2008届数学专题(10) - 导数题的解题技巧

第十讲 导数题的解题技巧

【命题趋向】导数命题趋势：

综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点：

（1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题.

（2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合.

分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题.

【考点透视】

1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念．

2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数．

3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．

【例题解析】

考点1 导数的概念

对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.

例1．（2007年北京卷）f?(x)是f(x)?13x?2x?1的导函数，则f?(?1)的值是 ． 32[考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.

2[解答过程] ?f?(x)?x?2,?f?(?1)???1??2?3.

故填3.

例2. ( 2006年湖南卷）设函数f(x)?x?a,集合M={x|f(x)?0},P={x|f'(x)?0},若MP,则实数

x?1a的取值范围是 ( )

A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)

[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. [解答过程]由x?a?0,?当a>1时,1?x?a;当a<1时,a?x?1.x?1x?aa?1?x?a?x?1??x?a??y?,?y/????0. ??22x?1x?1???x?1??x?1?/

?a?1.

1

综上可得MP时,?a?1.考点2 曲线的切线

（1）关于曲线在某一点的切线

求曲线y=f(x)在某一点P（x,y）的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.

（2）关于两曲线的公切线

若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题

例3.（2007年湖南文）已知函数f(x)?极值点．

（I）求a2?4b的最大值；

（II）当a2?4b?8时，设函数y?f(x)在点A(1，f(1))处的切线为l，若l在点A处穿过函数y?f(x)的图象（即动点在点A附近沿曲线y?f(x)运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数f(x)的表达式． 思路启迪：用求导来求得切线斜率. 解答过程：（I）因为函数f(x)?21312，，(1，3]内各有一个x?ax?bx在区间[?11)321312，，(1，3]内分别有一个极值点，x?ax?bx在区间[?11)32所以f?(x)?x?ax?b?0在[?11)，，(1，3]内分别有一个实根， 设两实根为x1，x2（x1?x2），则x2?x1?a2?4b，且0?x2?x1≤4．于是

0?a2?4b≤4，0?a2?4b≤16，且当x1??1，x2?3，即a??2，b??3时等号成

立．故a2?4b的最大值是16．

（II）解法一：由f?(1)?1?a?b知f(x)在点(1，f(1))处的切线l的方程是

21y?f(1)?f?(1)(x?1)，即y?(1?a?b)x??a，

32因为切线l在点A(1，f(x))处空过y?f(x)的图象， 所以g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?21?a]在x?1两边附近的函数值异号，则 322

x?1不是g(x)的极值点．

而g(x)?131221x?ax?bx?(1?a?b)x??a，且 3232g?(x)?x2?ax?b?(1?a?b)?x2?ax?a?1?(x?1)(x?1?a)．

若1??1?a，则x?1和x??1?a都是g(x)的极值点．

所以1??1?a，即a??2，又由a2?4b?8，得b??1，故f(x)?解法二：同解法一得g(x)?f(x)?[(1?a?b)x?13x?x2?x． 321?a] 3213a3?(x?1)[x2?(1?)x?(2?a)]． 322因为切线l在点A(1，f(1))处穿过y?f(x)的图象，所以g(x)在x?1两边附近的函数值异号，于是存在m1，m2（m1?1?m2）．

当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0； 或当m1?x?1时，g(x)?0，当1?x?m2时，g(x)?0． 设h(x)?x2??1???3a?3a??x?2????，则 2?2??当m1?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0； 或当m1?x?1时，h(x)?0，当1?x?m2时，h(x)?0． 由h(1)?0知x?1是h(x)的一个极值点，则h(1)?2?1?1?所以a??2，又由a2?4b?8，得b??1，故f(x)?3a?0， 213x?x2?x． 3例4.（2006年安徽卷）若曲线y?x4的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ）

A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0 [考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.

[解答过程]与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0，即y?x4在某一点的导数为4，而y??4x3，所以y?x4在(1，1)处导数为4，此点的切线为4x?y?3?0.

3

故选A.

例5． ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+5=0相切的直线的方程为 ( )

2A.y=-3x或y=1x B. y=-3x或y=-1x C.y=-3x或y=-1x D. y=3x或y=1x

3333[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. [解答过程]解法1：设切线的方程为y?kx,?kx?y?0. 又?x?2?2??y?1?2?5,?圆心为?2,?1?.

2?2k?1k2?1?51,?3k2?8k?3?0.?k?,k??3. 231?y?x,或y??3x.

3故选A.

31?由 解法2:由解法1知切点坐标为(1,?3),??,?,22?22?5??(x?2)??y?1?????,??x??2?x22//?2(x?2)?2?y?1?yx/?0,x?2?yx??.y?1/

1?.31(,)322?k1?yx/13(,?)22??3,k2?yx/1x.3?y??3x,y?故选A.

例6.已知两抛物线C1:y?x2?2x,C2:y??x2?a, a取何值时C1，C2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.

思路启迪：先对C1:y?x2?2x,C2:y??x2?a求导数.

解答过程：函数y?x2?2x的导数为y'?2x?2，曲线C1在点P(x1,x12?2x1)处的切线方程为

22y?(x1?2x1)?2(x1?2)(x?x1)，即 y?2(x1?1)x?x1 ①

曲线C1在点Q(x2,?x22?a)的切线方程是y?(?x2?a)??2x2(x?x2)即

y??2x2x?x22?a ②

4

若直线l是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是l的方程，故得

22x1?1??x2,?x1?x2?1，消去x2得方程，2x1?2x1?1?a?0

2若△=4?4?2(1?a)?0，即a??1时，解得x1??1，此时点P、Q重合.

22∴当时a??1，C1和C2有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为y?x?1 .

24考点3 导数的应用

中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题: 1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值（最值）; 5.构造函数证明不等式. 典型例题 例7．（2006年天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D． 4个

[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.

[解答过程]由图象可见,在区间(a,0)内的图象上有一个极小值点. 故选A.

例8 .（2007年全国一）设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及

y y?f?(x)b aO x x?2时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的x?[0，3]，都有

f(x)?c2成立，求c的取值范围．

思路启迪：利用函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值构造方程组求a、b的值． 解答过程：（Ⅰ）f?(x)?6x?6ax?3b，

因为函数

2f(x)在x?1及x?2取得极值，则有f?(1)?0，f?(2)?0．

即?

?6?6a?3b?0，

?24?12a?3b?0．5

解得a??3，b?4． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

f(x)?2x3?9x2?12x?8c，

f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)．

当x?(0，1)时，当x?(1，2)时，当x?(2，3)时，所以，当x则当x?f?(x)?0； f?(x)?0；

f?(x)?0．

?1时，f(x)取得极大值f(1)?5?8c，又f(0)?8c，f(3)?9?8c．

3?时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c． ?0，3?，有f(x)?c2恒成立， ?0，因为对于任意的x?所以 解得

9?8c?c2，

c??1或c?9，

因此c的取值范围为(??，?1)?(9，??)．

例9.函数y?2x?4?x?3的值域是_____________.

思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。

2x?4?0得，解答过程：由?x??2，即函数的定义域为[?2,??). ??x?3?0

y'?12x?4?12x?3?2x?3?2x?4，

22x?4?x?3又2x?3?2x?4?2x?82x?3?2x?4，

?当x??2时，y'?0， ?函数y?而f(?2)??1，?y?2x?4?x?3在(?2,??)上是增函数，

2x?4?x?3的

值域是[?1,??).

例10．（2006年天津卷）已知函数f?x??4x3?3x2cos??3cos?，其中x?R,?为参数，且

160???2?．

6

（1）当时cos??0，判断函数f?x?是否有极值；

（2）要使函数f(x)的极小值大于零，求参数?的取值范围；

（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数?，函数f?x?在区间?2a?1,a?内都是增函数，求实数a的取值范围．

[考查目的]本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.

[解答过程]（Ⅰ）当cos??0时，f(x)?4x3，则f(x)在(??,??)内是增函数，故无极值. （Ⅱ）f'(x)?12x2?6xcos?，令f'(x)?0，得x1?0,x2?cos?.

2由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.

①当cos??0时，随x的变化f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下表： x f'(x) (??,0) 0 0 极大值 (0,cos? )2cos? 2(cos?,??) 2+ ↗ - ↘ 0 极小值 + ↗ f(x) 因此，函数f(x)在x?cos?处取得极小值f(cos?)，且f(cos?)??1cos3??3?

222416.要使f(cos?)?0，必有?1cos?(cos2??3)?0，可得0?cos??3.

2244由于0?cos??3，故?????或3????11?.

26226②当时cos??0，随x的变化，f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：

x 0 cos? cos? cos?(??,)(,0) 2(0,??) 22f'(x) f(x) + 0 极大值 - 0 极小值 + ? ? 16? 因此，函数f(x)在x?0处取得极小值f(0)，且f(0)?3cos?.

若f(0)?0，则cos??0.矛盾.所以当cos??0时，f(x)的极小值不会大于零.

综上，要使函数f(x)在(??,??)内的极小值大于零，参数?的取值范围为(?,?)?(3?,11?).

6226（III）解：由（II）知，函数f(x)在区间(??,??)与(cos?,??)内都是增函数。

2由题设，函数f(x)在(2a?1,a)内是增函数，则a须满足不等式组

7

2a?1?a a?0 或

2a?1?a12a?1?cos?2

由（II），参数时??(?,?)?(3?,11?)时，0?cos??3.要使不等式2a?1?1cos?关于参数?恒

622622成立，必有2a?1?3，即4?3?a.

48综上，解得a?0或4?3?a?1.

8所以a的取值范围是(??,0)?[4?3,1).

8例11．(2006年山东卷)设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a?-1，求f(x)的单调区间.

[考查目的]本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力

[解答过程]由已知得函数f(x)的定义域为(?1,??)，且f'(x)?ax?1(a??1),

x?1（1）当?1?a?0时，f'(x)?0,函数f(x)在(?1,??)上单调递减， （2）当a?0时，由f'(x)?0,解得x?1.

af'(x)、f(x)随x的变化情况如下表

x f'(x) f(x) 1(?1,) a1 a1(,??) a— 0 极小值 + ? ? 从上表可知 当x?(?1,1)时，f'(x)?0,函数f(x)在(?1,1)上单调递减.

aa当x?(1,??)时，f'(x)?0,函数f(x)在(1,??)上单调递增.

aa综上所述：当?1?a?0时，函数f(x)在(?1,??)上单调递减.

当a?0时，函数f(x)在(?1,1)上单调递减，函数f(x)在(1,??)上单调递增.

aa例12．（2006年北京卷）已知函数f(x)?ax3?bx2?cx在点x0处取得极大值5，其导函数y?f'(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示.求：

（Ⅰ）x0的值；

8

（Ⅱ）a,b,c的值.

[考查目的]本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 [解答过程]解法一：（Ⅰ）由图像可知，在???,1?上

f'?x??0,

在?1,2f'?x??0，?上f'?x??0，在?2,???上

故f(x)在上递增，在(1,2)上递减， （-?，1），（2，+?）因此f?x?在x?1处取得极大值，所以x0?1 （Ⅱ）f'(x)?3ax2?2bx?c,

'由f（ 1）=0，（f'2）＝0，（f'1）＝5，?3a?2b?c?0,得?12a?4b?c?0, ??a?b?c?5,?解得a?2,b??9,c?12.

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）设f'(x)?m(x?1)(x?2)?mx2?3mx?2m, 又f'(x)?3ax2?2bx?c, 所以a?m,b??3m,c?2m

32f(x)?m332|x?mx?2mx, 3232由f(1)?5，即m?3m?2m?5,得m?6,

所以a?2,b??9,c?12 例13．（2006年湖北卷）设x?3是函数f?x???x2?ax?b?e3?x?x?R?的一个极值点. （Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f?x?的单调区间；

25?x2（Ⅱ）设a?0，g?x????a??e.若存在?1,?2??0,4?使得f??1??g??2??1成立，求a的取值范

?4?围.

[考查目的]本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.

[解答过程]（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3x,

－由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e33＝0，即得b＝－3－2a，

－则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3

－x

9

＝－[x＋(a－2)x－3－3a ]e

23－x

＝－(x－3)(x＋a+1)e3x.

－令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a≠－4. 当a<－4时，x2>3＝x1，则

在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数. 当a>－4时，x2<3＝x1，则

在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]， 而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e1>0，f (3)＝a＋6，

－那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6]. 又g(x)?(a2?25)ex在区间[0，4]上是增函数，

4且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋25，（a2＋25）e4]，

44由于（a2＋25）－（a＋6）＝a2－a＋1＝（a?1）2≥0，所以只须仅须

442（a2＋25）－（a＋6）<1且a>0，解得0

42故a的取值范围是（0，3）.

2例14 （2007年全国二） 已知函数f(x)?13ax?bx2?(2?b)x?1 310

在x?x1处取得极大值，在x?x2处取得极小值，且0?x1?1?x2?2．

（1）证明a?0；

（2）若z=a+2b,求z的取值范围。

[解答过程]求函数f(x)的导数f?(x)?ax?2bx?2?b．

（Ⅰ）由函数f(x)在x?x1处取得极大值，在x?x2处取得极小值，知x1，x2是f?(x)?0的两个根．

所以f?(x)?a(x?x1)(x?x2)

当x?x1时，f(x)为增函数，f?(x)?0，由x?x1?0，x?x2?0得a?0．

2?f?(0)?0?2?b?0??（Ⅱ）在题设下，0?x1?1?x2?2等价于?f?(1)?0 即?a?2b?2?b?0．

?f?(2)?0?4a?4b?2?b?0???2?b?0?化简得?a?3b?2?0．

?4a?5b?2?0?此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：2?b?0，a?3b?2?0， 4a?5b?2?0．所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：A?，?，B(2，，2)C(4，2)．

?46??77?b

z在这三点的值依次为

所以z的取值范围为?16，6，8． 7?16?，8?． ?7?2 1 O

B(2，2)

?46?A?，??77?

C(4，2)

小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性 规划有机结合．

考点4 导数的实际应用

2 4

a

建立函数模型,利用 典型例题

例15. （2007年重庆文）

用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长

11

方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

[解答过程]设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为

18?12x3??h??4.5?3x(m)?0＜x＜?.

42??故长方体的体积为

V(x)?2x2(4.5?3x)?9x2?6x3(m3)3(0＜x＜).

2从而V?(x)?18x?18x2(4.5?3x)?18x(1?x).

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜

2时，V′（x）＜0， 3故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。 从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。 例16．（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：

y?13x3?x?8(0?x?120).已知甲、乙两地相距100千米. 12800080（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.

[解答过程]（I）当x?40时，汽车从甲地到乙地行驶了100?2.5小时，

40要耗没(13?403??40?8)?2.5?17.5（升）. 12800080答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。

（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100小时，设耗油量为h(x)升，依

x题意得h(x)?(

131001280015x3?x?8).?x??(0?x?120), 12800080x1280x4x800x3?803h'(x)??2?(0?x?120). 2640x640x令h'(x)?0,得x?80.

当x?(0,80)时，h'(x)?0,h(x)是减函数；当x?(80,120)时，h'(x)?0,h(x)是增函数. 当x?80时，h(x)取到极小值h(80)?11.25.

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因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 【专题训练与高考预测】 一、选择题

1. y=esinxcos(sinx)，则y′(0)等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.2 2.经过原点且与曲线y=x?9相切的方程是( )

x?5A.x+y=0或x+y=0

25

B.x－y=0或x+y=0

25C.x+y=0或x－y=0

25D.x－y=0或x－y=0

253.设f(x)可导，且f′(0)=0,又limf?(x)=－1,则f(0)( )

x?0xA.可能不是f(x)的极值 B.一定是f(x)的极值 C.一定是f(x)的极小值 D.等于0

4.设函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为( ) A.0

B.1

C.(1?2)n

2?nD.4(n)n?1

n?25、函数y=(x2-1)3+1在x=-1处( )

A、 有极大值 B、无极值 C、有极小值 D、无法确定极值情况

6.f(x)=ax3+3x2+2，f’(-1)=4，则a=( )

A、10 B、13 C、16 D、19

33337.过抛物线y=x上的点M（1,1）的切线的倾斜角是( )

A、30 B、45 C、600 D、900

8.函数f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）内有极小值，则实数b的取值范围是( )

A、（0，1） B、（-∞，1） C、（0，+∞） D、（0，1）

20

0

2

249.函数y=x-3x+3在[?3,5]上的最小值是( )

223

A、 89 B、1

3

8C、33 D、5

810、若f(x)=x+ax+bx+c，且f(0)=0为函数的极值，则( ) A、c≠0 B、当a>0时，f(0)为极大值 C、b=0 D、当a<0时，f(0)为极小值

11、已知函数y=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是( ) A、（2，3） B、（3，+∞） C、（2，+∞） D、（-∞，3）

543

12、方程6x-15x+10x+1=0的实数解的集合中( )

A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素 二、填空题

2

13

13.若f′(x0)=2,limf(x0?k)?f(x0) =_________.

k?02k14.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________.

15.函数f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)的单调区间_________.

16.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. 三、解答题

17.已知曲线C：y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标.

18.求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+)，在[0，1]内的最大值.

19.证明双曲线xy=a2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数. 20.求函数的导数 (1)y=(x2－2x+3)e2x; (2)y=3x.

1?x21.有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.

－

22.求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn1,(x≠0,n∈N*).

23.设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间. 24.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值；

(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.

25.已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba. 26.设关于x的方程2x2－ax－2=0的两根为α、β(α＜β),函数f(x)=4x?a.

x2?1(1)求f(α)·f(β)的值；

(2)证明f(x)是［α，β］上的增函数；

(3)当a为何值时，f(x)在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？

【参考答案】

一、1.解析：y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=1. 答案：B

2.解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=y0,另一方面，y′=(x?9)′=?4x0x?5(x?5)2,故

y′(x0)=k,即

yx0?9?4?0?2x0x0(x0?5)(x0?5)5或x02+18x0+45=0得x0(1)=－3,y0(2)=－15,对应有

?4(?3?5)3y0(1)=3,y0(2)=?15?9?3,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15,3),从而得y′(A)=

?15?55 =－1

14

及y′(B)= 答案：A

?41

??25(?15?5)2,由于切线过原点，故得切线：lA:y=－x或lB:y=－x.

253.解析：由limx?0f?(0)=－1,故存在含有

x0的区间(a,b)使当x∈(a,b),x≠0时

f?(0)＜0,于是当xx∈(a,0)

时f′(0)＞0,当x∈(0,b)时，f′(0)＜0,这样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减. 答案：B

4.解析：∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=2,易知fn(x)在x=2时取得最大值，最大值fn(2)=n2(2)2(1－

2?n2?n2?n2?n2)n=4·(2)n+1. 2?n2?n答案：D

5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C 二、13.解析：根据导数的定义：f′(x0)=limf[(x0?(?k)]?f(x0)(这时?x??k)

k?0?k?limf(x0?k)?f(x0)1f(x0?k)?f(x0)?lim[??]k?0k?02k2?k 1f(x0?k)?f(x0)1??lim??f?(x0)??1.2k?0?k2答案：－1

14.解析：设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x), f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！ 答案：n!

15.解析：函数的定义域是x＞1或x＜－2,f′(x)=

3logae.(3x2+5x－2)′=(6x?5)?logae,

(3x?1)(x?2)3x2?5x?2①若a＞1,则当x＞1时，logae＞0,6x+5＞0,(3x－1)(x+2)＞0,∴f′(x)＞0,∴函数f(x)在(1,+∞)

33上是增函数，x＜－2时，f′(x)＜0.∴函数f(x)在(－∞,－2)上是减函数.

②若0＜a＜1,则当x＞1时，f′(x)＜0,∴f(x)在(1,+∞)上是减函数，当x＜－2时，

33f′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,－2)上是增函数.

答案：(－∞,－2)

16.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+R2?x2,解得

x2=h(2R－h),于是内接三角形的面积为 S=x·h=(2Rh?h2)?h?(2Rh3?h4),

15

从而S??1(2Rh3?h4)?2(2Rh3?h4)?

2?1h2(3R?2h)34232?(2Rh?h)(6Rh?4h)?2(2R?h)h311 .

令S′=0,解得h=3R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下：

2h S′ S 2(0, 3R) 23R 2(3,2R) 2+ 0 － 增函数 最大值 减函数 由此表可知，当x=3R时，等腰三角形面积最大. 答案：3R

2三、17. 解：由l过原点，知k=y0(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0,

x0∴y0=x02－3x0+2,y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2

x0又k=y0,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2,2x02－3x0=0,∴x0=0或x0=3.

x02由x≠0,知x0=3,

22∴y0=(3)3－3(3)2+2·3=－3.∴k=y0=－1.

228x04∴l方程y=－1x 切点(3，－3).

42818.f'(x)?p2x(1?x)p?1[2?(2?p)x] ,

2 , 2?p在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0，f(2)?4(p)p?2

2?p2?p∴ [f(x)]max?4(p)2?p .

2?p令f’(x)=0得，x=0，x=1，x=

.

19.设双曲线上任一点P（x0，y0）,

2 k?y|x?x??a ,

0x02∴ 切线方程y?y0??a2x02(x?x0)

,

令y=0，则x=2x0

16

令x=0，则y?2a .

x02∴ S?1|x||y|?2a2 .

220.解：(1)注意到y＞0,两端取对数，得 lny=ln(x2－2x+3)+lne2x=ln(x2－2x+3)+2x,

1(x2?2x?3)?2x?22(x2?x?2)??y??2?2?2?2?2yx?2x?3x?2x?3x?2x?3.2(x2?x?2)2(x2?x?2)?y??2?y?2?(x2?2x?3)?e2x.x?2x?3x?2x?322x?2(x?x?2)?e.

(2)两端取对数，得 ln|y|=1(ln|x|－ln|1－x|),

3两边解x求导，得

111?111?y??(?)?,y3x1?x3x(1?x)?y??111x3??y?.3x(1?x)3x(1?x)1?x315

21.解：设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－25?9t2,当下端移开1.4 m时，t0=1?4?7,

?1又s′=－ (25－9t2)2·(－9·2t)=9t

21125?9t2,

所以s′(t0)=9×715?125?9?(72)15=0.875(m/s).

22.解：(1)当x=1时，Sn=12+22+32+…+n2=1n(n+1)(2n+1),当x≠1时，1+2x+3x2+…+nxn-1

6nn?1=1?(n?1)x?nx,两边同乘以x,得

(1?x)2x+2x2+3x2+…+nxn=x?(n?1)xn?1?nxn?2(1?x)2两边对x求导，得

Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1

2n2n?12n?2=1?x?(n?1)x?(2n?2n?1)x?nx.

(1?x)323.解：f′(x)=3ax2+1.

若a＞0,f′(x)＞0对x∈(－∞,+∞)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾. 若a=0,f′(x)=1＞0,∴x∈(－∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间，矛盾.

17

若a＜0,∵f′(x)=3a(x+

13|a|)·(x－

13|a|13|a|),此时f(x)恰有三个单调区间.

13|a|∴a＜0且单调减区间为(－∞,－单调增区间为(－

13|a|)和(,+∞)，

,

13|a|).

24.解：f′(x)=a+2bx+1,

x(1) 由极值点的必要条件可知：f′(1)=f′(2)=0,即a+2b+1=0,且a+4b+1=0,

2解方程组可得a=－2,b=－1,∴f(x)=－2lnx－1x2+x,

3636(2)f′(x)=－2x-1－1x+1,当x∈(0,1)时，f′(x)＜0,当x∈(1,2)时，f′(x)＞0,当x∈(2,+∞)

33时，f′(x)＜0,故在x=1处函数f(x)取得极小值5,在x=2处函数取得极大值4－2ln2.

63325.证法一：∵b＞a＞e,∴要证ab＞ba,只要证blna＞alnb,设f(b)=blna－alnb(b＞e),则 f′(b)=lna－a.∵b＞a＞e,∴lna＞1,且a＜1,∴f′(b)＞0.∴函数f(b)=blna－alnb在(e,+∞)上是

bb增函数，∴f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.

证法二：要证ab＞ba,只要证blna＞alnb(e＜a＜b),即证(x)=1?lnx＜0,∴函数f(x)在(e,+∞)上是减函数，又∵e＜a＜b,

x2,设f(x)=lnx(x＞e)，则f′

x∴f(a)＞f(b),即lna?lnb,∴ab＞ba.

ab26.解：(1)f(α)=

2?8a?16?a,f(β)=

2?8a?16?a,f(α)=f(β)=4,

(2)设φ(x)=2x2－ax－2,则当α＜x＜β时，φ(x)＜0,

f?(x)?(4x?a)?(x2?1)?(4x?a)(x2?1)?4(x2?1)?2x(4x?a)

?(x2?1)2(x2?1)22(2x2?ax?2)2?(x)????2?0 22(x?1)(x?1)2.

∴函数f(x)在(α，β)上是增函数.

(3)函数f(x)在［α，β］上最大值f(β)＞0,最小值f(α)＜0,

∵|f(α)·f(β)|=4,∴当且仅当f(β)=－f(α)=2时，f(β)－f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4，此时a=0,f(β)=2.

18

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