数学分析第14章 多元函数的微分学

第14章 多元函数的微分学

14.1 可微性与全微分

定义1：设函数z?f?x,y?在P?x0,y0?的某个领域U?P0?内有定义,对

U?P0?中的

点P?x,y??P?x??x,y??y?,的点,若函数z?f?x,y?在P?x0,y0?的全增量：?z?f?x0??x,y0??y??f?x0,y0??A?x?B?y?o?????(lim??x?2???y?2(1)

?0)f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?A?x?B?y?x??y22?x?0?y?0A，B 是与P?x0,y0?无关的常数，则称z?f?x,y?在P?x0,y0?可微，dz例1：求f?x,y??xy在?x0,y0?处的微分。 解：

?z?f?x0??x,y0??y??f?x0,y0???x0??x??y0??y??x0y0?y0?y?x0?x??x?ylim?x?y??0p0?A?x?B?y

?x0,y0???0?df?x,y??y0?y?x0?x由定义可得：

A?limf?x0??x,y0??f?x,0y?0?0

?x?0?xf?x0,y0??y??f?x,0y?xB?lim?y?0定义2：z?f?x,y?,?x,y??D,?x0,y0??D若f?x,y?在?x0,y0?的某个领域有定义： 若下面的极限存在：

A?limf?x0??x,y0??f?x,0y?0?0

?x?0?xf?x0,y0??y??f?x,0y?xB?lim?y?0 称f?x,y?在?x0,y0?的偏导数存在，记fx?x0,y0?,fy?x0,y0?,?f?x?x0,y0,??f?y?x0,y0?，若

1

f?x,y?在D内点点偏导数存在，记为：fx,fy,?f?x?y,?f。

例1：设z?xy?x?0?,求zx,zy

例2：设u?sin?x?y2?ez?求ux,uy,uz

定理1：（可微的必要条件）若二元函数f在其定义域内一点?x0,y0?可微，则f在?x0,y0? 的偏导数存在，A?fx?x0,y0?,B?fy?x0,y0?。

xy??例1：讨论：f?x,y???x2?y2??0x?y?022在原点的可微性。

x?y?022解：fx?0,0??limf??x,0??f?0,0??x?x?0?0,fy?0,0??0

?x?y limf??x,?y???xfx?0,0???yfy?0,0???0??lim??0??x?2???y?2

而上述极限不存在，可见偏导数存在，但不一定可微分。

定理2：（可微的充要条件）设函数z?f?x,y?在P?x0,y0?的某个领域U?P0?内有定义 且

?f,?f?x?y在P?x0,y0?处连续，则z?f?x,y?在P?x0,y0?可微。

证明：

?z?f?f?x0??x,y0??y??f?x0,y0?

?x0??x,y0??y??f?x0??x,y0??f?x0??x,y0??f?x0,y0??fy?x0??x,y0??1?y??y?fx?x0??2?x,y0??x这里0??1,?2?1又因为fx,fy在?x0,y0?连续，所以：fy?x0??x,y0??1?y??fy?x0,y0???fx?x0??2?x,y0??fx?x0,y0???这里lim??0，lim??0??0??0

?z?f?x0??x,y0??y??f?x0,y0??fx?x0,y0??x?fy?x0,y0??y???y???x 2

limf?x0??x,y0??y??f?x0,y0????x???y???x2fx?x0,y0??x?fy?x0,y0??y2??0???y?

?lim??0??x?2???y?2?0定理3：（二元函数中值定理）条件如定理2，则

f?x,y??f?x0,y0??fx??,y??x?x0??fy?x,???y?y0???x0??1?x?y0?,??y0??2?y?y0?,0??1?1,0??2?1

函数连续、偏导数、可微分的关系

3 1 2 f x fyf可微 ，连续 4

f连续 fx，fy存在 在上述关系中，反方向均不成立。下面以(x0,y0)?(0,0)点为例，逐一讨论。

?xy22, x?y?0?224?2 ，4?3 例1：f(x,y)??x?y

?0, x2?y2?0?fx(0,0)?fy(0,0)?0均存在，但f(x,y)在(0,0)点不可微，且limf(x,y)不存在，即

x?0y?0f(x,y)在(0,0)点不连续。

3?4 ，3?2例2：f(x,y)?x?0y?0x?y22，这是上半圆锥，显然在(0,0)点连续，

limf(x,y)?0?f(0,0)

2但

f(x,0)?f(0,0)x?xx?|x| ?0?1, x??

?1, x ?0x?故fx(0,0)不存在。由x,y的对称性，fy(0,0)不存在。从而，f(x,y)在(0,0)点不可微（否则，fx(0,0)，fy(0,0)均存在）。

1?2222(x?y)sin, x?y?0?22x?yf(x,y)? 2?1 例3： ??0, x2?y2?0? 3

fx(0,0)?limf(x,0)?f(0,0)xxsin?limx?021x2x?0x?0，

由x,y的对称性，fy(0,0)?0。

f(x,y)?f(0,0)?fx(0,0)x?fy(0,0)yx?y22

(x?y)sin?2221x?y222?x?ysin221x?y22?0（

x?0y?0）

x?y故f(x,y)在(0,0)点可微。

12x1?222xsin?cos, x?y?0?222222x?yx?yx?yfx(x,y)??

?0, x2?y2?0?取点列Pn(xn,yn)，xn?12n?，yn?0，显然Pn(xn,yn)?(0,0)(n??)

fx(xn,yn)??22n?cos2n????(n??)

故limfx(x,y)不存在，从而fx(x,y)在(0,0)点不连续。由x,y的对称性，fy(x,y)在(0,0)x?0y?0点也不连续。

对一元函数，可微与可导是等价的，即：可微?可导。但对二元函数，可微与偏导存在并不等价，即：可微?偏导存在，反之未必。应特别引起注意。

例4：设

?22x?y??sin?fx,y?????01x?y22x?y?0x?y?02222

讨论f?x,y?在原点的连续性，偏导数的存在性，可微分性。 解：

4

1）limfx?0y?0?x,y??0?2f?0,0?，f1x2?x,y?在?0,0?连续。?x?sin2)fx?0,0??limx?0y?0x1x?y22?0,fy?0,0??0x1x?y22222??2xsinfx?x,y?????0??2ysinfy?x,y?????0x?0y?0x?0y?0??x2?y22?cosx?y?0x?y?01x?y22?y?x2?y22?cos21x?y22x?y?022x?y?0limfx?x,y?,limfy?x,y?不存在??x??y22?sin21?x??y2223）lim所以fx?0y?0?0?x??y?x,y?在?0,0?可微分。22

例5：讨论下列函数在原点的连续性，偏导数的存在性，可微分性，偏导数存在性。

x?x?y??1?e22?x?y?0f?x,y???x2?y2

?22x?y?0?0解：

xx?y1)limfx?0y?0?x,y??limx?0y?01?e?22?x?x?y2x32?x?02)fx?0,0??lim1?ex3x?0y?0??1,fy?0,0??022x?x?y?22?3x?y?e?22??x?y?0?222fx?x,y????x?y??22?x?y?0??1x?x?y??2xye22?x?y?0??2fy?x,y????x2?y2??22x?y?0??022 5

lim?3x2?y22?e2xx?y?22?y?xx?0y?0?xf?y?2?lim4xex42x3x?0y?0???,limfx?x,y?,limfy?x,y?不存在x?0y?0x?0y?0xx?y221?e3）lim?22??x?x,y??f?0,0??fx?0,0??x?fy?0,0??yx?y22??0?limx?y22??0?x?y2?2?lim1?x?x?y22??e2xx?y?22??lim??01?x?x?y22???1?x?x?x2?y22???o?x?x2?y2????0?x2?y?32?y?32?0因此f?x,y?在原微分。

例3：设u?xyz，求dz

14．2 复合函数微分法

??x???s,t?设???y???s,t??s,t??D，z?f?x,y?,?x,y??D1

且：??x,y?x???s,t?,y???s,t?,?s,t??D??D1 定理

??x???s,t?1：设???y???s,t??s,t??D时可微，z?f?x,y?,?x,y??D1可微，则

z?f???s,t?,??s,t??在?s,t?可微。且：

?z???z?x?z?x?x,y??x,y??x?s?x?t??s,?

?s?z?s?t??z?y?z?y?,?x?x,?x???y?st?,stxy

?,sts,?t??思考：推广n元函数的链锁求导法则。

一般若

f?u1,u2,.....um?在?u1,u2,.....um?可微，uk?x1,x2,.....xn?,k?1,2,3......,m在?x1,x2,.....xn?可微??f?xi2m??y2??uk?1?f?ukk?xi,i?1,2,3,.....n

例1：z?ln?u2?v?,u?ex解：

,v?x?y，求zx,zy

2 6

zx?zy?u?e2uu?v2uu?vx?y22?ex?y2?21u?v2??2x??1?2u?v122?uex?y2?x2??

22222?2ye2x?y??u?v2u?v?4yuex?y?1,v?x?y例

?x?rcos?2：设u?u?x,y?可微，??y?rsin???u?1??u???u???u?，证明：???2????? ???r??????r???x???y?证明：

因为?u?r?u????2?u?x?x?r?u?x?x????u?y?y?r?y??2??u?x?cos???u?ysin??u?y??u?y?u?x2??rsin???2?rcos??

??u?1??u???u???u????????????2?r??????r???x???y?例3：u?f??x?y,y??，求ux,uy,uz z????y?;u?f2??z2???z?解：ux?f1??1???x?1?1?f0?f;u?f?f21y1?2??2?y?z?y??y?

例4：u?zsin解：

yx,?x?3s2?2t?3?y?4s?2t求us,ut ?22z?2s?3t?y???y?us?uxxs?uyys?uzzs?z?cos??2x??x?y??1??6s?4zcos????x??x??y??4ssin?x?y???y?y??1?y?2?ut?uxxt?uyyt?uzzt?2z?cos??2??6tz?cos????6tssinx??x?x??x?x??

多重复合函数的求导：

设u?f?x,y,z,t?,x???z,s?,y???x,s,t?,z?w?s,t?，求ut,us 求解道路图：

us?ut??f?????????f???????????????f??????y??x?z?s??x?s??s???z?s?x??z?s?s?????f?????x?z?t??f???????????f???f????z?t??t?y??x?z?t?t?? 7

14．3 复合函数的全微分不变性。

设z?f?x,y?可微，则dz??z?xdx??z?ydy，又若x???s,t?,y???s,t?，则

dz??z?sds??z??z?x?z?z???z?x?z?y?dt???ds?????dt?t?x?s?y?y?x?t?y?t????

??z??x?x??z??y?y??z?zds?dt?ds?dt?dx?dy?????x??s?t?t?y??y??s??x因此上式关于一阶全微分形式的不变性。

14．4方向导数和梯度

定义1：设三元函数f在点p0?x0,y0,z0?的一个领域内U?P0??R3，l从

p0?x0,y0,z0?出发的射线，p?x,y,z??U?p0?为l上的一点，设??p?p0

若limf?p??f?p0???f?l?x0,y0,z0???0存在，则此极限称为f在点p0?x0,y0,z0?沿l的方向导

数。记为

,fl?x0,y0,z0?

方向导数和偏导数的关系。

定理1：若三元函数f在点p0?x0,y0,z0?可微，则f在点p0?x0,y0,z0?沿l的方向

导数存在，若设l的方向余弦?cos?,cos?,cos??，则

fl?p0??fx?p0?cos??fy?p0?cos??fz?p0?cos?

8

?x?x0??x??cos??证明：P是l上任意一点，?y?y0??y??cos?

?z?z??z??cos?0?又因为f在点p0?x0,y0,z0?可微，则：

f?P??f?P0??fx?P0??x?fy?P0??y?fz?P0??y?o???f?P??f?P0??fx?P0??x?fy?P0??y?fz?P0??y?o?????lim????

f?P??f?P0???0??fx?P0?cos??fy?P0?cos??fz?P0?cos?例1：设f?x,y,z??x?y2?z3，求f在点p0?1,1,1?沿l?2,?2,1?方向导数。 解：

cos??222???2??122?2323cos??2?22???2??122??13

cos??212???2??122??f?p0??l?13

定义2（梯度）设f在点p0?x0,y0,z0?存在所有自变量的偏导数，则

?f?p?,f?p?,f?p??为函数fx0y0z0在p0?x0,y0,z0?点的梯度，记为

gradf??f?p?,f?p?,f?p??

x0y0z0?f?p0??l?grad?f??l0?grad?f?p??0cosgrad??f?p??,l?

00l0??cos?,cos?,cos???f当grad?f?p0??,l0夹角为0，

?f?p0??l达到最大值grad?f?p0??。

当grad?f?p0??,l0夹角为??p0??l达到最小值-grad?f?p0??

对多元函数u?f(P)，前面曾讨论了它在某点(x0,y0)的可微、偏导数、连续之间的关系。

9

下面进一步讨论方向导数与这些概念之间的关系。如下图

2 f连续 1 3 5

f可微 fx，fy,fy存在

4

?f?f?存在 ?，?，?(?i)?(?j)?(?k)?f??f存在 ?l，?l1?4 课本定理

3?5 由偏导数定义和方向导数定义即得。 4?3，5?3 例：函数z??x?y在P0(0,0)点沿任意方向l的方向导数存在，

22?f(P0)??lim

??0?(l)x?y222?02?1 z x?y特别地，沿坐标轴正、负向的方向导数为

?f(P0)?f(P0)|?x|?0|?y|?0??lim??lim?1，?1。 y

?x?0?x?0|?x||?y|?(?i)?(?j)但

?f(P0)?x?lim|?x|?0?x不存在。同理，

?f(P0)?y不存在。

?x?0 从上面的讨论不难看出，关于3、5有以下结论： ?f(P0)?x，

?f(P0)?y存在??f(P0)?f(P0)?f(P0)?f(P0)?，?存在，且?，????(?i)?(?j)?(?i)?i?f(P0)?f(P0)?f(P0)?f(P0)?f(P0)?f(P0)??这时有 ?????，?。 ?j?(?j)?j?x?y?i 4?1 否则有4?3，与4?3矛盾

?xy, x ?y?0?4?2 例： f(x,y)??x?y

?0, x ? y?0?limf(x,y)?limx(?x?kx)kx22x?02y??x?kxx?0??1k

?3?7?,P(0,0)故f(x,y)在0点不连续。但任意方向l?(cos?,sin?)，当??时， 44 10

limf(?cos?,?sin?)?f(0,0)??0?3?4,7?4?lim?cos?sin??(cos??sin?)22??0?cos?sin?cos??sin?，

当??时， limf(?cos?,?sin?)?f(0,0)??0??lim0?0??0??0，

?即f(x,y)在P0(0,0)点沿任意方向l的方向导数都存在3?7??cos?sin?, ??,??fcos??sin?44 ????3?7??l,?0, ??44?5?2 否则有4?2，与4?2矛盾。或否则与 3?2矛盾。

2?4 例： 设f(x,y)?(x2?y2)1/3，显然f(x,y)在P0(0,0)点连续，但沿任意?方向l的方向导数不存在，事实上

limf(?cos?,?sin?)?f(0,0)??0??lim1??0?1/6 不存在。

3?4 例： 设f(x,y)???23?2?1, xy?0?0, xy?0，则

?f(0,0)?x??f(0,0)?y1?0，但

??0,,?,时， limf(?cos?,?sin?)?f(0,0)??0??lim??0? 不存在。

例3：设f可微，l为R2的一个确定向量，若fl?x,y??0，求f 解：假设：

?x?x0?tcos?l:?,?y?y0?tcos?g?t??f?x0?tcos?,y0?tcos??

所以

g'?t??fx?x0?tcos?,y0?tcos??cos??fy?x0?tcos?,y0?tcos??cos??0?g?t??0

因此f在任何平行于l的直线上函数值都为常数。

例4：设f可微，l1,l2为R2上一组线性无关的向量，若fl?fl?0，证明f?x??c

12证明：由于l1,l2为R2上一组线性无关的向量，

11

?l?R,l?c1l1?c2l2l1??cos?1,cos?1?,l2??cos?2,cos?2?l?c1l1?c2l2??c1cos?1?c2cos?2,c1cos?1?c2cos?2???f?l???f?x?c1cos?1?c2cos?2222?c1cos?1?c2cos?2?2??c1cos??c2cos?2?2??f?yc1cos?1?c2cos?2?c1cos?1?c2cos?2?c12??c1cos??c2cos?2?

??c1cos?1?c2cos?2????c1cos??c2cos?2?2??f??fcos??cos?11???x?y????f??fcos??cos?22???y??x?c2?c1cos?1?c2cos?2??02??c1cos??c2cos?2?2由例3得知，f在l为常数，由于f可微分，因此连续，所以f?x??c 14．4 高级偏导数 z?f?x,y?定义并记：

22???z??z???z??z???z??z??fyx ，， ??f??f??xxxy????2?x??y??y?x?x??x??x?y??x??x?y222?x?y?xy2例1：设f?x,y???x?y2??0x?y?0x?y?02222证明fxy?0,0??fyx?0,0?

证明：

?y?x4?4x2y2?y4?22?x?y?02?22fx?x,y????x?y??22x?y?0??0?x?x4?4x2y2?y4?22?x?y?02?22fy?x,y????x?y??220x?y?0???fxy?0,0???1,fyx?0,0??1

定理1：若fxy,fyx在?x0,y0?连续，则fxy?x0,y0??fyx?x0,y0? 证明：

12

fxy?x0,y0??lim?limlimffx?x0,y0??y??fx?x0,y0??y?y?0?x0??x,y0??y??f?x0,y0??y??f?x0??x,y0??f?x0,y0??y?x?y?0?x?0???y??f?x0??x,y??f?x0,y??fy?x0,y0??1?y??fy?x0,y0???y??fyx?x0??2?y,y0??1?y???y0??y????y0??f?x0??x,y0??y??f?x0,y0??y??f?x0??x,y0??f?x0,y0???'?y0???y??y?令?y?0,?x?0,fxy?x0,y0??fyx?x0,y0?

推广高阶混合偏导数相等的条件。 复合函数的高阶偏导数求解方法：

?z??x???s,t???y??设z?f?x,y?,??s,t?则

?s?z?t???z?x?z?y??x?s?y?s?z?x??z??x?t?y?

yt进一步：

?z?s22

求复合函数与隐函数的偏导数，关键在于搞清楚各变量之间的关系。在求复

合函数的高阶偏导时，尤其要搞清楚偏导函数各变量之间的关系。只有明确了变量之间的关系，才可能正确使用链式法则。 例1：设z?ex?2y，求所有的二阶偏导数。

解：zx?ex?2y,zy?2ex?2y,zxx?ex?2y,zxy?2ex?2y,zyy?4ex?2y 例2：z?arctan解：

yx22yx，求所有的二阶偏导数。

?zx???yx?y22?y?1????x?,zy?xx?y22

zxx??y??22?222xyx?y?2xy?x?y???,z??,z?xyyy222222222?xx?yx?yx?y??????1rrc222例1 设v?g(t?),c为常数，函数g二阶可导，r?x?y?z，证明

13

?v?x22??v?y22??v?z22?1?vc22?t2

??x??r?r ?y证 变量之间的关系为 v ?? 注意这里g是某变量u的一元函数，而u?t?。

c??z?t?因为

?v?x??v?r?r?x，

?v?x222?v?r2?v?r ?()?22?r?x?r?x2222由x,y,z的对称性得

?v?y2?v?r2?v?r?v?v?r2?v?r?()?， ?()?22222?y?r?y?r?z?r?z?r?z222而

?r?x?xr，

?r?x22r?x?r?r?x?2r?x222r?r?x23rr2，

由x,y,z的对称性得

?r?y?r?z?yrzr2，

?r?y22?r?yr2322，

?，

?r?z?r2?r?zr?r32。

222于是

?v?x22??v?y22??v?z22?v?r?r?r?[()?()?()]?[??] 2222?x?y?z?r?x?r?y?z222?v?r?[()?()?()]?rrr?r?r2?v2x2y2z2?v3r?rr322

??v?r2?v?rrc22??v2?rr1cr

rc又因为 ??1r2g(t?)?g?(t?)

?v?r?v?t2?2r3g(t?rc)?2cr2g?(t?rc)?1cr2g??(t?rc)

?1r1g?(t?rc)，

?v?t222?1rg??(t?rc)

故

?v?r22??v2?rr?cr2g??(t?rc)?1?vc2?t2。

14

??x??2?v?v?v?r ?y注1 在求2时，要特别注意的函数关系仍然是 ??

?r?r??z?x?t?注2 在求

?v?r时，注意正确使用导数符号g?(t?rc)，不要写成

?v?g?g?(t?rc)，也不要写成

?g?(t?rc)或

?g?r。事实上，

?g?r??1cg?(t?rc)。

注3 上面的证明简洁清楚，所要求证的微分方程的左边是

?v?x22??v?y22??v?z22，函数v作为

自变量x,y,z的函数，是由中间变量r?(?r?x)?(2x?y?z?r?x2222222复合而成，利用

??r?z22?r?y)?(2?r?z)?1，

2??r?y2?2r

我们得到了

?v?x22??v?y22??v?z22??v?r2??v2?rr

这样把求v对自变量x,y,z的偏导数转化为对中间变量r的偏导数，从而使计算简单了。试比较直接求

?v?x2?v?x22??v?y22??v?z22的情形。

??1r2g(t?r?r1r?r?xrxr?)?g?(t?)?3g(t?)?g(t?) 2c?xcrc?xccrcr?v?x2??1r?3g(t?1rc)?rc3x?rr4?x3g(t?rc)?x?rcrrc3?x2g?(t?x?r2rc)

rccr2g?(t?)?2x?rcr?xg?(t?)?24cr?xg??(t?)

?[?1r3?3xr52]g(t?rc)?[?1cr2?3xcr]g?(t?rc)?x223crg??(t?rc)

由x,y,z的对称性得

?v?y222?[?1r3?3yr52]g(t?rcrc)?[?1cr1cr22?3ycr3zcr24]g?(t?rcrc)?y223crz22g??(t?rcrc)

?v?z

2?[?1r3?3zr2245]g(t?)?[??]g?(t?)?cr3g??(t?)

15

则

?v?x22??v?y22??v?z22?1cr2g??(t?rc)?1?vc22?t2。

例2 设u(x,y)的所有二阶偏导数都连续，

?u?x22??u?y22?0， u(x,2x)?x， ux(x,2x)?x

2试求uxx(x,2x)，uxy(x,2x)，uyy(x,2x)。 证 注意ux(x,2x)??u|?xy?2x?u1(x,2x)，是u(x,y)对x求偏导数之后，令y?2x所得的

函数，而不是u(x,2x)作为x的一元函数对x的导函数。

在 u(x,2x)?x两边对x求导，得 u1(x,2x)?2u2(x,2x)?1 将 u1(x,2x)?x2代入，得 2u2(x,2x)?1?x2

上式两边对x求导，得 u21(x,2x)?2u22(x,2x)??x 在u1(x,2x)?x2两边对x求导，得 u11(x,2x)?2u12(x,2x)?2x

因为u(x,y)有连续的二阶偏导数，则u12(x,2x)?u21(x,2x)，又已知u11(x,2x)?u22(x,2x)?0，将上两式联立解得

u12(x,2x)?u21(x,2x)?即 uxy(x,2x)?uyx(x,2x)?5353x， u11(x,2x)?u22(x,2x)??x， uxx(x,2x)?uyy(x,2x)??n4343x。 x。

例3 若函数f(x,y,z)对任意正实数t满足关系f(tx,ty,tz)?tf(x,y,z)，则称f(x,y,z)为n次奇次函数。设f(x,y,z)可微，试证明f(x,y,z)为n次齐次函数的充要条件是

?f?x?f?y?f?z x?y?z?nf(x,y,z)

证 \?\ 令 G(t)?f(tx,ty,tz)tn，则

G?(t)?[xf1(tx,ty,tz)?yf2(tx,ty,tz)?zf3(tx,ty,tz)]t?nf(tx,ty,tz)tn?1?0，

故G(t)与t无关，从而G(t)?G(1)?f(x,y,z)，即

16

f(tx,ty,tz)?tnf(x,y,z)

\?\ 方程 f(tx,ty,tz)?tnf(x,y,z) 两边分别对x,y,z,t求导，得

tf1(tx,ty,tz)?tnfx(x,y,z)，

tf2(tx,ty,tz)?tfy(x,y,z)，

tf3(tx,ty,tz)?tfz(x,y,z)，

nn xf1?yf2?zf3?nt将前面三式代入第四式即得

x?f?x?y?f?y?z?f?zn?1f(x,y,z)，

?nf(x,y,z)。

或在上面四式中令t?1，得

f1?fx，f2?fy，f3?fz，xf1?yf2?zf3?nf(x,y,z)

即 x

变换微分方程 例4 设u?x?y2?f?x?y?f?y?z?f?z?nf(x,y,z)。

，v?x?y2，w?zey，变换方程 ?z?x22 （假设出现的导数都连续）。 解 这里既有自变量的变换u???z?x?y2??z?x?z

x?y2，v?x?y2，也有函数的变换w?ze。自变量由

y原来的x,y变换为u,v，函数由原来的z变换为w。为了把原来的函数z(x,y)变换为函数

w?w(u,v)，可以把原来的函数z(x,y)视为如下的复合

z?we?y， w?w(u,v)， u?x?y2， v?x?y2

???x??u ????y?w ?即 z ???x

??v ?y????y?

17

则

?z?x?e?y[?w?u?u?x2??w?v?v?x2]?12e?y[?w?u??w?v2]

?z?x22?12e?y[?w?u?u2?x?(?)?]?e2?u?v?x?x?x4?v?w2?w?u?v?w?v1?y[?w?u22?2?w?u?v]

2??w?v22]

?z?x?y2?12e?y[?w?u?u222?y??u?v?y12(?u??v?y)??w?v?v22?y]?12e?y[?w?u??w?v ?142e?y[?w?u22??w?v22]?e?y[?w?u??w?v2]

故

?z?x22??z?x?y??z?x?12e?y[?w?u22??w?u?v]?z

即

?w?u2??w?u?v2?2w

例5 设F(x?z,y?z)?0，求dz,zxx,zxy,zyy。

证 方程F(x?z,y?z)?0确定了函数z(x,y)，在方程两边求微分，得

?1F1?F22 (dx?dz)F1?(dy?dz)F2?0 ? dz?(F1dx?F2dy)

两边再求微分，得 F1d2z?[(dx?dz)F11?(dy?dz)F12](dx?dz)

?F2dz?[(dx?dz)F21?(dy?dz)F22](dy?dz)?0

2解得 dz?2?1F1?F2[F11dx2?F22dy2?(F11?2F12?F22)dz

2 ?2F12dxdy?2[(F12?F22)dy?(F11?F21)dx]dz

??1F1?F2[F11dx2?F22dy2?(F11?2F12?F22)(F1dx?F2dy)(F1?F2)22

?2F12dxdy?2[(F12?F22)dy?(F11?F21)dx]F1dx?F2dyF1?F2

??1F1?F2[(F11?2F1(F11?F21)F1?F2?F1(F11?2F12?F22)(F1?F2)22)dx2 18

?(F22?2F2(F12?F22)F1?F2?F2(F11?2F12?F22)(F1?F2)22)dy2?

?2(F12?F1(F12?F22)?F2(F11?F21)F1?F2?1F1?F2?1F1?F2[F11??(F11?2F12?F22)F1F2(F1?F2)22)dxdy]

故 zxx?2F1(F11?F21)F1?F22F2(F12?F22)F1?F2?F1(F11?2F12?F22)(F1?F2)22]

zyy?[F22??F2(F11?2F12?F22)(F1?F2)2]

zxy??2F1?F[F12?F1(F12?F22)?F2(F11?F21)F1?F2?(F11?2F12?F22)F1F2(F1?F2)?22]

例6：设u?f?x,y?满足Laplace：uxx?uyy?0，则v?f?足此方程。 证明：

s?vx?vxxxx?y22x2?x?y,?22?x?y?y也满

,t??yx?y?22?f?s?s?x?f?t?t?x?f?ssx??f?ttx,22??2f???2f??f?f?f?f??s?ts?s?t?s?tt?xx?xxxxxxx?x22?s?t??s?t?t??s??t?s?22??2f???2f??f?f?f?f??s?ts?s?t?s?tt?yy?yyyyyyy?y22?s?s?t?s?t?t?s?t????

vyyvxx?vyy?2?f?s2222?s22x?sy2??2?s?t?t?y2?f2xsx?tysy???2xy?f?s?sxx?syy??x?y22?f?t222?t2x?ty2?

sx?y?x?x2?y?,tx??2xy?x22?2,sy??x2?y2?2,ty??x2?y2?sxx??syy?2x?x?3y22??x2?y?3,?sx?sy22???t2x?ty2?

?vxx?vyy2??2f?f?22???t?ty??022??x?t???s例7：z?f?xy,,x?，求：zxx,zxy,zyy

?y??x? 19

解：

zx?yf1?1yf2?f3,zy?xf1?xy2f2??1??111zxx?y?yf11?f12?f13???yf21?f22?f23??yf31?f32?f33yyy??y??zyy??2x???x???x?x??x?xf11??2?f12??3f2?2?xf21??2?f22?y??y??y???y?

?????x???x???x?11?zxy?f1?y?xf11??2?f12??2f2??xf21??2?f22??xf31??2?f32y??y??y??y???y?例8：设fx,fy,fyx在?x0,y0?某一个领域内存在，fyx在?x0,y0?在连续，证明fxy在

?x0,y0?存在，则

证明：

fxy?x0,y0??lim?limlimffxy?x0,y0??fyx?x0,y0?

fx?x0,y0??y??fx?x0,y0??y?y?0?x0??x,y0??y??f?x0,y0??y??f?x0??x,y0??f?x0,y0??y?x?y?0?x?0???y??f?x0??x,y??f?x0,y??fy?x0,y0??1?y??fy?x0,y0??1?y??fyx?x0??2?y,y0??1?y???y0??y????y0??f?x0??x,y0??y??f?x0,y0??y??f?x0??x,y0??f?x0,y0???'?y0??1?y??y?令?y?0,?x?0,fxy?x0,y0??fyx?x0,y0?

14．5中值定理 Taylor公式

定义1：凸区域：设p1?x1,y2?,p?x2,y2??D，?0???1，有

p?x1???x2?x1?,x1???x2?x1???D

定理1：设二元函数f在凸开区域D?R2上连续，在D的内点可微，则对D内

任意两点，P?a,b?,Q?a?h,b?k??D，存在0???1，使得：

,??k?h?fy?a??hb,??k?k f?a?h,b?k??f?a,b??fx?a??hb证明：

??t??f?a?th,b?tk?,??t?在?0,1?连续，在?0，1?可微，??1????0??????,0???1,由复合函数的求导，'

?f?a?h,b?k??f?a,b??fx?a??h,b??k?h?fy?a??h,b??k?k注1：若D是闭区域，且对D上的任意两点p1?x1,y1?,p2?x2,y2?以及任意0???1，

20

且有：p?x1???x2?x1?,x1???x2?x1???intD，则在D上连续，在INTD上可微的函数定理1成立。

注2：若D??a,b???c,d?，则定理1不成立

推论1：若函数f在D上偏导数存在，且fx?fy?0?f?c

定理2：（Taylor公式）若函数f在?x0,y0?的某个领域U?P0?内有直到n+1阶连

续偏导数，则对U?P0?中的任意一点?x0?h,y0?h?????0,1?

????f?x0?h,y0?h??f?x0,y0???h?k?f?y???x?..........?1????h?k??n!??x?y??n?1????x,y?h?k?00???f2!??x?y??n?1?2?x0,y0?

f?x0,y0??????h?k???y??n?1?!??x1f?x0??h,y0??k?上式称为f在?x0,y0?点的n阶Taylor公式，这里

????h?k???x?y???m?mf?x0,y0???Ci?0im?f?x0,y0?m?x?yim?ihkim?i

证明：

??t??f?x0?th,y0?tk?,??t?在?0，1?上满足一元函数的Taylor,??1????0???'2?0?????0?1!?2!?m??...........?????x??n?n?1?0????????,0??n!n?1!??m?1

用数学归纳法证明：?m?1,2,3,.......,n?1?t???h?k????y?f?x0?th,y0?tk?对n用数学归纳法。n?1时，显然 u?(t)?(h??x?k??y)f(a?ht,b?kt)

设 u(n)(t)?(h??x?k??y)f(a?ht,b?kt)，则

n u(n?1)(t)?ddtn[(h??xi?k??y?i)f(a?ht,b?kt)]

n ?ddtnn?i?Ci?0inhkn?i?x?yf(a?ht,b?kt)

21

n??Ci?0n?1inhkin?i[h??xn?1i?1?yn?1n?if(a?ht,b?kt)?k?in?1n?i?1?x?yninf(a?ht,b?kt)]

??Ci?1ni?1nhkin?i?1?i?x?yn?i?1f(a?ht,b?kt)??Ci?0hkin?i?1?in?1n?i?1?x?yf(a?ht,b?kt)??(Ci?1i?1n?C)hkinin?i?1?in?1n?i?1?x?yf(a?ht,b?kt)

?hn?1?n?1n?1?xf(a?ht,b?kt)?kn?1?n?1n?1?yf(a?ht,b?kt)

n?1??i?0Cin?1hkin?i?1?in?1n?i?1?x?yf(a?ht,b?kt)?(h??x?k??y)n?1f(a?ht,b?kt)?????m???o???h?k??y???xmfn?1?x0,y0?,

f??n?1??????h????x?k????y??x0??h,y0??k?定理3：若函数f在?x0,y0?的某个领域U?P0?内有直到n阶的连续偏导数，则对

U?P0?中的任意一点?x0?h,y0?h?，有： ????f?x0?h,y0?h??f?x0,y0???h?k?f?y???x1?????..........?h?k??n!??x?y??n?1????x,y?h?k?00???f2!??x?y?2?x0,y0?

f?x0,y0??o??n???h?k22????这里?h?k??y???x?m?mf?x0,y0???Ci?0im?f?x0,y0?m?x?yim?ihkim?i

Taylor公式的几种形式

若函数f(x,y)在P0(x0,y0)点的某领域内有直到n?1阶连续偏导数，则

n（1）f(x,y)?f(x0??x,y0??y)?1(n?1)!??x??y?k?01k!(?x??x??y??y)f(x0,y0)?Rn

k其中 Rn?(?x??y)n?1f(x0???x,y0???y)

22

（2）为方便，记h??x,k??y，则

nf(x,y)?f(x0?h,y0?k)??k?01k!(h??x?k??yk)f(x0,y0)?Rn

其中 Rn?1(n?1)!(h??x?k??y)n?1f(x0??h,y0??k)

n（3f(x,y)?f(x0??x,y0??y)?1(n?1)!?k?0dk!1kf(x0,y0)?Rn

其中Rn?dn?1f(x0???x,y0???y)

这是用微分表示的Taylor公式，它与一元函数的Taylor公式在形式上更为接近，由此也可以看到一元函数中f(n)(x)在二元函数的对应物是df(n)(x,y)。

例1：设f?x,y??x，求此函数在?1,4?展成2阶Taylor公式。

y解： f?x,y??yx?eyylnx,fx?yxy?1y?1,fy?xlnx,y?1yfxx?y?y?1?xy?2,fxy?x?yx2lnx,fyy?xy?lnx?22?x?1?4?x?1??6?x?1???x?1??y?4??o???

?1.08?3.96??1?0.08?4?0.04?1?4?0.08?6??0.08??0.08?0.04?1.35522例2：求1?x2?y2在?0,0?处的Taylor公式及余项表达式。

解：

23

f?x,y??1?x?y22f?0,0??0,fx?y1?x?y1?y222x1?x?y22,fx?0,0??0;xy,fxy?0,0??0;fy?,fy?0,0??0;fxy??1?x?y22?23fxx??1?x?y22?23,fxx?0,0??0;fyy?1?x?221?x?y22?3,fyy?0,0??1;fxxx??3x?1?y22?52,fxxy??y?y?2xy3fyyy???1?x?y?3y?1?x?2?1?x2?y?52,fxyy??x?x?2yx32?1?x2?y2?52?1?x?f12?y2?252?x,y??2xx1?x?y2?f?0,0??fx?0,0?x?fy?0,0?y?2f?0,0?x?213!?fxy?0,0?xy?fyy?0,0?y1??R2?1?1x?22?y2??R2R2???1??2222x??y33222?352??3??1??y???12?x2?3??y??y?2?yx322?yx2?3??x??x?2?xy3332?xy2?3?y?1??x22?y3????x?y?2?1??2x??y22?52?0???1?

例2 证明Taylor公式的唯一性：若

n

?Ai?j?02ijxy??(?)?0,(??0)

ijn其中??x?y2，求证Aij?0(i,j为非负整数，i?j?0,1,?,n），并利用唯一性求

f(x,y)?ln(1?x?y)带拉格朗日余项的n阶Taylor展开式。

n证 对i?j用数学归纳法。在

?i?j?0iAijxy??(?)?0中令??0即得A00?0。设

ijnni?j?k?n时Aij?0，则

?i?j?kAijxy??(?)?0，进而

jn 24

n

?i?j?kAijxyij?xk??(?n?k)?0。

在上式中令??0，因为|?i|?1，|y?n?k|?1，故i?j?k时，

xyij?k?0(??0)，从而

n?i?j?k?1Aijijxyj?k??(?)?0(??0)

而i?j?k时，limxy??0?k不存在，故必有Aij?0（i?j?k）。由数学归纳法即得证。

令x?y?t，由一元函数的Taylor公式及上面Taylor公式的唯一性得

nf(x,y)?ln(1?x?y)?ln(1?t)??(?1)k?1k?1tknk?Rn?n?(?1)k?1n?1k?1(x?y)knk?Rn

其中 Rn?tn?1(n?1)|t??t?1(?1)n!n?1(n?1)!(1??t)t?(?1)n?11??(x?y)(x?y)n?1

问题1 不用Taylor公式的唯一性，试求f(x,y)?ln(1?x?y)的Taylor展开式。

?inn?i令x?y?t，则

?x?yf(0,0)?[ln(1?t)](n)|t?0?(?1)n?1（n?1） (n?1)!，

n故 f(x,y)?ln1(?x?y)??k!k?01(x??x?y??y)f(0,0)?Rn

kn ??k!?Ck?1i?0n1kikxyik?i?ikk?i?x?yk?if(0,0)?Rn

nk ??k!?Ck?0i?01kikxyi(?1)k?1(k?1)!?Rn??(?1)k?1k?1(x?y)k?Rn

其中 Rn?1(n?1)!1(x??x?y??y)n?1f(?x,?y)。

n?1in?1?C?(n?1)!i?0xyin?1?i?in?1n?1?i?x?yf(?x,?y)

??C(n?1)!i?01n?1in?1xyin?1?i[ln(1?t)](n?1)|t??(x?y)

n?1(?1)n!n?1n(n?1)!(1??(x?y))(x?y)n?1?(?1)n?11??(x?y)(x?y)n?1

25

显然，用Taylor公式的唯一性，计算要简单得多。

三 极值问题

定义1：若：AT?A,?X?Rn,X?0,XTAX?0，则称A为正定矩阵。 若：AT?A,?X?Rn,X?0,XTAX?0，则称A为负定矩阵。

若： AT?A,?X1,X2?Rn,X1TAX1?0?X2TAX2，则称A为不定矩阵。 定理1：A为正定矩阵的充要条件是：

?a11a12??a1n?a21a22??a2n?A????????a?n1an2??anna11a12??a1i??aa22??a2n?,A?21?0,i?1,2,.....n

?k??????ai1ai2??ain?定理2：设A???a?bb?2?，则ad?b?0，则d?A为不定矩阵。

定义1：若函数f在?x0,y0?的某个领域U?P0?内有定义，

若：?P?x,y??U?P0?,P0??x0,y0?有f?P??f?P0?，则P0为极大值点 若：?P?x,y??U?P0?,P0??x0,y0?有f?P??f?P0?，则P0为极小值点

定义2：若函数f在?x0,y0?的某个领域U?P0?内有定义，在P0存在偏导数，且P0为极值点，则fx?x0,y0??fy?x0,y0??0 定义3：Hf?P0??fxx???f?yxfxy??fyy??p0为f在P0点Hesse矩阵。

定理3：若函数f在?x0,y0?的某个领域U?P0?内有二阶连续偏导数，且P0为稳定点，则：

1) 若Hf?P0?为正定矩阵，则P0为极小值点 2) 若Hf?P0?为负定矩阵，则P0为极大值点 3) 若Hf?P0?为不定矩阵，则P0不是极值点 思考n元函数的相应的结论。

例1：求f?x,y??x2?5y2?6x?10y?6的极值点

26

例2：求f?x,y??x2?xy的极值点 例3：求解最小二乘问题

例4：求f?x,y??x3?2x2?2xy?y2在D???2,2????2,2?上的最大值与最小值。 例5：若函数f在?x0,y0?的某个领域U?P0?内有二阶连续偏导数，且f在?x0,y0?取得极大值，则：?fxx?fyy?综合选讲：

例1：设??x?,??x?有连续二阶导数，证明：u???xuxx?2xyuxy?yuyy?0

22p0?0

?y??y??x?????x??x?满足：

例2：讨论函数的连续性，偏导数存在性，连续性，可微性。

?x2ysin? f?x,y???x2?y2??0x?y22x?y?0x?y?02222

例3：设f?x,y??arctan的方向导数.

在圆x2?y2?2x?0在p0?,沿顺时针切线方向???x?22?y?13?例4：设z?f?2x?y,ysinx?，求zxy

例5：设f?x,y?可微，f?1,1??1,fx?1,1??a,fy?1,1??b,??x??f?x,f?x,f?x,x??? 求?'?1?

例6：设fx,fy在?x0,y0?某领域内存在，且在?x0,y0?可微分，则

fxy?x0,y0??fyx?x0,y0?

例7：f?x,y??ln?1?x?y?在?0,0?的n阶Taylor公式和余项表达试。

27

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