第三章 平稳时间序列模型的建立

应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教 材

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第三章 平稳时间序列模型的建立 本章首先介绍利用时间序列的样本统计特征识别 时间序列模型，然后分别介绍模型定阶、模型估 计和模型检验的多种方法，对Box-Jenkins建模 方法和Pandit-Wu建模方法归纳总结，最后给出 实际案例。

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第一节 模型识别与定阶 一、 自相关函数和偏自相关函数的估计 (一)自协方差函数和自相关函数的估计

1 k N

N k k 1

yN k k 1

t

y yt k y , k 0,1,...

1 N k* k

y

t

y yt k y , k 0,1,...

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k k , k 0,1,... 0* * k k , k 0,1,... 0

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* k k 是平稳时间序列自协方差的无偏估计量； 1)

则是平稳时间序列自协方差的渐进无偏估计量。 0 1 ... k 1 2) 1 0 k ... ... k 1 k 2... k 2 ... ... ... 0

通常是正定的。

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(二)偏自相关函数的估计

1 1 s 1

1 1 s 2

s 1 1 s1 s 2 2 s2 s ss 1

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二、 模型的初步识别

k 截尾性的判断 (一) 若yt是一个真实MA(q)模型 ，

q 1 2 k ~ N 0, N (1 2 s ) k 1

P | k |

1

) 68.3% (1 2 N s 1 q 2 s 1 2

P | k |

2

) 95.5% (1 2 N s 1 q 2 s 1 2

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例1,某资产组合过去100个交易日收益率情况

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

0

20

40

60

80

100

120

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k i , i 1,2,...10 根据数据可以得出， N 100 , M 100 10,

k

q 1 s2 ) ( 1 2 1 时， N s 1

1/ 2

1 2 0.1 1 2 - 0.025 10

11 -0.011 3 -0.125, 2 -0.278, i 1,2,...., 10 时， k i 0.1 ..., , 满足 6 的比例为 10 60 % ,小于 68.3%。

k

q

1 s2 ) ( 1 2 2 时， N s 1

1/ 2

1 2 2 - 0.278 2 0.1075 1 2 - 0.025 10

3 i 1,2,...., 10 时，

-0.125, 4

-0.037...,

12 0.042, k i 0.1075 满足

7 的比例为 10 70 % ,大于 68.3%。因此该序列自相关函数在 2 阶截尾。

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(二)偏相关系数截尾性的判断 若yt是一个AR(p)过程 ，

s p

kk

~ N (0,

1 ) N

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ss | 1 p | ss | 2 p |

N 68.3%N 95.5%

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(三) ARMA(p,q)模型识别

模型

AR(p)

MA(q)

ARMA(p,q)

ACF

拖尾

截尾

拖尾

PACF

截尾

拖尾

拖尾

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三、模型的定阶1、残差的方差

残差的方差 实际观测值个数-模型的参数个数2

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AR(p)的模型为 X t 1 X t p X t p at ,则有效的样本容 量为 N-P,估计的参数为 (p+1),所以 AR(p)的残差方差为： 2 残差平方和 残差平方和 或 N p ( p 1) N 2p 2 的模型残差方差: 残差平方和 残差平方和 或 N (q 1) N q残差平方和 残差平方和 或 N p ( p q 1) N p ( p q)

MA(q)

ARMA(p,q)

2 的模型残差方差:

残差方差小，相应的阶数合理。

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模型

残差平方和

自由度

残差方差

AR(1) AR(2)AR(3)

8184.654 7920.0377919.2947

68 6766

120.03095 117.76331119.53610

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模型的残差方差图 8250 8200 8150 8100 8050 8000 7950 7900 7850 7800 7750 AR(1) AR(2) 模型类别 AR(3)

残差方差

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2、ACF和PACF定阶法模 型 AR(p) 拖 尾 截 尾 MA(q) 截 尾 拖 尾 ARMA(p,q) 拖 尾 拖 尾

自相关函数(ACF) 偏自相关函数 (PACF)

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(三)F 检验定阶法 利用方差分析的工具，比较 ARMA(p,q)模型和 ARMA(p-1,q-1)的残差平方和，用 F 检验判定阶数降低 后的模型与原来的模型之间是否存在显著性差异。 做法是： 拟合 ARMA(p,q)和 ARMA(p-1,q-1)模型，并记模 型的残差平方和为 Q0 和 Q1 , df0 和 df 分别为其自由度。检验1

的原假设为：

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H 0: p 0, q 0 ; H1: p 0或 q 0

检验的统计量Q1

Q0 Q0 F ~ F (df1 df 2 , n 2 p q 1) df1 df 2 N p ( p q 1)

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残差平方和

自由度

残差方差

模型

MA(1) MA(2) MA(3) MA(4)

80065.71 72345.91 71123.96 71104.13

58 57 56 55

37.1543 35.6262 35.6381 35.9956

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H 0 : 4 0Q1 Q0 F 1

H1 : 4 0

71123.96 71104.13 Q0 1 0.015 60 5 71104.13 / 55

两模型几乎没有差异。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/vmwe.html