杨老师在线小学数学

篇一：精品课程 七年级数学上册同步讲义 杨老师数学在线

江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷

（江西师大附中使用）高三理科数学分析

试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础

试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度

选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察

在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。

二、亮点试题分析

1．【试卷原题】11.已知A,B,C是单位圆上互不相同的三点，且满足AB?AC，则ABAC?的最小值为（ ）

?

?

??

1

41B．?

23C．?

4D．?1

A．?

【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。解法较多，属于较难题，得分率较低。

???

【易错点】1．不能正确用OA，OB，OC表示其它向量。

????

2．找不出OB与OA的夹角和OB与OC的夹角的倍数关系。

???

【解题思路】1．把向量用OA，OB，OC表示出来。

2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。

??2??2

【解析】设单位圆的圆心为O，由AB?AC得，(OB?OA)?(OC?OA)，因为

??????

，所以有，OB?OA?OC?OA则OA?OB?OC?1??????

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所以，AB?AC?cos2??2cos??1?2(cos??)2?

22

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即，AB?AC的最小值为?，故选B。

2

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【举一反三】

【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD中,已知

AB//DC,AB?2,BC?1,?ABC?60? ,动点E和F分别在线段BC和DC上,且,????????????1????????????BE??BC,DF?DC,则AE?AF的最小值为.

9?

【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何

????????????????运算求AE,AF，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE?AF，体

现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】

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【解析】因为DF?DC,DC?AB，

9?2

????????????1????????1?9?????1?9?????CF?DF?DC?DC?DC?DC?AB，

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当且仅当. ??即??时AE?AF的最小值为

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2．【试卷原题】20. （本小题满分12分）已知抛物线C的焦点F?1,0?，其准线与x轴的

?

交点为K，过点K的直线l与C交于A,B两点，点A关于x轴的对称点为D． （Ⅰ）证明：点F在直线BD上； （Ⅱ）设FA?FB?

?

?

8

，求?BDK内切圆M的方程. 9

【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。

【易错点】1．设直线l的方程为y?m(x?1)，致使解法不严密。

2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。 【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。 2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。 3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。

【解析】（Ⅰ）由题可知K??1,0?，抛物线的方程为y2?4x

则可设直线l的方程为x?my?1，A?x1,y1?,B?x2,y2?,D?x1,?y1?， 故?

?x?my?1?y1?y2?4m2

整理得，故 y?4my?4?0?2

?y?4x?y1y2?4

2

?y2?y1y24?

则直线BD的方程为y?y2?x??x?x2?即y?y2???

x2?x1y2?y1?4?

yy

令y?0，得x?12?1，所以F?1,0?在直线BD上.

4

?y1?y2?4m2

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知?，所以x1?x2??my1?1???my2?1??4m?2，

?y1y2?4

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84

,?m??，故直线l的方程为3x?4y?3?0或3x?4y?3?0 93

故直线

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3?0或3x?3?0，又KF为?BKD的平分线，

3t?13t?1

,故可设圆心M?t,0???1?t?1?，M?t,0?到直线l及BD的距离分别为54y2?y1?

?-------------10分 由

3t?15

?

3t?143t?121

? 得t?或t?9（舍去）.故圆M的半径为r?

953

2

1?4?

所以圆M的方程为?x???y2?

9?9?

【举一反三】

【相似较难试题】【2014高考全国，22】 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线5

y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝4（1）求C的方程；

（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．

【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同. 【答案】（1）y2＝4x.

（2）x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 【解析】（1）设Q(x0，4)，代入

y2＝2px，得

x0＝，

p

8

8pp8

所以|PQ|，|QF|＝x0＝＋.

p22p

p858

由题设得＋＝p＝－2(舍去)或p＝2，

2p4p所以C的方程为y2＝4x.

（2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.

故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)， |AB|m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)．

1

又直线l ′的斜率为－m，

所以l ′的方程为x＋2m2＋3.

m将上式代入y2＝4x，

4

并整理得y2＋－4(2m2＋3)＝0.

m设M(x3，y3)，N(x4，y4)，

则y3＋y4y3y4＝－4(2m2＋3)．

m

4

?22?

2故线段MN的中点为E?22m＋3，－，

m??m

|MN|＝

4（m2＋12m2＋1

1＋2|y3－y4|＝.

mm2

1

由于线段MN垂直平分线段AB，

1

故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝，

211

22从而＋|DE|＝2，即 444(m2＋1)2＋

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m4

化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1， 故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

三、考卷比较

本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面： 1. 对学生的考查要求上完全一致。

即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则． 2. 试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4 个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。题型分值完全一样。选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。

3. 在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。

篇二：精品课程 九年级数学上册同步讲义 杨老师数学在线

江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷

（江西师大附中使用）高三理科数学分析

试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础

试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度

选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察

在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。

二、亮点试题分析

1．【试卷原题】11.已知A,B,C是单位圆上互不相同的三点，且满足AB?AC，则ABAC?的最小值为（ ）

?

?

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1

41B．?

23C．?

4D．?1

A．?

【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。解法较多，属于较难题，得分率较低。

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【易错点】1．不能正确用OA，OB，OC表示其它向量。

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2．找不出OB与OA的夹角和OB与OC的夹角的倍数关系。

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【解题思路】1．把向量用OA，OB，OC表示出来。

2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。

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【解析】设单位圆的圆心为O，由AB?AC得，(OB?OA)?(OC?OA)，因为

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，所以有，OB?OA?OC?OA则OA?OB?OC?1??????

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所以，AB?AC?cos2??2cos??1?2(cos??)2?

22

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即，AB?AC的最小值为?，故选B。

2

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【举一反三】

【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD中,已知

AB//DC,AB?2,BC?1,?ABC?60? ,动点E和F分别在线段BC和DC上,且,????????????1????????????BE??BC,DF?DC,则AE?AF的最小值为.

9?

【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何

????????????????运算求AE,AF，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE?AF，体

现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】

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【解析】因为DF?DC,DC?AB，

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当且仅当. ??即??时AE?AF的最小值为

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2．【试卷原题】20. （本小题满分12分）已知抛物线C的焦点F?1,0?，其准线与x轴的

?

交点为K，过点K的直线l与C交于A,B两点，点A关于x轴的对称点为D． （Ⅰ）证明：点F在直线BD上； （Ⅱ）设FA?FB?

?

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8

，求?BDK内切圆M的方程. 9

【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。

【易错点】1．设直线l的方程为y?m(x?1)，致使解法不严密。

2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。 【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。 2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。 3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。

【解析】（Ⅰ）由题可知K??1,0?，抛物线的方程为y2?4x

则可设直线l的方程为x?my?1，A?x1,y1?,B?x2,y2?,D?x1,?y1?， 故?

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整理得，故 y?4my?4?0?2

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则直线BD的方程为y?y2?x??x?x2?即y?y2???

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令y?0，得x?12?1，所以F?1,0?在直线BD上.

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（Ⅱ）由（Ⅰ）可知?，所以x1?x2??my1?1???my2?1??4m?2，

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故FA?FB??x1?1??x2?1??y1y2?x1x2??x1?x2??5?8?4m，

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,?m??，故直线l的方程为3x?4y?3?0或3x?4y?3?0 93

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BD的方程3x?

3?0或3x?3?0，又KF为?BKD的平分线，

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,故可设圆心M?t,0???1?t?1?，M?t,0?到直线l及BD的距离分别为54y2?y1?

?-------------10分 由

3t?15

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3t?143t?121

? 得t?或t?9（舍去）.故圆M的半径为r?

953

2

1?4?

所以圆M的方程为?x???y2?

9?9?

【举一反三】

【相似较难试题】【2014高考全国，22】 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线5

y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝4（1）求C的方程；

（2）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程．

【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同. 【答案】（1）y2＝4x.

（2）x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 【解析】（1）设Q(x0，4)，代入

y2＝2px，得

x0＝，

p

8

8pp8

所以|PQ|，|QF|＝x0＝＋.

p22p

p858

由题设得＋＝p＝－2(舍去)或p＝2，

2p4p所以C的方程为y2＝4x.

（2）依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.

故线段的AB的中点为D(2m2＋1，2m)， |AB|m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)．

1

又直线l ′的斜率为－m，

所以l ′的方程为x＋2m2＋3.

m将上式代入y2＝4x，

4

并整理得y2＋－4(2m2＋3)＝0.

m设M(x3，y3)，N(x4，y4)，

则y3＋y4y3y4＝－4(2m2＋3)．

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由于线段MN垂直平分线段AB，

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故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝，

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化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1， 故所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.

三、考卷比较

本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面： 1. 对学生的考查要求上完全一致。

即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则． 2. 试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4 个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。题型分值完全一样。选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。

3. 在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。

篇三：小学六年级奥数 杨老师讲座

第 1 讲 比较分数的大小 同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小 的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样 的方法。 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种 情况，其中前两种情况判别大小的方法是： 分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； 分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； 分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。 分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。 第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使 它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。 由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们 介绍另外几种方法。 1.“通分子”。 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小 时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分 子”。 2.化为小数。这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简 便，就要看具体情况了。 3.先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可以先约分。4.根据倒数比较大小。5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两 个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况： （1）对于分数 m 和 n，若 m＞k，k＞n，则 m＞n。（2）对于分数 m 和 n，若 m-k＞n-k，则 m＞n。前一个差比较小，所以 m＜n。（3）对于分数 m 和 n，若 k-m＜k-n，则 m＞n。注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数 k 小于原来的两个分数 m 和 n；（3）中借助的数 k 大于原来的两个分数 m 和 n。 （4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一 定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数 容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。比较分数大小的方法还有很多，同学们可以在学习中不断发现总结，但无论 哪种方法，均来源于：“分母相同，分子大的分数大；分子相同，分母小的分数 大”这一基本方法。 练习 1 1.比较下列各组分数的大小：第 2 讲 巧求分数 我们经常会遇到一些分数的分子、 分母发生变化的题目， 例如分子或分母加

、 减某数，或分子与分母同时加、减某数，或分子、分母分别加、减不同的数，得 到一个新分数，求加、减的数，或求原来的分数。这类题目变化很多，因此解法 也不尽相同。数。分析：若把这个分数的分子、分母调换位置，原题中的分母加、减 1 就变成 分子加、减 1，这样就可以用例 1 求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的 分数，再求倒数即可。个分数。 分析与解： 分析与解：因为加上和减去的数不同，所以不能用求平均数的方法求解。，这个分数是多少？ 分析与解： 分析与解：如果把这个分数的分子与分母调换位置，问题就变为：这个分数是多少？ 于是与例 3 类似，可以求出在例 1～例 4 中，两次改变的都是分子，或都是分母，如果分子、分母同时 变化，那么会怎样呢？数 a。 分析与解： 分析与解：分子减去 a，分母加上 a，（约分前）分子与分母之和不变，等 与解 于 29+43=72。约分后的分子与分母之和变为 3+5=8，所以分子、分母约掉45-43=2。求这个自然数。同一个自然数，得到的新分数如果不约分，那么差还是 45，新分数约分后变例 7 一个分数的分子与分母之和是 23，分母增加 19 后得到一个新分数，分子与分母的和是 1+5=6，是由新分数的分子、分母同时除以 42÷6=7 得到分析与解： 分析与解：分子加 10，等于分子增加了 10÷5=2（倍），为保持分数的大小 不变，分母也应增加相同的倍数，所以分母应加 8×2=16。在例 8 中，分母应加的数是在例 9 中，分子应加的数是由此，我们得到解答例 8、例 9 这类分数问题的公式： 分子应加（减）的数=分母所加（减）的数×原分数； 分母应加（减）的数=分子所加（减）的数÷原分数。分析与解： 分析与解：这道题的分子、分母分别加、减不同的数，可以说是这类题中最 难的，我们用设未知数列方程的方法解答。（2x+2）×3=（x+5）×4， 6x+6=4x+20， 2x=14， x=7。练习 2是多少？第 3 讲 分数运算的技巧 对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特 殊的运算技巧，才能提高运算速度，解答较难的问题。 1.凑整法 凑整法 与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运 算律（如交换律、结合律、分配律），使部分的和、差、积、商成为整数、整十 数……从而使运算得到简化。2.约分法 约分法3.裂项法 裂项法 若能将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，则能 大大简化运算。例 7 在自然数 1～100 中找出 10 个不同的数，使这 10 个数的倒数的和等 于 1。 分析与解： 分析与解

：这道题看上去比较复杂，要求 10 个分子为 1，而分母不同的就非常简单了。括号。此题要求的是 10 个数的倒数和为 1，于是做成：所求的 10 个数是 2，6，12，20，30，42，56，72，90，10。的 10 和 30，仍是符合题意的解。 4.代数法 代数法5.分组法 分组法分析与解 分析与解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母为 n 的分数之和为原式中分母为 2～20 的分数之和依次为练习 38.在自然数 1～60 中找出 8 个不同的数，使这 8 个数的倒数之和等于 1。第 4 讲 循环小数与分数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循 环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小 数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。（1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数 2 和 5，化因为 40=23×5，含有 3 个 2，1 个 5，所以化成的小数有三位。 （2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数 2 和 5。 （3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数 2 或 5， 又含有 2 和 5 以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。 于是我们得到结论： 一个最简分数化为小数有三种情况： 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数 2 和 5，那么这个分数一定能化成有限小数， ） ，那么这个分数一定能化成有限小数， 中个数较多的那个数的个数； 并且小数部分的位数等于分母中质因数 2 与 5 中个数较多的那个数的个数； 以外的质因数， （2）如果分母中只含有 2 与 5 以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯 ） 循环小数； 循环小数；以外的质因数， （3）如果分母中既含有质因数 2 或 5，又含有 2 与 5 以外的质因数，那么 ） ， 这个分数一定能化成混循环小数， 这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数 2 中个数较多的那个数的个数。 与 5 中个数较多的那个数的个数。 例 1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能 化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？分析与解： 分析与解：上述分数都是最简分数，并且 32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13， 117=33×13，850=2×52×17， 根据上面的结论，得到：不循环部分有两位。 将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较 熟悉将有限小数化成分数的方

法， 而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚 了。 我们分纯循环小数和混循环小数两种情况， 讲解将循环小数化成分数的方法。 1.将纯循环小数化成分数。将上两式相减，得将上两式相减，得从例 2、例 3 可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。 纯循环小数化成分数的方法： 纯循环小数化成分数的方法： 小数化成分数的方法 分数的分子是一个循环节的数字组成的数， 分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是 9，9 的个数 ， 与循环节的位数相同。 与循环节的位数相同。2.将混循环小数化成分数。将上两式相减，得将上两式相减，得从例 4、例 5 可以总结出将混循环小数化成分数的方法。 混循环小数化成分数的方法： 混循环小数化成分数的方法： 分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的 减去不循环数字所组成的数所得的差； ， 数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是 9，末几位数字 的个数与循环节的位数相同， 的个数与不循环部分的位数相同。 0 都是 0， ， 其中 9 的个数与循环节的位数相同， 的个数与不循环部分的位数相同。掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地进行循环小数的运算 了。 例 6 计算下列各式：练习 4 1.下列各式中哪些不正确？为什么？2.划去小数 0.27483619 后面的若干位，再添上表示循环节的两个圆点，得 到一个循环小数，例如 0.274836。请找出这样的小数中最大的与最小的。 3.将下列纯循环小数化成最简分数：4.将下列混循环小数化成最简分数：5.计算下列各式：工程问题（ 第 5 讲 工程问题（一） 顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的 内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。 在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是： 工作量=工作效率 工作时间 工作量 工作效率×工作时间， 工作效率 工作时间， 工作时间=工作量 工作效率 工作时间 工作量÷工作效率， 工作量 工作效率， 工作效率=工作量 工作时间 工作效率 工作量÷工作时间。 工作量 工作时间。 工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数 1 表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意义是单位时间里所干的工作量。单位时 间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。 工作效率的单位是一个复合单位，表示成“工作量/天”，或“工作量/时”等。但 在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。 例 1 单独干某项工程，甲队需 100

天完成，乙队需 150 天完成。甲、乙两 队合干 50 天后，剩下的工程乙队干还需多少天？ 分析与解： 分析与解：以全部工程量为单位 1。甲队单独干需 100 天，甲的工作效例 2 某项工程，甲单独做需 36 天完成，乙单独做需 45 天完成。如果开工 时甲、乙两队合做，中途甲队退出转做新的工程，那么乙队又做了 18 天才完成 任务。问：甲队干了多少天？ 分析： 分析：将题目的条件倒过来想，变为“乙队先干 18 天，后面的工作甲、乙两 队合干需多少天？”这样一来，问题就简单多了。答：甲队干了 12 天。 例 3 单独完成某工程，甲队需 10 天，乙队需 15 天，丙队需 20 天。开始 三个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了 6 天完成这一工程。 问：甲队实际工作了几天？ 分析与解： 分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6 天，去掉乙、丙两队 6 天的工作 量，剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了例 4 一批零件，张师傅独做 20 时完成，王师傅独做 30 时完成。如果两人 同时做， 那么完成任务时张师傅比王师傅多做 60 个零件。 这批零件共有多少个？ 分析与解： 分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，单开放水管 5 时可将空池灌满， 例 5 一水池装有一个放水管和一个排水管， 单开排水管 7 时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管 1 时后又打 开排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水？例 6 甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需 60 分钟，乙需 40 分钟。出发后 5 分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了 5 分钟。 甲再出发后多长时间两人相遇？ 分析： 分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用 时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发 5 分钟后返回，路上耽误 10 分钟， 再加上取东西的 5 分钟，等于比乙晚出发 15 分钟。我们将题目改述一下：完成 一件工作，甲需 60 分钟，乙需 40 分钟，乙先干 15 分钟后，甲、乙合干还需多 少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。答：甲再出发后 15 分钟两人相遇。练习 5 1.某工程甲单独干 10 天完成， 乙单独干 15 天完成， 他们合干多少天才可完 成工程的一半？ 2.某工程甲队单独做需 48 天，乙队单独做需 36 天。甲队先干了 6 天后转 交给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了 10 天，将工程做完。求乙队在 中间单独工作的天数。 3.一条水渠，甲、乙两队合挖需 30 天完工。现在合挖 12 天后，剩下的乙队 单独又挖了 24 天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多

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