北京市海淀区2014年高三二模数学理科试题 - 图文

北京市海淀区2014年高三二模数学（理科）参考答案

2014.5

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.

1.A 2.C 3.D 4.A. 5.D 6.B 7.C 8.D

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.0?x?1{或(0,1)} 10.511.1 12.2 13.22 14.6，5050{本题第一空3分，第二空2分}

三、解答题: 本大题共6小题,共80分.

15.解：

（Ⅰ）由正弦定理可得

ab ----------------------------2分 ?sinAsinB因为a?27sinA,b?21 所以sinB?bsinA21sinA3 ---------------------------5分 ??a227sinA在锐角?ABC中，B?60? ---------------------------7分 （Ⅱ）由余弦定理可得b2?a2?c2?2accosB ----------------------------9分 又因为a?3c

所以21?9c2?c2?3c2，即c2?3-------------------------------11分 解得c?3 -------------------------------12分

b2?c2?a2?1经检验，由cosA???0可得A?90?，不符合题意，

2bc27所以c?3舍去.--------------------13分 16.解：

（Ⅰ）因为C1F//平面AEG

又C1F?平面ACC1A1，平面ACC1A1?平面AEG?AG，

GC1zA1B1F

xCEyBA

所以C1F//AG. ---------------------------------3分 因为F为AA1中点，且侧面ACC1A1为平行四边形

所以G为CC1中点，所以（Ⅱ）因为AA1?底面ABC，

所以AA1?AB，AA1?AC， ----------------------------------5分 又AB?AC，

如图，以A为原点建立空间直角坐标系A?xyz，设AB?2，则由AB?AC?AA1可得

CG1?.------------------------4分 CC12C(2,0,0),B(0,2,0),C1(2,0,2),A1(0,0,2)-----------------------------6分

因为E,G分别是BC,CC1的中点，

所以E(1,1,0),G(2,0,1). -----------------------------7分

????????EG?CA1?(1,?1,1)?(?2,0,2)?0.--------------------------------8分

????????所以EG?CA1，

所以EG?AC1. --------------------------------9分 （Ⅲ）设平面AEG的法向量n?(x,y,z)，则

?????n?AE?0,?x?y?0,?即?--------------------------10分 ?????2x?z?0.??n?AG?0,?令x?1，则y??1,z??2，所以n?(1,?1,?2).--------------------------11分 由已知可得平面A1AG的法向量m?(0,1,0)-------------------------------11分 所以cos?n,m??n?m6--------------------------------13分 ??|n|?|m|6由题意知二面角A1?AG?E为钝角， 所以二面角A1?AG?E的余弦值为?16.解：

（Ⅰ）设A车在星期i出车的事件为Ai，B车在星期i出车的事件为Bi，i?1,2,3,4,5 由已知可得P(Ai)?0.6,P(Bi)?0.5

6.--------------------------------14分 6

设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C，-------------------------------1分 因为A,B两车是否出车相互独立，且事件A1B1,A1B1互斥 ----------------2分

所以P(C)?P(A1B1?A1B1)?P(A1B1)?P(A1B1)?P(A1)P(B1)?P(A1)P(B1)

?0.6?(1?0.5)?(1?0.6)?0.5--------------------------4分

?0.5

所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分}

（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分

P(X?0)?P(A1B1)P(A2)?0.4?0.5?0.4?0.08

P(X?1)?P(C)P(A2)?P(A1B1)P(A2)?0.5?0.4?0.4?0.5?0.6?0.32 P(X?2)?P(A1B1)P(A2)?P(C)P(A2)?0.6?0.5?0.4?0.5?0.6?0.42

P(X?3)?P(A1B1)P(A2)?0.6?0.5?0.6?0.18----------------------------10分

所以X的的分布列为

0 X 0.08 P 1 0.32 2 0.42 3 0.18 --------------11分

E(X)?0?0.08?1?0.32?2?0.42?3?0.18?1.7-------------------------------13分

18.解： （Ⅰ）当a?ππ时，f(x)?(x?)sinx?cosx,x?(0,?)

22πf'(x)?(x?)cosx --------------------------------1分

2π由f'(x)?0得x? --------------------------------------2分

2f(x),f'(x)的情况如下

x x?π 2cosx f'(x) f(x) π(0,) 2π 20 0 0 π(,π) 2? ? ? ? ? ? ? ? --------------------------------------------------4分

因为f(0)?1，f(π)??1，

所以函数f(x)的值域为(?1,1). ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）f'(x)?(x?a)cosx，

①当

? -------------------------------------------------9分

所以函数f(x)的单调增区间为(,a)，单调减区间为(0,)和(a,π) ②当a?π时，f(x),f'(x)的情况如下

π?a?π时，f(x),f'(x)的情况如下 2πππx (0,) (,a) 222? ? x?a ? cosx ? 0 ? f'(x) ? 0 f(x) ? ? π2a 0 0 (a,π) ? ? ? π2x x?a cosx f'(x) f(x) π(0,) 2? π 2 0 0 ? ? π(,π) 2? ? ? ? ? ------------------------------------------------13分

ππ所以函数f(x)的单调增区间为(,π)，单调减区间为(0,).

2219.解:

x2y2?1(a?1).-------------------------------1分 （Ⅰ）由已知可设椭圆G的方程为：2?a1a2?1122?,-----------------------------------------------------2分 由e?，可得e?a222解得a2?2, ----------------------------------------------3分

x2y2?1. ------------------------------------------4分 所以椭圆的标准方程为?21（Ⅱ）法一：

设C(x0,y0),且x0?0，则D(?x0,y0). ----------------------------------------5分 因为A(0,1),B(0,?1), 所以直线AC的方程为y?y0?1x?1. ----------------------------------------6分 x0令y?0，得xM??x0?x0,0). ------------------------------------7分 ，所以M(y0?1y0?1y0?1?x0x?1，求得N(,0).-----------------------8分

y0?1?x0同理直线BD的方程为y?

?????????x0?x0AM?(,?1),AN?(,?1), -----------------------------------------9分

1?y01?y0??????????x02所以AM?AN??1, --------------------------------------10分

1?y02x2?y2?1上，所以x02?2(1?y02),-------------------11分 由C(x0,y0)在椭圆G：2?????????所以AM?AN??1?0, -----------------------------13分

所以?MAN?90?,

所以，以线段MN为直径的圆不过点A.------------------------------14分 法二：因为C,D关于y轴对称，且B在y轴上

所以?CBA??DBA. ------------------------------------------5分 因为N在x轴上，又A(0,1),B(0,?1)关于x轴对称

所以?NAB??NBA??CBA, ------------------------------------------6分 所以BC//AN, -------------------------------------------7分 所以?NAC?180???ACB, ------------------------------------------8分 设C(x0,y0),且x0?0，则x02?2(1?y02). ----------------------------------------9分

????????3因为CA?CB?(x0,y0?1)(x0,y0?1)?x02?(y02?1)?x02?0,----------------11分

2所以?ACB?90?, -----------------------------------12分 所以?NAC?90?, ----------------------------------13分 所以，以线段MN为直径的圆不过点A. -------------------------------14分 法三：设直线AC的方程为y?kx?1，则M(?,0)， ---------------------------------5分

1k?x2?2y2?2?0,化简得到x2?2(kx?1)2?2?0， ??y?kx?1,所以(1?2k2)x2?4kx?0，所以x1?0,x2??4k, -----------------------------6分

2k2?1?4k?2k2?1?1?所以y2?kx2?1?k2,

2k?12k2?1?4k?2k2?1,)， ----------------------------7分 所以C(22k?12k2?14k?2k2?1,).----------------------------8分 因为C,D关于y轴对称，所以D(22k?12k2?1

?2k2?1?1212k?1所以直线BD的方程为y?x?1，即y?x?1.------------------10分 4k2k22k?1令y?0，得到x?2k，所以N(2k,0). --------------------11分 ?????????1AM?AN?(?,?1)?(2k,?1)??1?0, ----------------------12分

k所以?MAN?90?, ----------------------------------13分 所以,以线段MN为直径的圆恒过(0,2)和(0,?2)两点.--------------------------14分

????????{法4 :转化为文科题做，考查向量AC?AN的取值}

20.解：

（Ⅰ）d1?10,d2?7,d2014?2---------------------------3分 （Ⅱ）法一：

①当d?2时，则(a,b,c)?(a,a?1,a?2)

所以f1(a,a?1,a?2)?(a?1,a?2,a)，d1?a?2?a?2，

由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数a?2变为最小数a，最小数a和次 小数a?1分别变为次小数a?1和最大数a?2，所以数组的极差不会改变. 所以，当d?2时，dn?d(n?1,2,3,?)恒成立. ②当d?3时，则f1(a,b,c)?(a?1,b?1,c?2)

所以d1?b?1?(a?1)?b?a?c?a?d或d1?c?2?(a?1)?d?3 所以总有d1?d.

综上讨论，满足dn?d(n?1,2,3,?)的d的取值仅能是2.---------------------8分 法二：

因为a?b?c，所以数组(a,b,c)的极差d?c?a?2

所以f1(a,b,c)?(a?1,b?1,c?2)，

若c?2为最大数，则d1?c?2?(a?1)?c?a?3?d 若b?1?c?2?a?1，则d1?(b?1)?(a?1)?b?a?c?a?d 若b?1?a?1?c?2，则d1?(b?1)?(c?2)?b?c?3， 当b?c?3?d时，可得b?c?3?2，即b?1?c 由b?c可得b?1?c 所以b?1?c

将c?b?1代入b?c?3?c?a得b?a?1

所以当(a,b,c)?(a,a?1,a?2)时，dn?2（n?1,2,3,?）

由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数a?2变为最小数a，最小数a和次小 数a?1分别变为次小数a?1和最大数a?2，所以数组的极差不会改变. 所以满足dn?d(n?1,2,3,?)的d的取值仅能是2. ---------------------8分 （Ⅲ）因为a,b,c是以4为公比的正整数等比数列的三项，

所以a,b,c是形如m?4k（其中m?N*）的数，

1k?1k?1又因为4k?(3?1)k?3k?Ck3???Ck3?1

所以a,b,c中每两个数的差都是3的倍数.

所以(a,b,c)的极差d0是3的倍数.------------------------------------------------9分 法1：设fi(a,b,c)?(ai,bi,ci)，不妨设a?b?c，

依据操作f的规则，当在三元数组fi(a,b,c)（i?1,2,3,?,x，x?N）中，总满足ci是唯一最大数，ai是最小数时，一定有a?x?b?x?c?2x，解得x?所以，当i?2,3,?,c?b. 3c?b?1时，di?ci?ai?(ci?1?2)?(ai?1?1)?di?1?3. 3fc?b(a,b,c)?(33a?c?bc?2bc?2b,,)，dc?b?b?a 3333c?bc?bc?b,?1,?,?y，y?N）3333a?c?bc?2b中，总满足ci?bi是最大数，ai是最小数时，一定有?2y??y，解得

33b?a. y?3c?bc?bc?a所以，当i?,?1,?,?1时，di?ci?ai?(ci?1?1)?(ai?1?2)?di?1?3.

333依据操作f的规则，当在三元数组fi(a,b,c)（i?fc?a(a,b,c)?(3a?b?ca?b?ca?b?c,,)，dc?a?0 3333所以存在n?c?a，满足fn(a,b,c)的极差dn?0.--------------------------------13分 3法2：设fi(a,b,c)?(ai,bi,ci)，则

①当(ai,bi,ci)中有唯一最大数时，不妨设ai?bi?ci，则

ai?1?ai?1,bi?1?bi?1,ci?1?ci?2，

所以bi?1?ai?1?bi?ai,ci?1?ai?1?ci?ai?3,ci?1?bi?1?ci?bi?3

所以，若bi?ai,ci?ai,ci?bi是3的倍数，则bi?1?ai?1,ci?1?ai?1,ci?1?bi?1是3的倍数. 所以bi?3?ci，则di?3，ci?1?bi?1?ci?bi?3?0， 所以ai?1?bi?1?ci?1

所以di?1?ci?1?ai?1?ci?ai?3?di?3-------------------------------------------11分 ②当(ai,bi,ci)中的最大数有两个时，不妨设ai?bi?ci，则

ai?1?ai?2,bi?1?bi?1,ci?1?ci?1，

所以bi?1?ai?1?bi?ai?3,ci?1?ai?1?ci?ai?3,ci?1?bi?1?ci?bi，

所以，若bi?ai,ci?ai,ci?bi是3的倍数，则bi?1?ai?1,ci?1?ai?1,ci?1?bi?1是3的倍数. 所以ai?3?bi，则di?3，bi?1?ai?1?bi?ai?3?0 所以di?1?bi?1?ai?1?bi?ai?3?di?3.

所以当di?3时，数列{di}是公差为3的等差数列.------------------------------12分 当di?3时，由上述分析可得di?1?0，此时ai?1?bi?1?ci?1?所以存在n?a?b?c 3d，满足fn(a,b,c)的极差dn?0.----------------------------------13分 3

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