练习

练 习

1.下面的得益矩阵表示一个两人完全信息静态博弈。问当a、b、c、d、e、f、g、h满足什么条件时，该博弈存在占优策略均衡。

博弈方2 L R

博弈方1 U

D

a, b e, f c, d g, h 解：对于博弈方1，如果a＞e且c＞g，则U是相对于D的占优策略；如果a＜e且c＜g，则D是相对于U的占优策略。对于博弈方2，如果b＞d且f＞h，则L是相对于R的占优策略；如果b＜d且f＜h，则R是相对于L的占优策略。博弈双方各有一种条件成立，就存在占优策略均衡。总共可能构成四种占优策略均衡。

2.农民琼斯和斯密在同一块地方放牧。如果这块地上有20头牛，每头牛一生中可以产价值4000美元的牛奶。如果有更多的牛，那么每头牛能吃的草就少了，牛奶产量也少了。这块地上有30头牛时，每头牛生产价值3000美元的牛奶；有40头牛时，每头牛生产2000美元的牛奶。一头牛本身价值1000美元。

a.假设二人每人既可以买10头牛，也可以买20头牛，但一方购买时并不知道对方买多少牛。写出得益矩阵。 b.这个博弈可能的结局是什么？最好的结局是什么？ c.以前这种公用地要比现在多。为什么？

解：a.得益矩阵为

琼斯

10 20

斯密 10

20

3,3 4,2 2,4 2,2 b.对于斯密和琼斯来说，不管对方怎样选择，自己购买20头牛的得益都不低于购买10头牛的得益，因此这个博弈可能的结局是二人都买20头牛，各得20000美元的收入。最好的结局是每人买10头牛，各得30000美元收入。

3、企业甲和企业乙都是彩电制造商，都可以选择生产低档产品或高档产品，但两企业在选择时都不知道对方的选择。假设两企业在不同选择下的利润如得益矩阵所示。问（1）该博弈有没有占优策略均衡？（2）该博弈的纳什均衡是什么？

企业乙

高档 低档

企业甲 高档

低档

解：（1）根据得益矩阵，两企业究竟采用哪种策略更好完全取决于对方选择何种策略，因此本博弈没有占优策略均衡。 （2）运用划线法可以找出该博弈有两个纯策略纳什均衡，（高档，低档）和（低档，高档）。此外，本博弈还有一个混合策略纳什均衡：设甲生产高档彩电的概率为α，乙生产高档彩电的概率为β，则令两个企业采取各自两种策略的期望得益相等，解得α=β=2/3，即两个企业都以概率分布（2/3,1/3）随机决定生产高档彩电还是低档彩电，是本博弈的混合策略纳什均衡。

4、甲乙两公司分属两个国家，在开发某种新产品方面有下面得益矩阵表示的博弈关系（单位：百万美元）。该博弈的纳什均衡有哪些？如果乙公司所在国政府想保护本国公司利益，有什么好方法？

500,500 700，1000 1000，700 600，600

乙公司

开发 不开发

甲公司 开发

不开发

解：（1）用划线法可以找出本博弈的两个纯策略纳什均衡（开发，不开发）和（不开发，开发）。此外，本博弈还有一个混合策略纳什均衡，即两个公司都以（10/11,1/11）的概率分布随机选择开发或不开发。

（2）本博弈的两个纯策略纳什均衡一个对甲公司有利，一个对乙公司有利；混合策略纳什均衡也并不是好的选择，因为结果除了是对一方有利之外，还可能出现大家都不开发浪费了机会，或者大家都开发撞车的可能。

乙公司所在国政府要保护本国公司的利益、促使博弈结果利于本公司，可以设法改变博弈的得益结构，从而促使有利于乙公司的均衡出现。

政府改变得益结构的有效方法是对本国公司的开发活动进行补贴。例如若乙公司所在国政府对乙公司的开发活动提供20单位（百万美元）补贴，则得益矩阵变为：

-10，-10 0，100 100，0 0，0

乙公司

开发 不开发

甲公司 开发

不开发

现在该博弈唯一的纳什均衡是（不开发，开发）。结果是乙公司可以保证获得120单位的利润。而政府如果能从乙公司的利润中获得20单位或以上的税收或其他利益，那么政府也没有损失甚至获利。

5、找出下面得益矩阵所示博弈的所有纳什均衡策略组合。

博弈方2

L M R

博弈方1 U

M D

用严格劣策略的重复剔除方法简化博弈：

-10，10 0，120 100，0 0，0 3，1 2，3 4，5 2，2 1，3 2，3 5，3 4，1 3，4

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