函数的奇偶性与周期性

第三节 函数的奇偶性和周期性

姓名： 日期： 函数的奇偶性与周期性作为函数的重要性质，几乎是高考的必考内容，常结合函数单调性，多作为小题在同一个题目中出现。具有灵活性强，辐射面广等优点。在学习过程中我们要很好的把握其性质特征，抓住本质，沉着应对。

★重难点突破★

1. 函数的奇偶性的判断：

可以利用奇偶函数的定义判断或者利用定义的等价形式

f(?x)??f(x)?f(?x)?f(x)?0?的对称性去判断函数的奇偶性.注意：

f(?x)??1(f(x)?0),也可以利用函数图象f(x)①若f(x)?0,则f(x)既是奇函数又是偶函数,若f(x)?m(m?0),则f(x)是偶函数； ②若f(x)是奇函数且在x?0处有定义，则f(0)?0；

③若在函数f(x)的定义域内有f(?m)?f(m)，则可以断定f(x)不是偶函数，同样，若在函数f(x)的定义域内有f(?m)??f(m)，则可以断定f(x)不是奇函数； ④定义域对称是函数具有奇偶性的前提。如：函数f(x)?ax2?bx?3a?b是定义域为

[a?1,2a]的偶函数，则a?b的值是 。

⑤奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填 “相同”、“ 相反”）。 ⑥ 在公共定义域内，

a.两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数； b.两个偶函数的和函数、积函数是偶函数； c.一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。

2．奇偶函数图象的对称性

（1） 若y?f(a?x)是偶函数，则f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x)?f(x)的图象关于直线x?a对称；

（2） 若

y?f(b?x)是偶函数，则

f(b?x)??f(b?x)?f(2b?x)??f(x)?f(x)的图象关于点(b,0) 中心

对称；

3．函数的周期性

周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况： （1）函数值之和等于零型，即函数f(a?x)?f(b?x)?0(a?b)

对于定义域中任意

x满足f(a?x)?f(b?x)?0(a?b)，则有

f[x?(2b?2a)]?f(x)，故函数f(x)的周期是T?2(b?a)

（2）函数图象有x?a，x?b(a?b)两条对称轴型

函数图象有x?a，x?b(a?b)两条对称轴，即f(a?x)?f(a?x)，

f(b?x)?f(b?x)，从而得f[x?(2b?2a)]?f(x)，故函数f(x)的周期是

T?2(b?a)

（3） 两个函数值之积等于?1，即函数值互为倒数或负倒数型

若f(x?a)?f(x?b)?1(a?b)，则得f(x?2a)?f[(x?2a)?(2b?2a)]，所以函数f(x)的周期是T?2b?2a；同理若f(x?a)?f(x?b)??1(a?b)，则f(x)的周期是T?2(b?a)

（4） 分式递推型，即函数f(x)满足f(x?a)?1?f(x?b)(a?b)

1?f(x?b)由f(x?a)?1?f(x?b)?1(a?b)得f(x?2a)?，进而得

1?f(x?b)f(x?2b)f(x?2a)?f(x?2b)??1，由前面的结论得f(x)的周期是T?4(b?a)

★题型探析★

题型1：奇偶性的证明与判断

根据函数解析式的有无，可将此类问题分为两类：一是有解析式的函数的奇偶性的判断，我

们根据定义:

(1)首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。

（2）若定义域关于原点对称，再判定f(-x)与f(x)之间的关系 ①若f(-x)=-f(x)（或f(-x) +f(x)=0），则为奇函数； ②若f(-x)=f(x)(或 f(-x) -f(x)=0)，则f(x)为偶函数；

③若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数;

④若f(-x) ≠f(x)且f(-x)≠- f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数;

二是我们比较头疼的隐形杀手抽象函数的奇偶性判断，灵活性强，难于判断，对于此类问题我们要狠狠抓住

f??x?f??x?与f(x)的关系，尽可能通过变形，代换在同一方程中找到

与f(x)的关系。例1及其变式主要讲得是判断有解析式的函数的奇偶性判断与证明；例2及其变式主要针对抽象函数，对各种题型做简要探讨与研究。

例1：判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·1?x； 1?x?x(1?x)1?x2（3）f(x)?；（4）f(x)??|x?2|?2?x(1?x)

变式1：判断以下函数的奇偶性

（1） f?x??a?a及f?x??a?a；

x?xx?x(x?0),

(x?0).ax?a?x（2）f?x??x；

a?a?x（3）f?x??loga(1?x)； 1?xx2?1)。

（4）f?x??loga(x?

变式2：（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟理）函数

（ ）

1?x2y?x?4?x?3是

A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数

例2：已知函数f(x) (x∈R，x≠0）对任意不等于零实数x,y都有f(xy)?f(x)?f(y)，

试判断函数f(x)的奇偶性．

变式1：（2010年山东梁山）定义在区间(?1,1)上的函数f (x)满足：对任意的x,y?(?1,1)，

都有f(x)?f(y)?f(x?y). 求证：f (x)为奇函数。 1?xy

变式2：已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).

（1）求证：f(x)是奇函数；

（2）如果x∈R，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.

+

12题型2：根据奇偶性求有关参数值或解析式

（1）据奇偶性求有关参数值时可根据奇偶性有关特征进行求解。如奇函数在原点处有定义，

则有f(0)?0；还可进行赋值求解；最笨不易出错的方法是根据奇偶性列方程进行求解；例1及其变式进行了很好的阐释。

（2）给定函数部分解析式，求解其他部分解析式的问题，在解答此类问题时，一定要充分

利用好给定区间的表达式，将其他区间里的自变量化到给定区间里面，再利用函数的奇偶性进行求解。例2及其变式阐释的就是此类问题。例2及其变式进行了阐释。

例1：（2009重庆卷理）若f(x)?

变式1：（浙江省杭州市高级中学2011届高三文）若f?x???a?1?x?ax?3是偶函数，

21?a是奇函数，则a? ． x2?1则f?x?的递增区间为______________。

变式2：设函数f?x??x2?1?x?a?为奇函数，则a?___________。

???2x?b变式3：（2010年重庆）已知定义域为R的函数f(x)?x?1是奇函数.

2?a（1）求a,b的值；

（2）若对任意的t?R，不等式f(t2?2t)?f(2t2?k)?0恒成立，求k的取值范围；

例2：已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.

变式1： 已知y=f(x+1)为定义在R上的偶函数,当x＜1时,f(x)=x2,则当x＞1时,f(x)的解析式

为 。

变式2 ：（江苏泰兴重点中学2011届高三文）已知函数y?f(x)是奇函数，当x?0时，

f(x)?x2?ax(a?R)，f(2)?6，则a? _________

题型3：函数奇偶性与单调性综合应用

这类题型在小题中出现可能性极大，可集中考察函数的单调性、奇偶性，主要以解有关抽象函数的不等式问题的题型出现。在解答此类题时，先是要根据函数的奇偶性和单调性戴上“f”这个帽子，然后再利用函数单调性脱去“f”这帽子，使之成为能够求解的普通不等式。

例1：y?f?x?(x?0)是奇函数，且在x?(0,??)上单调递增，f?1??0，求不等式

??1??f?x?x????0的解集。

2????

变式1：（山东省莱阳市2011届高三上学期期末数学模拟理）设奇函数f(x)定义在

(??,0)?(0,??)上，f(x)在(0,??)上为增函数，且f(1)?0，则不等式3f(x)?2f(?x)?05x的解集为（ ）

A.(?1,0)?(1,??) B.(??,?1)?(0,1)

C.(??,?1)?(1,??) D.(?1,0)?(0,1)

变式2：已知奇函数y?f(x)在(??,0)内单调递增，且f(?3)?0，解不等式

。 f(x2?x?1)?0

变式3：定义在R上的偶函数f(x)在x?(0,??)上单调递增，若f(a?1)?f(2?a)则实

数a的取值范围

是 .

变式4：设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f(2a2+a+1)

－2a+1).求a的取值范围，并在该范围内求函数y=(

1a2?3a?1)的单调递减区间. 2变式5： R上的函数f?x?既是奇函数，又是减函数，且当???0,2fcos??2msi?n?f??m2????????时，有2?2?? 0恒成立，求实数m的取值范围.

题型4：函数奇偶性（对称性）与周期性综合应用

函数的奇偶性（对称性）讲得是与f(a?x)，f(b?x)之间的关系，它们之间具有相应的方程，周期性讲得是f(x?a)，f(x?b)之间的关系，怎么通过这两个方程，找到它们之间的桥梁——第三个衍生方程，是解答此类问题的关键。

例1：(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x?4)??f(x),且在区间

[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间??8,8?上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1?x2?x3?x4?_________.

变式1：（2011陕西）设函数f(x)（x?R）满足f(?x)?f(x)，f(x?2)?f(x)，则函

数y?f(x)的图像是 （ ）

变式2：（湖北省八校2011届高三第一次联考理）奇函数f(x)满足对任意x?R都有

f(2?x)?f(2?x)?0，且f(1)?9，则f(2010?)f(201?1)f(2的01值

为 .

变式3：若f(x)是R上的奇函数,且f(2x?1)的周期为4,若f(6)??2,则

f(2008)?f(2010)? 。

变式4：（江苏泰兴重点中学2011届高三理）设函数f(x)是定义在R上以3为周期的奇函

数，若f(1)?1，f(2)?

2a?3，则a的取值范围是__________________________． a?11)与f(x?1)都是奇函数，变式5：（:2009全国）函数f(x)的定义域为R，若f(x?则( )

w.w.w..s.5.u.c.o.m

A f(x)是偶函数 B f(x)是奇函数 C f(x)?f(x?2) D

f(x?3)是奇函数

题型5：奇偶性的综合应用

例

：

（

2010

年

广

东

）

设

函

数

f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x),f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)?f(3)?0.

（1）试判断函数y?f(x)的奇偶性；

（2）试求方程f(x)?0在闭区间[?2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论.

★都还记得吗★

一、数的奇偶性的定义：

① 对于函数f(x)的定义域内任意一个

x，都有f(?x)??f(x)〔或

，则称f(x)为奇函数. 奇函数的图象关于 对称。 f(?x)?f(x)?0〕

② 对于函数f(x)的定义域内任意一个

x，都有f(?x)?f(x)〔或

，则称f(x)为偶函数. 偶函数的图象关于 对称。 f(?x)?f(x)?0〕

③ 通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）

二 、周期性的定义：

对于函数f(x)，如果存在一个 T，使得定义域内的每一个

x值，都满足

f(x?T)?f(x)，那么函数f(x)就叫做 ，非零常数T叫做这个函数

的 。

★走两步试试瞧★

3x?3?xf(x)?2在其定义域内是( ) 1．函数

A. 是增函数又是偶函数；B. 是增函数又是奇函数

C. 是减函数又是偶函数；D. 是减函数又是奇函数

2．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(1?x)?f(1?x)，则“f(x)为偶函数”是（ ）“2为函数f(x)的一个周期”的 ( )

A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件

3．若偶函数f(x)在(??,?1)上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）

3233 C．f(2)?f(?1)?f(?)；D．f(2)?f(?)?f(?1)

22

4．设函数f(x) (x∈R)为奇函数，f(1)? A．f(?)?f(?1)?f(2)；B．f(?1)?f(?)?f(2)；

321，f(x?2)?f(x)?f(2)，则f(5)?2（ ）

A．0；B．1； C．

5；D．5 2

5．已知f(x)(x?0,x?R)是奇函数,当x?0时,f?(x)?0,且f(?2)?0，则 不等式f(x)?0的解集是 （ ） A．（—2，0） B．(2,??) C．(?2,0)?(2,??) D．(??,?2)?(2,??)

6.（2009福建）定义在R上的偶函数f?x?的部分图像如右图所示， 则在??2,0?上，下列函数中与f?x?的单调性不同的是（ ） A．y?x2?1 B. y?|x|?1

x??2x?1,x?0?e,x?oC. y??3D．y???x

??e,x?0?x?1,x?0

7．（中山市09年高三统考）偶函数f(x)(x?R)满足：f(?4)?f(1)?0，且在区间[0,3]与[3,??)上分别递减和递增，则不等式xf(x)?0的解集为（ ） A．(??,?4)?(4,??)；B．(?4,?1)?(1,4)

C．(??,?4)?(?1,0)； D．(??,?4)?(?1,0)?(1,4)

8．（四川省成都市2011届高三理）已知定义域为R的函数f(x)在(8,??)上为减函数，且

y?f(x?8)函数为偶函数，则

A．f(6)?f(7) B．f(6)?f(9) C. f(7)?f(9) D. f(7)?f(10)

9.（湖南岳阳县一中2011届高三理）已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且

f(x?1)?1f(x),若f(x)在[?1,0]上是减函数,那么f(x)在[2,3]上是 ( )

A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数

10. 定义在(-∞,+∞)上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且在［-1,0］上是增函数,下面关于f(x)的判断:①f(x)是周期函数;②f(x)的图象关于直线x=1对称;③f(x)在［0,1］上是增函数;④f(x)在［1,2］上是减函数. 其中所有正确的判断是

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/qm9r.html