电磁感应导轨电路中的电容问题导轨中的力学问题

导轨电路中的电容问题导轨中的力学问题

1、在倾角θ=30°的斜面上，固定一金属框，宽L=0.25m，接入电动势E=12V、内阻不计的电池.垂直框面放有一根质量m=0.2kg的金属棒ab，它与框架的动摩擦因数μ=

3，整个装置放在磁感应强度B=0.8T、6垂直框面向上的匀强磁场中，如图所示，当调节滑动变阻器R的阻值在什么范围内时，可使金属棒静止在框架上？（框架与棒的电阻不计，g取10m/s2）

解：设滑动变阻器阻值为R1时，金属棒刚好不下滑，金属棒平衡有： F安+f=mgsinθ ① ????（2分） N=mgcosθ ② 又F安=BIL ③ I=

ER ④ 1f=μN ⑤ ②③④⑤代入①得：

BELR+μmgcosθ=mgsinθ ⑥ ????（3分） 1代入数据，解得R1=4.8Ω ????（2分）

设滑动变阻器阴值为R2时，金属棒也刚好不上滑，同理有： F安=mgsinθ+f ????（2分） N=mgcosθ F安=BIL I=

ER 2f=μN ∴

BELR=mgsinθ+μmgcosθ ????（3分） 2代入数据，解得R2=1.6Ω ????（1分）

∴当1.6Ω≤R≤4.8Ω时金属棒可静止在框架上.（无等号不给分） ????（2分）

1

2、矩形线圈abcd的长ab=20cm，宽bc=10cm，匝数n=200，线圈总电阻R=5Ω，整个线圈位于垂直于线圈平面的匀强磁场内，并保持静止.

(1)若匀强磁场的磁感应强度B随时间的变化如甲图所示，求线圈的感应电动势E及t=O.3s时线圈的ab边所受的安培力多大?

(2)若匀强磁场的磁感应强度B随时间作正弦变化的规律如乙图所示，线圈中产生正弦交流电，求：线圈在1 min内产生多少热量?

?B(20?5)?10?216.（15分）解：（1）磁感应强度变化率：=0.50(T/S) ????（2分） ??t30?10?2感应电动势E=n

???B=nS=200×0.20×0.10×0.50=2.0(V) ????（3分） ?t?tt=0.3 s时，ab边受的安培力：

nBLE200?20?10?2?0.20?2.0f=nBIL==3.2(N) ????（3分） ?R5（2）周期T=0.02(s) 角速度ω=

2?=100π(rad/s) T感应电动抛最大值Em=nBmωS=200×0.20×100π×0.02=80π(V) ????（3分） 有效值E=Em/2=402π(V) ????（2分）

1 min产生的热量Q=E2t/R=(402π)2×60/5=3.84×105(J) ????（2分）

3、如图所示，一个足够长的“门”形金属导轨NMPQ固定在水平面内，MN、PQ两导轨间的宽度L=0.50m，

2

一根质量为m=0.50kg的均匀金属棒ab横跨在导轨上且接触良好，abMP恰好围成一个正方形，该导轨平面处在磁感应强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场中，ab棒与导轨间的最大静摩擦力和滑动摩擦力均为fm=1.0N，ab棒的电阻为R=0.10Ω，其他各部分电阻均不计，开始时，磁感应强度B0=0.50T (1)若从某时刻（t=0）开始，调节磁感应强度的大小使其以

?B?0.20T/s的变化率均匀增加，则经过多?t少时间ab棒开始滑动？

(2)若保持磁感应强度B0的大小不变，从t=0时刻开始，给ab棒施加一个水平向右的拉力F，使它以a=4.0m/s2的加速度匀加速运动，请推导出拉力F的大小随时间变化的函数表达式，并在所给的F-t坐标上作出拉力F随时间t变化的F-t图线。

4、如图（甲）所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距L=0.20m，电阻R=10Ω，有一质量为1kg的导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻皆可忽略不计，整个装置处于垂直轨道面向下的匀强磁场中，现用一外力F沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得力F与时间t的关系如图（乙）所示，试求：

（1）杆运动的加速度a及磁场的磁感应强度B； （2）导体杆运动到第20s时，电阻R的电功率； （3）若改为恒定拉力作用，但仍要导体棒以加速度做匀加速运动，你对该装置能提出 什么合理的改进措施，请做简要说明。

此题的最后一问为开放性试题，能很好的考查学生联系实际和发散性思维。 （1）开始时v=0，F-B2L2v/R=ma a=1 m/s2 B=5T

（2）v=at=20m/s P=(F拉-ma)v=40W

（3）根据

可以让导轨间距逐渐增大，或者加随距离变化的磁场

3

5、如图所示，两根平行光滑导轨PQ和MN相距d＝0.5m，它们与水平方向的倾角为α（sinα＝0.6），导轨的上方跟电阻为R＝4Ω相连，导轨上放一个金属棒，金属棒的质量为m＝0.2kg，电阻r＝2Ω。整个装置放在方向竖直向上的匀强磁场中，磁感强度B＝1.2T。金属棒在沿斜面方向向上的恒力作用下收静止开始沿斜面向上运动，电阻R消耗的最大电功率P＝1W。（g10m/s2）求：（1）恒力的大小；（2）恒力作用功的最大功率。

α Q

6、如图所示，AB．CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两轨间距离为L，导轨平面与水平面的夹角为?，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，电阻为R，与导轨的动摩擦因数为? ，从静止开始沿导轨下滑，求： （1）ab棒的最大速度

C （2）ab释放的最大功率

R b （3）若ab棒下降高度h时达到最大速度，在这个过程中，ab棒

A 产生的焦耳热为多大？

a θ D P

B M R N

＝

B 7甲所示，一个足够长的“U”形金属导轨NMPQ固定在水平面内，MN、PQ两导轨间的宽为L=0.50m．一

根质量为m=0.50kg的均匀金属导体棒ab静止在导轨上且接触良好，abMP恰好围成一个正方形．该轨道平面处在磁感应强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场中．ab棒的电阻为R=0.10?，其他各部分电阻均不计．开始时，磁感应强度B0=0.50T

(1)若保持磁感应强度B0的大小不变，从t=0时刻开始，给ab棒施加一个水平向右的拉力，使它做匀加速直线运动．此拉力F的大小随时间t变化关系如图乙所示．求匀加速运动的加速度及ab棒与导轨间的滑动摩擦力．

4

(2)若从t=0开始，使磁感应强度的大小从B0开始使其以

?B=0.20 T/s的变化率均匀增加．求经过?t多长时间ab棒开始滑动?此时通过ab棒的电流大小和方向如何?(ab棒与导轨间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等)

甲

乙

(1) t=0时，F1=3N

F1－f=ma??????①-------------------------------------------2分

当t=2s时，F2＝8N

F2?f?BB0Lat0RL?ma??????②------------------2分 a?(F2?F1)RB22?4ｍ/ｓ2--------------------------------------------2分

0Ltf = F1－ma=1N ----------------------------------------------------------2分

?BL2(2) B?tRL?f----------------------------------------------2分

B=4T-----------------------------------------------------------2分 B=BB0+

??tt--------------------------------------------------2分 t =17.5s--------------------------------------------------------2分

5

8.如图甲所示,光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上,两导轨间距L=O.2m,电阻

R=O.4Ω,导轨上停放一质量 m=O.1kg、电阻r=O.1Ω的金属杆,导轨电阻可忽略不计,整个装置处于磁感应强度B=O.5T的匀强磁场中,磁场方向竖直向下.现用一外力F沿水平方向拉杆,使之由静止开始运动,若理想电压表的示数U随时间t变化的关系如图乙所示.(1)试分析说明金属杆的运动情况.(2)求第2s末外力F的瞬时功率.

8、(1)金属杆速度为v时,电压表的示数为U?RBLv, R?r?UR?vR?U2则??BL??BLa,由图像可知,??0.4V/s,

?tR?r?tR?r?t5故金属杆应水平向右做匀加速直线运动. (2)由(1)可得a?R?r?U?? RBL?t?0.4?0.1?0.4m/s2?5m/s2,

0.4?0.5?0.2则第2s末的速度v?at?10m/s 此时杆受到的安培力

B2L2vF??0.2N

R?r'由牛顿第二定律得F?F'?ma,则

F?ma?F'?0.7N.

9、如图所示，光滑且足够长的平行金属导轨MN、PQ固定在同一水平面上，两导轨间距L=0.2m，电阻R=0.4Ω，导轨上停放一质量为m=0.1kg，电阻为r=0.1Ω的金属杆ab，导轨的电阻不计，整个装置处于磁感应强度

6

为B=0.5T的匀强磁场中，磁场的方向竖直向下．现用一外力F沿水平方向拉杆，使之由静止开始运动，若理想电压表示数U随时间t的变化关系如图所示，

(1)试分析说明金属杆的运 动情况； (2)求第2秒末外力F的功率．

解析：(1)杆在F的作用下，做切割磁感应线运动，设其速度为v，杆就是电源，设产生的感应动势为E，

根据闭合电路的知识可知，电压表的示数为，

3分

代人数据得： UV = 0.08v ( V ) ① 1分 由图中可知电压随时间变化的关系为UV = 0.4t(V) ② 2分 由①②得杆的运动速度为υ = 5t(m／s) 2分 上式说明金属杆做初速度为零的匀加速运动，加速度为

2

a = 5m/s 1分

(2)在t=2s时，由②得：Uv=0.8(V) 1分 回路中的电流强度为 U0.8I?V??2(A)R0.4

1分

则金属杆受到的安培力为

FB=BIl=0.5×2×0.2=0.2(N) 1分

由对杆应用牛顿第二定律得：

F - FB = ma,则F = FB + ma = 0.2+0.1×5=0.7(N) 1分

此时杆的速度为v = at = 5×2 = 10m／s 1分 所以，拉力的功率为P = Fv = 0.7×10 = 7(W) 2分

10、一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道相距L=1m，两轨道之间用电阻R=2Ω连接，有一质量为m=0.5kg的导体杆静止地放在轨道上与两轨道垂直，杆及轨道的电阻皆可忽略不计，整个装置处于磁感

7

应强度B=2T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向上．现用水平拉力沿轨道方向拉导体杆，使导体杆从静止开始做匀加速运动．经过位移s=0.5m后，撤去拉力，导体杆又滑行了相同的位移s后停下． 求：(1)全过程中通过电阻R的电荷量；

(2)拉力的冲量；

(3)匀加速运动的加速度；

(4)画出拉力随时间变化的F—t图象． 解：（1）设全过程中平均感应电动势为?，平均感应电流为I，时间?t，则通过电阻R的电荷量q=I?t，

I??R，????2BLs2BLs 得q???1C

?t?tR(2)设拉力作用时间为?t1，拉力平均值为F，根据动量定理有：

F?t1?BIL?t?0?0，所以F?t1?BIL?t?BLq?2B2L2s/R?2N·s

(3)拉力撤去时，导体杆的速度为v，拉力撤去后杆运动时间为?t2，平均感应电流为I2，根据动量定理有：

B2L2sB2L2sv2BI2L?t2?mv，即?mv，v??2m/s 所以a??4m/s2

RmR2sB2L2at（4）F?ma?BIL?ma?，

R拉力作用时间t?v?0.5s，此时Fmax=6N； at = 0时，F=ma=2N

11、水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆（见下图），金属杆与导轨的电阻忽略不计；均匀磁场竖直向下。用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动。当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会变化，v和F的关系如下图。（取重力加速度g=10m/s2） （1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？

8

（2）若m=0.5kg，L=0.5m, R=0.5Ω；磁感应强度B为多大？ （3）由v—F图线的截距可求得干什么物理量？其值为多少？

解：（1）变速运动（或变加速运动、加速度减小的加速运动、加速运动）。 （2）感应电动势：E=vBL 感应电流：I?E RvB2L2 安培力：F安?IBL?

R 由图线不过原点可知金属杆受拉力、安培力和阻力作用，匀速时合力为零，有

vB2L2R?f v?22(F?f)） F?RBL 由图线可以得到直线的斜率：k=2

B?R?1T 2kL （3）由直线的截距可以求得金属杆受到的阻力f：f=2N

若金属杆受到的阻力仅为摩擦力，由截距可求得动摩擦因数： ??

12．如图所示，两根与水平面成θ＝30?角的足够长光滑金属导轨平行放置，导轨间距为L＝1m，导轨底端接有阻值为1 ?的电阻R，导轨的电阻忽略不计。整个装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度B＝1T。现有一质量为m＝0.2 kg、电阻不计的金属棒用细绳通过光滑滑轮与质量为M＝0.5 kg的物体相连，细绳与导轨平面平行。将金属棒与M由静止释放，棒沿导轨运动了2 m后开始做匀速运动。运动过程中，棒与导轨始终保持垂直接触。求：

9

f?0.4 mg

（1）金属棒匀速运动时的速度；

（2）棒从释放到开始匀速运动的过程中，电阻R上产生的焦耳热； （3）若保持某一大小的磁感应强度B1不变，取不同质量M的物块拉v (m/s) 10 动金属棒，测出金属棒相应的做匀速运动的v值，得到实验图像如图所示，

8 请根据图中的数据计算出此时的B1。

6 （4）改变磁感应强度的大小为B2，B2＝2B1，其他条件不变，请在坐

4 标图上画出相应的v—M图线，并请说明图线与M轴的交点的物理意义。 2 M (kg) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 B 图2 M

m

R ?

图1 B2L2v（Mg－mg sin θ）R

解：（1）Mg＝mg sin θ＋ ，v＝ ＝4 m/s，

RB2L2

11

（2）Mgs－mgs sin θ－Q＝ （M＋m）v2，Q＝Mgs－mgs sin θ－ （M＋m）v2＝2.4 J，

22（Mg－mg sin θ）RgRmgR sin θgR10

（3）v＝ ＝ M－ ， ＝ ，B1＝0.54 ，

B2L2B2L2B2L2B2L20.3（4）图线的斜率减小为原来的1/4，与M轴的交点不变，m sinθ。

13、如图1所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为?的绝缘斜面上，两导轨间距为L。M、P两点间接有阻值为R的电阻。一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。导轨和金属杆的电阻可忽略。让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦。

10

（1）由b向a方向看到的装置如图2所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图。

（2）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆

中的电流及其加速度的大小。

（3）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。

24、（18分）（1） 重力mg，竖直向下 支持力N，垂直斜面向上 安培力F，沿斜面向上

（2）当ab杆速度为v时，感应电动势， 此时电路中电流

EBlv I??

RRB2L2v ab杆受到安培力F?BIL?

R 根据牛顿运动定律，有

B2L2v?mgsin?时，ab杆达到最大速度vm （3）当R

14、 如图乙所示，在匀强磁场中，放置一边长L＝10cm、电阻r＝1Ω、共100匝的正方形线圈，与它相连的电路中，电阻

R1?4?、R2?5?，电容C?10?F．磁场方向与线圈平面成30°角，磁感应强度变化如图甲所示，开关K在t0?0时闭合，在t2求：

?1.5s时又断开．

①t1?1s时，R2中电流强度的大小及方向；

11

②K断开后，通过R2的电量． 解：t1?1s时线圈中产生的感应电动势，据法拉第电磁感应定律可得：

10.1?0.1??(1?0.5)?BSsin?2?100?V ?0.25V E?n?t1.5?0.5E0.25I??A?0.025A ;由楞次定律可知，R中电流方向从右向左。

r?R1?R21?4?5电容器两端电压Uc?IR2?0.025?5V?0.125V

2

Q?CUc?10?10?6?0.125C?1.25?10?6C ∴

断开后，流过R2的电量为1.25?10?6C

15、间距为d的两平行光滑导轨组成的导轨平面的倾角为α，上端用阻值为R电阻连接两导轨，磁感强度为B的匀强磁场方向竖直向上，充满整个导轨平面所在的空间，现有质量为m，电阻为r的导体棒跨在导轨上，设导轨足够长，求导体棒的最大运动速度和电阻R的最大焦耳热功率。 32

、

Bdvmcos?mg(R?r)tan??mgtan??2Bd?mgtan?,vm?,P?IR???R mR?rBdB2d2cos???

2

16、如图所示，水平面内平行放置两根裸铜导线，导轨间距为L。一根裸铜棒ab垂直导轨放置在导轨上面，铜棒质量m，可无摩擦地在导轨上滑动。两导轨右端与电阻R相连，铜棒和导轨的电阻不计，两根一样的弹簧，左端固定在木板上，右端与铜棒相连，弹簧质量与铜棒相比可不计。开始时铜棒作简谐运动，OO1为平衡位置，振幅Am，周期是T，最大速度为V。加一垂直导轨平面的匀强磁场B后，发现铜棒作阻尼振动。如果同时给铜棒施加一水平力F，则发现铜棒仍然作原简谐运动。问：

(1)铜棒作阻尼运动的原因是 。

(2)关于水平力F的情况，下列判断正确的是：( )

12

A.F的方向总是与弹簧弹力的方向相同 B.F的大小总是与安培力大小相等 C.F的大小不变方向变化 D.F可以为恒力

(3)如果铜棒中的电流按正弦规律变化，那么每次全振动中外界供给铜棒的能量是多少?

解：(1)铜棒切割磁感线，产生感应电动势。铜棒、电阻、导线组成的回路中有感应电流，铜棒运动时受到安培力，铜棒克服安培力做功，机械能减小，减少的机械能转化为电能。故铜棒振幅减少，振动能量减少，作阻尼振动。

(2)B 抓住安培力是变力。

?m(3)Im=R=

BLVmaxRImBLVBLV=R ∴I有=2=2R

2每次全振动产生电能是Q=I有RT=

B2L2V22RT，由能量守恒知，每次全振动中外界供给铜棒的能量为

B2L2V22RT。

17、水平面上两根足够长的金属导轨平行地放置，间距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为ｍ的金属杆（见图ａ），金属杆与导轨的电阻忽略不计；整个导轨处于竖直向下的匀强磁场

2

中。现用与导轨平行的恒定拉力F向右拉金属杆时，（取重力加速度为ｇ＝10m/s）． (1) 金属杆运动的最大加速度和最大速度各是多少？

(2) 杆最终将做匀速运动，当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度ｖ也会变化，ｖ和F的关系如图

ｂ所示，若ｍ＝0.5kg，L=0.5m，R=0.5Ω，则磁感应强度B为多大？ (3) 由ｂ图的截距可求得什么物理量？其值为多少？

13

F R

(a)

F??mgBlvm得：vmax=(F??mg)R。(2)由

11.(1)当v=0 时有amax=；当a=0时有vmax，即F-μmg=22RmBlF-μmg=

22BlvR222m，取图中(4,4)和(8,6)代入，可解得B=1T；(3)由v=

(F??mg)RBl22=

RBl22F-

?mgRBlBl222可

知：截距为

?mgRBl2，即可求出动摩擦因数μ；由图可知v-F的线性关系为v=2F-4，所以截距为

?mgR2＝

4，代入数据可得动摩擦因数μ＝0.4。

18、一个“ ”形导轨PONQ，其质量为M=2.0kg，放在光滑绝缘的水平面上，处于匀强磁场中，另有一根质量为m=0.60kg的金属棒CD跨放在导轨上，CD与导轨的动摩擦因数是0.20，CD棒与ON边平行，左边靠着光滑的固定立柱a、b，匀强磁场以ab为界，左侧的磁场方向竖直向上（图中表示为垂直于纸面向外），右侧磁场方向水平向右，磁感应强度的大小都是0.80T，如图所示。已知导轨ON段长为0.50m，电阻是0.40Ω，金属棒CD的电阻是0.20Ω，其余电不计。导轨在水平拉力作用下由静止开始以0.20m/s2的加速度做匀加速直线运动，一直到CD中的电流达到4.0A时，导轨改做匀速直线运动。设导轨足够长，取g=10m/s2。求：

⑴导轨运动起来后，C、D两点哪点电势较高？ a C O P ⑵导轨做匀速运动时，水平拉力F的大小是多少？

⑶导轨做匀加速运动的过程中，水平拉力F的最小值是多F 少？ B ⑷CD上消耗的电功率为P=0.80W时，水平拉力F做功的功率是

N Q b D 多大？

14

25. ⑴C ⑵2.48N ⑶1.6N ⑷6.72W

15

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