2016年数学建模考试试卷

湖南第一师范学院数学与计算科学学院 2016年《线性规划与数学建模》考查试题

考查要求：

1. 以下共有10题，任选一题撰写建模论文，题目自拟，可以一人单独完成，也可以2人一组（2人合作的需在第一页说明每个人在完成论文中的分工，成绩由论文质量与分工任务确定）。论文要求格式规范，表述清楚，结构完整。

2. 纸质文档+电子文档，纸质文档的第一页必须写好姓名、学号、所选题名。成绩评定以纸质文档为依据，电子文档主要验证作业的真实性（没交电子文档将扣分）。

3. 纸质文档（A4纸打印）于6月27日17：00前以班级为单位上交到实A102，规定时间内缺交答卷（纸质文档）者以缺考论处。电子文档以班级为单位打包发送至邮箱79752148@qq.com，文档名称：班级+2个人的姓名.doc，例如：623班+张三,李四.doc。

注意：如有雷同两份答卷同时计0分，如查实为抄袭网上已有论文计0分。

考查试题： 一、深洞的估算

假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1kg的石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。 1．不计空气阻力；

2．受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05； 3．受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025；

4．在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。

二、最佳工资预发方案

一般公司给职员发放薪金，通常按每月等额发放。某公司即将改进薪金发放方案，允许任职5年以上的职员向公司财务部门申请工资每月可变额度发放，每月工资发放额度不超过年收入20%，前半年收入不超过年收入的80%, 剩余部

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分则作为年终奖在年底一次性发放. 职员们想通过调整每月的预发金额以及年终一次性发放金额，使得一年内个人的总收益最高.

针对以下各种情况.

1. 请你查阅国家个人所得税税率表，为薪金年收入分别为8万元、12万元、18万元的职员们设计个人薪金领取方案，合理避税，使得一年的税后收入最高. 2. 该公司部分职员每月可以将80%收入用于一些投资理财项目，如某些收益宝（百赚、余额宝等）、开放式基金、银行存款、债券、股票等, 请为他们设计个人薪金领取方案，使其年总收益最高。

注：计税办法请参考2016年个人所得税税率标准.

三、排课问题

某年级学生共分四个班，现需要为其安排下学期课程表（课程开设及任课教师情况见下表），具体要求如下：

1. 每星期一至星期五上午可以安排四节课，下午可以安排两节课，课程安排均为两节连上；

2. 可用排课教室数为3个（D1、D2、D3）； 3. 同一课程两次课之间至少相隔一天； 4. 每位教师每天上课不超过四节； 5. 周四下午全校政治学习，不安排上课。 课程 B1 B2 B3 B4 B5 周学时 班级 教师 班级 教师 班级 教师 班级 教师 4 4 6 2 4 A1 A1 A1 A1 A1 C1 C2 C3 C5 C5 A2 A2 A2 A2 A2 C1 C2 C3 C6 C6 A3 A3 A3 A3 A3 C1 C2 C4 C5 C5 A4 A4 A4 A4 A4 C1 C2 C4 C6 C6 （1）请给出你认为比较合理的班级课程安排表；

（2）如果教师上课节数不做限制，请修改你的模型并重新求解。 （3）如果可用排课教室多于4个，请修改你的模型并重新求解。

四、合理采伐问题

为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度,一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益.

现考虑一座林场，种植香樟树，其中的树木按高度划分成不同的等级，当这

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些树木被采伐出售时，不同的等级有不同的经济价值。取某一适合的时间作为初始时刻，此时所有的树木，给出一个分布，称之为初始分布。经过一个生长周期后，树木按高度的分布不同了，然而为了使林场能持续存在，要求经过采伐与栽种，树木的高度恢复成原来的初始分布。

试建立模型得到既不破坏森林资源，又能给出最优收益的方案。

五、最优订货问题

太原某食品加工厂每星期食用油的消耗量为80桶，每桶食用油的价格是250元。在每次采购中发生的运输费用为500元，该费用与采购数量的大小无关，每次采购需要花费1小时的时间，工厂要为这1小时支付80元。订购的食用油可以即时送达。工厂财务成本的利率以每年15%计算，保存每包食用油的库存成本为每星期11元。

（1）目前的方案是每次采购够用两个星期的食用油，计算这种方案下的平均成本。

（2）试建立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。

（3）若食用油供应商为推出促销价格：当食用油的一次购买量大于500桶时，为2200元/桶。建立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。

六、酒后驾车

据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？

请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释；

2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，

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在以下情况下回答：

1）酒是在很短时间内喝的；

2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？

5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。 参考数据

1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：

时间（小时） 酒精含量 时间（小时） 酒精含量 0.25 30 6 38 0.5 68 7 35 0.75 75 8 28 1 82 9 25 1.5 82 10 18 2 77 11 15 2.5 68 12 12 3 68 13 10 3.5 58 14 7 4 51 15 7 4.5 50 16 4 6 41 七、购买电脑问题

现在有四大电脑品牌：联想，清华同方，惠普，戴尔。你要从上面的四大品牌中购置一台个人电脑。

(1) 考虑功能、价格、质量、售后服务等方面因素，如何作出决策； (2) 如果你比较支持国产品牌，但也不排除选择国外品牌，那么你将如何作出决策。

功能：联想、戴尔、同方、惠普 价格：戴尔、惠普、联想、同方 质量：惠普、戴尔、联想、同方 售后：联想，同方，戴尔，惠普

八、紧急救援问题

一西部乡镇医院接到一个求救电话，该乡镇比较偏远的一个村庄发生事故，需要紧急救援。上级领导要求该医院：派12名医护人员前往救援，并且要求医护人员在3小时内赶到。该乡镇距离医院40公里。该医院只有1辆小汽车，连同司机一次最多拉5人（司机不是医护人员），汽车的速度为60公里/小时，试研究以下问题：

1．一次一次接送，12名医疗人员能否全部按时赶到？

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2．为了节省时间，在汽车拉着4人走的时候，其余医护人员步行往前赶，这种方式能否赶到？假定人步行的速度为5公里/小时。

3．在没有其它辅助条件的前提下，有没有更快、更保险的方案？

九、地震灾后的物资分配问题

近年来，我们生活的地球发生了多次大地震，虽然地震的预测目前比较困难，但如果在灾后能及时援救，可以很大程度减少伤亡，其中救援物资的分配非常关键。在我国汶川大地震中，由于物资调配及时，在很大程度上降低了灾害的影响。香港《大公报》报道，智利地震后在救援物资的分配上出现了严重不均，最先得到救援物资的是有钱人和军人家属，穷人因根本分不到物资而苦等或索性抢劫。而在最近的日本大地震中，还有一些已经躲过地震及海啸灾难的民众，却因为生活物资没有分配到位而在避难所死亡。

为研究地震灾害后的物资分配问题，请考虑以下问题：

1. 考虑灾区、受灾者和物资等的不同，建立数学模型制定分配原则并给出合理的分配方法。

2. 收集各类实际数据，给出一个符合题意的数值算例。 3. 通过以上分析，给出你的量化优化方案及建议。

4. 针对今年这次尼帕尔8.1级地震波及到西藏等地，请您就西藏的救灾物资

分配给出一个物资分配的意见来支持西藏的救援。 考虑本问题时，需要注意：

1. 各受灾者的灾情不同，对每种生活类物资的急需程度和需求量不同。而且各地的灾情在不断发生变化，如何优化方案应对这种变化。

2. 抗震救灾生活类物资应当根据受灾区域大、小受灾程度、人口密度、灾区群众需求进行分配，保证重点，确保及时、快捷、高效、公开、公平、公正发放。严禁物资发放中的优亲厚友、性别歧视、年龄歧视和孤残歧视行为，在保障需求的同时，避免浪费。

3. 数值算例最好采用实际数据，并且请尽量提高数据容量。 4. 可以考虑线性规划、整数规划、多目标规划等各类优化模型。

5. 物资分配中很多主观因素，例如接受意愿、歧视等问题，这些因素能否考虑到模型中？

十、交通信号灯中黄灯应亮多长时间？

让我们来考虑这样一个问题：红绿灯在亮红灯之前黄灯应该亮多长时间？在交通管理中，定期地亮一段时间的黄灯是为了让那些正行驶在交叉路口上或距交叉路口太近以致无法停下的车辆通过路口。这样，红绿灯应保持足够长时间的黄

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灯，便于使那些无法停止的车辆有机会在黄灯期间通过路口。对于一位驶近交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样的进退两难的境地：要安全停车，离路口太近，而要在红灯亮之前通过路口又显得太远。

因此，当车辆驶近交叉路口时，驾驶员看到黄灯亮后，要做出决定：是停车还是通过路口。如果决定停车，他必须有足够的停车距离；如果决定通过路口，他必须有足够的时间使他能够安全通过路口，这包括做出停车决定的时间（反应时间）。那么，为了保证交通安全，黄灯应亮多长时间呢？

黄灯亮的时间或许与下列因素有关——车辆的行驶速度、交通路口的宽度、车辆自身的长度、汽车的重量、驾驶员的反映时间和刹车距离。

刹车是一个复杂的过程，为简化计算，可将刹车过程看成抵抗摩擦力（摩擦力等于摩擦系数乘上汽车的重量），将刹车效果用模型来反映。

1. 建立一个黄灯亮的时间与上述因素（或部分因素）有关的数学模型，将亮黄灯的时间长度表示成上述因素（或部分因素）的函数。

2. 如果反应时间是1s，车辆的平均长度是4.5m，路口的宽度是15m，摩擦系数为0.2，试分析车辆的行驶速度与亮黄灯时间长度之间的关系。

3. 如果车辆的行驶速度分别为20km/h、30km/h、40km/h和50km/h，黄灯分别应亮多长时间？

4. 如果轮胎和制动器比较好，可以看成摩擦系数增加，如果摩擦系数从0.2增加到0.4时，请给出问题3中亮黄灯的时间长度。

5. 考虑交通状况的不同、驾驶员习惯的不同，假设通过路口的车速在20～50 km/h之间，且服从均匀分布，请计算亮黄灯的平均时间长度。

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灯，便于使那些无法停止的车辆有机会在黄灯期间通过路口。对于一位驶近交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样的进退两难的境地：要安全停车，离路口太近，而要在红灯亮之前通过路口又显得太远。

因此，当车辆驶近交叉路口时，驾驶员看到黄灯亮后，要做出决定：是停车还是通过路口。如果决定停车，他必须有足够的停车距离；如果决定通过路口，他必须有足够的时间使他能够安全通过路口，这包括做出停车决定的时间（反应时间）。那么，为了保证交通安全，黄灯应亮多长时间呢？

黄灯亮的时间或许与下列因素有关——车辆的行驶速度、交通路口的宽度、车辆自身的长度、汽车的重量、驾驶员的反映时间和刹车距离。

刹车是一个复杂的过程，为简化计算，可将刹车过程看成抵抗摩擦力（摩擦力等于摩擦系数乘上汽车的重量），将刹车效果用模型来反映。

1. 建立一个黄灯亮的时间与上述因素（或部分因素）有关的数学模型，将亮黄灯的时间长度表示成上述因素（或部分因素）的函数。

2. 如果反应时间是1s，车辆的平均长度是4.5m，路口的宽度是15m，摩擦系数为0.2，试分析车辆的行驶速度与亮黄灯时间长度之间的关系。

3. 如果车辆的行驶速度分别为20km/h、30km/h、40km/h和50km/h，黄灯分别应亮多长时间？

4. 如果轮胎和制动器比较好，可以看成摩擦系数增加，如果摩擦系数从0.2增加到0.4时，请给出问题3中亮黄灯的时间长度。

5. 考虑交通状况的不同、驾驶员习惯的不同，假设通过路口的车速在20～50 km/h之间，且服从均匀分布，请计算亮黄灯的平均时间长度。

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