2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（文科）

2019年广东省广州市天河区高考数学二模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，其中m是实数，则 （ ）

A．i B．﹣i C．2i D．﹣2i

2．（5分）已知全集U＝R，M＝{x|x＜﹣1}，N＝{x|x（x+2）＜0}，则图中阴影部分表示的

集合是（ ）A．{x|﹣1≤x＜0}

B．{x|﹣1＜x＜0}

C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1}

3．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a6+a7+a8＝（ ） A．63

B．45

C．39

D．27

4．（5分）为保证树苗的质量，林业管理部门在每年3月12日植树节前都对树苗进行检测，现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度（单位长度：cm），其茎叶图如图所示，则下列描述正确的是（ ）

A．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐 B．甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐 C．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，乙种树苗比甲种树苗长得整齐 D．乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，甲种树苗比乙种树苗长得整齐 5．（5分）已知抛物线C：y＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且MF⊥x轴，若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则p＝（ ） A．2

B．2

2

C．4

D．4

6．（5分）在△ABC中，| | | |，| |＝| |＝3，则 （ ） A．3

B．﹣3

0.2

0.2

C．

D．

7．（5分）已知命题p：若a＝0.2，b＝1.2，c＝log1.20.2，则a＜c＜b：命题q：“x﹣2

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≥0”是“x﹣2＞0”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（ ） A．p∧q

B．p∧（￢q）

C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∧q

8．（5分）若函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）图象的一个对称中心为（，0），其相邻一条对称轴方程为x ，该对称轴处所对应的函数值为﹣1，为了得到g（x）＝cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ） A．向右平移个单位长度

B．向左平移

个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移

个单位长度

9．（5分）已知数列{an}是1为首项，2为公差的等差数列，{bn}是1为首项，2为公比的等比数列，设cn＝aA．9

Tn＝c1+c2+…+cn，（n∈N*），则当 ，

B．10

2

Tn＜2019时，n的最大值是（ ）

D．12

23

2

C．11

10．（5分）在同一直角坐标系中，函数y＝ax﹣x 与y＝ax﹣2ax+x+a（a∈R）的图象不可能的是（ ）

A． B．

C．

11．（5分）已知双曲线C：

D．

（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心

率为e，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若 0，且∠F1AF2＝150°，则e＝（ ） A．7﹣2

B．7 C．7

D．7 2

12．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf'（x）+1＞0，f（3）＝﹣ln3，则不等

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x

式f（e）+x＞0的解集为（ ） A．（e，+∞）

3

B．（0，e）

3

C．（ln3，+∞） D．（ln3，e）

3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分

13．（5分）已知实数x，y满足不等式组 ，则z＝x+y的最小值为 ．

14．（5分）设定义在R上的函数满足f（x）＝f（x+2），当x∈[﹣1，1）时，f（x）

， ＜ ＜

，则f（）＝ ．

，

15．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，SnSn+1＝﹣an+1（n∈N*），则a10＝ ． 16．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的体积为2，△ABC是等腰直角三角形，其斜边AC＝2，且三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为 ． 三、解答题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17题～21题为必考题每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2a+c）cosB+bcosC＝0．

（1）求角B的大小；

（2）若a＝3，点D在AC边上，且BD⊥AC，BD ，求c边的长．

18．（12分）《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试．现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组[160，164），第2组[164，168），…，第6组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；

（2）试估计该市市民正确书写汉字的个数的平均数与中位数；

（3）已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．

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19．（12分）如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面BDEF⊥平面ABC，∠FBD＝60°，

AB⊥BC，AB＝BC ．

（1）若点M是线段BF的中点，证明：BF⊥平面AMC； （2）求六面体ABCEF的体积．

20．（12分）已知椭圆C：上顶点为B，离心率为

1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，

，△ABF1的面积为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，求△MNF2内切圆半径的最大值． 21．（12分）已知函数f（x）＝e﹣a（x+1），a∈R． （1）求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）设g（x）＝f（x） ，且A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1≠x2）是曲线y＝g（x）上的任意两点，若对任意的a≤﹣1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （α为参数），

以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（ ） t（t∈R）．

（1）求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程；

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x

（2）若π≤α≤2π，当曲线C1与曲线C2有两个公共点时，求t的取值范围． [选修45：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝|2x|+|2x+3|+m（m∈R）． （1）当m＝﹣2时，求不等式f（x）≤3的解集；

（2）若?x∈（﹣∞，0），都有f（x）≥x 恒成立，求m的取值范围．

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对称轴x 介于x1 和x2 两个极值点之间， 故A、C符合要求，B不符合， 故选：B．

11．（5分）已知双曲线C：

（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心

率为e，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若 0，且∠F1AF2＝150°，则e＝（ ） A．7﹣2

2

B．7

C．7 D．7 【解答】解：∵ 0，∴AB⊥BF2， ∵∠F1AF2＝150°，∴∠BAF2＝30°，

设|BF2|＝x，则|BF1|＝x+2a，|AF2|＝2x，|AB| x， ∴|AF1|＝|BF1|﹣|AB|＝x+2a x， 又|AF2|﹣|AF1|＝2a，

∴2x﹣（x+2a x）＝2a，解得x＝2（ 1）a． ∴|BF1|＝2 a，|BF2|＝2（ 1）a，

在Rt△BF1F2中，由勾股定理可得：12a+[（2 2）a]＝4c， 即（7﹣2 ）a＝c， ∴e

2

2

2

2

2

2

7﹣2 ． 故选：A．

12．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf'（x）+1＞0，f（3）＝﹣ln3，则不等式f（e）+x＞0的解集为（ ） A．（e，+∞）

3x

B．（0，e）

3

C．（ln3，+∞） D．（ln3，e）

3

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【解答】解：令g（x）＝f（x）+lnx，x∈（0，+∞）． ∵在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf'（x）+1＞0，

∴g′（x）＝f′（x） ＞0，

∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增， ∵g（3）＝f（3）+ln3＝0，

∴不等式g（x）＞0＝g（3）的解集为：x＞3． 而不等式f（e）+x＞0满足：e＞3，即x＞ln3． ∴不等式f（e）+x＞0的解集为（ln3，+∞）． 故选：C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分

13．（5分）已知实数x，y满足不等式组 ，则z＝x+y的最小值为 1 ．

【解答】解：画出不等式组 表示的平面区域，如图中阴影部分所示；

xx

x

由 ，解得B（3，﹣2）， 设z＝x+y，将直线l：z＝x+y进行平移， 当l经过点B时，目标函数z达到最小值， ∴z最小值＝3﹣2＝1． 故答案为：1．

14．（5分）设定义在R上的函数满足f（x）＝f（x+2），当x∈[﹣1，1）时，f（x）

， ＜ ＜

，则f（）＝ ．

，

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【解答】解：定义在R上的函数满足f（x）＝f（x+2），所以函数的周期为2， 当x∈[﹣1，1）时，f（x）

， ＜ ＜

，

，

则f（）＝f（4 ）＝f（ ）＝f（ ） ． 故答案为： ．

15．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝1，SnSn+1＝﹣an+1（n∈N*），则a10＝ ． 【解答】解：根据题意，数列{an}满足SnSn+1＝﹣an+1，即SnSn+1＝Sn﹣Sn+1， 变形可得：

1，

又由a1＝1，则则数列{

1，

}为首项为1，公差为1的等差数列，则 1+（n﹣1）＝n，

则Sn ，

则a10＝S10﹣S9 ； 故答案为： ．

16．（5分）已知三棱锥D﹣ABC的体积为2，△ABC是等腰直角三角形，其斜边AC＝2，且三棱锥D﹣ABC的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为 【解答】解：如下图所示，

．

取AC的中点E，连接OE，由于O为AD的中点，E为AC的中点，则OE∥CD， ∵AC为等腰直角三角形ABC的斜边，所以，点E为△ABC外接圆圆心，

且O为三棱锥D﹣ABC外接球的球心，所以OE⊥平面ABC，所以，CD⊥平面ABC， ∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边AC＝2，所以，AB＝BC ，则△ABC的面积为

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，

由锥体体积公式可得

，∴CD＝6，

所以， ，则球O的半径为 ， 因此，球O的体积为

．

故答案为：

．

三、解答题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17题～21题为必考题每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（2a+c）cosB+bcosC＝0．

（1）求角B的大小；

（2）若a＝3，点D在AC边上，且BD⊥AC，BD ，求c边的长． 【解答】（1）由（2a+c）cosB+bcosC＝0及正弦定理， 可得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC＝0， 即2sinAcosB+sin（B+C）＝0， 由A+B+C＝π可得sin（B+C）＝sinA， 所以sinA（2cosB+1）＝0， 因为0＜A＜π，sinA≠0， 所以 ， ．

（2）由

2222

得b＝a+c+ac＝c+3c+9， 又因为BD⊥AC，

所以△ABC的面积 ， 把 ， ， ， 带入得 ，

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所以 ， 解得c＝5．

18．（12分）《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试．现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组[160，164），第2组[164，168），…，第6组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；

（2）试估计该市市民正确书写汉字的个数的平均数与中位数；

（3）已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率．

【解答】解：（1）被采访人恰好在第1组或第4组的概率P＝4×0.07+4×0.01＝0.32…………………（2分）

2）平均数 （3分）

（4分） 设中位数为x，则0.2+0.28+（x﹣168）×0.08＝0.5…………………（5分） ∴中位数x

168＝168.25…………………（6分） （3）共50×0.12＝6人，其中男生3人，设为a，b，c，女生三人，设为d，e，f…………………（7分）

则任选2人，可能为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15种，…………………（9分）

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