生产函数（中级宏微观经济学论文）

中级宏微观经济学期末论文：毛在丽 学号：200321050087 2003级世界经济专业硕士研究生

生产函数简析

A brief analysis of production function

摘要：本文简述了生产函数的概念及其建立发展过程，着重分析了生产函数的性质及其几种主要的具体形式，并就生产函数的线性规划分析、生产函数与技术进步、生产函数与知识经济做了简要的阐述。

关键词：生产函数 技术进步 知识经济

生产函数源自自然科学和生物科学的概念（黑迪，1991），是生产理论的核心概念，反映经济技术关系。经济学家抽象出该概念是由于：1. 其性质对经济发展和确定运用一定量资源储备，增加国家总产量是重要的；2. 其大小是用以决定国际间或区域间贸易模式的基础；3. 它是收入如何归属于各投入要素所作的函数性分配的理论基础。依据其性质，可以确定生产一定数量的产品所需要投入的生产要素的数量条件；4. 它为说明生产资源利用和取得最大盈利产出模式提供资料；5. 供给函数的代数性质很大程度上依赖于生产函数的性质。

一、 生产函数的概念及其确立

1。生产函数的定义

生产函数是对厂商生产技术的一种基本的最普遍的刻划。假设的要素投入x =(x1,

x2, ?,xn), 可得产量y，就称要素组合x及产出y是一个可行的生产方案。以净产出向量z=(y,-x)表示（x≥0, y≥0）。所有可行生产方案组成生产可能集Z。假设厂商可无成本地丢弃它不想要的资源，且其生产总是有效率的，则在特定投入组合x下厂商总是能得到可能的最大产量，记为f(x)。这样给定一个生产技术，就能定义与之对应生产函数f: f(x)=max{y︱(y,-x)∈Z}，或写成Q＝f(x1, x2, ?,xn)，每项投入的每

一种结合，只能有一个产出量。由于生产函数定义了厂商投入时能达到的最大产量，它良好地体现了厂商所受到的技术约束。

生产之三要素为劳动者、劳动工具和劳动对象，前者设为L，后两者之和（价值）设为K（资本的投入）。生产函数可简化为：Q＝f(K,L)

2. 与生产函数相关的几个概念

边际产出(MP) 在要素组合x的基础上，改变一种要素（比如xi）的投入量，而保持其他要素的投入量不变，则xi的改变量Δxi对产量的“贡献”在 Δxi极小时为该

要素的边际产出：

MPi= f(x)/ xi=fi(x)

产出弹性 即投入要素每变化1%，产出变化的百分数。

边际技术替代率（MRTS） 生产过程中一种投入要素可被另一投入要素所替代而总产量保持不变时的替代比率，是等产量线的斜率。因为斜率为负而人们希望用一个正数表示替代率，故给斜率加上一个负号。

MRTSij = xj/ xi = - MPi / MPj

技术替代弹性（σ） 技术替代弹性刻画的是等产量线的弯曲程度。在数学上把ζ定义为要素投入比的变化速度和边际技术替代率变化速度的比值。

ζ越大，两种投入的替代能力就越强。 3. 生产函数的提出和确立

生产函数本身以“技术水平”这一名称出现于“古典派”时期。当时人们认识到某些论证如土地报酬递减规律中只在假设技术知识不变的情况下才站得住脚。李嘉图、杜能、穆勒、奥地利学派对此都有认识。尤其马歇尔的《经济学原理》虽不明确使用生产函数，但该书中却有一个很完整、留有适当余地的适用于厂商和分配方面的边际生产力理论。

明白无误地写出了生产函数，大胆阐明了生产函数的纯逻辑的，是威克斯蒂德在其著作《论分配规律的协调》中。他写道：“在研究分配法则时，通常是利用每一种

真正的生产因素来研究它所提供的服务的特殊性质，推出决定其产品份额的特殊法则，并将这些法则统一起来。”生产函数的形式也有一个发展过程。瓦尔拉最初使用的是生产系数在技术上是固定的、不变的、可称之为退化生产函数的形式。1894年，他在巴罗尼的建议下将这些在技术上的常数转变为经济变量，引进了一种新的关系，即结构方程，生产系数就存在可变性了。

于是到了1900年，作为许多理论家努力的结果，生产函数便连同效用函数一起，确立了其关键性地位，成了这两个描述性函数的第二个。这两个函数熊彼得称为那个时代的古典派理论的两大支柱。

另外当考虑厂商能否较容易地从一种商品的生产转向另一种商品的生产时，就引入多产品生产函数的概念。生产性服务组合的变动，时常影响厂商所生产的商品的质量甚至和种类。让许多商品进入生产函数，并把生产函数写成隐函数的形式：Φ（y1,y2,?ym; x1,x2,?,xn）=0的工作是由艾伦、希克斯、里昂惕夫、廷特纳等人做的。将时间因素明确引入生产函数，把生产函数写成y=Ψ（x1,x2,?,xn, t）的形式,是杰文斯、庞巴维克、陶西格等人的“迂回”生产理论。

二、 生产函数的性质

1. 生产函数的“计划性”

生产函数只有被看作是理想世界中的“计划”函数时，其概念的全部逻辑意义才会显露出来，因为在理想世界中，每一个技术上可变的因素，都可随意变动，而无任何时间和费用上的损失。

2．短期生产函数与长期生产函数

微观经济学中对生产函数长短期的分类不以时间的长短（如一月、一年等），而以在所考虑的时间内厂商能否改变所有的要素投入来区分。如果生产函数中所有的xi都是可变的，它就为一个长期生产函数。如在某一时期内厂商的一部分生产要素是固定的，则它为一个短期生产函数。 3．连续性与可微性

在古典分析中生产函数一般被假设为处处连续与在所有方向都可微分两次。由此得到一个“古老”的规律，即报酬递减律：

假设边际产量MPL = Q/ L与MPK = Q/ K是正数，在一定的技术条件下(即技术不变)，在生产过程中不断增加一种投入要素（例如设为L）的使用量, 其它投入要

素（为K）的数量保持不变,则 Q/ L先是增加（ 2Q/ L2 ＞0），然后经过一个最高点后,便不断下降（ 2Q/ L2 ＜0 。这是初级意义上的报酬递减律。并由此得出推论：（1）存在这样一点，超过这一点，则该可变投入的平均产量将下降。这为次级意义上的报酬递减律。（2）交叉导数为正意味着如果L的投入有所增加，不仅会降低（经过最高点后）L的边际产量，还将提高K的边际产量（ Q/ L K＞0）。

4．单调增性与拟凹性

这是对生产函数的两个最常见假设。投入越多产出也越多，这与常理是相符的。但严格来说，单调性隐含地使用了无成本处置条件，即假设厂商可以无成本地处置多余的投入要素。

生产函数的拟凹性是指：如果厂商任何一个必要投入集V（y）={ x︱f(x)≥y } ，对于每个y≥0都是凸集，则该技术是凸的。这里V（y）是生产函数f(x)的上轮廓集，而所有上轮廓集为凸集的函数又称为拟凹函数，所以如果厂商的技术是凸的，它的生产函数必为拟凹函数。凸技术（其生产函数拟凹）的等产量线（两要素情形）是凸向原点的，这意味着随着一种投入数量的增加，该投入替代其他投入而保持产量不变的能力是递减的。边际技术替代率（MRTS）递减是新古典微观经济学的一个标准假设。 5. 规模收益

生产函数可以显示出一定规模收益现象。它是指与生产规模成比例的收益问题，即在一定的技术条件下各种投入的增长与产出变化之间的比例关系为：

f(λK,λL)= λnf(K,L) (λ>0), 如对所有的(K,L)成立，

则当n=1,为不变规模收益（CRS）；当n＜1,为递减的规模收益（DRS）；当n＞1,为递增的规模收益（IRS）；

以上规模收益的概念要求定义式在所有生产组合上都成立，准确的说应为全域规模收益。其限制条件很强，许多生产函数不满足上述三种中的任何一个，因为它们可能在某个产量范围内是规模收益递增，而在另外的产量范围内是规模收益不变或递减

2

的，即生产技术的规模收益特性常与厂商的生产规模及要素组合情况相关。我们用局部规模收益弹性来刻划这种特性：

设f(x)是生产函数，t为生产规模系数（t>0）,对于f(tx),当t＝1时厂商以原有的规模和组合生产，t>1代表各要素的投入都同比例放大，t<1时要素投入同比例减少。定义生产技术在要素组合为x时的规模收益弹性为

若ε(x,t)＝1，表明产量增长速度与规模增长速度相同，技术在x处是规模收益不变的；ε(x,t)＞1或＜1时，技术在x处分别是规模收益递增和递减的。全域规模收益是局部规模收益的特例。

三、 生产函数的具体形式及特征

1. 线性生产函数 形如: Q＝aK+bL

线性生产函数只在生产要素为完全替代时才是适当的，其特征为： ――不变规模收益；

――边际产出固定 MPk=a, MPL =b； ――零劳动或零资本亦可进行生产； ――等产量线 aK+bL＝Q0为直线；

――边际技术替代率（MRTS）为常数，即-dK/dL=b/a，技术替代弹性ζ为∞； ――规模收益不变，任何一点规模收益弹性为1。

五、 生产函数与技术进步

以上列举的生产函数都假定技术水平不变，但科学技术是现代社会第一生产力，对生产函数有着极为重要影响。技术进步意味着较少的投入就可以生产以前同样的多产品。 因此熊彼得在其《经济分析史》第三卷中写道：生产函数迟早要变动的，革新会破坏旧的生产函数，而建立新的生产函数。因此很有必要将技术进步纳入生产函数，以体现生产函数动态特征。

这里首先应说明作为新古典宏观经济学基础的总量生产函数。新古典经济增长模型使用了一般形式的生产函数来刻画总量的经济增长：Y＝F（K,L），并通常假定其为一阶齐次，虽与哈罗德――多马增长模型比，多了要素间的可替代性，但仍未考虑技术进步。而在新古典理论框架内发展起来的新古典综合学派和结构主义则考虑了多种形式的技术进步。

在新古典综合的索罗模型中，索罗引入了劳动扩大型的技术进步。更进一步，希克斯将技术进步分为三类：

设生产函数为Y＝F（t,K,L），对于任意给定的资本装备率k=K/L， 如果FK′(t)/ FL′(t)> FK′(0)/ FL′(0)，为劳动节约型技术进步； 如果FK′(t)/ FL′(t)＝ FK′(0)/ FL′(0)，为希克斯中性技术进步； 如果FK′(t)/ FL′(t)< FK′(0)/ FL′(0)，为资本节约型技术进步；

其中FK′(t)、FL′(t)分别代表新生产函数的资本和劳动的边际产出，而FK′(0)、FL′(0)分别代表原生产函数的资本和劳动边际产出。

在相同的K/L值处，希克斯中性技术进步所描述的生产函数（如图）的两条切线斜率可能不同，但切线与k轴的交点应是一致的。

哈罗德对技术进步的分类是：对任意给定的k=K/Y值，

如果（ ）>0，则称为劳动节约型技术进步； 如果（ ）＝0，则称为哈罗德中性技术进步； 如果（ ）< 0，则称为资本节约型技术进步；

其中（ ）表示资本收入对劳动收入之比的变化率。注意这里的比较是在相同的K/Y值基础上，而非希克斯在相同的K/L值处的比较。

哈罗德中性技术进步所描述的生产函数（如图），在它们与相同射线的交点处的切线就当是平行的，具有相同的斜率。

技术进步可同时是希克斯中性的和哈罗德中性的，其必要条件是劳动和资本的替代弹性为1。因此考虑到技术进步的CD生产函数(即CD生产函数的改进型)，即是希克斯中性的又是哈罗德中性的。

Q＝AtKαLβ ＝A0ertKαLβ

其中At代表某一时期的技术水平，A0、r是常数，r 称技术进步率。

结构主义经济增长理论的生产函数对技术进步的形式有了更深入的划分，在这里就不多讨论了。

六、 生产函数与知识经济

按OECD《以知识为基础的经济》一书的阐释，知识经济是指直接依据知识和信息的生产、分配和使用的经济。以数字化和网络化为特征的信息技术的飞速发展，正在使全球（尤其是工业化国家）经济增长方式发生根本性的变化。知识作为蕴含在人力资源和技术中的重要成分，其作用日愈明显。

探讨知识对生产的重要性的努力可追溯到亚当·斯密，他提到新专家阶层，认为他们善于思考并为生产对经济有用的知识做出了重大贡献；马克思相信科学技术是起

决定作用的推动力量；熊彼特的创新理论则把创新和企业家的作用看作经济增长的发动机；加尔布雷斯的新工业国理论认为，技术知识已经成为现代企业生产的决定性要素，而且拥有专业技术知识的人（即所谓的技术结构阶层）正在成为现代资本主义企业的“掌权者”。主流的新古典经济学的生产函数理论，注重劳动力、资本、原材料等生产要素的投入，而知识和技术对生产的影响，一般被看作是外生的。直到50 年代中期， 索洛才通过实证研究证明了技术进步是增长的主要源泉， 创立了新古典增长理论。

到80年代中期，随着知识经济的逐步兴起，罗默、卢卡斯和格鲁斯曼等通过经济模型的构建，开始考察创新在经济系统中出现的方式和知识积累对经济系统增长的影响方式，建立新的增长理论，认为：知识可提高投资回报，反过来又可增进知识积累，人们可以通过创造更有效的生产组织方式及产生出新的和改进的产品和服务来实现经济的可持续发展。知识还可以通过溢散，从而在几乎不用额外投资的情况下重复利用，以减轻资金短缺对经济增长的压力。因此，找到新的增长模型的关键是使技术进步内在于增长的过程之中，即找到收益递增生产函数，建立收益递增增长模型。

1986年罗默借鉴阿罗1962 年提出的“从干中学”模型把外部性引入生产函数， 探讨了与技术相关的知识效应对生产的外在影响；卢卡斯则在1988年开发了一个人力资本的模型。格鲁曼和赫普曼1991 年提出的模型则从R&D角度，分析了企业通过R&D的投入和参与，拓展了消费的多样性或产品的专业化程度，达到经济增长的目的；杨小凯在1993年建立了一个模型，把分工的深化和增长看作一个相互作用、不断促进的过程，并将创新对现有技术的破坏性影响与拓展已有技术或为现有技术找到新用途结合起来。

总起来说，与新古典理论相比，新增长理论最重要的特征是承认创新的中心性和强调市场在推动知识交流方面的作用，并把创新看作是内生于经济系统的。但将知识纳入到标准生产函数中，即将知识和信息内生化，找到收益递增生产函数是非常困难的，因为它违背了一些基本的经济原理，如稀缺原理、等价交换等（因为知识和信息的无限丰富和溢散效应）；其二对知识的测度也存在很多问题。

知识经济超出了传统经济学的研究范畴，开辟了经济学研究的新领域，其发展必将推动生产理论的进一步深化。

参考文献： 蒋中一 《数理经济学的基本方法》 熊彼得 周爱民 蒋殿春 张俊 刘东

《经济分析史》第三卷《高级宏观经济学》《高级微观经济学》《生产理论及生产函数的估计》《知识经济：一种新的经济形态》

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