圆中的分类讨论习题

细说圆中的分类讨论题------之两解情况

由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性,有许多问题需要分类讨论,分类讨论是一种同学们应该掌握并且相当重要的数学思想，对于锻炼同学们的缜密思维和分析问题能力异常的重要，但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况,这就要求同学们在解题时一要读懂题意，明白题干的要求，二要有顺序步骤的做。先从几个方面举例说明如下: 一、根据点与圆的位置分类

例１、点P是圆O所在平面上一定点，点P到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则该圆的半径为 。

分析：根据点和圆的位置关系，这个点P与圆有两种位置关系。分为点在圆内和点在圆外两种情况。

解：过点P和圆心O作直线分别与圆O相交于A、B两点。PA、PB分别表示圆上各点到点P的最长距离和最短距离。

（1）当点P在圆内时，如图1所示，直径

；

AOPB（2）当点P在圆外时，如图2所示，直径

； 所以，圆O的直径为2或6。 二、三角形与圆心的位置关系

AOBP例２：已知?ABC内接于圆O，?OBC?35?，则?A的度数为________。 分析：因点A的位置不确定。所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧。也可分析为圆心在?ABC的内部和外部两种情况。

解：（1）当点A和圆心O在BC的同侧时，如图3，

??OBC?35???BOC?110???BAC?55? APOBOBCCA 1 图3 图4

（2）当点A和圆心O在BC的异侧时，如图4，

??OBC?35???BOC?110???BPC?55???BAC?125?

所以?A的度数是55?或125?。

练习：已知圆内接?ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm,求腰长AB。（两种情况如图5、图6）

AADOCBOBCD

图5 图6

三、角与圆心的位置关系

例3:在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为3和2，则∠BAC的度数是____。

分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。 解：如图7，当圆心在∠BAC内部时，连接AO并延长交⊙O于E

BE?1?在Rt△ABE中，由勾股定理得：

1AE,2A所以∠BAE＝30°

同理，在Rt△CAE中，EC＝AC，

C'所以∠EAC＝45°，∠BAC?30??45??75?

BOC当圆心O在∠BAC的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知：

E∠BAC'?45??30??15? 所以∠BAC为75°或15°

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四、圆中两平行弦与圆心的位置关系

例4. 圆O的直径为10cm，弦AB//CD，AB=6cm，CD?8cm，求AB和CD的距离。

分析：题中的弦AB、CD都比圆O中的直径小，所以AB和CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。

解：（1）当AB、CD在圆心的同侧时，如图8，过点O作OM?AB交AB于点M，交CD于N，连结OB、OD，得Rt?OMB，Rt?OND，然后由勾股定理求得：OM?4cm，ON?3cm，故AB和CD的距离为1cm。

AACMNOBDMBO（2）当AB、CD在圆心的异侧时，如图9，仍可求得OM?4cm，ON?3cm。故AB和CD的距离为7cm。

所以AB和CD的距离为1cm和7cm。

五、弦所对的圆周角有两种情况

例5：半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________。

分析：弦所对的圆周角有两种情况： （1）弦所对的圆周角的顶点在优弧上； （2）弦所对的圆周角的顶点在劣弧上。 解：故应填60°或120°。

练习：一条弦分圆周为3：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为 。

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CND六、圆与圆的位置关系

例6、已知圆O1和圆O2相内切，圆心距为1cm，圆O2半径为4cm，求圆O1的半径。

分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆O2看成大圆，也可把圆O2看成小圆。

解：（1）当圆O2是大圆时，则圆O1的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm，求得圆O1的半径为3cm。

（2）当圆O2是小圆时，则圆O1的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm，求得圆O1的半径为5cm。

所以圆O1的半径是3cm或5cm。

例7、两圆相切，半径分别为4cm和6cm，求两圆的圆心距 。 分析：此题中的两圆相切没有说明是内切还是外切，所以应该分两种情况考虑。

解：（1）当两圆内切时，两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径，即6?4?2cm。

（2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径，即

6?4?10cm。

所以两圆的圆心距是2cm或10cm。

例8、相交两圆半径分别为5 cm 和4cm ，公共弦长6cm，则两圆的圆心距等于_______

分析：注意两圆心在公共弦长两侧和同侧两种情况

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补充：

1、弦所对弧的优劣情况不确定

已知横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度。

20cm或80cm

2、如图3，AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，?BAC?60?，则弦AB所对的圆周角等于__________。 分析：因弦AB所对的圆周角的顶点未确定。可能在这个弦切角所夹的弧上，也可能在这个弦切角所夹的弧以外的弧上。 解：（1）当这个圆周角的顶点在弦 切角所夹的弧上时，求得这个圆周角为120?。 （ 2 ）当所求的圆周角的顶点在弦切角所夹的 弧以外的弧上时，求得这个圆周角为60?。 所以弦AB所对的圆周角等于120?或60?。 ABOPCP'

3、已知圆O1和圆O2相内切，圆心距为1cm，圆O2半径为4cm，求圆O1的半径。 分析：根据两圆相内切的特点：圆心距等于大圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆O2看成大圆，也可把圆O2看成小圆。

解：（1）当圆O2是大圆时，则圆O1的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm，求得圆O1的半径为3cm。

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（2）当圆O2是小圆时，则圆O1的半径等于小圆半径4cm加上圆心距1cm，求得圆O1的半径为5cm。

所以圆O1的半径是3cm或5cm。

4、相交两圆的半径分别为8和5，公共弦为8，这两个圆的圆心距等于_________。

分析：因两圆的半径都大于公共弦长的一半，所以两圆的圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。

解：（1）当两圆的圆心在公共弦的同侧时，如图6，设AB是公共弦，O1O2交AB于点C，则AC?4，由勾股定理解得O1C?43，O2C?3，故O1O2?43?3。 AO1O2CB 图6 （2）当两圆的圆心在公共弦的异侧时，如图7，可求得O1C?43，O2C?3。故O1O2?43?3。 6

ACO1BO2 所以这两圆的圆心距为43?3或43?3。 5、过不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线，交⊙O于B、C，且AB·AC＝64，OA＝10，则⊙O的半径R为___________。

解：依题意，点A与⊙O的位置关系有两种： （1）点A在⊙O内，如图1，延长AO交⊙O于F，则

AE?R?10，AF?R?10

由相交弦定理得：?R?10??R?10??64 所以R?241（负值已舍去）

（2）点A在⊙O外，如图2，此时

AE?10?R，AF?10?R

由割线定理得：?10?R??10?R??64 所以R?6（负值已舍去） 故⊙O的半径R为241或6。

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6、如图8，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则∠OAB＝_________度，∠OPB＝_________度。

解：依题意可知△AOB是等腰直角三角形，所以∠OAB＝45°

当动点P在OAB上时，∠OPB＝∠OAB＝45° 当动点P在OB上时，∠OPB＝180°－45°＝135° 故∠OPB为45°或135°。

7、已知半径为4和22的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_________。

分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。 解：如图9、图10，

在Rt?O1AC中，O1C?O1A2?AC2?42?22?23 在Rt?O2AC中，O2C?O2A?AC?22⌒⌒?22?2?22?2

（1）当圆心O1、O2在公共弦AB的同侧时， 如图9O1O2?O1C?O2C?23?2

（2）当圆心O1、O2在公共弦AB的异侧时，如图10，O1O2?O1C?O2C?23?2

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8、已知在直径AB为13的半圆上有一点C，CD⊥AB，垂足为D，且CD＝6，求AD的长.

分析：由于6＜

131

，即CD＜ AB，所以点D在直径上的位置有两种情况： 22

解：（1）如图3，当点D和点A在圆心O的同旁时（AD＜BD）． 13135在Rt△COD中，OD＝CO2?CD2?()2?62?，则AD＝OA－OD＝

2225

－ ＝4； 2

C C

B A A D O O D B

图3 图4

（2）如图4，当点D和点A在圆心的两旁时（AD＞BD）. 5135

同理可求OD＝ ，则AD＝AO＋OD＝ ＋ ＝9.

222故所求的AD的长为4或9.

点评：图形的位置关系是几何研究的重要方面，应考虑到图形所有可能情

况，全面性地思考问题．如：本例中，由于圆的轴对称性，相同长度的弦位置往往不止一个．

本题可以拓展到整圆：已知：⊙O的半径为5，AB为直径，弦CD⊥AB，CD=6，则

AE= (1或9)

9、两圆的半径分别为4和2，如果它们的两条公切线互相垂直，求两圆的圆心距。 这种情况。

解：（1）当内公切线与外公切线垂直时，如图11，AB切⊙O1于A，切⊙O2于B，EF切⊙O1于E，切⊙O2于F，AB⊥EF于D。

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由切线定理，得：

∠O1DA?∠O1DE?45?∠O2DB?∠O2DF?45?

所以∠O1DO2?90?，O1D?42，O2D?22 故有O1O2?O1D2?O2D2?210

（2）当内公切线垂直时，如图12，作

O1E⊥l2，O2D⊥l1，交点为E，则

O1O2?O1E2?O2E2??4?2?2??4?2?2?62（3）当外公切线垂直时，如图13，作

O1E⊥l2，O2F⊥l2，O2G⊥O1E于G，则

O1O2?O1G2?O2G2??O1E?GE?2?EF2??4?2?2?22?22

410、如图,在平面直角坐标系中,已知⊙C的半径为r,直线l:y=x-4,与x轴、y

3轴分别交于A、B两点.

（1）当r=1.5时，将⊙C从点C与坐标原点重合开始, 沿y轴向下运动,当⊙C与直线l相切时,点C移动的距离是 6.5或1.5

（2）若点C位于坐标原点O,当⊙C与△OAB的斜边AB有1个公共点时,r的取值范围是 r＝2.4或3＜r≤4 。

y（3）若点C位于坐标原点O,当⊙C与△OAB的边有2个交点时,r的取值范围是0＜r＜2.4或3＜r＜4 。

OAx

B

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111、、如图，∠ABC=90°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，|OB长为半径作⊙O，

2当射线BA绕点B按顺时针旋转 （60或120） °时与⊙O相切

ABCO 11

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