02概率论第二章练习答案

《概率论》第二章 练习答案

一、填空题：

1．设随机变量X的密度函数为f(x)=??2x

o???1则用Y表示对X的3次独立重复的观察中事件

?0其它(X≤

12)出现的次数，则P（Y＝2）＝ 。

P(X?112)??122xdx? 04p(Y?2)?C2123193(4)(4)?64 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为：

ax+b 0

f (x) =

0 其他

且EX＝

13，则a = _____-2___________， b = _____2___________。

?1????(ax?b)dx?1?0 ?1?x(ax?b)dx?1??03解之 3. 已知随机变量X在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 12 4. 设?为随机变量，E??3，E?2?11，则E（4??10）? 4E??10?22

D(4??10)?16D??16?E?2?（E?）2??32

5. 已知X的密度为?(x)?

ax?b0?x?10 其他,且 P（x?13）=P(X>

13) a= , b =

????（）??xdx?1P（x〈13）?P（x〉11联立解得：

3）??（3ax?b）10dx??（1ax?b）dx3a??32，b?74

??6．若f(x)为连续型随机变量X的分布密度，则

???f(x)dx?＿＿1＿＿＿＿。

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， 则

0,x?0??20?x?1，则 7. 设连续型随机变量ξ的分布函数F(x)??x/4,?1,x?2?P（ξ=0.8）= 0 ；P(0.2???6)= 0.99 。

?100?x?100? 8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度?(x)＝?x2?0(其他)??，

某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。 ∴ ?(x)=

0 其它 P（?≥150）=1－F(150)=1－[P(?≥150)]3=(

100x2 x≥100

?150100x2100dx?1?100x?150100?1?23?1?23

23)3=

827

9. 设随机变量X服从B（n, p）分布，已知EX＝1.6，DX＝1.28，则参数n＝___________，P＝_________________。

EX = np = 1.6

DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.2

10. 设随机变量x服从参数为（2，p）的二项分布，Y服从参数为（4，p）的二项分布，若P（X≥1）＝解：

59，则P（Y≥1）＝＿65/81＿＿＿＿＿＿。

p(X?1)??q259?p(X?1)?23,p?1349?p(X?0)?49?q?p(Y?1)?1?P(Y?0)?1?C04pqo4?1?1681?6581?80.2. 随机变量X～N（2， ?2），且P（2＜X＜4）=0.3，则P（X＜0）=＿＿0.2＿＿＿

P（2?X?4）?P（X?4）?P（X?2）??（0 即：?0(4?2?）??（02?2?）?0.3

2?)??0(0)?0.3,从而?0(0?22?)?0.3?0.5?0.82)?1??0(2)?1?0.8?0.2再代入P（X?0）??（0?）??0(???第 2 页 共 14 页

12. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E(X?e E（X?e?2X?2X)= ___4/3________ ?43

）?EX?Ee?2X?1????0e?2x?e?xdx?1?13 13. 已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z= 3X－2的期望

E (Z)＝3EX-2=3x2-2=4 。

14．设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且P ( X= 1) = P ( X=2 ) 则E (X) = __2_______. D (X) = __2___________.

?1!e????22!e?????2??0

2∴??2(??0舍)

15. 若随机变量ξ服从参数λ=0.05的指数分布，则其概率密度函数为：

?0.05e?0.05x?(x)??0?x?0x?0,, ；Eξ= 20 ；Dξ= 400 。

16. 设某动物从出生活到10岁以上的概率为0.7，活到15岁以上的概率为0.2，则现龄为10岁的这种动物活到15岁以上的概率为P(??15/??10)?P(??15)P(??10)?0.20.7?27?0.286

17. 某一电话站为300个用户服务，在一小时内每一用户使用电话的概率为0.01，则在一小时内有4个用户使用电话的概率为 P3(4)=0.168031 X~b(300,0.01)?300 解：P(X?4)???4??4296??*0.01*0.99, ?算：利用泊松定理作近似计一小时内使用电话的用户数服从??np?300?0.01?3的泊松分布

18 通常在n比较大，p很小时，用 泊松分布 近似代替二项分布的公式，其期望为 ??np ，方差为 ??np

2 19．X~N(?,?),P(X??5)?0.045,P(X?3)?0.618，则?＝＿1.8＿＿＿＿，?＝

＿＿4＿＿＿＿。（将X标准化后查标准正态分布表） 二、单项选择：

1．设随机变量X的密度函数为： 4x3, 0

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则使P(x>a)=P(x

14 B．

42 C．

12 D．1－

14

22解：根据密度函数的非负可积性得到：

P(x?a)????aaf(x)dx??a4x?oa13dx

P(x?a)?

???f(x)dx?4xdx,联立,?3ao4xdx,?3?1a4xdx解之得:a?31422．设F1（X）与F2（X）分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使F（X）＝aF1(x)－bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给它的各组值中应取（ A ） A．a=

35, b =－

2532

B．a=D．a=

2312, b=

23

C．a=－

12, b=, b=－

32F(+?)=a F1 (+?)-BF2 (+?)=1?a?b?1

?a?35,b??25适合

3. 已知随机变量的分布函数为F（x）= A + B arctgx ，则：（ B ） A、A=

12 B=? B、A=

12 B=

1? C、 A=? B=

12 D、A=

1? B=

12

解：要熟悉arctgx的图像

?F(??)?A?Barctg(??),?1?A?B??F(??)?A?Barctg(??),?0?A?B?联立求解即可。

?2;;

?24. 设离散型随机变量X仅取两个可能值X1和X2，而且X1< X2，X取值X1的概率为0.6，又已知E（X）＝1.4，D（X）＝0.24，则X的分布律为

A. C.

x p x p 0 0.6 n 0.6 1 0.4 n +1 0.4

B. D.

x p x p （ ）

1 0.6 a 0.6 2 0.4 b 0.4 ① 1.4=EX=0.6X1+0.4X2

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② DX=EX2-(EX)2

2220.24?(x1*0.6?x2*0.4)?1.4

联系①、②解得X1=1，X2=2

5．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机地无放回取3张，则此人得奖金额的数学期望为 A．6元

B．12元

C．7.8元

（ ） D．9元

设?表示得奖金额，则其分布律为：

? 6 （3张2元的） 9 （2张2元，1张5元的） 12（1张2元，2张5元的）

P

c8c3310

c8c2c31021

c8c2c31012

故期望值为： 7.8

6. 随机变量X的概率分布是：

X 1 2 3 4 P

A、a=

16 a

14 b 则：（ D ）

16, b=

14 B、a=

1127, b=

212 C、a=

112, b=

512 D、a=

14, b=

13

（ a?b?1?16?14）?12?故选D

7. 下列可作为密度函数的是：（ B ）

1A、?(x)? 1?x2

x?0x?0

0B、?(x)?

e0?(x?a)x?a

其它

C、?(x)?

sinx0x03

x?[0,?]其它?1?x?1其它

D、?(x)?

??（x）?0?依据密度函数的性质：???进行判断得出：B为正确答案

?（x）dx?1?????8. 设X的概率密度为?(x)，其分布函数F（x），则（ D ）成立。 A、P(x???)?F(x) B、0??(x)?1

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