题（15分，每题3分）

1. 设每次试验成功的概率为p(0?p?1)，重复进行试验直到第n次才取得r(1?r?n) 次成功的概率为 . （ａ）Cn?1p(1?p)（ｃ）Cn?1pr?1r?1r?1rn?r； （ｂ）Cnp(1?p)rrn?r；

(1?p)n?r?1； （ｄ）pr(1?p)n?r.

2. 离散随机变量X的分布函数为F(x)，且xk?1?xk?xk?1，则P(X?xk)? . （ａ）P(xk?1?X?xk)； （ｂ）F(xk?1)?F(xk?1)； （ｃ）P(xk?1?X?xk?1)； （ｄ）F(xk)?F(xk?1).

)的分布函数 . 3. 设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y?max(X,2003（ａ）是连续函数； （ｂ）恰好有一个间断点；

（ｃ）是阶梯函数； （ｄ）至少有两个间断点.

4. 设随机变量(X,Y)的方差D(X)?4,D(Y)?1,相关系数

?XY?0.6,则方差

D(3X?2Y)? .

（ａ）40； （ｂ）34； （ｃ）25.6； （ｄ）17.6 .

5. 设(X1,X2,?,Xn)为总体N(1,2)的一个样本，X为样本均值，则下列结论中正确

的是 .

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21n（ａ）~t(n)； （ｂ）?(Xi?1)2~F(n,1)；

4i?12/nX?11n（ｃ）~N(0,1)； （ｄ）?(Xi?1)2~?2(n).

4i?12/nX?1

三、填空题（28分，每题4分）

1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才

取到正品的概率为 . 2. 设连续随机变量的密度函数为f(x)，则随机变量Y?3eX的概率密度函数为

fY(y)?

.

3. 设X为总体X~N(3,4)中抽取的样本(X1,X2,X3,X4)的均值, 则

P(?1?X?5)＝ .

4. 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y)??则条件密度函数为

当 时 fYX?1,y?x,0?x?1;他?0,其

(yx)?

.

5. 设X~t(m), 则随机变量Y?X服从的分布为 ( 需写出自由度 ) .

26. 设某种保险丝熔化时间X~N(?,?)（单位：秒），取n?16的样本，得样本均值和方

2差分别为X?15,S2?0.36，则?的置信度为95%的单侧置信区间上限为 . 7. 设X的分布律为

X 1 2 3

P ?2 2?(1??) (1??)2

已知一个样本值(x1,x2,x3)?(1,2,1)，则参数的极大似然估计值为 . 四、计算题（40分，每题8分）

1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是

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0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05. 求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.

2．设随机变量X与Y相互独立，X，Y分别服从参数为?,?(???)的指数分布，试求

Z?3X?2Y的密度函数fZ(z).

3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为??1的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.

4．设总体X~N(?,?2)，(X1,X2,?,Xn)为总体X的一个样本. 求常数 k , 使

k?Xi?X为? 的无偏估计量.

i?1n

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5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力X~N(?,?2)（单位：kg）. 已知??8 kg， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中随机抽取10个样品，测得样本均值x?575.2 kg. 问这批特种金属丝的平均折断力可否认为是570 kg ？ （??5%）

（2）已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布N(?,0.0482). 某日抽取5个样品，测

得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 .

问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用??10%作假设检验.

五、证明题（7分）

设随机变量X,Y,Z相互独立且服从同一贝努利分布B(1,p). 试证明随机变量

X?Y与Z相互独立.

附表： 标准正态分布数值表

?2分布数值表 t分布数值表

2?(0.28)?0.6103 ?0 t0.025(15)?2.1315 .05(4)?9.4882?(1.96)?0.975 ?0 .95(4)?0.711 t0.05(15)?1.75312?(2.0)?0.9772 ?0 t0.025(16)?2.1199 .05(5)?11.0712?(2.5)?0.9938 ?0.95(5)?1.145 t0.05(16)?1.7459

概率统计试卷解析

一. 判断题

1. 是. 在几何概型中，命题“P(A)?0当且仅当A是不可能事件” 是不成立的. 2. 非. 改变密度函数f(x)在个别点上的函数值，不会改变分布函数F(x)的取值.

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3. 非. 由题设条件可得出P(X?Y)?0.82，根本不能推出X?Y. 4. 非. 由题设条件可可以证明

?xk?1?kpk绝对收敛，即E(X)必存在.

5. 是. 由关系式 z??z???n/?(等式右端为定值) 可予以证明.

二. 选择题

1.（ａ） 2.（ｄ） 3.（ｂ） 4.（ｃ） 5.（ｄ）.

三. 填空题

f[ln(y/3)])?11. 19/396 . 2 . fY(y)??y0??1/(2x)0?x?14. 当时 fYX(yx)???06. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 .

四. 计算题

y?0y?0. 3. 0.9772 .

?x?y?x 5. F(1,m)].

其他1. A 被查后认为是合格品的事件，B 抽查的产品为合格品的事件.

P(A)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB)?0.96?0.98?0.04?0.05?0.9428，

P(BA)?P(B)P(AB)/P(A)?0.9408/0.9428?0.998. ???e?(?x??y)2. 解一 f(x,y)??0?x?0,y?0

其他 z?0时，FZ(z)?0，从而 fZ(z)?0；z?0时，

FZ(z)?P(3X?2Y?z)?3x?2y?z??f(x,y)dxdy??z/30?e??xdx?(z?3x)/20?e??ydy

?2?3???z?2z?1?e?e3

3??2?3??2? 所以

???(e??z/3?e??z/2),z?0?fZ(z)??3??2?

?z?0?0,

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??e??x解二 fX(x)???0??e??yx?0 fY(y)??其他?0y?0 其他z?0时， fZ(z)?0；

z?0时， fZ(z)?12??????z/30fX(x)fY[(z?3x)/2]dx

?所以

12??e??x??[(z?x)/2]dx???(e??z/3?e??z/2)

3??2????(e??z/3?e??z/2),z?0? fZ(z)??3??2?

?z?0?0,

1/3?2/31?Z?3X?2Y?X?(Z?2W)/3解三 设 ? ?? J??

W?YY?W013?? 随机变量(Z,W)的联合密度为 g(z,w)?f? 所以 fZ(z)?2w1??z?3??w?z?2w? ,w?J???e3?3??????g(z,w)dw?13?z/20??e2w??z?3??wdw

???(e??z/3?e??z/2)3??2?z?0.

3. 设 Xi为第i周的销售量, i?1,2,?,52 Xi~P(1)， 则一年的销售量为

Y??Xi，E(Y)?52, D(Y)?52.

i?152由独立同分布的中心极限定理，所求概率为

?????? P(50?Y?70)?P??2?Y?52?18????18????2??1

??????5252??52?52??52???(2.50)??(0.28)?1?0.9938?0.6103?1?0.6041.

4. 注意到 X1,X2,?,Xn的相互独立性

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Xi?X?1??X1?X2??(n?1)Xi???Xn?nE(Xi?X)?0,D(Xi?X)?n?12?n?n?12?Xi?X~N?0,??n??E(|Xi?X|)??|z|????1en?12??n?z2n?122?n?z2n?122?ndz?2???0z1en?12??ndz?2n?1?2?n?n??n??kn2?n?令E?k?|Xi?X|??k??E|Xi?X|?2n?1???i?1??i?1?k??2n(n?1)

5. (1) 要检验的假设为 H0:??570,H1:??570

检验用的统计量 U?X??0?/n~N(0,1)，

拒绝域为 U?z?(n?1)?z0.025?1.96.

2 U0?575.2?5708/10?0.6510?2.06?1.96，落在拒绝域内，

故拒绝原假设H0，即不能认为平均折断力为570 kg .

(2) 要检验的假设为 H0:?2?0.0428,H1:?2?0.0428

检验用的统计量 拒绝域为

?2??(Xi?15i?X)2~?2(n?1)，

2?022?2???(n?1)??0.05(4)?9.488 或 222 ???1??(n?1)??0.95(4)?0.711

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2x?1.41， ?0, 落在拒绝域内， ?0.0362/0.0023?15.739?9.488 故拒绝原假设H0，即认为该天的纤度的总体方差不正常 .

五、证明题 证一 由题设知

X 0 1 X?Y 0 1 2

P qp P q2 2pq p2

P(X?Y?0,Z?0)?q3?P(X?Y?0)P(Z?0)； P(X?Y?0,Z?1)?pq2?P(X?Y?0)P(Z?1)；

P(X?Y?1,Z?0)?2pq?P(X?Y?1)P(Z?0)；

P(X?Y?1,Z?1)?2pq2?P(X?Y?1)P(Z?1)； P(X?Y?2,Z?0)?pq2?P(X?Y?2)P(Z?0)；

P(X?Y?2,Z?1)?p?P(X?Y?2)P(Z?1). 所以 X?Y与Z相互独立.

证二 由题设可得X?Y与Z的联合分布

32X?Y

Z

0

1 2

p2q

0 q3 2pq2 1

2pq2 2pq p3

联合概率矩阵中任两行或两列元素对应成比例，故概率矩阵的秩等于1，所以 X?Y与Z相互独立.

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