控制工程基础 - -第三章系统数学模型建立

第三章 系统数学模型建立

第一节数学模型

一、数学模型的概念

用来描述系统动态特性的一组数学表达式 形式包括微分方程、传递函数、频率特性 二、数学模型的建立方法

1、微分方程是基本的数学模型，第一步即建立系统的微分方程。

2、对于实际的系统，或多或少含有非线性因素，如果非线性因素对系统输出影响很小，可忽略不计，这样，可简化系统的微分方程，以利于对系统的求解、分析。但是，若非线性因素对系统的输出有一定影响，忽略非线性因素的结果，造成对系统的分析结果不能反映系统的实际情况，这样分析就变得无意义，这种情况下，条件容许可采用线性性化的办法，或计算机辅助分析和用非线性理论来分析。

第二节系统微分方程的建立

一步骤

1、分析系统的组成，系统及环节的输入、输出。 2、建立每个环节输入、输出的函数关系。 3、对非线性方程线性化。

4、消除中间变量，建立只含有系统输入、输出及系统结构性能参数的微分方程。微分方程的一般表达式写作

any(t)?an?1y(m)二、机械系统

(n)(n?1)(t)???a1y?(t)?a0y(t)(t)???b1x?(t)?b0x(t)

?bmx(t)?bm?1x(m?1)1、典型元件：

质量元件 阻尼元件 弹性元件

xi c m x0 x(t) d(xi?x0)2 cdx(t) mdt 2 dt

?i J c θ k x(t) kx(t) ?(t) k ?? J??0 ????) c(?i0k?

2、机械平移系统

例1：系统如图示，建立系统的微分方程。 解：

?F??0 F1?F2?F3?F4?0 f(t)?md2x(t) dt2?cdx(t)dt?kx(t)?0 d2mx(t)dt2?cdx(t) dt?kx(t)?f(t)

例2：系统如图示，建立系统的微分方程。

解：设中间变量为x(t)，其力平衡方程为

??k1(xi?x0)?c(dx0?dx)?dt??c(dx0dxdtdt?dt)?k2x

3、机械回转系统 例3：

解：由图示系统，可得系统微分方程为

k f (t) F1 m c x(t) F1 F2 F3 xi k1 c x0 k2 x k J c θ T 2Jd?d?dt2?cdt?k??T

三、电气系统 1、常用元件

电阻 电容 电感

R c

u u

u=iR 1 u? c?idt

2举例

例1，建立R-C电路的微分方程。 解：R-C电路如图，设电路电流为i

ui?iR?u0u?1du00c?idt?i?cdt代入得:Rcdu0

dt?u0?ui

例2：建立R-L-C电路的微分方程。 解：R-L-C电路如图，设电路电流为i

L u u?Ldidt R ui c u0 R L ui c u0 diui?iR?L?u0dtdu01u0??idt?i?ccdt2 du0du0代入得:Lc2?Rc?u0?uidtdt

例3：建立图示有源网络的微分方程。 解：

图2-3 所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电枢电压Ua(t)(v)为输入量，电动机转速ωm(t)(rad/s)为输出量，列写微分方程。图中Ra(Ω)、La(H)分别是电枢电路的电阻和电感，Mc(N·M)是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁通为常值。

＋-La＋UaiaifRaWmEaSM负载Jm,fm-图2-3 电枢控制直流电动机原理图解： 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压Ua(t)在电枢回路中产生电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。 ?电枢回路电压平衡方程?电磁转距方程?电动机轴上的转距平衡方程 电枢回路电压平衡方程：

dia(t)Ua(t)?La?Raia(t)?EadtEa 是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压Ua(t)相反，即

Ea=Ceωm(t)

Ce－反电势系数(v/rad/s) 电磁转距方程：

电动机轴上的转距平衡方程：

Mm(t)?Cmia(t)消去中间变量得

d?m(t)Jm?fm?m(t)?Mm(t)?Mc(t)d2?mdt(t)d?m(t)LaJm?(Lafm?RaJm)?(Rafm?CmCe)?m(t)2dtdtdMc(t)?CmUa(t)?La?RaMc(t)dt

第三节非线性微分方程的线性化

一、线性化的概念

1、线性与非线性略去高于一次导数项 二、举例

例：建立图示水箱水位系统的微分方程。输入Qi，输出h

Qi h s Q0 解：

(Qi?Q0)dt?sdhdhs?Q0?QidtQ0??hdhs??dt将线性化

h?Qih?h0?12h0?h

代入原方程，把变量表示为额定点与增量和的形式。

d(h0??h)1s??(h0??h)?Qi0??Qidt2h0d?h?s??h0??h?Qi0??Qidt2h0由静态方程?h0?Qi0d?h?dh??s??h??Qi或写为s?h?Qidtdt2h02h0

解：

(Qi?Q0)dt?sdhdhs?Q0?QidtQ0??hdhs??dt将线性化

h?Qih?h0?12h0?h

代入原方程，把变量表示为额定点与增量和的形式。

d(h0??h)1s??(h0??h)?Qi0??Qidt2h0d?h?s??h0??h?Qi0??Qidt2h0由静态方程?h0?Qi0d?h?dh??s??h??Qi或写为s?h?Qidtdt2h02h0

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