2016年中考数学第二轮专题复习专题七

专题七 归纳猜想型问题

一、中考专题诠释

归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲

归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲

考点一：猜想数式规律

通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是 ．

思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n．

解：第八项为-27a8=-128a8．

点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

对应训练

1．（2013?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为 ． 1．（-2）n-1xn 考点二：猜想图形规律

根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例2 （2013?牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是 ．

思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1个；第3个图形共有三角形5+3×3-1个；第4个图形共有三角形5+3×4-1个；…；则第n个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；

解答：解：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；

第2个图形共有三角形5+3×2-1个； 第3个图形共有三角形5+3×3-1个； 第4个图形共有三角形5+3×4-1个； …；

则第n个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；故答案为：3n+4

点评：此题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．

例3 （2013?绥化）如图所示，以O为端点画六条射线后OA，OB，OC，OD，OE，O后F，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线 上．

思路分析：根据规律得出每6个数为一周期．用2013除以3，根据余数来决定数2013在哪条射线上． 解：∵1在射线OA上， 2在射线OB上， 3在射线OC上， 4在射线OD上， 5在射线OE上， 6在射线OF上， 7在射线OA上， …

每六个一循环， 2013÷6=335…3，

∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样， ∴所描的第2013个点在射线OC上． 故答案为：OC．

点评：此题主要考查了数字变化规律，根据数的循环和余数来决定数的位置是解题关键．

对应训练

2．（2013?娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需 根火柴棒．

2．2n+1

3．（2013?江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 （用含n的代数式表示）． 3．（n+1）2 解：第1个图形中点的个数为：1+3=4， 第2个图形中点的个数为：1+3+5=9， 第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16， …， 第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）=故答案为：（n+1）2．

考点三：猜想坐标变化规律

(1?2n?1)(n?1)=（n+1）2． 2例3 （2013?威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（-1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2013的坐标为 ．

思路分析：计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2013的坐标．

解：点P1（2，0），P2（-2，2），P3（0，-2），P4（2，2），P5（-2，0），P6（0，0），P7（2，0）， 从而可得出6次一个循环，

∵2013=335…3， 6∴点P2013的坐标为（0，-2）． 故答案为：（0，-2）． 点评：本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．

对应训练

3．（2013?兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为 ．

3．（8052，0） 考点四：猜想数量关系

数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。

例4 （2013?黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．

（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明） （2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

思路分析：（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；

（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证． 解：（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G， 则四边形BGEF是矩形， ∴EF=BG，BF=GE，

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°， ∵BG⊥OE，

∴∠OBG+∠BOE=90°，

又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG， ∵在△AOE和△OBG中，

??AOE??OBG???AEO??OGB?90?， ?OA?OB?∴△AOE≌△OBG（AAS）， ∴OG=AE，OE=BG，

∵AF-EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE-GE=OE-BF， ∴AF-OE=OE-BF， ∴AF+BF=2OE；

（2）图2结论：AF-BF=2OE， 图3结论：AF-BF=2OE．

对图2证明：过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G， 则四边形BGEF是矩形， ∴EF=BG，BF=GE，

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°， ∵BG⊥OE，

∴∠OBG+∠BOE=90°， 又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG， ∵在△AOE和△OBG中，

??AOE??OBG???AEO??OGB?90?， ?OA?OB?∴△AOE≌△OBG（AAS）， ∴OG=AE，OE=BG，

∵AF-EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF， ∴AF-OE=OE+BF， ∴AF-BF=2OE；

若选图3，其证明方法同上．

点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．

对应训练 4．（2013?锦州）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF． （1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系； （3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=1∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之2间的数量关系．并证明你的猜想．

4．（1）EF=BE+DF，

证明：如答图1，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°， 在△ADF和△ABQ中

?AB?AD???ABQ??D， ?BQ?DF?∴△ADF≌△ABQ（SAS）， ∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF， ∵∠DAB=90°，∠FAE=45°， ∴∠DAF+∠BAE=45°， ∴∠BAE+∠BAQ=45°， 即∠EAQ=∠FAE， 在△EAQ和△EAF中

?AE?AE???EAQ??EAF， ?AQ?AF?∴△EAQ≌△EAF，

∴EF=BQ=BE+EQ=BE+DF．

（2）解：AM=AB， 理由是：∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ， ∴11×BQ×AB=×FE×AM， 22∴AM=AB． （3）AM=AB， 证明：如答图2，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ， ∵折叠后B和D重合， ∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=在△ADF和△ABQ中 1∠BAD， 2?AB?AD???ABQ??D， ?BQ?DF?∴△ADF≌△ABQ（SAS）， ∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF， ∵∠FAE=1∠BAD， 2∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=即∠EAQ=∠FAE， 在△EAQ和△EAF中 1∠BAD， 2?AE?AE???EAQ??EAF ?AQ?AF?∴△EAQ≌△EAF， ∴EF=BQ， ∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ， ∴11×BQ×AB=×FE×AM， 22∴AM=AB．

考点五：猜想变化情况

随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。

例5 （2013?张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ． 思路分析：首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长． 解：由勾股定理得：OP4=22?1=5， ∵OP1=2?1?1；得OP2=3?2?1；OP3=2=4?3?1； 依此类推可得OPn=n?1， ∴OP2012=2012?1?2013， 故答案为：2013． 点评：本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．

对应训练

5．（2013?黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为 ．

5．

33 4考点六：猜想数字求和 例6 （2013?广安）已知直线y=?(n?1)1x?（n为正整数）与坐标轴围成的三角n?2n?2形的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2012= ． 思路分析：令x=0，y=0分别求出与y轴、x轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出Sn，再利用拆项法整理求解即可． 1， n?2n?11令y=0，则-x+=0， n?2n?21解得x=， n?1111111g?)， 所以，Sn=g=(2n?1n?22n?1n?2111111111?) 所以，S1+S2+S3+…+S2012=(??????L?223344520132014解：令x=0，则y=1503)=． 20142014503故答案为：． 2014=(?点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，表示出Sn，再利用拆项法写成两个数的差是解题的关键，也是本题的难点． 对应训练

6．（2013?黔东南州）观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2013的值是 ． 6．1014049

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5．

33 4考点六：猜想数字求和 例6 （2013?广安）已知直线y=?(n?1)1x?（n为正整数）与坐标轴围成的三角n?2n?2形的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2012= ． 思路分析：令x=0，y=0分别求出与y轴、x轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出Sn，再利用拆项法整理求解即可． 1， n?2n?11令y=0，则-x+=0， n?2n?21解得x=， n?1111111g?)， 所以，Sn=g=(2n?1n?22n?1n?2111111111?) 所以，S1+S2+S3+…+S2012=(??????L?223344520132014解：令x=0，则y=1503)=． 20142014503故答案为：． 2014=(?点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，表示出Sn，再利用拆项法写成两个数的差是解题的关键，也是本题的难点． 对应训练

6．（2013?黔东南州）观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2013的值是 ． 6．1014049

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