函数的奇偶性（精品教案）

函数的奇偶性

【考点导读】

1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性；

2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．

【基础练习】

x4?11.给出4个函数：①f(x)?x?5x；②f(x)?2；③f(x)??2x?5；④

x5f(x)?ex?e?x．

其中奇函数的有___①④___；偶函数的有____②____；既不是奇函数也不是偶函数的有____③____． 2. 设函数f?x???x?1??x?a?为奇函数，则实数

xa? －1 ．

3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ A ） A.y??x3,x?R B.y?sinx,x?R

1 C.y?x,x?R D.y?()x,x?R

2【范例解析】

例1.判断下列函数的奇偶性：

(1?2x)2（1）f(x)?； （2）f(x)?lg(x?x2?1)； x2（3）f(x)?lgx2?lg211?x； （4）； f(x)?(1?x)2x1?x2???x?x(x?0),（5）f(x)?x?x?1?1； （6）f(x)??2

??x?x(x?0).分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断．

解：（1）定义域为x?R，关于原点对称；

(1?2?x)222x?(1?2?x)2(1?2x)2???f(x), ?f(?x)?2?x22x?2?x2x所以f(x)为偶函数． （2）定义域为

x?R，关于原点对称；

?f(?x)?f(x)?lg(?x?x2?1)?lg(x?x2?1)?lg1?0，

?f(?x)??f(x)，故f(x)为奇函数．

（3）定义域为x?(??,0)?(0,??)，关于原点对称；?f(x)?0，

?f(?x)??f(x)且f(?x)?f(x)，

所以f(x)既为奇函数又为偶函数．

（4）定义域为x?[?1,1)，不关于原点对称；故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

?f(?1)?4，f(1)?2，)1?)1(f（5）定义域为x?R，关于原点对称；则f(?且f(?1)??f(1)，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数． （6）定义域为x?R，关于原点对称；

??(?x)2?(?x)(?x?0),??x2?x(x?0),???f(?x)??，?f(?x)??2又f(0)?0， 2(?x?0).(x?0).???(?x)?(?x)?x?x2???x?x(x?0),?f(?x)??2?f(?x)??f(x)，故f(x)为奇函数．

(x?0).x?x??点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称；其次，利用定义即f(?x)??f(x)或f(?x)?f(x)判断，注意定义的等价形式f(?x)?f(x)?0或f(?x)?f(x)?0．

例2. 已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且当x?0时，

2，求函数f(x)的解析式，并指出它的单调区间． f(x)?x?2x?2分析：奇函数若在原点有定义，则f(0)?0． 解：设x?0，则?x?0，?f(?x)?x2?2x?2．

又f(x)是奇函数，?f(?x)??f(x)，?f(x)??f(?x)??x2?2x?2． 当x?0时，f(0)?0．

?x2?2x?2,x?0x?0． 综上，f(x)的解析式为f(x)???0,??x2?2x?2,x?0?[1,??)，(0,1]．作出f(x)的图像，可得增区间为(??,?1]，减区间为[?1,0)，

点评：（1）求解析式时x?0的情况不能漏；（2）两个单调区间之间一般不用“?”连接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通过“?x”实现转化；（4）根据图像写单调区间．

【作业演练】

1．已知定义域为R的函数f?x?在区间?8,???上为减函数，且函数

y?f?x?8?为偶函数，则（ D ）

A．f?6??f?7? B．f?6??f?9? C．f?7??f?9? D．f?7??f?10?

2. 在R上定义的函数f?x?是偶函数，且f?x??f?2?x?，若f?x?在区间

?1,2?是减函数，则函数f?x?（ B ）

A.在区间??2,?1?上是增函数，区间?3,4?上是增函数 B.在区间??2,?1?上是增函数，区间?3,4?上是减函数 C.在区间??2,?1?上是减函数，区间?3,4?上是增函数 D.在区间??2,?1?上是减函数，区间?3,4?上是减函数

?3. 设???则使函数y?x?的定义域为R且为奇函数的所有???1,1,,3?，

?12?的值为____1，3 ___．

125 24．设函数f(x)(x?R)为奇函数，f(1)?,f(x?2)?f(x)?f(2),则

f(5)?________．

5．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(??,0]上是减函数，且

f(2)?0，则使得f(x)?0的x的取

值范围是（－2，2）．

ax2?1(a,b,c?Z)是奇函数．1(2?，f(2)?3,求a，6. 已知函数f(x)?又f)bx?cb，c的值；

1(2?，解：由f(?x)??f(x)，得?bx?c??(bx?c)，得c?0．又f)得a?1?2b， 4a?1?3，解得?1?a?2．又a?Z，?a?0或1． a?11若a?0，则b??Z，应舍去；若a?1，则b?1?Z．

2而f(2)?3，得

所以，a?1,b?1,c?0．

综上，可知f(x)的值域为{0,1,2,3,4}．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ji4o.html