浙江科技学院高数试卷2012-2013B1微积分

2012 -2013学年第一学期

一、填空题，在题中“ ”处填上正确答案（本大题共7个小题，每小题3分，共21分）．

1、设f(x)在x0处可导，且x0是f(x)的极值点，则f′(x0)= 2、比较定积分值的大小，∫lnxdx

12

∫

2

1

(lnx)2dx (>、< 或 =)．

3、函数f(x)在闭区间[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上可积的条件（必要、 充分、 充要）．

sinx

4、设函数f(x)=，则函数f(x)的微分df(x)=

x5、广义积分∫

π

π

+∞0

xe 2xdx= ． sinx

)dx= ． 1+x2

6、定积分∫(x+

7、设函数y=f(x)二阶可导，并且f′(x0)=f′′(x0)+1=0，则函数在点x0处取得极 值（大、 小）．

二、计算题（本大题共6个小题，每小题6分，共36分）．

1

1、设函数y=ln(x+arctan+e2，求y′．

x

∫2、求极限 lim

x→0

x0

tsintdt

．

x sinx

3、求不定积分

．

1

]dx，其中a,b>0是常数．

xln(bx)

4、计算不定积分

π

∫[sinax+

5、求定积分

∫

20

x(1 sinx)dx．

6、

计算定积分

∫

．

三、解答题（本题25分）

1、（12分）设函数f(x)=x3 5x2+3x+5，试解答下列问题：

（1）确定函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)的极值；（3）求f(x)的拐点及凹凸区间.

2、（7分）设f(x)=x,g(x)=elnx，试比较当0<x<e时，f(x)与g(x) 的大小．

3、（6分）设f(x)是连续函数，且∫f(t)dt=2x2+5x+3，求函数f(x)

a

x

和常数a．

四、应用题（本题18分）

1、（8分）有一处果树园，每亩地种a棵树，平均每棵树产b个果子，若每亩地多种一棵树，则平均每棵树少产c个果子，问每亩地多种多少棵树果子的产量最高，最高产量是多少？

2、（10分）求由曲线xy=1与直线y=x及x=2和x轴所围图形的面积，并求此图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

2012 -201学年第 I学期参考答案

xcosx sinx1

， 5、 ， 6、0，7、大． dx

x24

1 1 ++ 2 1二、1

、y′=1 x 1+

2x

2 1

=． ==21+x

一、1、0， 2、>， 3、 充分， 4、

2cosx xsinxsinx+xcosxxsinx

=lim=2 =lim

x→0x→0x sinxx→01 cosxx→0sinxcosx

1t

3、令1+e2x=t2，则x=ln(t2 1),dx=2dt．

t 12

1t11 11

dt=∫2dt=∫

原式=∫ 2 dt

tt 1t 12 t 1t+1

∫2、 lim

x

tsintdt

=lim

1t 11=ln+C=ln+C．

2t+121

dx 4、原式 =∫sinaxdx+∫

xln(bx)

111

d(lnbx) = cosax+ln|ln(bx)|+C． =∫sinaxd(ax)+∫

aln(bx)a

π

π2

5、原式 =∫xdx ∫

20

12 2

xsinxdx= x +∫2xdcosx

2 0

π

π

π

π

=

π2

8

+[xcosx]02 ∫2cosxdx =

π2

8

[sinx]02=

π

π2

8

1．

6

、令x=

t，则x=

tdt． 原式=π

π

2tdt

323 1 23 π 3π

． =∫(1+cos2t)dt= t+sin2t = +0 =

202 2224 0

三、1、（12分）因为f′(x)=3x2 10x+3=(3x 1)(x 3)，f′′(x)=6x 10=2(3x 5)

15

.所以由f′(x)=0得x1=,x2=3

；由f′′(x)=0得x=.

f(x)

↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

11

由上表可知：(1) 函数f(x)在( ∞,]和[3,+∞)的单调递增，在[,3]上单调递

33

11148

减；（2）函数f(x)在x=处取得极大值f(=，在x=3处取得极小值

3273

f(3)= 4.

520

由上表可知：（3）函数f(x)在( ∞,]上凸，在[,+∞)上凹，拐点为(,.

33327

ex e

2、（7分）设F(x)=f(x) g(x)=x elnx，则F′(x)=1 =．

xx

当0<x<e时，F′(x)>0. 即F(x)在0<x<e时单调增加．

故F(x)<F(0)，而F(e)=e e=0，所以F(x)<0，因此，f(x)<g(x)． 3、（6分）因为∫f(t)dt=2x2+5x+3，所以两边关于x求导得：f(x)=4x+5.

a

22

2t+5t=2x+5x 2a 5a； 因此，∫f(t)dt=∫(4t+5)dt=

x

xx

2

x

aaa

3

所以2x2+5x 2a2 5a=2x2+5x+3. 2a2+5a+3=0，故a1= 1,a2= ．

2

四、应用题（本题18分）

1、（8分）设每亩地多种x棵树产量最高，则总产量为

y=(b cx)(x+a)= cx2+(b ac)x+ab.因为y′= 2cx+(b ac)，

b acb ac

所以，由y′=0得：x=.又y′′= c<0，所以，多种棵树产量最高，

2c2cb acb acb+acb+ac(b+ac)2

+a)= =. 最高产量为：y=(b

22c22c4c

xy=1

2、（10分）由 得交点：(1,1),( 1, 1).所以，所求图形的面积为：

yx=

112 1

A=∫xdx+∫= x2 +[ln|x|]1=+ln2.

01x2 2 0

绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为：

1

2

1

Vx=π∫xdx+π∫

1

2

2

1

15 13 π ππ

=+ = +=πxππ． 2 x6 3 0 x 132

12

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