第三章连续信号与系统的频域分析

更新时间：2023-08-10 07:16:01 阅读量：工程科技文档下载

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全。下载后的文档，内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的，是否完整无缺。

连续信号与系统的频域分析推荐度：
相关推荐

《信号与系统》电子教案

第3章

连续信号与系统的频域分析

3.1 引言 3.2 信号分解为正交函数组合周期信号的分解—— ——傅立叶级数 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换 3.5 付里叶变换的性质 3.6 傅里叶变换的应用

《信号与系统》电子教案

3.1

引言

分析线性系统的基本任务在于求解系统对于输入信号的响应。分析线性系统的基本任务在于求解系统对于输入信号的响应。在第2章里读者已经看到，在第2章里读者已经看到，连续信号可以表示为基本信号如阶跃函数或冲激函数的线性组合。在时域分析中，或冲激函数的线性组合。在时域分析中，就是以冲激函数为基本信号，把任意信号分解为一系列加权的冲激信号之和，而系统的零状把任意信号分解为一系列加权的冲激信号之和，态响应是输入信号与冲激响应的卷积。态响应是输入信号与冲激响应的卷积。基本信号的选择并不是唯一的，除单位冲激信号外，基本信号的选择并不是唯一的，除单位冲激信号外，单位阶跃信号 ε (t ) ,单位三角函数 sin ωt 和 cos ωt 拉公式可表示为行分解。行分解。下一页返回e jωt = cos ω t + sin ωt

,单位复指数信号 e jωt

等都可作为基本信号。由于三角函数是单频信号，等都可作为基本信号。由于三角函数是单频信号，复指数信号据欧，也是单频的。因此若选择三角函也是单频的。数或指数函数作为基本信号，数或指数函数作为基本信号，那就意味着把输入信号在频率域上进

《信号与系统》电子教案

3.1

引言

利用这种方法来分析信号和系统，称为信号和系统的频域分析。利用这种方法来分析信号和系统，称为信号和系统的频域分析。频域分析法不但简化了对系统响应的求解，频域分析法不但简化了对系统响应的求解，而且揭示了信号与系统的频域性质，为人们提供了在频域上进行分析、的频域性质，为人们提供了在频域上进行分析、设计系统的另一途径。

上一页返回

《信号与系统》电子教案

3.2

信号分解为正交函数组合∫t2 t1

函数(信号) 1. 函数(信号)正交定义式任意两个实函数 f1 (t ) 和 f 2 (t ) ,满足关系式在时间区间( 正交。则 f1 (t ) 、 f 2 (t ) 在时间区间( t1 , t2 )正交。若 f1 (t ) 、 f 2 (t ) 是复函数，且满足关系式是复函数，f1 (t ) f 2 (t ) dt=0

∫

f1 (t ) f 2 (t ) dt=∫ f1 (t ) f 2 (t ) dt =0t1

在时间区间( 则称 f1 (t ) 、 f 2 (t ) 在时间区间( 、 f 2 (t ) 分别是 f1 (t ) 、 2. 正交函数集f 2 (t )

正交。 t1 , t2 )正交。其中

f1 (t )

的共轭函数。的共轭函数。

实函数集合 { g i (t ), g j (t ), , g N (t )} 中如果存在下一页返

回

《信号与系统》电子教案

3.2∫t2 t1

信号分解为正交函数组合i≠ j i= j

0 gi (t ) g j (t )dt= K

则称此实函数集合在区间( 则称此实函数集合在区间(

t1 , t2

)的正交函数集合。如果的正交函数集合。

K=1,称此实函数集合为归一化正交函数集合。 K=1,称此实函数集合为归一化正交函数集合。复函数集合则应满足关系式正交的， {ω1 (t ), ω2 (t ), , ωN (t )} 如果是在区间 ( t1 , t2 ) 正交的，i≠ j i= j

∫

ωi (t )ω j (t )dt =

0 K

3. 完备正交函数集如果在正交实函数集 { gi (t )} 之外，不再存在函数x(t),此函之外，不再存在函数x(t), x(t) 数符合 0 < ∫ x 2 (t ) dt < ∞t1 t2

且满足条件

∫

x(t ) gi (t )dt = 0 i = 1, 2,

《信号与系统》电子教案

3.2则称

信号分解为正交函数组合

为完备正交实函数集或闭合正交实函数集。 { gi (t )} 为完备正交实函数集或闭合正交实函数集。一般

完备正交函数集包含无穷多个函数。完备正交函数集包含无穷多个函数。

上一页返回

《信号与系统》电子教案

周期信号的分解—— ——傅立叶级数 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数将任意周期信号在三角函数或复指数函数组成的完备正交函数集 {sin nω0t , cos nω0t , n = 1, 2, , ∞} 或{ 的级数统称为傅立叶级数e jnω0t , n = 0, ±1, ±2, , ±∞

}分解而得到 }分解而得到

3.3.1

三角函数形式的傅里叶级数

1.一种三角函数形式的傅里叶级数设f(t)为任意周期信号(周期 T1 ,角频率 ω1 = 2π ) 则其可展 f(t)为任意周期信号( 为任意周期信号开为三角函数形式的傅立叶级数∞

f (t ) = a0 + ∑ [ an cos(nω1t ) + bn sin(nω1t ) ]n =1

下一页返回

《信号与系统》电子教案

周期信号的分解—— ——傅立叶级数 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数2.另一种三角函数形式的傅里叶级数 f(t)展开为常用形式 f(t)展开为常用形式 f (t ) = c0 + ∑ cn cos(nω1t + n ) 或f (t ) = d 0 + ∑ d n sin(nω1t + θ n )n =1 ∞n =1 ∞

3.傅立叶级数存在的充分条件傅立叶级数存在的充分条件周期信号f(t)须满足“狄利赫利”条件，周期信号f(t)须满足“狄利赫利”条件，即 f(t)须满足 1)一个周期内仅有有限个间断点；一个周期内仅有有限个间断点； 2)一个周期内仅有有限个极值；一个周期内仅有有限个极值； 3)一个周期内绝对可积，即一个周期内绝对可积，t0 +T10

∫t

f (t ) dt < ∞上一页下一页返回

《信号与系统》电子教案

周期信号的分解—— ——傅立叶级数 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数4.基波、谐波基波、2π 称为基波或一次谐波，通常把频率为 f1 = T1 = 称为基波或一次谐波，c1 cos (ω1t + 1 ) ω1 称为基波分量。同理，称为n d n sin (ωnt + n 或称为基波分量。

同理，频率称为n次谐波其对) nf1 d 称为n次谐波波分量。应的1 sin (ω1t + 1 ) 或称为n次谐波波分量。 cn cos (ωnt + n ) 幅度谱、 5.幅度谱、相位谱

用一些长度不同的线段来分别代表基波、二次谐波、用一些长度不同的线段来分别代表基波、二次谐波、三次谐波等等的振幅，然后将这些线段按照频率高低依次排列起来如图等等的振幅，然后将这些线段按照频率高低依次排列起来如图3-1所示，这种图就称为频谱图。图中每一条谱线代表一个谐波分量，谱这种图就称为频谱图。图中每一条谱线代表一个谐波分量，线的高度代表这一正弦分量的振幅，线的高度代表这一正弦分量的振幅，谱线所在的横坐标的位置代表这一正弦分量的频率，这种频谱，因为它只表示出了各分量的振幅，这一正弦分量的频率，这种频谱，因为它只表示出了各分量的振幅，所以称为振幅频谱。所以称为振幅频谱。上一页下一页返回

《信号与系统》电子教案

周期信号的分解—— ——傅立叶级数 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数有时把分量的相位的用一个个线段代表并且排列成谱状，有时把分量的相位的用一个个线段代表并且排列成谱状，这样的频谱就称为相位频谱。的频谱就称为相位频谱。下面以周期矩形脉冲信号的频谱图为例说明。周期信号的特点，具有离散性、谐波性、收敛性. 周期信号的特点，具有离散性、谐波性、收敛性.

3.3.2

指数形式的傅里叶级数

1.指数形式的傅里叶级数设f(t)为任意周期信号(周期 T1 ,角频率 ω1 = 2π f(t)为任意周期信号( 为任意周期信号T1

)

则其可展开为指数形式的傅立叶级数。则其可展开为指数形式的傅立叶级数。

f (t ) =

n = ∞

∑

∞

Fn e jnω1t

《信号与系统》电子教案

周期信号的分解—— ——傅立叶级数 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数2.指数形式表示的信号频谱--复数频谱指数形式表示的信号频谱--复数频谱 -下面以周期性矩形脉冲的幅度频谱和相位频谱为例来看看它的特点。由于Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。特点。由于Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。 Fn一般是复函数

3.3.3

三角函数形式的傅立叶级数与指数形式傅

立叶级数的关系三角函数与虚指数函数有密切的关系，根据欧拉公式，三角函数与虚指数函数有密切的关系，根据欧拉公式，有e jnω1t + e jnω1t cos nω1t = 2 e jnω1t e jnω1t sinnω1t = 2j

《信号与系统》电子教案

周期信号的分解—— ——傅立叶级数 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数故三角型傅立叶级数和指数型傅立叶级数实质上是同一种级数的两种不同的表现形式故an jbn

jnω1t ∞ an + jbn jnω1t = F + f ( t ) = a0 + ∑ e +∑ e 0 2 2 n =1 n =1∞

∑F en =1 n

∞

jnω1t

+ ∑ F e jnω1tn =1

∞

3.3.4

函数的对称性与傅里叶系数的关系

1.函数的对称性要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果f(t)是实函数，要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果f(t)是实函数，且它波 f(t)展开为傅里叶级数 f(t)是实函数形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中有些项为0 形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中有些项为0,留下的各项系数的表示式也比较简单。数的表示式也比较简单。

《信号与系统》电子教案

周期信号的分解—— ——傅立叶级数 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数2.傅里叶级数的系数求解偶函数信号(f(t)=f( (f(t)=f(1) 偶函数信号(f(t)=f(-t))4 T1 an = ∫ 2 f (t ) cos(nω1t )dt T1 0 bn = 0

2)奇函数信号(f(t)=-f(-t)) 奇函数信号(f(t)=-f((f(t)=a0 = 0,an = 0 4 21 bn = ∫ f (t ) sin(nω1t )dt T1 0T

3)奇谐函数信号 f (t ) = f (t ± 1 ) 奇谐函数信号：奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：下反转，此时波形并不发生变化，即满足：上一页下一页返回

T 2

《信号与系统》电子教案

周期信号的分解—— ——傅立叶级数 3.3 周期信号的分解——傅立叶级数a0 = 0n为偶数 a = b = 0 n n n为奇数4 21 an = ∫ f (t ) cos(nω1t )dt T1 0T

4 T1 bn = ∫ 2 f (t ) sin(nω1t )dt T1 0其傅立叶级数三角展开式中仅含基波和奇次谐波。其傅立叶级数三角展开式中仅含基波和奇次谐波。 4)偶谐函数信号f (t ) = f (t ± T1 ) 2

偶谐函数也是周期性函数，偶谐函数也是周期性函数，它的任意半个周期的波形与前半个周期的波形完全相同，这种函数中只包含偶次谐波分量。周期的波形完全相同，这种函数中只包含偶次谐波分量。上一页返回

《信号与系统》电子教案

非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换3.4.11 f (t ) = 2π

从傅里叶级数到傅里叶变换 ∞ f (t )e jωt dt e jωt d ω ∫ ∞ ∫ ∞ F ( jω )∞

的函数，上式方括号中的部分是参变量 ω 的函数，记为

,即

F ( jω ) = ∫

∞

f (t )e jωt dt2π

代入上式 f (t ) = 1

∫

∞

F ( jω )e jωt d ω

这就是著名的傅里叶变换。这就是著名的傅里叶变换。常记作 F ( jω ) = F { f (t )}

3.4.2

频谱密度函数 F ( jω )

是信号的频谱函数，则称为信号的频谱密度函数。 Fn是信号的频谱函数，F ( jω ) 则称为信号的频谱密度函数。下一页返回

《信号与系统》电子教案

非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换3.4.3 傅里叶变换的存在性非周期信号f(t)是否存在傅立叶变换非

周期信号f(t)是否存在傅立叶变换 F ( jω ) ,仍应满足类似 f(t) 于傅立叶级数的狄里赫利条件，于傅立叶级数的狄里赫利条件，不同之处仅仅在于一个周期的范围为 ( ∞, ∞ ) ,即要求信号f(t)在区间绝对可积，则有即要求信号f(t)在区间绝对可积， f(t)在区间绝对可积F ( jω ) =

∫

∞

f (t ) e jωt dt ≤ ∫

∞

f (t ) dt

3.4.4

常用信号的傅里叶变换

1.实指数函数的傅里叶变换f1 (t ) = e at (t ) ( a > 0)

由定义式可算出 f1 ( t ) 的频谱密度函数上一页下一页返回

《信号与系统》电子教案

非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换F1 ( jω ) = ∫ e at ε (t )e jωt dt = ∫ e ∞ 0 ∞ ∞ ( a + jω )t

1 a jω = 2 a + jω a + ω 2

2.双边指数信号的傅里叶变换偶双边指数：f 偶双边指数：

(t ) = e

a t

其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：F ( jω ) = ∫ =∫ e ∞ 0 ∞ ∞ a t ∞ ∞

f (t )e jωt dt

(a > 0)

e jωt dt∞ 0

= ∫ e at e jωt dt + ∫ e at e jωt dt 1 1 e( a jω ) t 0 + e ( a + jω )t ∞ (a jω ) (a + jω ) 1 1 2a = + = 2 a jω a + jω a + ω 2 = ∞ 0

《信号与系统》电子教案

非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换3.矩形脉冲信号的傅里叶变换 ωτ F (ω ) = Aτ Sa 2

4.符号函数的傅里叶变换符号函数：符号函数： 1 t >0 e at sgn(t ) = 0 t = 0 = lim at a →∞ e 1 t < 0 a →0

t >0 t<0

sgn(t ) = lim e at ε (t ) e at ε ( t )

因此它的傅立叶变换为 1 1 2 F ( jω ) = lim F = a →0 a + jω a jω jω

《信号与系统》电子教案

非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换5.冲激函数的傅里叶变换是一个实偶函数，单位冲激函数 δ (t ) 是一个实偶函数，其付氏变换也应该是一个实偶函数。实偶函数。

F ( jω ) = ∫ δ (t )e jωt dt = 1 ∞

+∞

6.直流信号如图3-21所示，设f(t)=1的付氏变换为 F ( jω ) 21所示， f(t)=1的付氏变换为所示变换定义式有，则由其反

1 f (t ) = 2π+∞

∫

∞

F ( jω ) e jωt d ω = 1

是偶函数，考虑到 δ (t ) 是偶函数，则可得

F {1} = F ( jω ) = ∫ e jωt dt = 2πδ (ω ) ∞

《信号与系统》电子教案

非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换7.虚指数函数的无时限信号，虚指数函数 e jω0t 是具有虚指数 jω0t 的无时限信号，由傅里叶变换定义式可知，叶变换定义式可知，

F e

{

jω0 t

}

=∫ e ∞

∞

jω0 t

jω t

dt = ∫ e ∞

∞

j (ω ω0 )t

= 2πδ (ω ω0 )

8.高斯脉冲高斯脉冲或称钟形脉冲它的表达式为f (t ) = Ae t τ 2

( ∞ < t < ∞ )∞

其

F ( jω ) = ∫

∞

f ( t )e

jω t

dt = A∫ e ∞

∞

t τ

《信号与系统》电子教案

非周期信号的分解—— ——傅里叶变换 3.4 非周期信号的分解——傅里叶变换9.阶跃信号单位阶跃信号 ε ( t ) 可用直流信号和符号函数表示如下ε (t ) =1 1 + sgn(t ) 2 2

由此可确定其频谱密度函数为

F {ε (t )} = πδ (ω ) +

1 jω

上一页返回

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mrlj.html

相关文章：

正在阅读：

第三章连续信号与系统的频域分析08-10

秦许学区2011-2012学年第二学期工作计划05-31

光纤通信测试题三10-28

民事上诉状（特许经营纠纷）律师拟定版本04-04

中学英语学习资料03-08

经典励志故事18.:安徒生的梦想02-10

天津大学成人高等教育2006年招生简章-天津大学继续教育学院03-08

初中学生操行评语02-24

雷州半岛傩舞文化10-18

英语六级高频词汇07-29

上一篇：撒逛梁子采砂场项目(报批本) 下一篇：数码宝贝：日光金手指