2010年高考广东文科数学试题及答案

2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（文科）

1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高. 3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

参考公式：锥体的体积公式V?1． A 2． B 3． D 4． C 5． C 6． D 7． B 8． A 9． D 10． A 1.若集合A??0,1,2,3?，B??1,2,4?则集合A?B?

A. ?0,1,2,3,4? B. ?1,2,3,4? C. ?1,2? D. 解：并集，选A.

2.函数f(x)?lg(x?1)的定义域是

A.(2,??) B. (1,??) C. [1,??) D. [2,??) 解：x?1?0，得x?1，选B.

3.若函数f(x)?3x?3?x与g(x)?3x?3?x的定义域均为R，则 A. f(x)与g(x)与均为偶函数 B.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 C. f(x)与g(x)与均为奇函数 D.f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 解:由于f(?x)?3?x?0??3?(?x)?f(x),故f(x)是偶函数,排除B、C

由题意知，圆心在y轴左侧，排除A、C 在Rt?0AO，

4．已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a３＝2a１，且a4与2a7的等差中项为

OA10A51?k?，故???0O?5，选D 0A20O0O55，则S5= 4w_w w. ks5_u.c o*m A．35 B．33 C．31 D．29

4．C．【解析】设{an}的公比为q，则由等比数列的性质知，a2?a3?a1?a4?2a1，即a4?2。 由a4与2a7的等差中项为

55151知，a4?2a7?2?，?a7?(2??a4)?． 44244 第1页 共10页

∴q?311a71?，即q?．a4?a1q3?a1??2，?a1?16，S5?28a4816(1?1)52?31 11?2??????5．若向量a=（1,1），b=（2,5），c=(3,x)满足条件 (8a－b)·c=30，则x=

A．6 B．5 C．4 D．3

?????解：(8a－b)=(8,8)-(2,5)=(6,3), (8a－b)·c=6×3+3x=30,∴x=4，故选C.

6．若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x?2y?0相切，则圆O的方程是

w_w w. k#s5_u.c o*m

w_w*w.k_s_5 u.c*o*m A．(x?5)2?y2?5 B．(x?5)2?y2?5

C．(x?5)2?y2?5 D．(x?5)2?y2?5 解析：如图所示：

圆心坐标为(-5.0)，所以所求圆的方程为(x?5)?y?5，故选D。

7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A.

224321 B. C. D. 5555

解析：椭圆长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b 即a+c=2b

∴(a?c)?4b?4(a?c) 整理得5c?2ac?3a?0 即5e?2e?3?0 解得 e?

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22222223,e??1（舍），故选B。 58．“x>0”是“3x2>0”成立的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．非充分非必要条件 D．充要条件

w_w*w.k_s_5 u.c*o*m

解析：当x>0时，有3x2>0，∴“x>0”是“3x2>0”成立的充分条件；

2由于3(?1)>0，而-1<0，则“3x2>0” 不是“x>0”成立的必要条件。

综上，“x>0”是“3x2>0”成立的充分非必要条件。故选A。

'''''9．如图1， ?ABC为正三角形，AA//BB//CC，CC?平面ABC且3AA?3'BB?CC' 2=AB，则多面体ABC?ABC的正视图(也称主视图)是

'''w_w*w.ks_5 u.c*o*m

解析：由“张氏”垂点法知，选D。

10.在集合?a,b,c,d?上定义两种运算○+和○*如下 + ○ a a a b b b c c b d d * ○ a a b c d a a a a a b a c c a a d b b b b b b d b c d c d c b c d c d a d 那么d○*(a○+c)?

A.a B.b C.c D.d

解：由上表可知：(a○+c)?c,故d○*(a○+c)?d○*c?a，选A --------------------------------------------------------

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 （一）必做题（11~13题）

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11．1.5 12．13；正（或正的） 13．14．

1 2a?. 15． (1,)

2 211.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管 理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了 抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为 （单位：吨）。根据图2所示的程序框图，若分 别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s为 . 第一（i?1）步：s1?s1?xi?0?1?1 第二（i?2）步：s1?s1?xi?1?1.5?2.5 第三（i?3）步：s1?s1?xi?2.5?1.5?4 第四（i?4）步：s1?s1?xi?4?2?6，s?第五（i?5）步：i?5?4，输出s?13?6? 423 2

12．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（单位：万元）与年平均支出Y（单位：万元）的统计资料如下表所示：

w_w w. k#s5_u.c o*m年份 2005 2006 12.1 8.8 2007 13 9.8 2008 13.3 10 2009 15 12 收入x 11.5 支出Y 6.8 根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是 ，家庭年平均收入与年平均支出有 线性相关关系.

答案：13； 正（或正的）（线性相关关系y?x?3）

13．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=3，A+C=2B，则sinA= .

w_w w. k#s5_u.c o*m解析：由于A+B+C=π，∴B=60°，由正弦定理知：

113sinA??，∴。

2sinAsin600（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14.（几何证明选讲选做题）如图3，在直角 梯形ABCD中，DC∥AB,CB?AB,AB=AD=a,CD=点E,F分别为线段AB,AD的中点，则EF=

a, 2a 2 第4页 共10页

解：连结DE，可知?AED为直角三角形。则EF是Rt?DEA斜边上的中线，等于斜边的一半，为

a. 215.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(?,?)(0???2?)中，曲线

?(co?s?sin?)?1与?(cos??sin?)?1的交点的极坐标为 .

解析：转化为直角坐标系下，x+y=1与y-x=1的交点为(1,0)，该点在极坐标系下表示为(1,---------------------------------------------

15．(1,?2)

?2) 或(?1,3?) 解析：本题考查三角函数知识与极坐标方程式下的交点问题，2考查了对极坐标方程的理解能力。

??(cos??sin?)?1?cos??sin??sin??cos?(sin??0,cos??0) ???(sin??cos?)?13?． 22?11??1； ∴当??时，??2cos??sin?sin?3?11???1． 当??时，??2cos??sin?sin??cos??0．得??或

三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分14分）

设函数f?x??3sin??x??????6??，?＞0，x????,???，且以

?为最小正周期． 2（1）求f?0?；（2）求f?x?的解析式；（3）已知f?w_w????9???，求sin?的值． ?412?5w_w*w.k_s_5解：(1)∵函数f?x??3sin??x??????， 6?∴f?0??3sin???0??????3?3sin?。 ?6?62??6??，?＞0，x????,???，且以

(2) ∵函数f?x??3sin??x?∴??4

∴f?x??3sin?4x????为最小正周期． 2????? 6? 第5页 共10页

(3)∵f(?4??12)?9 5?9)?)? 41265?3∴sin(??)?

25392∴cos?? ∴1?sin??

525162∴sin??

254∴sin???

5∴3sin(4(??? 17．（本小题满分12分）

解：（1）因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目。所以，经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的。

（2）应抽取大于40岁的观众的人数为：

273?5??5?3（名） 455 （3）用分层抽样方法抽取的5名观众中，20至30岁有2名（记为Y1,Y2），大于40岁

有3名（记为A1,A2A3），5名观众中任取2名，共有10中不同取法；

YY12,Y1A1,Y1A2,Y1A3,Y2A1,Y2A2,Y2A3,A1A2,A1A3,A2A3

设A表示随机事件“5名观众中任取2名，恰有一名观众年龄为20至40岁”，则A中

的基本事件有6中 Y1A,Y1A,,3Y2,A1Y2,A2 YA12Y1A 故所求概率为P(A)? 18．（本小题满分14分）

（1）证明 ： ∵点E为?AC的中点，且AB?BC,AC为直径 ∴EB?AC

63? 105?FC?平面BED，且BE?平面BED

∴FC?BE ∵FC∩AC=C ∴BE⊥平面FBD ∵FD∈平面FBD

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∴EB⊥FD

（2）解：∵FC?平面BED，且BD?平面BED ∴FC?BD 又∵BC?DC ∴FD?FB?5a ∴VF?EBD1112a322??SFED?EB???2a?5a?a?a? 3323 ∵EB?平面BDF,且FB?平面BDF

19．（本小题满分12分）

解：法（一）设需要预定满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为

z元，则依题意得：z?2.5x?4y，且x,y满足 ?x?0,y?0,?12x?8y?64,? ??6x?6y?42,??6x?10y?54.即

?x?0,y?0,?3x?2y?16,? ??x?y?7,??3x?5y?27.z在可行域的四个顶点

A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值分别是

ZA?2.5?9?4?0?22.5,

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ZB?2.5?4?4?3?22, ZC?2.5?2?4?5?25, ZD?2.5?0?4?8?32.

比较之，ZB最小，因此，应当为该儿童预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求． 法（二）设需要预定满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z?2.5x?4y，且x,y满足

?x?0,y?0,?x?0,y?0,?12x?8y?64,?3x?2y?16,??即? ??6x?6y?42,?x?y?7,??6x?10y?54.??3x?5y?27.让目标函数表示的直线2.5x?4y?z在可行域上平移，由此可知z?2.5x?4y在B(4,3)处取得最小值．

因此，应为该儿童预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．

?k?0,?f(x)在??3,?1?与?1,3?上为增函数，在??1,1?上为减函数；

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（3）由函数f(x)在??3,3?上的单调性可知，

f(x)在x??3或x?1处取得最小值f(?3)??k2或f(1)??1，而在x??1或x?3处取得最大值f(?1)??k或f(3)??故有

①k??1而f(x)在x??3处取得最小值f(?3)??k2，在x??1处取得最大值

1． kf(?1)??k．

②k??1时，f(x)在x??3与x?1处取得最小值f(?3)?f(1)??1，在x??1与

x?3处取得最大值f(?1)?f(3)?1．

③?1?k?0时，f(x)在x?1处取得最小值f(1)??1，在x?3处取得最大值

1f(3)??．

k

?d(xn)111?4n2xn，即xn?时，取得最大值．

2n4xnPnQn11,)． 2n4n故所求点Pn的坐标为( 第9页 共10页

（3）由（2）知xn?11,yn?，于是 2n4n?n?1ss(m?1)xn?(k?1)yn??2n?1m?1?k?12n??n?1sm?k2n(m?1?k?1)??n?1sm?k2n(m?k)?m?k?2n?1s1n．

现证明

?2n?1s1ns?s(s?1,2,3,?)．

1n?n?1s?2n?1s1n??n?1??(n?n?1)n?1?1?(2?1)?(3?2)???(s?s?1)?s，

故问题得证．

2010年广东高考文科数学试题考点解析

广东进入新课程高考，已经有三个年头了。仔细研究三年的试卷，发现某些知识点考查的力度不大。这些，就是盲点。以下是近三年高考试题中没有考查到(或者考查力度不够)的考点：

必修1.幂函数、二分法、函数值域、函数模型的应用；

必修2.空间几何体的直观图、球的面积与体积、空间直角坐标系； 必修3.几何概型、对立事件、互斥事件；

必修4.任意角三角函数定义、扇形面积、正切函数图像、两角和差的正切公式； 必修5.解三角形的实际应用；

选修1-1.全称量词与特称量词、双曲线、导数与切线； 选修1-2.类比推理、独立性检验、共轭复数；

选修4-4.椭圆(双曲线、抛物线)的参数方程、压缩变换、柱坐标系与球坐标系； 要正确对待这些尚未出现在近三年试卷中的考点，并给予足够的重视。同时更要了解考试大纲中对这些考点的层次要求，做到知己知彼，方能百战不殆。

源头学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com

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