廖老师网上千题解答251-300题

251、A,B,C是我军三个炮兵阵地，A在B得正东方向6Km,C在B的北30度西方向，相距4 Km，P为敌军炮阵地，某时刻，A发现敌军炮阵地的信号，由于B，C比A距P更远，因此，4秒后，B,C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为1 Km/s）。若从A炮击敌军炮阵地P，求炮击得方位角。 解：如图，建立坐标系，则A（3，0）B（－3，0）

?|PB|?|PA|?4?1?6

x2y2?P在双曲线??1(x?2)上45∵B、C两点同时发现信号，

∴P在线段BC的垂直平分线上.

∵C在B北偏西30°，且|CB|=4，?C(?5,23) ∴线段BC的垂直平分线方程为y?3?3(x?4) 3?xy?1??45由??x?8?3y?3?(x?4)解得??3?y?53??x?0,y?0??22y ?KAP?3C则直线AP的倾斜角为60° B ∴炮击方向角为北偏东60° 252、直角三角形ABC中,E,F分别是直角边AB,AC y上的任意点,自A向BC,CE,EF,FB引垂线,垂足 C(0,c)分别是M,N,P,Q 证明: M,N,P,Q四点共圆 证明：如图建立直角坐标系 设B(b,0)C(0,c)E(e,0)F(0,f) OAxF(0,f)ASQPWMN?AN?CE e?直线AN的方程为y?x（1） cxE(e,0)B(b,0)xy?直线BF的方程为??1（2） bfO联立（1）（2）得直线AN与直线BF交点W(bcfbef,) be?cfbe?cf同理得直线AQ与直线CE交点S(cefbec,) be?cfbe?cf因为?WQS??WNS?90?,故Q,N在以WS为直径的圆上，此圆的方程是 (x?bcfcefbefbec)(x?)?(y?)(y?)?0（3） be?cfbe?cfbe?cfbe?cf1

?AM?BC?直线AM的方程为y??直线BC的方程为

xy??1（5） bcbx（4） cbc2b2c,2)代入（3）式 联立（4）（5）得交点M(222b?cb?cbc2b2c,)在WS为直径的圆上 左边=0=右边，故点M(2b?c2b2?c2同理可证点P也在WS为直径的圆上,综上，M,N,P,Q四点共圆 证法2： 连MQ、MN 因为?AQB??AMB?90? 所以A、B、M、Q在以AB为直径的圆上 因为CA?AB,故CA是此圆的切线,于是?AMQ??SAC 同理A、C、M、N在以AC为直径的圆上,于是?AMN??ACN 所以?QMN??AMQ??AMN??SAC??ACN??QSE 因此Q、S、M、N四点共圆(1) 因为A、F、Q、P在以AF为直径的圆上 所以?QPF??QAF,同理?NPE??NAE??ACE 于是?QPF??NPE??QAF??ACE??QSN 故?QPN??QSN?180?,Q、S、N、P四点共圆(2) 由(1)(2)得M,N,P,Q四点共圆 253、若方程x3?3x2+1=k(x≥0)有两个解x1,x2,求|x1-x2|的最大值3 解：x3?3x2?k?1(x≥0) 作出f(x)?x3?3x2，y?k?1 由图象得 当k?1?0时|x1-x2|最大值为3

2 -82CFSQPMNEBAy=x3-3x2Ox1x23510-2y=k-1-4254、已知ΔABC的三边长为a,b,c,求证：sinABC1sinsin. 2228用高一方法证明

ABCABA?B1AAA?sin[sin(B?)?sin] 证明：sinsinsin?sinsincos22222222221AA111?sin(1?sin)??? 222248AA1当B??90?且sin?时取到“=”号

222ABC1即A?B?C?60?时sinsinsin取最大值

2228255 、已知数列{an}中，a1=1,a2=2+3,a3=4+5+6,a4=7+8+9+10,?，则a10=505 解：a1是1个加数， a2是2个加数，a3是3个加数，??

a10最后一个加数是1+2+3+?+10=55 a9最后一个加数是1+2+3+?+9=45

55?5645?46?=505 22256、已知函数F(X)对任意的实数X,Y都有F(X+Y)=F(X)+F(Y)+2Y(X+Y)+1,且F(1)=1问题:若X属于N+,试求F(X)的表达式. 解：F(X+Y)=F(X)+F(Y)+2Y(X+Y)+1中

令y=1得F(X+1)=F(x)+F(1)+2(X+1)+1= F(x)+ 2X+4 F(X+1)- F(x)=2X+4 当X属于N*且X≥2时

F(X)= F(1)+ F(2)- F(1)+ F(3)- F(2)+ ?+ F(x)- F(x-1) =1+6+8+10+?+ 2X+4

=1+(x-1)(6+ 2X+4)/2= x2+4x-4对x=1也成立 故当X属于N*时F(X) ＝x2+4x-4.157、

257、已知|a|<1，|b|<1，则|a+b|+|a-b|与2的大小关系为|a+b|+|a-b|___2 解：不妨设|a|≥|b|， (1)当a与b同号

则|a+b|+|a-b|=|a|+|b|+|a|-|b|=2|a| (1)当a与b异号

则|a+b|+|a-b|=|a|-|b|+|a|+|b|=2|a| 因|a|<1故2|a|<2 综上|a+b|+|a-b|<2

a10=（1+2+?+55）-（1+2+?+45）=

3

258、已知a?1,n?1,n?N?,证明: an?11?n(a?) ana1a(a2n?1)a(1?a2n)32n?1证明n2（a?a???a) ?n?n2aa(a?1)a(1?a)211?nn(a?a3???a2n?1)n＝nn(an1)n?n aa11故原式成立

259、求证: 不论m取任何实数,方程 (3m+4)x + (5-2m)y + 7m-6 = 0 所表示的曲线都必经过一个定点,并求这一点的坐标.

证明：把(3m+4)x + (5-2m)y + 7m-6 = 0按m整理得 m (3x -2y + 7)+ 4x + 5y -6 = 0(1)

联立3x -2y + 7＝0与4x + 5y -6＝0解得两直线的交点M（-1，2） 把M（-1，2）代入(1)式： 左边＝m ×0+ 0＝右边 因此，

方程 (3m+4)x + (5-2m)y + 7m-6 = 0 所表示的曲线都必经过定点,M（-1，2）

2260、计算：lg25?lg8?lg5lg20?lg22

3解：原式＝2lg5?2lg2?lg5(lg5?2lg2)?lg22 ＝2(lg5?lg2)?(lg25?2lg5lg2?lg22)?2?1?3 此题方法很多

261、不等式?cosx?22x（0?x?解：?cosx?22x

作出y??cosx和y?22x的图象 易知交点横坐标为

?2）的解集为

? 4??故解集为[,]

42262、函数y?x?1?x的值域为 解：定义域x?0

y?x?1?x?1x?1?x

此函数在[0,??)上递减

4

当x???时，y?0 当x?0时，y?1 值域为(0,1]

263、.圆x2?y2?2x?2y?c?0与直线2x+2y+c=0的位置关系为? 解：.圆(x?1)2?(y?1)2?2?c 因此2?c?0，c?2，r?2?c 圆心(1,1)到2x+2y+c=0的距离

d?|2?2?c|4?42?|4?c|22

c2?8c?1616?8cc(c?16)??d?r?

8882故（1）当c??16或0?c?2时d?r，相离

（2）当c??16或c?0时d?r，相切 （3）当?16?c?0时d?r，相交

264、.直线x+7y-10=0把圆x2?y2?4分成两段弧,则这两段弧的弧度之差为多少? 解：圆心(0,0)到.直线x+7y-10=0的距离

d?|0?0?10|50?2，弦对圆心(0,0)的张角为?

则cos?2??d2???，?，??

242r2两段弧的弧度之差＝(2???)?a?2??2a?? 或2??2????

265、.方程ax2?ay2?4(a?1)x?4y?0表示圆求实数a的取值范围,并求出其中半径最小的圆的方程.

解：（1）当a?0时

ax2?ay2?4(a?1)x?4y?0表示直线 （2）当a?0时，方程化为

5

14x2?y2?4(1?)x??y?0

aa1214[x?2(1?)]2?(y?)?4(1?)2?2?0

aaaa因此当a?0时，这个方程表示圆

14221111半径为r，则r2?4(1?)2?2?4(2??1)＝?8(2?)?4?8(?)2?2

aaaa2aaa故当a?2时，r的最小值为2

266、.求圆x2?y2?4上与直线4x+3y+m=0的距离最大的点P的坐标. 解：解：圆心(0,0)到.直线4x+3y+m=0的距离

d?|m| 5|m|?2 5因此圆上的点到.直线4x+3y+m=0的最大距离是d?r?这个点在直线3x-4y=0上，设倾斜角为?，则

343tan??，cos??，sin??

45586当m?0时，所求的点为(rcos?,rsin?)?(,)

5586当m?0时，所求的点为(?rcos?,?rsin?)?(?,?)

558686当m?0时，所求的点为(,)或(?,?)

5555267、对于函数y?f(x)，若同时满足下列条件 ①f(x)在D内是单调函数；

②存在区间?a,b??D，使f(x)在?a,b?上的值域为?a,b?那么y?f(x)叫D上的闭函数．

（Ⅰ）求闭函数f(x)??x3(x?R)符合条件②的区间?a,b?； （Ⅱ）判断g(x)?x3?3x2是否为Ｒ上的闭函数，并说明理由

（Ⅲ）是否存在实数m，使函数h(x)=g(x)+mx是R上的闭函数，若存在求出m

的取值范围；若不存在说明理由．

解：（1）f?(x)??3x2?0故f(x)??x3在Ｒ上是减函数 令f(a)??a3?b，f(b)??b3?a 考虑到a?b，因此a?0?b

6

则a??1，b?1，故所求的区间[?1,1] （2）因g/(x)?3x2?6x?3x(x?2)

故g(x)?x3?3x2在（2，+∞）上递增，在（0，2）上递减 在R上不是单调函数，所以g(x)?x3?3x2不是Ｒ上的闭函数 （3）假设存在实数m使h(x)=g(x)+mx为Ｒ上的闭函数 h(x)=g(x)?mx?x3?3x2?mx

易知h(x)的定义域和值域都是R，下面看单调性 因h/(x)=3x2?6x?m?3(x?1)2?m?3

故，要使h(x)在R上为单调函数，的充要条件是

3(x?1)2?m?3?0对x?R恒成立 所以m?3?0，即m?3

因此存在实数m使h(x)=g(x)+mx为Ｒ上的闭函数，m的范围是[3,??) 268、f(2x?1)?4x2?8x?9 求f(x) 解法1：配凑法

f(2x?1)?4x2?8x?9?(2x?1)2?4x?8?(2x?1)2?2(2x?1)?6 所以f(x)?x2?2x?6 解法2：换元法

在f(2x?1)?4x2?8x?9中 设t?2x?1,则x?t?1 2则f(2x?1)?4x2?8x?9就变成了

f(t)?4(t?12t?1)?8()+9＝t2?2t?6 22所以f(x)?x2?2x?6

269\\、甲乙丙三人，丙的生日是X月Y日

甲乙都知道丙的生日是以下10组中的一天

2月3日 2月7日 2月8日 5月6日 5月7日 8月4日 8月9日 10月4日 10月6日 10月8日 甲知道X值，乙知道Y值

甲说：我如果不知道，乙肯定不知道

7

乙接着说，本来我不知道但是现在我知道了 甲接着说：那我也知道了。 大家知道丙的生日是哪天吗 在线等答案 谢谢大家 答：8月4日

“乙接着说，本来我不知道但是现在我知道了” “本来”二字说明了乙通过十个日期和Y

不能推断出丙的生日，由此可知丙的生日不可能是3号或9号 （因为3号和9号所对应的月份

是唯一的2月3日，8月9日） 而甲在听到乙的这句话后立刻得出丙的生日了 说明了甲

在排除2月3日，8月9日后就明白了丙是几号生日了，排除8月9日，2月3日后每个月的

日期如下： 2月7日 5月6日 8月4日 10月4日

2月8日 5月7日 10月6日 10月8日

由上表易知甲可以作出迅速的选择的原因是丙在8月生日 得丙在8月4日生日 270、已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1，2a7，3a4 成等差数列. 证明 12S3,S6,S12-S6成等比数列；

2、证明：a1，2a7，3a4成等差，4a7=a1+3a4 即4a1q6=a1+3a1q3，4q6=1+3q3，解得q3=?21 412a1(1?q3)a1(1?q12)a1(1?q6)a1(1?q6)2]-[12S3(S12?S6)?S6=[?]

1?q1?q1?q1?q12a1(1?q6)(1?q3)12a1(1?q6)(1?q3)633==2+812q?(1?q)]q]=0 [[22(1?q)(1?q)271、已知A,B为锐角,sinA=x,cosB =y,cos(A+B)=-3/5,写出y和x的关系式以及定

义域

解：因A,B为锐角

故y?cosB=cos[(A?B)?A]=cos(A?B)cosA?sin(A?B)sinA

341?x2?x 553因cos(A?B)??，A,B为锐角

53故A?B???arccos

53?A???arccos?B，B?(0,)

52?? 8

故B?(?2?arccos33,??arccos) 55?又因A?(0,)

2?3?故A?(?arccos,)

2523因此x?sinA?(,1)

5x2y2272、设定点P的坐标为(x0,y0),点M在椭圆2?2?1上,求|MP|R的最小值

ab答：几何处理作出以定点为圆心的圆与椭圆相切就行了，代数计算不容易。

对于特殊的情况可以选择直接消元或三解代换

273、若函数f(x)=(ax-1)/(x+b)的对称中心是(-2,1) 则a+b=__

ax?1a(x?b)?ab?1?ab?1??a?解：y? x?bx?bx?b对称中心为(?b,a)=(-2,1) 故b?2,a?1，a?b?3

274、定义在（-∞，+∞）上任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶

函数h(x)之和。

如果f(x)=2x，那么[h(n)]2-[g(n)]2 =____________ 解：设g(x)+h(x)＝2x（1） 则g(-x)+h(-x)＝2?x 即h(x) -g(x) ＝2?x（2） 由（1）×（2）得 [h(x)]2-[g(x)]2=1

4x275、设f(x)?x, 那么f(1/11)+f(2/11)+f(3/11)+?..+f(10/11)的值为

4?2___________

4x解：f(x)?x

4?24241?x??则f(1?x)?1?x xx4?24?24?2?44x?2?1 故f(x)?f(1?x)?x4?2由此得f(1/11)+f(2/11)+f(3/11)+?..+f(10/11)=5

9

276、 对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的 x∈[m，n]，均有|f(x)－g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的，否则称f(x)

与g(x)在[m，n]上是非接近的，现有两个函数

f1(x)?loga(x?3a)与f2(x)?loga1(a?0,a?1)讨论f1(x)与f2(x)在给定区间x?a[a+2，a+3]上是否是接近的.

解：f(x)与g(x)的定义域分别为[a,??)和 [3a,??) 首先要有[a+2，a+3]?[a,??)且[a+2，a+3]?[3a,??) 故a+2－3a＞0，a+2－a＞0， ∴0＜a＜1，

由|f1(x)－f2(x)|=loga(x2－4ax+3a2)≤1，得－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1

1因0＜a＜1故>x2－4ax+3a2>a(1)

a2222

设g(x)= x－4ax+3a＝(x-2a)-a使(1)对x?[a+2，a+3]恒成立的充要条件是

1g(x)min>a 且g(x)max<

ag(x)对称轴x=2a，a+2-2a=2-a>0,即a+2>2a 故g(x)在[a+2，a+3]上递增，

因此，g(x)min=g(a+2)=9－6a，g(x)max=g(a+3)= 4－4a.

1所以9－6a >a 且4－4a <

a解得：0?a?9?57，

12故当0?a?9?57f1(x)与f2(x)在[a+2，a+3]上是接近，此外是不接近的.

12277、设数列{an}是公比为a(a?1)，首项为b的等比数列，Sn是前n项和， 对任n?N，(Sn,Sn?1)在直线______________________上

bb(1?an)ban?解：Sn== 1?a1?a1?abban故Sn?=?，

1?a1?aSn?1bbban?1?) ??=a(Sn?1?a1?a1?abb)+ 1?a1?a因此(Sn,Sn?1)在直线y=a(x?

10

278、设数列{an}中，a1?1，a2?2，{anan?1}是公比为3的等比数列，

bn?a2n?1?a2n,n?N?求bn

解：因{anan?1}是公比为3的等比数列，故anan?1?2?3n?1

an?12?3n?12?3n?1an?1?3an?1 ??n?22?3an故{a2n?1}和{a2n}都是公比为3的等比数列

bn?a2n?1?a2n=1?3n?1+2?3n?1=3n

279、已知首项为2的无穷等差数列{an}，其中a1，a2，a4，a8?成等比数列，记Tn是这个等比数列的前n项和，求Tn，并指出Tn是否是数列{an}中的项，如果是，是第几项？

解：设等差数列{an}的公差为d，则an?2?(n?1)d 由a1，a2，a4成等比得a2?a1a4

即(2?d)2?2(2?3d)，解得d?0，或d?2 （1）当d?0时an?2，Tn=2n， 当n=1时Tn是{an}中的项， 当n≥2时Tn不是{an} 中的项

（2）当d?2时an?2?2(n?1)?2n，a2n?1?2?(2n?1?1)2?2n，

2(1?2n)?2n?1?2， Tn=2?2???2=

1?22n2由于Tn==2(2n?1)，因此Tn是{an}中的第2n?1项

11

280、若数列前n项之积为解：设这个数列为{an} 当n?2时

1,则limSn?_____ 2n??(n!)(n?1)111n[(n?1)!]2?n则an? ????(n!)2(n?1)[(n?1)!]2n(n!)2?(n?1)n2?(n?1)n(n?1)当n?1时， a1?11上式也成立 ?(1!)2(1?1)2因此an?1（n?N?）

n(n?1)Sn?1111111111?1?????=???????

nn?1n?11?22?3n(n?1)1223故limSn?1

n??281、M是△ABC的BC边上的中点，∠MAC=15度，求∠B的最大值

∠B的最大值105°

解：作出对MC的圆周角为15?的弧设BM=MC=2，则 OD=MDtan75?=2+3，

tan?OBD?OD2?3， ?BC3A14??6?2?OA 半径OM=

sin15?6?215?OA15?15?15?由切割线定理得AB?BC?BM?8?22

tan?ABO?OA6?23?1 ??AB222B2M1D 1C2?33?1?32??2?3 故tan?ABM?2?33?11?32

12

282、韩信点兵,每3人一列余1人,每5人一列余2人,每7人一列余4人,每13人一列

余6人,问士兵总数借此题目,让我们大家一块讨论一下中国剩余定理 解：所求的数是

6+13×2+13×7×2＝214

283、若[x+19/100]+[x+20/100]+[x+21/100]+.....+[x+91/100]=546,求[100x]的值 这里\表示不大于y的整数,如[0.1]=0,[2.9]=2,[-0.2]=-1

解：式子 [x+19/100]+[x+20/100]+[x+21/100]+.....+[x+91/100]中共有 91-18=73个加数，546÷73=7 余35

故[x ]=7 后面35个加数中的值为[x ]+1， 由于

[x ]+ [x+1/100 ] + [x+2/100 ] +?+[x+18/100]+[x+19/100]+[x+20/100]+[x+21/100]+ ?+[x+91/100]+ [x+92/100]+?+[x+99/100]= [100x] [100x]=7×100+35+8＝743

sin??1284、求函数y?的最小值和最大值.

cos??2sin??1解法1：由y?得ycos??2y?sin??1

cos??2ycos??sin??2y?1

y2?1cos?(??)?2y?1

cos(???)?|2y?1|y2?12y?1y?12?(??)|?1 |cos故

?1，(2y?1)2?y2?1

4 32解得：0?y?解法2：设x/?cos?，y/?sin?，则x/?y/?1

sin??12y/?12y?＝/表示圆x/?y/?1上的点M(x.，y/)

cos??2x?22与定点A(2,1)连线的斜率

由直线y/?1?y(x/?2)与圆有公共点得 圆心（0，0）到直线yx/?y/?1?2y?0的距离

d?|1?2y|y?12?1以下同解1

y2?1cos?(??)?2y?1

ycos??sin??2y?1

13

cos(???)?|2y?1|y2?12y?1y?12?(??)|?1 |cos故

?1，(2y?1)2?y2?1

4 3285、关于x的三次函数y=f(x)两个极值点为P、Q，其中P为原点，Q在曲线

解得：0?y?y?1?2x?x2上，则曲线y=f(x)的切线斜率的最大值的最小值为_______. 解：设Q（m，n）

因y?1?2x?x2定义域为[0，2]，值域[1，2] 故m?[0，2]，n?[1，2]

设f(x)=ax3?bx2?cx?d，则f/(x)=3ax?2bx?c 因原点为极值点，故f(0)＝f/(0)=0 故c?d?0

f(x)=ax3?bx2，f/(x)=3ax(x?故n?am3?bm2，m??a??2n3nb?， 32mm6nf/(x)=?3x(x?m)

m2b 3a2b) 3a3n6nm2?所以最大斜率k?3? 2m4m由于曲线y?1?2x?x2

是半圆(x?1)2?(y?1)2?1（y?0） 故半圆上的点Q（m，n）与原点连线的斜率所以最大斜率k?

14

n1的最小值是 m23n3的最小值是

42my2x2286、已知椭圆2?2?1（a>b>0）,过中心O作互相垂直的两条铉AC、BD，

ab设点A、B的离心角分别为θ1θ2，求︱cos(θ1-θ2)︱的取值范围。 解：点A、B的离心角分别为θ1和θ2

A(acos?1,bsin?1)，B(acos?2,bsin?2)， 因OA?OB,故a2cos?1cos?2?b2sin?1sin?2?0 设t?cos?1cos?2?sin?1sin?2?cos(?1??2)

sin?1sin?2?t?cos?1cos?2代入得

a2cos?1cos?2?b2(t?cos?1cos?2)?0

tb2cos?1cos?2??2

a?b2tb2ta2＝2 sin?1sin?2?t?cos?1cos?2＝t?222a?ba?btb2ta2?| |cos(?1??2)|?|cos?1cos?2?sin?1sin?2|?|?2a?b2a2?b2t(a2?b2)a2?b2|?1，故|t|?2＝|2 22a?ba?b287、已知 a>b>c， (1)求证 当p <4 时，

11p??>0 恒成立 a?bb?cc?amnp??>0恒成立? a?bb?cc?a(2)从另一个角度推广， m、n、p 满足什么条件， a=3,b=2,c=1, p=10,1/(a-b) + 1/(b-c) + p/(c-a)<0

证明：（1）设u?a?b，v?b?c，则c?a??(m?n)

11p11p(u?v)2?puv???＝＝?? a?bb?cc?auvu?vuv(u?v)?4uv?puvuv(4?p)??0

uv(u?v)uv(u?v) 15

（2）要使

mnpmnp(u?v)(nu?mv)?puv???＝＝?? a?bb?cc?auvu?vuv(u?v)?4mnuv?puvuv(4mn?p)??0恒成立

uv(u?v)uv(u?v)只要4mn?p 288、已知sin?2?cos?2??110，tan(???)?，??(,?),求tan(??2?)

225解：由sin1?sin???2?cos?2?10两边平方后得 52343，sin??，cos???，tan??? 555411由tan(???)?得tan???

22tan??tan2?7?14??2?)?? tan2????，tan(11?tan?tan2?2431?4289、已知a1=3，且an?Sn?1?2n,求an和Sn 解1：an?Sn?1?2n 故Sn?Sn?1?Sn?1?2n

Sn?2Sn?1?2n

故Sn?2Sn?1?2n，Sn?n?2n?2[Sn?1?(n?1)?2n?1]

数列{Sn?n?2n}是等比数列，首项1，公比2，Sn?n?2n?2n?1

Sn?n?2n?2n?1

解2：an?Sn?1?2n,故Sn?Sn?1?Sn?1?2n

Sn?2Sn?1?2n,

SnSn?1?n?1?1 n22数列{SnSn331}?是等差数列，首项，公比差为1，+（n-1）=n+

222n2n2Sn?n?2n?2n?1 求an略

16

290、求关于x的方程x2?(m?1)x?1?0在[0，2]上有解的m值集合 解：由于x=0不是解

1故x??1?m

x1因x?(0,2]，故x??1，1?m?1，m?0

xx2?y2?1相交于A,B两点，当m变化时， 291、若直线y=x+m和4（1）求｜AB｜的最大值

（2）求△AOB面积的最大值（0为坐标原点）

x2?y2?1消去主y得 解：联立y=x+m与4x2?(x?m)2?1 4即5x2?8mx?4m2?4?0

??64m2?80(m2?1)?16(5?m2)?0，?5?m?5 ｜AB｜＝2?2410＝ 16(5?m2)，当m?0时｜AB｜最大＝555|m|2（2）原点到直线x-y+m＝0的距离为d?

故S?1252|m|2142|AB|d??m2(5?m2)?＝5?m2?()?1 2525522510即m??时△AOB面积的最大，最大值为1 22故当m2?292、圆x2?y2?1和抛物线y=x2?2上三个不同点ABC若AB和AC和圆相切 求证：BC也和圆相切

证明：设抛物线y=x2?2上三个不同点A(x1,x1?2)，B(x2,x2?2) C(x3,x3?2)则

直线AB：y?x1?2?(x1?x2)(x?x1) 即(x1?x2)x?y?x1x2?2?0

17

2222与圆相切，则

2|x1x2?2|(x1?x2)?122?1

2故 (x1?1)x2?2x1x2?3?x1?0 同理 (x1?1)x3?2x1x3?3?x1?0

故x2和x3是方程(x1?1)x2?2x1x?3?x1?0的两根 故有x2?x3＝-222222x1x1?12，x2x3＝3?x122x1?1

直线BC： (x2?x3)x?y?x2x3?2?0

圆心到直线BC的距离d?|x2x3?2|(x2?x3)?12|?3?x122x1?14x122?2|??1|

x1?1x1?1

222

2

|

2

?1

(x1?1)

(x1?1)2故直线BC与圆x2?y2?1 也相切

(x1?1)2

293、若抛物线y?ax2?1上存在AB 2点关于直线x+y=0对称 求实数a的取值范围

解1：假设抛物线y?ax2?1上存两点A和B满足条件 设A（m，n）则它关于直线x+y=0对称点B（?n,?m） 由于A，B在抛物线y?ax2?1上，故

n?am2?1（1）且?m?an2?1（2）

相减得m?n?a(m2?n2) 因m?n，a?0故m?n?an2?n?11，m??n代入（2）得 aa1?1?0 a13??1?4a(?1)?0，得a?

a4解2、假设抛物线y?ax2?1上存两点A和B满足条件 设直线A B的方程为y?x?b，A(x1,y1)，B(x2,y2)

18

联立y?x?b，y?ax2?1消y得

ax2?x?b?1?0

则x1?x2?1， ??1?4a(b?1)?0（1） a设弦A B中点(x0,y0)

1，x0?y0?0，y0?x0?b 2a111??b故b??代入（1） 消去x0,y0得?2a2aa131?4a(??1)?0，得a?

a41 ?Z的值域中 294、函数f(x)?x2?x? , x??n,n?1? , ,n2有10个不同的整数,求n

11解：f(x)?x2?x?的对称轴为x??

22（1）当n?0时区间[n,n+1]在对称轴右边

1所以f(x)?x2?x?在区间[n,n+1]上递增

211故f(x)?[n2?n?,(n?1)2?(n?1)?]

2211(n?1)2?(n?1)??(n2?n?)?10

22则x0?(2n?1)?1?10，n?4

1（2）当n??1时区间[n,n+1]=[-1,0]则f(x)?[?,1]不合舍去

4（3）当n??2时区间[n,n+1]在对称轴左边

1所以f(x)?x2?x?在区间[n,n+1]上递减

211故f(x)?[(n?1)2?(n?1)?,n2?n?]

2211(n2?n?)?(n?1)2?(n?1)??10

22?(2n?1)?1?10，n??6

综上n?4或?6

19

295、定义域为R的奇函数f（x），对任意x ∈R有f（x）=f（x+2），且f（1）=2

则f（2）+f（4）+f（6）+??+f（2005）=--------- 解：定义域为R 的奇函数f（x） f（0）＝0

f（2）＝f（0）=0 f（4）＝f（2）=0 ?? 因此

f（2）+f（4）+f（6）+??+f（2004）＝0 又f（2005）= f（1）＝2 故原式＝2

296、已知f（x）是定义在R上的函数，满足f（x+1）= —f（x） （1）证明：f（x）是周期函数，并求一个周期 （T=2 ，已求好） （2）当x∈[ 0，1）时，f（x）=x ，求在 [ —1，0）上的解析式

（3）对于(2)中的函数f(x),方程f（x）= ax 有100个根，求a的取值范围。 解：（1）f（x+2）= f[（x+1）+1]＝-f（x+1）= -[-f（x）]= f（x） 故f（x）以2为周期

（2）设x∈[ —1，0）则x+1∈[ 0，1） 则f（x+1）=x+1

而f（x+1）= —f（x）

故—f（x）=x+1，即f（x）= -x-1 （3）作出f（x）与y= ax 的图象

由图象分别让y= ax过点（100，1）和点（-101，-1）

11得a?和a?

10010111?a?故 101100由图象分别让y= ax过点（101，-1）和点（-100，1）

11得a??和a??

10110011?a??故? 1001011111?a??a??综上或? 101100101100297、已知函数f（x）＝ax2?bx?c,其中a∈N*,b∈N* ,c∈Z

若对任意的x，不等式 4x ≤（fx）≤2（x2+1）恒成立,且存在x0，使得f(x0)<2(x02+1)成立,求c的值

解：联立y?4x与y?2(x2?1) 解得x1?x2?1

故y?4x与y?2(x2?1)相切于点(1,4)

20

因4x ≤f（x）≤2（x2+1）恒成立

故f（x）＝ax2?bx?c图象必与y?4x相切于点(1,4) 并且f（x）≤2（x2+1）恒成立 故a?b?c?4（1） 因f/(x)?2ax?b 故f/(1)?2a?b?4（2） 由（1）（2）得b?4?2a，c?a 由f（x）≤2（x2+1）恒成立得

ax2?(4?2a)x?a≤2（x2+1） (2?a)x2?(2a?4)x?2?a?0恒成立得 故2?a?0,a?2

由于存在x0，使得f(x0)<2(x02+1)成立, 故a?2，所以a?2

由于f（x）?4x恒成立得a?0 所以0?a?2 a∈N*，a?1 a?1，b?2，c?1

298、已知f(x)?ax2?2bx?4c,b?4,c?3时,对于给定的负数a有一个最大的正4数M(a)使得x?[0,M(a)]时,都有|f(x)|?5,问a为何值时M(a) 解：f(x)?ax2?2bx?4c＝ax2?8x?3

84164x)?3＝?a(x?)2?3?对称轴是x?? aaaa纵截距为3，由于a?0因此抛物线开口向下。

16（1）当3??5即a??8时

a4要使x?[0,M(a)]|f(x)|?5，只要当x??时有ax2?8x?3??5

a?a(x2?解得?4?4?24?2a?4?24?2a?X?此时M(a)? aaa16?5即?8?a?0时 a（2）当3?4要使x?[0,M(a)]|f(x)|?5,只要当0?x??时有,ax2?8x?3?5

a 21

解得0?x??4?16?2a?4?16?2a此时M(a)?

aa??4?24?2a(a??8)??a综上M(a)?? ??4?16?2a(?8?x?0)?a?由a??8得M(a)??4?24?2a445?1＝ ??a24?2a?220?2221?4?16?2a?? ＝

a16?2a?442由?8?a?0得M(a)?故M(a)最大值＝M(-8)＝5?1 2AB299、已知?CFG??AGF,ABC∥DE∥FG 求证A、D、E、C四点共圆

求证四边形ADEC的四个角在同一圆周上...... 证明：因DE∥FG

C故，?GDE??DGF 而?CFG??DGF 故?GDE??CFG 因ABC∥FG， 故?CFG??C， 故?GDE??C FG故A、D、E、C四点共圆300、设f(x)为偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=1/(x-1)，求f(x)和g(x)的表达式

1解：f(x)?g(x)? (1)

x?11故f(?x)?g(?x)?

?x?11即f(x)?g(x)?? (2)

x?1112??2(1)+(2)得2f(x)? x?1x?1x?1112x??2(1)-(2)得2g(x)? x?1x?1x?11x故f(x)?2，g(x)?2

x?1x?1DE 22

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