西南财经大学级博士高级计量复习题张卫东答案

一、就本期学习而言，请尽可能多地列举自己认为所学到的新知识点，并

就其中感受深刻的两点，给出自己的学习体会或感悟。(一般不会考)

二、在本学期的学习中，有如下的古典假定：

（1）强外生性(|)0i E ε=X ；（2）球型扰动2(|)Var Cov εσ-=X I ；

（3）弱外生性(,|)0ji i Cov x ε=X ；（4）满秩()Rank k =X ；（5）正态性2~(0,)i N εσ。

简述自己对这些古典假定的认识，以及这些假设对参数估计统计性质的作用。

解答：（1）零均值，即()(|)0,|0i ij i E Cov x εε=?=X X ；

（2）同方差与无自相关假定，即随机扰动项的方差2(|)T Var εσ=X I ；

（3）随机扰动项与解释变量不相关，即(,|)0ji i Cov x ε=X ；

（4）无多重共线性，即各解释变量之间线性无关，()Rank k =X ；

（5）正态性假定，即2~(0,)i N εσ。

以上假设条件可总结为：①解释变量的强外生性；②球形扰动；③解释变量的外生性；④满秩；⑤正态性。而它们的作用在于：

第一，条件均值为零（或强外生性）能保证最小二乘估计量的无偏性。 第二，球形扰动，是指随机扰动项的方差-协方差矩阵为同方差和无自相关同时成立时的情况。违反此假设条件，被称为非球形扰动，将会影响到参数估计的有效性问题。

第三，外生性条件，表示随机扰动项中不包含有解释变量的任何信息。注意，外生性条件的不同表述方式和内涵。外生性条件的违反将影响到参数估计的一致性问题。

第四，满秩性条件，它是为了保证条件期望的唯一性，参数可求解。 第五，正态性条件，它主要与我们的统计检验和推断有关，用于推断估计式的分布。

三、对于线性模型 y X βε=+，写出下述假定条件的表达式，并说明其含义和作用。

（1）强外生性；（2）弱外生性；（3）球型扰动；（4）正态性。 解答同上。

四、什么是估计量的无偏性，有效性和一致性计量经济学中哪些古典假定

能保证这些性质成立

解答：无偏性：如果参数的估计量?β

的期望等于参数的真实值β，即()

?E ββ=,则称?β是参数β的无偏估计。强外生性或者条件均值为零可以保证最小二乘估计量的无偏性。

有效性：一个估计量若不仅具有无偏性而且具有最小方差时，称这个估计量为有效估计量。球型扰动2(|)Var Cov εσ-=X I 能保证估计量的有效性。

一致性：当样本容量趋于无穷大时，如果估计量?β

的抽样分布依概率收敛于总体参数的真实值β，即?lim x P β

β→∞=或()?lim 1x P ββε→∞??-<=??

，则称估计量?β为一致估计量。弱外生性(,|)0ji i Cov x ε=X 能够保证估计量的一致性。

五、某人依据1960-1995的时间序列数据关于如下所设定的模型

进行回归，得到了如表1-表4所示的结果。请仔细阅读这些结果，试回答以下问题

1、表1-表3是在进行什么工作这些工作依据的基本思路是什么

2、请写出表4回归结果的标准形式。

3、表4的结果说明什么与表1-表3结果之间有何联系

表1

Dependent Variable: G

Method: Least Squares

Date: 02/17/08 Time: 08:35

Sample: 1960 1995

Included observations: 36

Variable

Coeffici

ent

Std. Error

t-Statist ic

Prob.

C YEAR

R-squared

Mean dependent var

Adjusted R-squared

. dependent var

. of regression Akaike info

criterion

Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood

F-statistic

Durbin-Watson stat

Prob(F-statistic)

令g gstar resid 表2

Dependent Variable: PG Method: Least Squares

Date: 02/17/08 Time: 08:37 Sample: 1960 1995

Included observations: 36

Variable

Coeffici

ent

Std. Error

t-Statist ic

Prob.

C YEAR

R-squared

Mean dependent var

Adjusted R-squared

. dependent var

. of regression Akaike info

criterion

Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood

F-statistic

Durbin-Watson stat

Prob(F-statistic)

令pg pgstar resid 表3

Dependent Variable: Y Method: Least Squares

Date: 02/17/08 Time: 08:38 Sample: 1960 1995

Included observations: 36

Variable

Coeffic

ient

Std. Error

t-Statist ic

Prob.

C YEAR

R-squared

Mean dependent var

Adjusted R-squared

. dependent var

. of regression

Akaike info

criterion

Sum squared resid 2101886

. Schwarz criterion

Log likelihood

F-statistic

Durbin-Watson stat

Prob(F-statistic)

令y ystar resid 表4

Dependent Variable: GSTAR Method: Least Squares

Date: 02/17/08 Time: 08:57

Sample: 1960 1995

Included observations: 36

Variable

Coeffici

ent

Std. Error

t-Statist ic

Prob.

PGSTAR YSTAR

R-squared

Mean dependent var

Adjusted R-squared

. dependent var

. of regression Akaike info

criterion

Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood

Durbin-Watson stat

解答：1、表1为一元回归，G 对year 回归，得到回归的残差，令

g gstar resid =；表2为一元回归，PG 对year 回归，得到回归的残差，令

pg pgstar resid =；表3为一元回归，Y 对year 回归，得到回归的残差，令y ystar resid =。

依据的基本思想：若求PG 、Y 变量对G 的影响，即β1、β2，可以先将PG 、Y 与G 中扣除掉包含year 的信息，然后运用扣除G 中包含year 的信息得到残差gstar ，扣除PG 中包含year 的信息得到残差pgstar ，扣除Y 中包含year 的信息得到残差ystar ，再将gstar 对pgstar 和ystar 进行回归，则得到在扣除year 影响后，PG 与Y 对G 的作用情况。同时说明了系数β1、β2表示的是变量PG 、Y 与G 的偏相关。

2、表4回归结果标准形式：

t=（） （）

20.8679R = DW= df=34

3、表4是利用双残差回归思想得出的结果，说明在扣除year 变量

的影响后，PG 与Y 对G 有显着影响，分别为、。表1-表3是表4做残差回归的基础工作，表4的估计参数与原模型直接回归所得结果的β1、β2相等。

六、分析解释双残差回归的基本思想和步骤。

解答：双残差回归思想的理解：假设在一个典型的线性回归方程

1122y X X ββε=++中，变量集2X 是我们的关注变量集，相应的1X 就是我们

的控制变量集。估计系数2β表示的就是在控制了变量集1X 后，2X 对y 的影响。也就是通常说的，在其他变量保持不变的情况下，2X 的变化引起的

y 的变化。很显然，在不同的情况下，我们可以改变我们的控制变量集，

来看我们的关注变量系数是否发生显着的变化，这在实证中是很重要步骤和思想。控制变量的t 值大小可以不必过于在意。

具体步骤：假设典型回归方程1122Y =X β+X β+ε

其中：-111111M =I -X (X 'X )X '，*212X =M X ，*

1Y =M Y

假设现在要求的是系数2β

（1）2X 对1X 进行回归，得到回归的残差记为2e 。 （2）Y 对1X 进行回归，得到回归的残差记为1e

（3）1e 对2e 回归，得到的参数估计'-1'22221b =(e e )e e 就是2β的估计值。残差1e 中扣除了Y 中包含的1X 的信息；残差2e 扣除了2X 中包含的1X 的信息。因此双残差（1e 、2e ）回归仅反应了，在扣除了1X 的影响，2X 对Y 的作用情况，同样说明了系数2b 表示的是变量2X 与Y 的偏相关。

七、设随机变量x 服从Weibull 分布，()()1, ,,0f x x exp x x ββαβααβ-=->，

若在随机抽样过程中得到n 个样本，试求

1．关于n 个样本的对数似然函数 2．参数α的极大似然估计表达式 解：1．()()(

)1

1

1

n

i i i

i

i

i f x x exp x L x

exp x ββ

ββ

αβααβα--==-?=-∏

2．()111

10n n

n i i i i i i lnL n nln nln lnx x x ββαββαααα===????=++--=-= ?????∑∑∑ 八、设随机变量x 服从指数分布，()1, 0, 0x f x exp x θθθ-??

=>> ???

，若在随

机抽样过程中得到n 个样本，试求

1．关于n 个样本的对数似然函数 2．参数θ的极大似然估计表达式

解答：1、()111n i

i i i x x f x exp L exp θθθθ=--????=?=∏ ? ?????

2、211

ln 11ln 0n n i i i i L n n x x θθθθθθ==????=--=-+= ?????∑∑ 九、简述工具变量（IV ）估计和两阶段最小二乘（2SLS ）估计的基本含义

解答：工具变量：假设有如下模型，011k k y x x u βββ=++++ k x 与扰动项u 可能相关，而其他解释变量都是外生的。

采用工具变量估计，需要找到一个可观测的工具变量z ，且工具变量满足两个条件：

1、z 与误差项u 不相关，()cov ,0z u =；

2、z 与k x 高度相关。或者说z 与k x 存在偏相关（即扣除其他外生变

量的影响），也就是k x 对所有外生变量的映射中，

01111k k k x x x z αααδε--=+++++ 只要系数0δ≠，该工具变量就是有效的。也就是说，必须保证z 与k x 是在扣除了其他外生变量的影响下，仍然是相关的。这样，根据回归得到了k x 的估计值

01111?????k k k x

x x z αααδ--=++++ 用估计出的?k x 代替原来的k x ，进行OLS 估计，就可以得到产生的无偏估计。

这实际上是将内生变量分成了内生部分和外生部分，通过投影得到了外生的部分，然后进入回归方程。

当使用多个工具变量来解决内生解释变量时，基本做法与上述类似。 两阶段最小二乘：解决内生解释变量的基本做法是采用工具变量估计模型，基本思想是利用工具变量替代内生解释变量，然后用OLS 估计模型。这一过程通常使用了两次OLS ，因此称之为两阶段最小二乘(2SLS)。

十、简要阐述矩估计和OLS 估计、IV 估计之间的关系。

解答：矩方法是工具变量估计方法（IV ）和广义矩估计方法(GMM)的基础。在矩方法中关键是利用了()'0E X μ=。

当样本矩条件和参数个数为R = K : 存在唯一解()0T g θ=时，参数正好识别，此时可采用OLS 估计和IV 估计，即如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件，这就是IV 估计，OLS 估计和IV 估计是GMM 估计的特例。

当R > K 时，这时方程组中方程的个数多于参数的个数，此为过度识别，如果存在＞k+1个变量与随机项不相关，可以构成一组包含＞k+1方程的矩条件。这就是GMM 。

十一、什么是工具变量简述工具变量在实证分析中的具体步骤及注意事项。

解答：工具变量：假设有如下模型，011k k y x x u βββ=++++ k x 与扰动项u 可能相关，而其他解释变量都是外生的。

采用工具变量估计，需要找到一个可观测的工具变量z ，且工具变量满足两个条件：

1、z 与误差项u 不相关，()cov ,0z u =；

2、z 与k x 高度相关。或者说z 与k x 存在偏相关（即扣除其他外生变

量的影响），也就是k x 对所有外生变量的映射中，

01111k k k x x x z αααδε--=+++++ 只要系数0δ≠，该工具变量就是有效的。也就是说，必须保证z 与k x 是在扣除了其他外生变量的影响下，仍然是相

关的。这样，根据回归得到了k x 的估计值01111?????k k k x

x x z αααδ--=++++ 用估计出的?k x 代替原来的k x ，进行OLS 估计，就可以得到产生的无偏估计。

这实际上是将内生变量分成了内生部分和外生部分，通过投影得到了外生的部分，然后进入回归方程。

当使用多个工具变量来解决内生解释变量时，基本做法与上述类似。 工具变量在实证分析中的具体步骤与注意事项：

依据工具变量的选择原则，首先选取替代内生解释变量的适当工具变量，然后进行如下的两阶段最小二乘估计：使用。

第一，将这个内生解释变量关于模型中所有的外生变量和选定的工具变量进行回归，得到回归方程。若工具变量系数的t 值显着，并且方程的整体拟合程度较好（F 统计量值大于30），则该工具变量是一个有效的工具变量，并由本步骤中建立的回归方程进行预测，得到内生解释变量的估计值。

第二，将内生解释变量的估计值带入原方程进行回归，即在原方程中，内生解释变量由内生解释变量的预测替代，再次进行回归，就可以得到方程参数的无偏估计。

十二．何为内生性问题什么是工具变量

在分析女性工资收入的模型

中，发现受教育年限educ 具有内生性，exper 和2exper 是外生的。若仍使用OLS 估计会有什么后果如果用父亲受教育年限fatheduc 、母亲受教育年限motheduc 和丈夫受教育年限huseduc 作为educ 的工具变量，应该如何解决内生性问题

解答：内生性问题：如果外生性假定被违背，即()0j i E x u ≠，解释变量与扰动项相关，那么模型存在内生性问题。与扰动项相关的解释变量称为内生解释变量。此时最小二乘估计量将是不一致的。

工具变量：假设有如下模型，011k k y x x u βββ=++++

k x 与扰动项u 可能相关，而其他解释变量都是外生的。

采用工具变量估计，需要找到一个可观测的工具变量z ，且工具变量满足两个条件：

1、z 与误差项u 不相关，()cov ,0z u =；

2、z 与k x 高度相关。或者说z 与k x 存在偏相关（即扣除其他外生变

量的影响），也就是k x 对所有外生变量的映射中，

01111k k k x x x z αααδε--=+++++ 只要系数0δ≠，该工具变量就是有效的。也就是说，必须保证z 与k x 是在扣除了其他外生变量的影响下，仍然是相

关的。这样，根据回归得到了k x 的估计值01111?????k k k x

x x z αααδ--=++++ 用估计出的?k x 代替原来的k x ，进行OLS 估计，就可以得到产生的无偏估计。

这实际上是将内生变量分成了内生部分和外生部分，通过投影得到了外生的部分，然后进入回归方程。

当使用多个工具变量来解决内生解释变量时，基本做法与上述类似。 解决内生性问题：解决内生解释变量的基本做法是采用工具变量估计模型，基本思想是利用工具变量替代内生解释变量，然后用OLS 估计模型。

首先假设，父亲受教育年限fatheduc 、母亲受教育年限motheduc 和丈夫受教育年限huseduc 这三个工具变量满足第一个条件，即与原模型的扰动项不相关；

接下来，看第二个条件，为此需要估计以下模型。 模型估计结果为

根据外生性第二个条件，要求1δ、2δ、3δ至少一个不为零，即要检验原假设为0123:0H δδδ===，采用线性约束F 检验，

计算结果()()(3846.19-2089.54)/3118.252089.54747

R U U RSS RSS q F RSS n k -===- 拒绝原假设，表明第二个条件成立。

于是我们使用两阶段最小二乘2SLS 估计原模型：

1、生成educ 的替代变量，即educ 对所有外生变量回归，用educ 的估计量作为工具变量z ；

2、用z 替代educ 估计工资方程，20123log()wage exper exper z u δδδδ=++++ 十三、关于参数θ有两个相互独立的无偏估计量1?θ,2?θ，它们的方差分别为

1v ，2v 。问：当1c ，2c 为何值时，线性组合1122???c c θθθ=+是关于参数θ的

最小方差无偏估计

解答：根据已知条件有：1?()E θθ=，2?()E θθ=，11?()Var v θ=，22

?()Var v θ= 1122???c c θθθ=+是无偏的，则有：112212???()()()E E c c c c θθθθθ=+=+= 所以：121c c +=

因为1?θ、2?θ相互独立，所以

代入121c c +=，

可得：22222112

21112121212(1)()2c v c v c v c v v v c v c v +=+-=+-+ 求偏导()

()()()2211222121212121211

2220c v c v v v c v c v v v c v c c ?+?=+-+=+-=?? ?θ具有最小方差性，得到：2112v c v v =

+，1212v c v v =+。 十四、假设y 和(1,2,)j x j k =存在有限的二阶矩，且有如下的回归方程：

()0E ε=，2var(|)x εεσ= ()0j E x ε=(1,2,)j k =

（1）在(1,2,)j x j k =是随机变量的条件下求y 的方差2y σ

（2）定义总体拟合优度为222

1y ερσσ=-。证明21R RSS =-是2ρ的一

致估计。

解答：（1）()()2

var()var |var |y y E y x E y x σ==+????????

其中，()()[]20var |var |var(|)E y x E x E x εβεεσ=++==????????

x β 所以，[]22var()var y y εσσ==+x β

（2）211/RSS N

R RSS TSS N

=-=-

所以，()22

2

2lim lim 1lim 11/lim /y p RSS N RSS N p R p TSS N p TSS N εσρσ????=-=-=-=????????

十五、在对多元回归模型 12233i i i k ki i Y X X X u ββββ=+++

++

的方程显着性检验中，通常对假设023:0k H βββ==

==进行F 检验，检

验统计量为()()

1ESS

k F RSS

n k -=-，其中k 为模型中待估参数的个数。证明：此F

统计量是一般的F 统计量的特例，即: ()()

()

()1R U U R

U

U RSS RSS ESS

k k k F RSS RSS n k n k ---==

--。

（注：下标U 代表无约束，R 代表有约束）。 证明：()()()

R u U R u U RSS RSS k k F RSS n k --=

- （1）

由()2

2

11R R R R RSS R RSS R TSS TSS

=-

?=- 同理可得()21u u RSS R TSS =- 带入（1）式得

()()()()()()()()()()2222

22

11()

1()

)

1(R u U R u R U R R u U R u

u U u

U U

R TSS R TSS k k R R k k RSS RSS k k F RSS n k R TSS

n k n R k

-?--?-----===

---?-- (2)

有约束模型 1i i Y u β=+ 有()1i E Y β= 又1Y β=

∴有()2

2

211

n n

i i i i i R i i u Y Y u Y Y e RSS ===-?=-==∑∑∑ 由()2

210n i R R i TSS Y Y RSS TSS R ==-?=?=∑ 带入（2）式得

十六、结合下图，简述Wald 、LM 以及LR 三个检验的基本思想。

解答：如上图所示

Wald 检验是在约束条件()0c θ=的条件下，考察无约束的参数估计量?θ是否满足?()0c θ=的约束条件，实际上也就是考察?()c θ与0的距离。构造一个

马氏距离为：1???()(())()c Var c c θθθ

-??'??。如果满足约束条件，该构造的马氏距离与0的距离在统计上就会很接近，此时就可以认为约束条件是满足的。在实际的应用中，Wald 检验中?θ的方差?()Var θ可以采用White 的稳健估计，因此在异方差的情况下，Wald 统计量仍然是有效的。但是在约束条件是非线性的情况，不同的约束条件表达式得到的Wald 统计量是不同的，

2220220?()??()()1ii nR W I c R βββββσ-=-==- (度量?β与0

β之间的水平距离),这就影响了非线性约束下Wald 统计量的有限样本性质。

LM 检验主要考察约束条件下求得的有约束的参数估计值θ，是否满足无约束条件下的最优化一阶条件ln ()0d L d θθ

=。如果约束条件是成立的，那么无约束估计量?θ与约束估计量θ之间的差别就会很小，约束估计量θ也就会近似的满足无约束的一阶优化条件ln ()0d L d θθ

=。在实际的应用中，LM 统计量的缺陷在于计算量大，表达式比较复杂，21200()()LM s I nR ββ-==（考察对数似然函数在0β处的斜率）。但是在同方差假定下，其计算表达式可

以大大简化。进一步的，即使在异方差条件下，也可以通过回归的方法来避免复杂的计算，同样能够得到LM 统计量。

LR 检验的思想是考察无约束条件下最优化和约束条件下最优化求得的值函数的大小。无约束条件下的最优化值函数总是大于或等于约束条件下的值函数。如果二者的差别很小，就可以认为约束条件是成立的。在实际的应用中，LR 统计量的思想比较直观，但是必须在同方差假定下，构造出的LR 统计量才是有效的；另一方面，由于LR 统计量的构造要求同时计

算无约束和有约束的参数估计式，20

?2ln ()2ln ()ln(1)LR L L n R ββ=-=--(考察?β与0

β之间的“垂直”距离),在实际应用中就增加了计算量，使得其应用受到一定的制约。

十七

1、考虑如下模型，

无约束模型(U)：

t LnC ∧

= + LnI t + LnC t -1 - LnI t -1 + LnP t -1.

t = R 2 = , RSS = , DW = , LnL = , n= 30

和约束模型(R)：

t LnC ∧= + LnC t -1 - LnP t -1. t =

R 2 = , RSS = , DW = , LnL = , n= 30

试用似然比(LR)检验判断，对模型(U)施加约束LnI t 和LnI t -1的系数0 = 1 = 0是否成立。

（注：显着性水平时， 2) = ）

2、对某生产函数模型，

t Lny ∧

= + Lnx t 1 + Lnx t 2 R 2 = , F = , DW=

检验2/3 = 是否成立。下表运用了什么方法说明了什么结果 解答：1、似然比检验：

()()2ln 2ln ln 279.47105.8752.8R U LR L L λ=-=--=-?-=

所以拒绝原假设001:0H ββ==，对模型(U)施加约束LnI t 和LnI t -1的系数0 = 1 = 0不成立，选择无约束模型。

如果运用F 检验：()()

0.00880.0015260.830.0015305R U U RSS RSS q F RSS n k --===-- 所以拒绝原假设001:0H ββ==，对模型(U)施加约束LnI t 和LnI t -1的系数0 = 1 = 0不成立，选择无约束模型。

2、表中运用了wald 检验方法，检验结果0.7975730.05P =>，接受原假设，约束条件230.5ββ=成立。 十八、在计量经济分析中，经常讨论随机扰动项的分布设定问题。

例如，对于Γ分布()11()(,,,)()

i i y x i i i x f y x y e ρβρββρρ--+-+=Γ，若设1ρ=，则其成为指数分布()1(,,)i i y x i i i

f y x e x βββ-+=+。这里，约束条件为1ρ=。为此，某人进行了如下检验：

01H ρ=：; 11H ρ≠：

利用极大似然估计ML ，得到如下结果（括号内数据为标准差）：

Unrestricted Restricted

试依据上述结果，回答下列问题（给定()2

0.051 3.842χ=）：

1、计算似然比检验（Likelihood Ratio Test ）统计量的值，并进行判断；

2、计算沃尔德检验（Wald Test ）统计量的值，并进行判断。

解答：1、似然比检验

()20.0511.046541 3.842LR x =>=，所以拒绝原假设01H ρ=：，选择无约束

模型。

2、Wald 检验，0:10H ρ-= 1:10H ρ-≠ 其中?θ表示无约束条件下的参数估计量

所以()()()()()()2

2

1

'

2

?1 3.15171???1var 117.3348?var 10.794292W ρρρρρ---=---===????-

()20.057.33481 3.842W x =>=，所以拒绝原假设0:10H ρ-=，选择无约束

模型。

十九、简要阐述两步广义矩估计的基本步骤

解答：1、先取加权矩阵W=单位矩阵I ，或者对于线性模型Y X u β=+，取1(')W X X -=得到初始GMM 估计量θ（或β）。

2、取加权矩阵111?()[(,)(,)']i i i i W m z m z n

θθθ--=Ω=∑，可以证明它是1-Ω的一致估计量。于是'1?argmin ()()()g g θθθθ-=Ω

即是通过两步完成的GMM 估计量。

二十、考虑如下有K 个解释变量的线性回归 其中1t x 为外生变量，即()10t t E x ε=，2t x 是内生变量，()20t t E x ε≠。假设存

在工具变量()12,T T t t t z x z =，其中Z 的维数为R ，且R K >，

()()()

10T t t t t t R E z E z y x εβ?=-=。试推导?GMM β。

解答：回归方程：1122T T T t t t t t t y x x x ββεβε=++=+ 由：()0t t E z ε=

则有()()()0T T t t t t t t t t t E z E z y x E z y z x εββ??=-=-=??

得：()()T t t t t E z y E z x β=

所以，()()11111?n n T GMM t t t t t z x z y n n β---??=????∑∑

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f8ol.html