多元函数微分学

第十章 多元函数微分学

一、本章学习要求与内容提要

（一）学习要求

1.理解多元函数的概念,知道多元函数的极限的概念,理解多元函数偏导数的概念.

2.了解全微分的概念，知道全微分存在的必要条件和充分条件. 3.会求多元初等函数的一阶偏导数和二元函数的二阶偏导数. 4.掌握复合函数求导法则,会求复合函数和隐函数的一阶偏导数. 5.会求曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程. 6.了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值. 7.了解多元函数条件极值的概念,会用拉格朗日乘数法求条件极值. 8.会解一些简单的多元函数的最大值与最小值应用题.

重点 二元函数的概念，偏导数的概念与计算，全微分的概念，多元复合函数的求导公式与计算，隐函数的求导方法，曲线切线的方向向量,曲面的切平面和法向量,曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.

难点 二元函数的极限与连续、偏导数存在与全微分之间关系，多元复合函数的求导公式与计算，多元函数极值的充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.

（二）内容提要 1.多元函数

⑴二元函数 设D是平面上的一个非空点集，如果有一个对应规律f，使每一个点

(x,y)?D都对应于惟一确定的值z，则称z为D上的二元函数.记做z?f(x,y)，其中

x与y称为自变量，函数z也称为因变量，D称为该函数的定义域.

⑵点函数 设?是一个点集,对任意的点P??,变量u按某一法则总有惟一确定的值与之对应,则称u是?上的点函数,记作u?f(P).

当?是x轴上的点集时,点函数u?f(P)是一元函数;当?是xOy平面上的点集时,点函数u?f(P)是二元函数; 当?是n维空间上的点集时,点函数u?f(P)是n元函数; 当

?是三维空间上的点集时,点函数u?f(P)是三元函数.

自变量多于一个的函数统称为多元函数.

⑶二元函数的几何意义 函数z?f(x,y)的几何图形一般在空间直角坐标系中表示一张曲面，而其定义域D就是此曲面在xOy坐标面上的投影.

2. 二元函数的极限与连续 ⑴二元函数的极限

设函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义（在点P0(x0,y0)处可以无定

1

义），如果当点P(x,y)以任意方式趋向于点P0(x0,y0)时，相应的函数值f(x,y)无限接近于一个确定的常数A，则称当(x,y)? (x0,y0)时，函数f(x,y)以A为极限，记作

limf(x,y)?A 或

x?x0y?y0f(x,y)?A (x?x0,y?y0).

⑵二元函数的连续性

① 在一点连续的两个等价的定义

定义1 设有二元函数z?f(x,y),如果limf(x,y)=f(x0,y0),则称二元函数

x?x0y?y0z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续.

定义2 设?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)(称?z为函数f(x,y)的全增量),若

?x?0?y?0lim?z?0,则称二元函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续.

②如果f(x,y)在区域D内的每一点都连续，则称f(x,y)在区域D上连续. ③如果f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续，则称点P0(x0,y0)是二元函数z?f(x,y)的不连续点或间断点. 3.偏导数的定义

⑴在一点的偏导数 设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某个领域内有定义，固定自变量y?y0，而自变量x在x0处有改变量?x，如果极限 lim?x?0f(x0??x,y)?f(x0,y0)存

?x在，则称此极限值为函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处关于x的偏导数，记作

? z? f, ? xx?x0? xy?y0x?x0y?y0, zx(x0,y0) 或 fx(x0,y0);

类似地，函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处关于y的偏导数定义为

?y?0lim? f? yf(x0,y0??y)?f(x0,y0),

?y, zy(x0,y0) 或 fy(x0,y0).

记作

? z? yx?x0y?y0, x?x0y?y0⑵偏导函数 如果函数z?f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处，对x的偏导数fx(x,y) 2

都存在,则对于区域D内每一点(x,y)，都有一个偏导数的值与之对应，这样就得到了一个新的二元函数，称为函数z?f(x,y)关于变量x的偏导函数，记作

? z? f ， , zx, fx 或 fx(x,y). ? x? x类似地，函数z?f(x,y)关于自变量y的偏导函数，记作

? z? f, , zy, fy或 fy(x,y). ? y? y由偏导数的概念可知，函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处关于x的偏导数fx(x0,y0)就是偏导函数fx(x,y)在点(x0,y0)的函数值，而fy(x0,y0)就是偏导函数fy(x,y)在点(x0,y0)处的函数值.以后,在不至于混淆的地方把偏导函数简称为偏导数.

4.偏导数的求法

从偏导数的定义可以看出，求z?f(x,y)的偏导数并不需要用新方法，因为这里只有一个自变量在变动，另一个自变量被看作是固定的，所以仍旧可用一元函数的微分法.求

? f? f时，只要把y暂时看作常量而对x求导数；求时，只要把x暂时看作常量而对y求? x? y导数.

5.高阶偏导数

⑴函数z?f(x,y)的偏导数的偏导数称为二阶偏导数. z?f(x,y)的四个二阶偏导数如下:

???z??2z???z??2z?fxx(x,y)?zxx , ????fxy(x,y)?zxy, ????x??x??x2?y??x??x?y???z??2z???z??2z?????y?x?fyx(x,y)?zyx , ?y???y????y2?fyy(x,y)?zyy. ?x??y????二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. ⑵混合偏导数与次序无关的定理

如果函数z?f(x,y)的两个混合偏导数在点(x,y)连续，则在点(x,y)处，有

?2z?2z. ??x?y?y?x6.复合函数求偏导数的公式 ⑴复合函数求导法则

设函数u??(x,y),???(x,y)在点(x,y)处有偏导数，函数z?f(u,?)在相应点(u,?) 3

处有连续偏导数，则复合函数z?f??(x,y),?(x,y)?在点(x,y)处有偏导数，且

? z? z? u? z? ?? ? , ? x? u? x? ?? x? z? z? u? z? ? . ? ? ? y? u? y? ?? y(2)全导数公式

设u?u(x),???(x)在x处可导,z?f(u,?)处有连续偏导数，则复合函数

z?f[u(x),?(x)]在x处可导，且对x的全导数为

dz? zdu? zd?? ? . dx? udx? ?dx7.全微分 ⑴全微分

若二元函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的全增量?z?f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)可表示为

?z?A?x?B?y?o(?)，

其中A,B与?x,?y无关，只与x,y有关，??(?x)2?(?y2),则称二元函数z?f(x,y)在

点(x0,y0)处可微，并称A?x?B?y是z?f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分,记作dz,即

dz?A?x?B?y.

若二元函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处一定连续.

⑵ 可微的必要条件

若函数z?f(x,y)在点(x0,y0)可微，则函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处的两个偏导数存在，且A?zx(x0,y0) ,B?zy(x0,y0).

二元函数z?f(x,y)在点(x,y)处的全微分可以写成如下形式：

4

dz?? z? zdx?dy. ? x? y⑶可微的充分条件

若函数z?f(x,y)的偏导数

? z? z在点x0,y0处连续，则函数z?f(x,y)在点 , ? x? y(x0,y0)处可微.

8.隐函数的微分法

若由方程F(x,y,z)?0确定了z是x,y的函数，则称这种由方程所确定的函数称为隐函数.

⑴一元隐函数的求导公式

设方程F(x,y)?0确定了y是x的函数y?y(x),且Fx(x,y),Fy(x,y)连续及

Fy(x,y)?0,则

Fdy??x . dxFy⑵二元隐函数的求导公式

设方程F(x,y,z)?0确定了z是x,y的函数z?z(x,y)，且Fx(x,y,z),Fy(x,y,z)，

Fz(x,y,z)连续及Fz(x,y,z)?0，则

Fy? z? zF , ??x , ??? xFz? yFz 一般地,求由方程确定的隐函数的偏导数,对方程两边同时求偏导更为方便.

9. 曲线的切向量和曲面的切平面的法向量 ⑴空间曲线的切线的切向量 设空间曲线C的参数方程为

5

?x?x(t),??y?y(t), (??t??) ?z?z(t),?当t?t0时，曲线C上的对应点为M0(x0,y0,z0)，并假定函数x?x(t),y?y(t),z?z(t)可导，且x?(t0),y?(t0),z?(t0)不同时为零,则曲线C在点M0处的切向量(即切线的方向向量)为T??x?(t0),y?(t0),z?(t0)?.

⑵曲面的切平面的法向量

设曲面∑ 的方程F(x,y,z)?0,M0(x0,y0,z0)为∑上的一点，F x,F y,F z在点M0处连续,且不同时为零,则该曲面在点M0处的切平面的法向量为

n?Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0),

若曲面方程由显函数z?f(x,y)给出，移项可得f(x,y)?z?0， 即为F(x,y,z)?0形式.

10. 二元函数的极值与驻点 ⑴ 极值与驻点

①极值 设函数z?f(x,y)在点P如果对在此邻域内除0(x0,y0)的某个邻域内有定义，点P，则0(x0,y0)外的任意点P(x,y)，均有f(x,y)?f(x0,y0)（或f(x,y)?f(x0,y0)）称点P0(x0,y0)为函数z?f(x,y)的极大值点（或极小值点）.f(x0,y0)称为极大值（或极小值），极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

②驻点 使fx(x,y)?0,fy(x,y)?0同时成立的点(x,y)称为函数z?f(x,y)的驻点.

⑵ 极值存在的必要条件

设函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义，且存在一阶偏导数，如果

?? 6

P0(x0,y0)是极值点，则必有 fx(x0,y0)?0, fy(x0,y0)?0.

注意 可导函数的极值点必定为驻点，但是函数z?f(x,y)的驻点却不一定是极值点. ⑶极值存在的充分条件

设函数z?f(x,y)在点P且P0(x0,y0)的某个邻域内具有二阶连续偏导数，0(x0,y0)是驻点.设A?fxx(x0,y0)，B?fxy(x0,y0),C?fyy(x0,y0)，则

①当B?AC?0时，点P0(x0,y0)是极大值0(x0,y0)是极值点，且当A?0时，点P点；当A?0时，点P0(x0,y0)是极小值点；

2②当B?AC?0时，点P0(x0,y0)不是极值点；

2③当B?AC?0时，点P0(x0,y0)有可能是极值点也可能不是极值点.

11．条件极值与拉格朗日乘数法 ⑴ 条件极值

求多元函数的极值问题或最大值、最小值问题时，对自变量的取值往往要附加一定的约束条件，这类附有约束条件的极值问题，称为条件极值.

⑵ 拉格朗日乘数法

求函数u?f(x,y,z)在满足约束条件?(x,y,z)?0下的条件极值，其常用方法是拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法的具体步骤如下：

①构造拉格朗日函数 F(x,y,z,?)?f(x,y,z)???(x,y,z), 其中?为待定常数，称其为拉格朗日乘数.

②求四元函数F(x,y,z,?)的驻点，即列方程组

2?Fx?fx(x,y,z)???x(x,y,z)?0,?F?f(x,y,z)???(x,y,z)?0,?yyy ?

?Fz?fz(x,y,z)???z(x,y,z)?0,? ?F???(x,y,z)?0, 求出上述方程组的解x,y,z,?，那么驻点(x,y,z)有可能是极值点；

7

③判别求出的点(x,y,z)是否是极值点，通常由实际问题的实际意义来确定. 对于多于三个自变量的函数或多于一个约束条件的情形也有类似的结果.

二、主要解题方法

1． 求二元函数定义域的方法

例1 求下列函数的定义域并画出定义域的图形. （1）z?ln(y?x2)?1?y?x2， （2）z?4x?y2x?y .

解 （1）要使函数有意义，需满足条件

?y?x2?0, 即 x2?y?1?x2. ?2?1?y?x?0,

因此定义域为y?x2与y?1?x2围成的部分，包括曲线y?1?x2.

y y?x2 O x y?1?x2

（2）要使函数有意义，需满足条件

?4x?y2?0,??x?y?0, 即 ?y?0,?定义域如图所示

?y2?4x, ?20?y?x,?y y=x2 y2=4x

8

O

x 另外，求函数z?4x?y2x?y的定义域时，也可把z看成两个函数z1?4x?y2与

1x?yz2?1x?y的乘积，z1?4x?y2的定义域是4x?y2?0，即 y2?4x，z2?的

?x?y?0,4x?y2定义域是?因此函数z?的定义域是z1与z2的定义域的公共部分，

x?y?y?0,?y2?4x,即? 2?0?y?x.小结 多元函数的定义域的求法与一元函数的定义域的求法完全相同。即先考虑三种情况：分母不为零；偶次根式的被开方式不小于零；要使对数函数，某些三角函数与反三角函数有意义.再建立不等式组，求出其公共部分就是多元函数的定义域.如果多元函数是几个函数的代数和或几个函数的乘积，其定义域就是这些函数定义域的公共部分.

2． 求多元函数的偏导数方法

例2 设z?x2y2ln(2x?y)，求

?z?z ，.

?y?x解一 令u?x ，v?2x?y，原式可写成z?u2lnv， y由复合函数求导法则，得

?z?z?u?z?v????，即 ?x?u?x?v?x?z1u22x2x2?2ulnv???2=2ln(2x?y)?2 ， ?xyvyy(2x?y)?z?z?u?z?v2x2x2xu2????ln(2x?y)?2?(?1)=?=2ulnv?(?2)?. ?y?u?y?v?yy3vy(2x?y)y 解二 利用一元函数求导法则求偏导，可直接求出两个偏导数

?z?z ，.即

?y?x?z2x2x22x2x2?zln(2x?y)?2= 2ln(2x?y)?2，=?.

?yy3?xy(2x?y)yy(2x?y)?zy?z例3 设z?x2f(,sinxy)，求 ，.

?yx?x解 此题为抽象函数，所以只能用多元函数求导法则. 令 u?y , v?sinxy , 则z?x2f(u,v) ，于是 x?f?u?f?v?z=2xf(u,v)+x2fx(u,v)=2xf(u,v)+x2[???] ?x?u?x?v?x =2xf(u,v)+x2[

?fy?f1?(?2)??cosxy??y] ?u?vx2xy9

y?f1y? =2xf(,sinxy)+x2（?2xx?u2y?fcosxy）， x?v?f?u?f?v?z?f1?fx=x2fy(u,v)=x2[???]=x2[???cosxy?]

?u?y?v?y?y?ux?v2xy =x2（

1?f1?x?u2?fx）. cosxyy?vysinx 例4 已知f(x,y)?e?ln(x3?xy2)，求 fx(1,0).

3，fx(1,0)=3. x解 如果先求出偏导函数fx(x,y)，再将x?1，y?0代入求fx(1,0)比较麻烦，但是若先把函数中的y固定在y?0，则有f(x,0)=3lnx.于是fx(x,0)=

小结 求二元复合函数偏导数，对于函数关系具体给出时，一般将一个变量看成常量，可直接对另一个变量求偏导，但求带有抽象函数符号的复合函数偏导数时，必须使用复合函数的求导公式.其关键在于正确识别复合函数的中间变量与自变量的关系.

3．求隐函数的导数或偏导数的方法

?z?z?xy?2z?e?z?0，求 ，. 例5 设 e?y?x解一 用公式法，设F(x,y,z)=e则 Fx??ye?xy，Fy??xe?xy?xy?2z?e?z?0，

，Fz??2?e?z，

Fy?ye?xyye?xy?xe?xyxe?xyFx?z?z=?=?=?；=?=?=?. ?z?z?z?z?yFzF?x2?e2?e?2?e?2?ez解二 方程两端求导，由于方程有三个变量，故只有两个变量是独立的，所以求

?z时，将z看作x，y的函数. ?y?z ，?x方程两端对x求偏导数，得

e?xy?zye?xy?z?z?z(?y)?2?e??0 即 =?； ?z?x?x?x2?e方程两端对y求偏导数，得

e?xyxe?xy?z?z?z?z(?x)?2?e??0 即 =?. ?z?y?y?y2?e?z?z ，.

?y?x解三 利用全微分求

方程两边求全微分，利用微分形式不变性，则

d(e?xy)?2dz?de?z?0 ， ?e?xyd(xy)?2dz?e?zdz?0，

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?e?xy(ydx?xdy)?(2?e?z)dz?0，

ye?xyxe?xydx? dz=?dy，

2?e?z2?e?zyexe?z?z?因此 =?，=. ?z?z?y?x2?e2?e小结 用公式法求隐函数的偏导数时，将F(x,y,z)看成是三个自变量x，y，z的函数，

即x，y，z处于同等地位.方程两边对x求偏导数时，x，y是自变量，z是x，y的函数，它们的地位是不同的.

4． 求空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线的方法

?xy?xy?x??3t,?12例6 在曲线?y?t,上求出一点，使在该点的切线平行于平面2x?3y?z?1，并

2?3?z?t求过该点的切线方程及法平面方程.

解 此题的关键是求出切点的坐标.因为x?(t)??3，y?(t)?t，z?(t)?3t2，故知曲线上任一点的切线的方向向量s?{?3,t,3t2}；又知平面2x?3y?z?1的法向量n?{2,?3,1}，所以必有s?n，即s?n=0，故有?6?3t?3t2=0，t2?t?2?0，解之 t1??1，t2?2，将11t1，t2代入曲线方程得到切点的坐标为(3,,?1)，(?6,2,8).所以，曲线在点(3,,?1)处的

22切线方向向量s1?{?3,?1,3}，

1x?32?z?1， ?故切线方程为 ?3?13y?1法平面方程为 ?3(x?3)?(y?)?3(z?1)?0 ，即 6x?2y?6z?25?0，

2曲线在点(?6,2,8)处的切线方向向量s2?{?3,2,12}，

x?6y?2z?8， ???3212法平面方程为 ?3(x?6)?2(y?2)?12(z?8)?0 ，即 3x?2y?12z?118?0.

故切线方程为

例7 求曲面x?2y?3z?84，平行于平面x?4y?6z?8的切平面方程及过切点的法线方程.

222解 此题的关键是求切点的坐标。设 F(x,y,z)?x?2y?3z?84?0的切点坐标

222为(x0,y0,z0)，Fx?2x ，Fy?4y，Fz?6z.

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所以，切平面的法向量为 a?{2x0,4y0,6z0}，

由题意知，切平面与已知平面 x?4y?6z?8 平行，所以有

2x04y06z0， ①??146222又由于点(x0,y0,z0)在曲面上，所以 x0?2y0?3z0?84 ， ②

联立①②解之得 x0??2，y0??4，z0??4，从而得切点为(2,4,4)及

(?2,?4,?4).于是得过切点(2,4,的切平面方程为

(x?2)?4(y?4)?6(z?4)?0，即 x?4y?6z?42?0,

法线方程为

x?2y?4z?4??， 146过切点(?2,?4,?4)的切平面方程为 (x?2)?4(y?4)?6(z?4)?0，即

x?4y?6z?42?0,

法线方程为

x?2y?4z?4??. 146小结 要记住公式，在没有给出具体切点的情况下，应根据具体问题中所满足的几何

条件，由解析几何的知识列出一些等式，联立这些等式，求出切点，代入相应的公式，就得出所求的方程.

5． 求函数的极值与最值的方法

例8 求函数f(x,y)?e解 （1）求驻点

x?y22x?y??fx(x,y)?e(x?2y)?2xe?0,由 ? x?y22x?y??fy(x,y)??e(x?2y)?4ye?0,x?y(x2?2y2)的极值.

得两个驻点 (0,0)，(?4,?2)， （2）求f(x,y)的二阶偏导数

fxx(x,y)?ex?y(x2?2y2?4x?2)，fxy(x,y)?ex?y(2y2?x2?2x?4y)， fyy(x,y)?ex?y(x2?2y2?8y?4)，

（3）讨论驻点是否为极值点

在(0,0)处，有A?2，B?0，C??4，B2?AC?8?0，由极值的充分条件知 (0,0)不是极值点，f(0,0)?0不是函数的极值；

在(?4,?2)处，有A??6e，B?8e?2?2，C??12e，B?AC??8e?22?4?0，而

?2A?0，由极值的充分条件知 (?4,?2)为极大值点，f(?4,?2)?8e是函数的极大值.

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例9 某公司要用不锈钢板做成一个体积为8m的有盖长方体水箱。问水箱的长、宽、高如何设计，才能使用料最省？

解一 用条件极值求问题的解.

设长方体的长，宽，高分别为x，y，z.依题意，有

xyz?8 ，

3S?2(xy?yz?zx)

令 f(x,y,z,?)=2(xy?yz?zx)+?(xyz?8)，

?fx?f?y由 ??fz??f??2(y?z)??yz?0,?2(x?z)??xz?0,?2(y?x)??xy?0,?xyz?8?0, 解得驻点（2,2,2）.

根据实际问题，最小值一定存在，且驻点惟一.因此，当水箱的长、宽、高分别为2cm时，才能使用料最省.

解二 将条件极值转化为无条件极值.

设长方体的长，宽，高分别为x，y，z.依题意，有

xyz?8 ， s?2(xy?yz?zx)

消去z，得面积函数 S?2(xy?88?)， x?0，y?0，xy?8. xy?S?2(y???x由 ??Sy?2(x???8)?02x 得驻点 （2,2）， 8)?0y2根据实际问题，最小值一定存在，且驻点惟一.因此，（2,2）为S(x,y)的最小值点，即当水箱的长、宽、高分别为2cm时，才能使用料最省.

小结 求条件极值时，可以化为无条件极值去解决，或用拉格朗日乘数法.条件极值一般都是解决某些最大、最小值问题.在实际问题中，往往根据问题本身就可以判定最大（最小）值是否存在，并不需要比较复杂的条件（充分条件）去判断.

三 、学法建议

1． 本章重点为二元函数的概念，偏导数的概念与计算，全微分的概念，多元复合函数 的求导公式与计算，隐函数的求导公式，曲线的切线和法平面方程及曲面的切平面和法线方程，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值的概念与拉格朗日乘数法.

2．多元函数的微分学与一元函数的有关内容是相对应的.在学习这一章时，应与一元函数进行对比，弄清它们之间的区别与联系，对理解和掌握本章的相应内容是会有帮助的.

3. 多元函数的微分法一个是难点，要求读者一定要分清自变量与中间变量，以及它们之间的关系.搞清楚函数的各变量间的复合关系，由于多元函数的复合关系可以说是无穷无尽的，不可能列出所有的公式.因此，要记住最基本的公式，这就是链式规则——通过一切有关的中间变量到自变量.自变量有几个，链式规则中就会含有几个公式；中间变量有几个，

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链式规则中的每个公式里就有几项.同时，读者还应做较多的练习，才能熟练、灵活地掌握链式规则，确保求导的正确性.

4． 求解最大、最小值问题是多元函数微分学的重要应用，求解这类问题的关键在于建 立函数关系和约束条件，读者应通过一些习题锻炼自己建立函数关系的能力.

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