华数思维训练导引四下

华数思维训练导引——计算问题（四）多位数与小数

《思维训练导引》四年级第11讲 计算问题第04讲 多位数与小数 1.计算：1991+199.1+19.91+1.991. 解：1991+199.1+19.91+1.991

=1991+9+199.1+0.9+19.91+0.09+1.991+0.009-(9+0.9+0.09+0.009) =2000+200+20+2-9.999 =2222-10+0.001 =2212.001

2.计算：7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7. 解：7142.85÷3.7÷2.7×1.7×0.7 =7142.85÷37÷27×17×7 =7142.85×7÷999×17 =49999.95÷999×17 =50.05×17 =850.85

3.光的速度是每秒30万千米，太阳离地球1亿5千万千米.问：光从太阳到地球要用几分钟？（答案保留一位小数.）

解：150000000÷300000÷60=150÷3÷6=50÷6≈8.33≈8.3（分） 答：光从太阳到地球要用约8.3分钟。

.已知105.5+[(40+□÷2.3) ×0.5-1.53] ÷(53.6÷26.8×0.125)=187.5,那么□所代表的数是多少？ 解：105.5+[(40+□÷2.3) ×0.5-1.53] ÷(53.6÷26.8×0.125) =105.5+（20+□÷4.6-1.53）÷(2×26.8÷26.8×0.125) =105.5+(18.47+□÷4.6) ÷0.25 =105.5+18.47÷0.25+□÷4.6÷0.25 =105.5+73.88+□÷1.15

因为105.5+73.88+□÷1.15＝187.5

所以□=(187.5-105.5-73.88) ×1.15=8.12×1.15=8.12+0.812+0.406=9.338 答：□=9.338

5. 22.5-(□×32-24×□) ÷3.2=10

在上面算式的两个方框中填入相同的数，使得等式成立。那么所填的数应是多少？ 解：22.5-(□×32-24×□) ÷3.2 =22.5-□×(32-24) ÷3.2 =22.5-□×8÷3.2 =22.5-□×2.5

因为22.5-□×2.5=10，所以□×2.5=22.5-10，□=(22.5-10) ÷2.5=5 答：所填的数应是5。

6.计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+?+0.99. 解：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+0.21+?+0.99 =(0.1+0.9) ×5÷2+(0.11+0.99) ×45÷2 =2.5+24.75 =27.25

7.计算：37.5×21.5×0.112+35.5×12.5×0.112. 解：37.5×21.5×0.112+35.5×12.5×0.112 =0.112×（37.5×21.5+35.5×12.5）

=0.112×（12.5×3×21.5+35.5×12.5） =0.112×12.5×（3×21.5+35.5） =0.112×12.5×100

=1250×（0.1+0.01+0.002） =125+12.5+2.5 =140

8.计算：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7. 解：3.42×76.3+7.63×57.6+9.18×23.7 =7.63×（34.2+57.6）+9.18×23.7 =7.63×91.8+91.8×2.37 =(7.63+2.37) ×91.8 =10×91.8 =918

9.计算：(32.8×91-16.4×92-1.75×656) ÷(0.2×0.2). 解：(32.8×91-16.4×92-1.75×656) ÷(0.2×0.2) =(16.4×2×91-16.4×92-16.4×40×1.75) ÷(0.2×0.2) =16.4×(182-92-70) ÷(0.2×0.2) =16.4×20÷0.2÷0.2 =82×100 =8200

10.计算：(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87). 解：(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-(2+3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87)

=(2+3.15+5.87) ×(3.15+5.87+7.32)-2×(3.15+5.87) -(3.15+5.87+7.32) ×(3.15+5.87) =(3.15+5.87+7.32) ×(2+3.15+5.87-3.15-5.87) -2×(3.15+5.87) =(3.15+5.87+7.32) ×2-2×(3.15+5.87) =(3.15+5.87) ×2+7.32 ×2-2×(3.15+5.87) =7.32×2 =14.64

11.求和式3+33+333+?+33?3（10个3）计算结果的万位数字. 解：个位10个3相加，和为30，向十位进3；

十位9个3相加，和为27，加上个位的进位3得30，向百位进3； 百位8个3相加，和为24，加上十位的进位3得27，向千位进2； 千位7个3相加，和为21，加上百位的进位2得23，向万位进2； 万位6个3相加，和为18，加上千位的进位2得20，万位得数是0。 答：计算结果的万位数字是0。

12.计算：19+199+1999+?+199?9（1999个9）. 解：19+199+1999+?+199?9（1999个9）

=(20-1)+(200-1)+(2000-1)+?+(200?0（1999个0）-1) =22?20（1999个2）-1999×1 =22?2(1996个2)0221

13.算式99?9（1992个9）×99?9（1992个9）+199?9（1992个9）的计算结果的末位有多少个零？ 解：99?9（1992个9）×99?9（1992个9）+199?9（1992个9） =99?9（1992个9）×（100?0-1）（1992个0）+199?9（1992个9） =99?9（1992个9） 0（1992个0） - 99?9（1992个9）+199?9（1992个9）

=99?9（1992个9） 0（1992个0）+100?0（1992个0） =100?0（3984个0）

14.计算：33?3（10个3）×66?6（10个6）. 解：33?3（10个3）×66?6（10个6） =33?3（10个3）×3×22?2（10个2） =99?9（10个9）×22?2（10个2） =(100?0（10个0）-1) ×22?2（10个2） =22?2（10个2）00?0（10个0）-22?2（10个2） =22?2（9个2）177（9个7）8

15.求算式99?9（1994个9）×88?8（1994个8）÷66?6（1994个6）的计算结果的各位数字之和. 答：99?9（1994个9）×88?8（1994个8）÷66?6（1994个6） =9×11?1（1994个1）×8×11?1（1994个1）÷6÷11?1（1994个1） =9×8÷6×11?1（1994个1） =12×11?1（1994个1） =（10+2）×11?1（1994个1） =11?1（1995个1）+22?2（1994个1） =13333?3（1993个1） 2 各位数字之和=1+1993×3+2=5982 答：计算结果的各位数字之和5982 华数思维训练导引——行程问题（一）

4-13-01、甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米。问他走后一半路程用了多少分钟？

解法1：全程的平均速度是每分钟（80+70）/2=75米，走完全程的时间是6000/75=80分钟，走前一半路程速度一定是80米，时间是3000/80=37.5分钟，后一半路程时间是80-37.5=42.5分钟 解法2：设走一半路程时间是x分钟，则80*x+70*x=6*1000，解方程得：x=40分钟

因为80*40=3200米，大于一半路程3000米，所以走前一半路程速度都是80米，时间是3000/80=37.5分钟，后一半路程时间是40+（40-37.5）=42.5分钟 答：他走后一半路程用了42.5分钟。

02、小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明上学走两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是平路的1.5倍，那么上坡的速度是平路的多少倍？ 解法1：设路程为180，则上坡和下坡均是90。设走平路的速度是2，则下坡速度是3。 走下坡用时间90/3=30，走平路一共用时间180/2=90，所以走上坡时间是90-30=60 走与上坡同样距离的平路时用时间90/2=45

因为速度与时间成反比，所以上坡速度是下坡速度的45/60=0.75倍。

解法2：因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是1份，时间是1份，则下坡时间=0.5/1.5=1/3，上坡时间=1-1/3=2/3，上坡速度=（1/2）/（2/3）=3/4=0.75

解法3：因为距离和时间都相同，所以：1/2*路程/上坡速度+1/2*路程/1.5=路程/1，得：上坡速度=0.75 答：上坡的速度是平路的0.75倍。

03、一只小船从甲地到乙地往返一次共用2小时，回来时顺水，比去时的速度每小时多行驶8千米，因此第二小时比第一小时多行驶6千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？ 解：第二小时比第一小时多走6千米，说明逆水走1小时还差6/2=3千米没到乙地。

顺水走1小时比逆水多走8千米，说明逆水走3千米与顺水走8-3=5千米时间相同，这段时间里的路程差是5-3=2千米，等于1小时路程差的1/4，所以顺水速度是每小时5*4=20千米（或者说逆水速度是3*4=12千米）。甲、乙两地距离是12*1+3=15千米 答：甲、乙两地距离之间的距离是15千米。

04、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车。到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟？

解：骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出。骑车中，甲站发出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是5*8=40（分钟）。 答：他从乙站到甲站用了40分钟。

05、甲、乙两人在河中游泳，先后从某处出发，以同一速度向同一方向游进。现在甲位于乙的前方，乙距起点20米，当乙游到甲现在的位置时，甲将游离起点98米。问：甲现在离起点多少米？

解：甲、乙速度相同，当乙游到甲现在的位置时，甲也又游过相同距离，两人各游了（98-20）/2=39（米），甲现在位置：39+20=59（米） 答：甲现在离起点59米。

、甲、乙两辆汽车同时从东西两地相向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48千米，两车在离两地中点32千米处相遇。问：东西两地的距离是多少千米？

解法1：甲比乙1小时多走8千米，一共多走32*2=64千米，用了64/8=8小时，所以距离是8*（56+48）=832（千米）

解法2：设东西两地距离的一半是X千米，则有：48*（X+32）=56*（X-32），解得X=416，距离是2*416=832（千米）

答：东西两地间的距离是832千米。

07、李华步行以每小时4千米的速度从学校出发到20.4千米外的冬令营报到。0.5小时后，营地老师闻讯前往迎接，每小时比李华多走1.2千米。又过了1.5小时，张明从学校骑车去营地报到。结果3人同时在途中某地相遇。问：骑车人每小时行驶多少千米？解：老师速度=4+1.2=5.2（千米），与李相遇时间是老师出发后（20.4-4*0.5）/（4+5.2）=2（小时），相遇地点距离学校4*（0.5+2）=10（千米），所以骑车人速度=10/（2+0.5-2）=20（千米） 答：骑车人每小时行驶20千米。

08、快车和慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇。已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留0.5小时后返回，快车到乙地停留1小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇需要多少时间？

解：快车5小时行过的距离是慢车12.5-5=7.5小时行的距离，慢车速度/快车速度=5/7.5=2/3。 两车行1个单程用5小时，如果不停，再次相遇需要5*2=10小时，如果两车都停0.5小时，则需要10.5小时再次相遇。

快车多停30分钟，这段路程快车与慢车一起走，需要30/（1+2/3）=18（分钟） 所以10.5小时+18分钟=10小时48分钟

答：两车从第一次相遇到第二次相遇需要10小时48分

09、某校和某工厂之间有一条公路，该校下午2时派车去该厂接某劳模来校作报告，往返需用1小时。这位劳模在下午1时便离厂步行向学校走来，途中遇到接他的汽车，便立刻上车驶向学校，在下午2时40

分到达。问：汽车速度是劳模步行速度的几倍？解：汽车走单程需要60/2=30分钟，实际走了40/2=20分钟的路程，说明相遇时间是2：20，

2点20分相遇时，劳模走了60+20=80分钟，这段距离汽车要走30-20=10分钟，所以车速/劳模速度=80/10=8

答：汽车速度是劳模步行速度的8倍。

10、已知甲的步行的速度是乙的1.4倍。甲、乙两人分别由A，B两地同时出发。如果相向而行，0.5小时后相遇；如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时？

解：两人相向而行，路程之和是AB，AB=速度和*0.5；同向而行，路程之差是AB，AB=速度差*追及时间。速度和=1.4+1=2.4，速度差=1.4-1=0.4。

所以：追及时间=速度和/速度差*0.5=2.4/0.4*0.5=3（小时） 答：甲追上乙需要3小时。

11、猎狗发现在离它10米的前方有一只奔跑着的兔子，马上紧追上去。兔跑9步的路程狗只需跑5步，但狗跑2步的时间，兔却跑3步。问狗追上兔时，共跑了多少米路程？

解：狗跑2步时间里兔跑3步，则狗跑6步时间里兔跑9步，兔走了狗5步的距离，距离缩小1步。狗速=6*速度差，路程=10*6=60（米） 答：狗追上兔时，共跑了60米。

12、张、李两人骑车同进从甲地出发，向同一方向行进。张的速度比李的速度每小时快4千米，张比李早到20分钟通过途中乙地。当李到达乙地时，张又前进了8千米。那么甲、乙两地之间的距离是多少千米？

解：张速度每小时8/（20/60）=24（千米），李速度每小时24-4=20（千米）， 张到乙时超过李距离是20*（20/60）=20/3（千米） 所以甲乙距离=24*（20/3/4）=40（千米） 答：甲、乙两地之间的距离是40千米。

13、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发；8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他；然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米。问这时是几时几分？

解：爸爸第一次追上小明离家4千米，如果等8分钟，再追上时应该离家8千米，说明爸爸8分钟行8千米，爸爸一共行了8+8=16分钟，时间是8点8分+8分+16分=8点32分。 答：这时8点32分。

14、龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是乌龟的速度的5倍。当它们从起点一起出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它5000米；兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后100米。那么兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？

解：兔子跑了10000-100=9900米，这段时间里乌龟跑了9900*1/5=1980米，兔子睡觉时乌龟跑了10000-1980=8020米

答：兔子睡觉期间乌龟跑了8020米。

15、一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地。大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍。已知大轿车比小轿车早出发17分钟，但在两地中点停了5分钟后，才继续驶往乙地；在小轿车出发后中途没有停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地。又知大轿车是上午10时从甲地出发的，求小轿车追上大轿车的时间。

解：大车如果中间不停车，要比小车多费17-5+4=16分钟，大车用的时间与小车用的时间之比是速度比的倒数，即1/0.8=5/4，所以大车行驶时间是16/（5-4）*5=80分钟，小车行驶时间是80-16=64分钟，走到中间分别用了40和32分钟。

大车10点出发，到中间点是10点40分，离开中点是10点45分，到达终点是11点25分。

小车10点17分出发，到中间点是10点49分，比大车晚4分；到终点是11点21分，比大车早4分。 所以小车追上大车的时间是在从中间点到终点之间的正中间，11点5分。 答：小轿车追上大轿车的时间是11点5分。 华数思维训练导引——行程问题（二）

4-14-01、某解放车队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进。一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并立即返回排尾，那么这需要多少时间？

解：从排尾到排头用的时间是450/（3-1.5）=300秒，从排头回排尾用的时间是450/（3+1.5）=100秒，一共用了300+100=400秒 答：需要400秒。

02、铁路旁的一条平行小路上，有一行人与一骑车人同进向南行进，行人速度为每小时3.6千米，骑车人速度为每小时10.8千米。这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟。这列火车的车身总长是多少米？

解：设火车速度是每秒X米。行人速度是每秒3.6*1000/60*60=1（米），骑车人速度是每秒1.8*1000/60*60=3（米）

根据已知条件列方程：（X-1）*22=（X-3）*26，解得：X=14（米），车长=（14-1）*22=286（米） 答：这列火车的车身总长是286米。

骑车人速度是行人速度的10。8/3。6=3倍，22秒时火车通过行人（设行人这22秒所走的路程为1），车尾距骑车人还有2倍行人22秒所走的路程，即距离2；

26秒（即又过4秒）时，火车通过骑车人，骑车人行=4*（3/22）=6/11，火车行2+6/11=28/11，火车与骑车人的速度比为28/11：6/11=14：3；火车速度=14*10.8/3=504千米/小时； 火车车长=（50400-3600）*22/3600=286米。

03、一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒。已知在客车的前方有一列行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米。求列车与华车从相遇到离开所用的时间。 解：客车速度是每秒（250-210）/（25-23）=20米，车身长=20*23-210=250米 客车与火车从相遇到离开的时间是（250+320）/（20-17）=190（秒） 答：客车与火车从相遇到离开的时间是190秒。

04、铁路旁有一条小路，一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去。14小时10分钟追上向北行走的一位工人，15秒种后离开这个工人；14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。问工人与学生将在何时相遇？

解法1：工人速度是每小时30-0.11/（15/3600）=3.6千米 学生速度是每小时（0.11/12/3600）-30=3千米

14时16分到两人相遇需要时间（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24分钟

14时16分+24分=14时40分

解法2：（车速-工速）*15=车长=（车速+学速）*12,那么 工速+学速=（车速+学速）-（车速-工速）=（1/12-1/15）*车长

而14点10分火车追上工人，14点16分遇到学生时，工人与学生距离恰好是 （车速-工速）*6=6/15*车长 这样，从此时到工人学生相遇用时

（6/15*车长）/[（1/12-1/15）*车长]=（6/15）/（1/12-1/15）=24分 答：工人与学生将在14时40分相遇。

05、东、西两城相距75千米。小明从东向西走，每小时走6.5千米；小强从西向东走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西，每小时骑行15千米。3人同时动身，途中小辉遇见小强又折回向东骑，这样往返，直到3人在途中相遇为止。问：小辉共走了多少千米？

解：3人相遇时间即明与强相遇时间，为75/（6.5+6）=6小时，小辉骑了15*6=90千米 答：小辉共骑了90千米。

06、设有甲、乙、两3人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度是步行速度的3倍。现甲从A地去B地，乙、丙从B地去A地，双方同时出发。出发时，甲、乙为步行，丙骑车。途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，3人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己重又步行，3人仍按各自原有方向继续前进。问：3人之中谁最先达到自己的目的地？谁最后到达目的地？ 解：

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如图，甲与乙在M点相遇，甲走了AM，同时乙也走了同样距离BN。当甲与乙在P点相遇时，乙一共走了BP，甲还要走PB，而丙只走了MA。

所以3人步行的距离，甲=AM+PB，乙=BP，丙=MA。 甲最远，最后到；丙最短，最先到。

答：丙最先到达自己的目的地，甲最后到达自己的目的地。

由于每人的步行速度和骑车速度都相同，所以，要知道谁先到、谁后到，只要计算一下各人谁步行最长，谁步行最短。

将整个路程分成4份，甲丙最先相遇，丙骑行3份，步行1分；

甲先步行了1份，然后骑车与乙相遇，骑行2*3/4=3/2份，总步行4-3/2=5/2份； 乙步行1+（2-3/2）=3/2，骑行4-3/2=5/2份， 所以，丙最先到，甲最后到。

07、有甲、乙、丙3人，甲每分钟走100米，乙每分钟走80米，丙每分钟走75米。现在甲从东村，乙、丙两人从西村同时出发相向而行，在途中甲与乙相遇后6分钟后，甲又与丙相遇。那么，东、西两村之间的距离是多少米？

解：甲、乙相遇时，乙比丙多走的路程，正好是甲、丙6分钟的路程之和=（100+75）*6，乙比丙每分钟多走（80-75）米，因此甲、乙相遇时走了：[（100+75）*6/（80-75）]分钟，两村的距离是（100+80）*[（100+75）*6/（80-75）]=37800（米）

答：东、西两村之间的距离是37800米。

08、甲、乙、丙3人进行200米赛跑，当甲到达终点后，乙离终点还有20米，丙离终点还有25米。如果甲、乙、丙赛跑的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，丙离终点还有多少米？（答案保留两位小时。）解：乙跑200-20=180米比丙多跑25-20=5米，所以乙到达终点时，丙比乙少跑200/180*5=5（5/9）=5.56（米）

答：当乙到达终点时，丙离终点还有5.56米。

09、张、李、赵3人都从甲地到乙地。上午6时，张、李两人一起从甲地出发，张每小时走5千米，李每小时走4千米。赵上午8时从甲地出发。傍晚6时，赵、张同时到过乙地。那么赵追上李的时间是几时？

解：甲、乙距离是5*12=60（千米），赵的速度是60/10=6（千米），赵追上李时走了（4*2）/（6-4）=4（小时），这时的时间是8+4=12（点） 答：赵追上李的时间是12时。

赵晚走2小时，此时张已走出5*2=10千米，李走出4*2=8千米，

从上午8时到下午18：00时，共10个小时，赵、张同时到达乙地，赵每小时比张多走10/10=1千米， 那么赵比李每小时多走1+1=2千米，追上需要8/2=4小时，即追上为12：00时。

10、快、中、慢3辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这3辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么，慢车每小时走多少千米？

解：快车6分钟行24*1000*6/60=2400（米），中车10分钟行20*1000*10/60=3333（1/3）（米） 骑车人速度每分钟行（3333（1/3）-2400）/（10-6）=700/3（米）

慢车12分钟行2400-700/3*6+700/3*12=3800（米），每小时行3800/12*60=190000（米）=19（千米） 答：慢车每小时行19千米。

6分钟快车追上骑车人时，中车与它们还相差6*（24-20）/60=0.4千米，

10分钟时，中车又开了4*20/60=4/3千米，追上骑车人，说明骑车人4分钟骑了4/3-0.4=14/15千米， 即骑车人速度=（14/15）*（60/4）=14千米/小时，

因为快车用6分钟追上骑车人，由此可知原本三辆汽车落后骑车人6*（24-14）/60=1千米， 12分钟时，骑车人离三车出发点1+14*12/60=3.8千米， 所以，慢车速度=（3.8/12）*60=19千米/小时。

11、客车和货车分别从甲、乙两站同进相向开出，第一次相遇在离甲站40千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进。客车到达乙站、货车达到甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站20千米的地方相遇。求甲、乙两站之间的距离。

解：第一次相遇一共走了全程S，其中客车走40千米

第二次相遇两车一共又走了3个全程2S，其中客车走（S+20）千米 所以S+20=3*40，解得S=100（千米） 答：甲、乙两站之间的距离是100千米。

12、甲、乙、丙是3个车站。乙站到甲、丙两站的距离相等。小明和小强分别从甲、丙两站同时出发，机向而行。小明过乙站100米后与小强相遇，然后两人又继续前进。小明走到两站立即返回，经过乙站后300米又追上小强。问：甲、丙两站的距离是多少米？

解：如图：

此主题相关图片如下：

第一次相遇，小明走：全程的一半+100米

从第一次相遇点再到追上小强时离乙站300米，300-100=200米，小明又走：全程+200米，可知第二段距离是第一段距离的2倍。

小强第二段也应该走第一段的2倍，100+300=400米，所以第一段走400/2=200米。 乙丙距离=200+100=300米，甲丙距离=2*300=600米。 答：甲、丙两站距离是600米。

13、甲、乙两地之间有一条公路。李明从甲地出发步行去乙地，同时张平从乙地出发骑摩托车去甲地，80分钟后两人在途中相遇。张平到达甲地后马上折回乙地，在第一次相遇后又经过20分钟在途中追上李明。张平达到乙地后又马上折回甲地，这样一直下去。问：当李明到达乙在，张平共追上李明多少次？ 解：设李20分钟走1份距离，则80分钟走4份

张20分钟后追上李，李这时走了4+1份距离，张202分钟走4+5=9份，所以速度比：李速度/张速度=1/9。李走完单程时张应该走9个单程，追上的次数是（9-1）/2=4（次） 答：当李明到达乙地时，张平共追上李明4次。

14、甲、乙两车分别从A，B两地出发，在A，B之间不断往返行驶。已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇（两车同时到达同一地点即称相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，那么两地之间的距离等于多少千米？

解：甲速度/乙速度=15/35=3/7，第三次相遇时两车一共行驶5个AB，其中甲行5*3/10=1（5/10）AB，第四次相遇时两车一共行驶7个AB，其中甲行7*3/10=2（1/10）AB，这两点的距离是5/10-1/10=4/10AB=100（千米）

所以AB=100*10/4=250（千米） 答：两地之间的距离是250千米。

15、两名游泳运动员在长为30米的游泳池里来回游泳，甲的速度是每秒游1米，乙的速度是每秒游0.6米，他们同时分别从游泳池的两端出发，来回共游了5分钟。如果不计转向的时间，那么在这段时间内两人共相遇多少次？

解：5分钟两人一共游了（1+0.6）*5*60=480米

第一次迎面相遇，两人一共游了30米；以后两人和起来每游2*30=60米，就迎面相遇一次，480=30+60*7+30，迎面相遇了8次。

甲比乙多游了（1-0.6）*5*60=120米，甲第一次追上乙时，比乙多游30米；以后每多游2*30=60米，就又追上追上乙一次，120=30+60+30，甲一共追上乙2次

两人相遇次数=8+2=10次。

答：在这段时间内两人共相遇10次。

的速度是每秒游1米，一个来回60秒=1分钟，5分钟共游了5个来回； 乙的速度是每秒游0.6米，一个来回100秒，5分钟共游了5*60/100=3个来回； 画图很容易可以看出共相遇了几次。 第18讲 排列与组合（四年级）

1、“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母用3种不同颜色来写，现有5种不同颜色的笔，问共有多少钟不同的写法？

从5个元素中取3个的排列：P（5、3）=5×4×3=60

2、从数字0、1、2、3、4、5中任意挑选5个组成能被5除尽且各位数字互异的五位数，那么共可以组成多少个不同的五位数？

个位数字是0：P（5、4）=120；

个位数字是5：P（5、4）－P（4、3）=120－24=96，（扣除0在首位的排列） 合计120＋96=216

另：此题乘法原理、加法原理结合用也是很好的方法。

3、用2、4、5、7这4个不同数字可以组成24个互不相同的四位数，将它们从小到大排列，那么7254是第多少个数？

由已知得每个数字开头的各有24÷4=6个，从小到大排列7开头的从第6×3＋1=19个开始， 易知第19个是7245，第20个7254。

4、有些四位数由4个不为零且互不相同的数字组成，并且这4个数字的和等于12，将所有这样的四位数从小到大依次排列，第24个这样的四位数是多少？ 首位是1：剩下3个数的和是11有以下几种情况： ⑴2＋3＋6=11，共有P（3、3）=6个； ⑵2＋4＋5=11，共有P（3、3）=6个；

首位是2：剩下3个数的和是10有以下几种情况： ⑴1＋3＋6=10，共有P（3、3）=6个； ⑵1＋4＋5=10，共有P（3、3）=6个； 以上正好24个，最大的易知是2631。

5、用0、1、2、3、4这5个数字，组成各位数字互不相同的四位数，例如1023、2341等，求全体这样的四位数之和。

这样的四位数共有P（4、1）×P（4、3）=96个

1、2、3、4在首位各有96÷4=24次，和为（1＋2＋3＋4）×1000×24=240000； 1、2、3、4在百位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×100×18=18000； 1、2、3、4在十位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×10×18=1800； 1、2、3、4在个位各有24÷4×3=18次，和为（1＋2＋3＋4）×1×18=180； 总和为240000＋18000＋1800＋180=259980

6、计算机上编程序打印出前10000个正整数：1、2、3、??、10000时，不幸打印机有毛病，每次打印数字3时，它都打印出x，问其中被错误打印的共有多少个数？ 共有10000个数，其中不含数字3的有： 五位数1个，

四位数共8×9×9×9=5832个，

三位数共8×9×9=648个， 二位数共8×9=72个， 一位数共8个，

不含数字3的共有1＋5832＋648＋72＋8=6561 所求为10000－6561=3439个

7、在1000到9999之间，千位数字与十位数字之差（大减小）为2，并且4个数字各不相同的四位数有多少个？

□3□结构：8×7=56，3□1□同样56个，计112个； 2□4□结构：8×7=56，4□2□同样56个，计112个； 3□5□结构：8×7=56，5□3□同样56个，计112个； 4□6□结构：8×7=56，6□4□同样56个，计112个； 5□7□结构：8×7=56，7□5□同样56个，计112个； 6□8□结构：8×7=56，8□6□同样56个，计112个； 7□9□结构：8×7=56，9□7□同样56个，计112个； 2□0□结构：8×7=56， 以上共112×7×56=840个

8、如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？

因为强调2本书来自不同的学科，所以共有三种情况： 来自语文、数学：3×4=12； 来自语文、外语：3×5=15； 来自数学、外语：4×5=20； 所以共有12＋15＋20=47

9、某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？ 方法一：

一张车票包括起点和终点，原来有P（7、2）=42张，（相当于从7个元素中取2个的排列）， 现在有P（10、2）=90，

所以增加90－42=48张不同车票。 方法二：

1、新站为起点，旧站为终点有3×7=21张， 2、旧站为起点，新站为终点有7×3=21张， 3、起点、终点均为新站有3×2=6张， 以上共有21＋21＋6=48张

10、7个相同的球放在4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？ 因为7=1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，相当于从6个加号中取3个的组合， C（6、3）=20种

11、从19、20、21、22、??、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？

76个数中，奇数38个，偶数38个 偶数＋偶数=偶数：C（38、2）=703种， 奇数＋奇数=偶数：C（38、2）=703种， 以上共有703＋703=1406种

12、用两个3，一个1，一个2可组成若干个不同的四位数，这样的四位数一共有多少个？

因为有两个3，所以共有P（4、4）÷2=12个

13、有5个标签分别对应着5个药瓶，恰好贴错3个标签的可能情况共有多少种？ 第一步考虑从5个元素中取3个来进行错贴，共有C（5、3）=10， 第二步对这3个瓶子进行错贴，共有2种错贴方法， 所以可能情况共有10×2=20种。

14、有9张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“1”的有1张，标有数码“2”的有2张，标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的有3张，把这9张圆形纸片如图所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许*在一起。

⑴如果M处放标有数码“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？

⑵如果M处放标有数码“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？ 此主题相关图片如下：

⑴如果M处放标有数码“3”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？ ⑵如果M处放标有数码“2”的纸片，一共有多少种不同的放置方法？ 此主题相关图片如下：

⑴如果M处放标有数码“3”的纸片，只有唯一结构：

在剩下的6个位置中，3个“4”必须隔开，共有奇、偶位2种放法，在剩下的3个位置上“1”有3种放法（同时也确定了“2”的放法）。 由乘法原理得共有2×3=6种不同的放法。

此主题相关图片如下：

⑵如果M处放标有数码“2”的纸片，有如下几种情况：

结构一：

3个“3”和3个“4”共有2种放法，再加上2和1可以交换位置，所以共有2×2=4种； 此主题相关图片如下：

结构二：

3个“4”有奇、偶位2种选择（相应的“1”也定了，只能*着已有的“3”，加上2和3可以交换，所以共有2×2=4种； 此主题相关图片如下：

结构三：

3个“3”有奇、偶位2种选择，“1”有唯一选择，只能*到已有的“4”，加上2和4可以交换位置，所以共有2×2=4种，

此主题相关图片如下：

以上共有4＋4＋4=12种不同的放法。

15、一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。问：

⑴如果4个舞蹈节目要排在一起，有多少种不同的安排顺序？

⑵如果要求每两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目，一共有多少种不同的安排顺序？

⑴4个舞蹈节目要排在一起，好比把4个舞蹈挷在一起看成一个节目，这样和6个演唱共有7个节目，全排列7！，加上4个舞蹈本身也有全排4！，所以共有7！×4！=120960种。

⑵4个舞蹈必须放在6个演唱之间，6个演唱包括头尾共有7个空档，7个空档取出4个放舞蹈共有P（7、4），加上6个演唱的全排6！，共有P（7、4）×6！=604800种。 华数思维训练导引——数表规律与数列综合（四年级）

1．填在图17-1的三个正方形内的数具有相同的规律。请你依据这个规律，确定出A，B，C。

此主题相关图片如下：

解：由第一个正方形1，2，3，第二个正方形2，3，4，推出第三个正方形3，4，5，即B=4，C=5。

第一个正方形中9=（1+2）×3，第二个正方形20=（2+3）×4，推出A=（3+B）×3C=（3+4）×5=35

答：A=35，B=4，C=5

2．图17-2是一个由整数组成的三角形。试研究它的组成规律，从而确定出x的数值。

此主题相关图片如下：

解：如图，沿红线方向从第一行开始把这些数串起来，发现：绿线相连的两个数之和等于绿线箭头指向的数。也即是：

奇数行：最右一个数为0，左侧的数等于它右侧数与它右上侧数之和；

偶数行：最左一个数为0，左侧的数等于它左侧数与它左上侧数之和。

因此，第八行最左的数是0，后面依次是61，122，178，??

答：x=178

此主题相关图片如下：

3．如图17-3所示的数阵中的数字是按一定规律排列的。那么这个数阵中第100行左起第5个数字是多少？

此主题相关图片如下：

解：每行7个数，99行共99×7=693个数。

首先一位数有1×9=9个数字，其次十位数有2×90=180个数字，还少693-（9+180）=504个数字，即504每两行增加30，3=168个三位数。从100到267是168个数。所以第99行正好写到267为止。

第100行的7个数从左到右依次为：2 6 8 2 6 9 2

答：第100行左起第5个数字是6。

4．如图17-4所示，把自然数中的偶数2，4，6，8，?，依次排成5列。如果各列从左到右依次称为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列，那么，数1986出现在第几列？

此主题相关图片如下：

解：观察，差为16的两个数位于同一列，1986除以16商124余2，知1986是奇数行第一个数，因此在第2列。

答：1986出现在第2列。

5．在图17-5所示的数表中，第100行左边第一个数是多少？

此主题相关图片如下：

解：每行3个数，99行共3×99=297个数，从2起第297个数是298，所以第100行有299，300，301这三个数。

奇数行从左到右数由小到大，偶数行从左到右数由大到小，第100行排列为301，300，299。答：第100行左边第一个数是301。

6．在图17-6所示的数表中第n行有一个数A，它的下面一行，即第n+1行有一个数B，并且A和B在同一竖列。如果A+B=391，那么n等于多少？

此主题相关图片如下：

解：相邻两行中，同一列的两个数之和都是相等的。

观察第一列数：1，30，31，60，61，91，??，相邻两行两数之和依次为31，61，91，121，151，??。这是一个等差数列，首项31，末项391，公差为30。A+B位于这个数列的第（391-31）÷30+1=13项。所以A位于题中数表的第13行。

答：n=13。

7．如图17-7，自然数按某种方式排列起来，其中数3排在第二行第一列，13排在第三行第三列。问：1993排在第几行第几列？

此主题相关图片如下：

解：

奇数斜行自下而上递增，偶数斜行自上而下递增。

试算1993位于第几斜行：1+2+??+62=（1+62）×1×62/2=1953，1+2+??+63=（1+63）×1×66/2=2016，知1993位于第63斜行。此行数自下而上递增，左下方为第一个数1954。因此，1993是第63斜行中的第（1993-1954）+1=40个数，即位于第40列。

1954位于第63行第1列，1955位于第62行第2列，??，1993位于第63-40+1=24行。

答：1993排在第24行第40列。

此主题相关图片如下：

8．图17-8是按照一下规律组成的三角形数阵，其中第一排有1个数，第二排有2个数，第三排有3个数，?，最后一排有10个数。如果把 55个数相加，问：所得到的和的十位数字是几？

此主题相关图片如下：

解：观察得知，下一行数的和是上一行数的和的2倍。从第一行到第十行，每行含有的1991分别为1，2，4，8，16，32，64，128，256，512个，总和中含有1023个1991，所以和的十位数是9。

9．如图17-9，将自然数1，2，3，4，?，按箭头所指方向顺序排列，拐弯位置处的数依次是2，3，5，7，10，?。

（1）如果认为2位于第一次拐弯处，那么第45次拐弯处的数是多少？

（2）1978到2010的自然数中，恰在拐弯处的数是多少？

此主题相关图片如下：

解：（1）1，2，3，4（2的平方）组成的第一个正方形有2个拐弯2和3；

3，5，7，9（3的平方）组成的第二个正方形又增加2个拐弯5和7，共有4个拐弯；

7，10，13，16（4的平方）组成的第三个正方形又增加2个拐弯10和13，共有6个拐弯；??；第45个拐弯应在第23个正方形上，即比23的平方大1。即23^2+1=530。

（2）因为第44个正方形上的新增的拐弯数是44^+1=1937和44^+1+44=1981，而第45个正方形新增的拐弯数已是45^+1=2026，所以从1978到2010的自然数中，在拐弯处的只有1981。

答：（1）530；（2）1981。

10．有一张写着自然数1至100的数表，可以在表中相邻两行内各取连续的3个数，然后用长方框围起来。例如，图17-10中所示长方框内的6个数之和是108。如果某个按上述方式形成的长方框所围出的6个数之和是480，那么其中最大的数应是多少？

此主题相关图片如下：

解：480-108=372，平移时方框内每个数增加相同，各增加了372/6=62。最大的数为23+62=85。

答：其中取的数就是85。

11．有一列数，第一个是105，第二个是85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数。那么，第19个数的整数部分是多少？

解：第3个数=（105+85）/2=95；第4个数=（85+95）/2=90；第5个数=（95+90）/2=92.5；第6个数=（90+92.5）/2=91.25；第7个数=（92.5+91.2 5）/2=91.875；后面的数都在91.25-91.875之间，整数部分均为91。

答：第19个数的整数部分是91。

12．自然数的平方按从小到大的顺序排列成14916253649?。问第612个位置上的数字是几？

解：1-3的平方是一位数，共3位；4-9的平方是两位数，共2×6=12位；10-31的平方是三位数，共3×22=66位；32-99的平方是四位数，共4×68=272位。

1-99的平方共有3+12+66+272=353位，还差612-353=259位。259除以5商51余4，所以第612个位置上的数字，是从100开始的第52个的平方的第4位数，即151的平方的第4位数。151^2 =22801，它的第4位是0。

答：第612个位置上的数字是0。

13．把除1外的所在奇数依次按一项，二项，三项，四项循环的方式进行分组：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），??。那么，第1994个括号内的各数之和是多少？

解：将每4个括号归为一队，每队1+2+3+4=10个奇数。1994除以4商498余2，所以第1994个括号是第499队的第二个括号，有两个数。第1994个括号之前共有498×10+1=4981个奇数，从3算起，第1994个括号内的奇数是第4983和第4984个奇数。因此第1994个括号中的第一个数是第2×4983-1=9965，9965+9967=19932。

答：第1994个括号内的各数之和是19932。

14．如图17-11，有一系列图形：当n=1时，长方形ABCD分为2个直角三角形，总计可数出5条边；当n =2时，长方形ABCD分为8个直角三角形，总计可数出16条边；当n=3时，长方形ABCD分为18个直角三角形，总计可数出33条边。问当n=100时，长方形ABCD应分为多少个直角三角形？总共可数出多少条边？

此主题相关图片如下：

解：n=1，直角三角形的个数=2×1^2=2，数出的边数=2×1×（1+1）+1^2=5

n=2，直角三角形的个数=2×2^2=8，数出的边数=2×2×（2+1）+2^2=16

n=3，直角三角形的个数=2×3^2=18，数出的边数=2×3×（3+1）+3^2=33

即：直角三角形的个数=2×n^2，数出的边数=2n（n+1）+n^2=16

当n =100时，直角三角形的个数=2×100^2=20000，

数出的边数=2×100×（100+1）+100^2=30200

答：有20000个直角三角形，30200条边。

15．一堆球，如果球的总数是10的倍数，就平均分成10堆并拿走9堆；如果球的总数不是10的倍数，就添加不多于9个球，使球数成为10的倍数，再平均分成10堆并拿走9堆。这个过程称为一次“均分”。若球仅为一个，则不做“均分”。如果最初有球1234?19961997个，问经过多少次“均分”和添加多少个球后，这堆球便仅余下一个球？

解：1234?19961997共有1×9+2×90+3×900+4×998=6881位。每“均分”一次，剩下的球比原来少一位数。“均分”6880次后还剩2个，再“均分”一次剩1个。共“均分”6881次。

如果球数是999??999（共6881位）个，第一次“均分”添加1个球，以后“均分”不用添加，共经过6881次“均分”，最后剩一个球。这个数相当于将1234?19961997和每位数都补成9，补上的所有数之和再加上1。

999??999（共6881位）的各位数字之和=9×6881=61929。

而1234?19961997的各位数字之和，将1998补在后面即1234?199619971998，首尾两两配对，1+1998=1999，2+1997=1999，??，999+1000=1999，共999对，每对数字之和是1+9+9+9=28，1234?19961997的各位数字之和=28×999-（1+9+9+8）=27945。

所以，1234?19961997比999??999（共6881位）共补上了61929-27945=33984，所以1234?19961997一共补上33984+1=33985个球。

答：经过6881次“均分”，添加33985个球。 华数思维训练导引——幻方与数阵图扩展（四年级） 四年级第16讲，数字谜问题第09讲 幻方与数阵图扩展

1．用1至9这9个数编制一个三阶幻方，写出所有可能的结果。所谓幻方是指在正方形的方格表的每个方格内填入不同的数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格的数。

2．已知图16-1是一个四阶幻方，那么标有 * 的方格中所填的数是多少？ 此主题相关图片如下：

3．将自然数1至9分别填在如图16-2所示的3×3方格表内，使得每行、每列及两条对角线上的数满足：两端的两个数之和减去中间的数，结果都等于5。 此主题相关图片如下：

4．把1，2，3，4，6，9，12，18，36这9个数分别填入3×3方格表的各方格内，使每一行、每一列及两条对角线上的3个数的乘积都是216。求位于正中间的方格中所填的数。 5．图16-3是一个三阶幻方，那么标有 * 的方格中的所填的数是多少？ 此主题相关图片如下：

6．在图16-4的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19.95。那么，标有 * 的格内所填的数是多少？ 此主题相关图片如下：

解：中心数为19.95/3=6.65，其上（第二列第一数）为19.95-6.65-8.80=4.50

则*=19.95-4.33-4.50=11.12

答：*内填11.12。

7．如图16-5所示，在3×3方格表内已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等。（1）求x；（2）如果中间的空格内填入100，试在上一小题的基础上，完成填图。 此主题相关图片如下：

8．在图16-6所示的方格表的每个方格内填入一个恰当的字母，可以使得每行、每列及两条对角线上4个方格中的字母都是A，B，C，D，那么，表中标有★的方格内应填的字母是什么？ 此主题相关图片如下：

解：从对角线看★可为B，C，D；从第4列看★不为D。故★可能是B或C。

再看左下角数，从第一列看不为A，C；从对角线看不为D。故左下角数为B。

从第4行看★只能是C。

答：★是C。

9．请在4×8方格表的每个方格内填入数1，2或3，使得任何排列成如图16-7所示形状的4个方格中所填数的和都是7。

此主题相关图片如下：

10．如图16-8，有一个11位数，它的每3个相邻数字之和都是20。问标有 * 的那个数位上的数字应该是几？

此主题相关图片如下：

11．如图16-9，横、竖各有12个方格，每个方格内都有一个数。已知横行上任意3个相邻数之和为20，竖列上任意3个相邻数之和是21，并且其中4个方格内的数分别是3，5，8和x。那么x所代表的数是多少？

此主题相关图片如下：

12．把1，2，3，?，13这13个数分别填在如图16-10所示的3个圆圈内，使得同一个圆圈内任意两个数相减，所得的差不在这个圆圈内。现在已经把1，4，7填在第一个圆圈内，3填在第三个圆圈内，请将其余6个数填好。

此主题相关图片如下：

解：7-1=6（6不在第一圆），6-3=3（6不在第三圆），所以6在第二圆。

5-4=1，8-1=7，11-7=4，故5，8，11不在第一圆。若8填第三圆，则5（8-3）和11（8+3）只能填入第二圆，这样第二圆中11-5=6，显然不行。所以8只所填在第二圆。

2不能填入第一圆（2-1=1）也不能填入第二圆（8-6=2），所以2只能填入第三圆。

此时5只能填入第二圆（5-4=1，5-3=2），11只能填入第三圆（11-7=4，11-5=6），13只能填入第一圆（13-8=5，13-11=2），9只能填入第二圆（13-9=4，11-2=9），12只能填入第三圆（13-1=12，12-6=6），10只能填入第一圆（10-5=5，12-2=10）

此主题相关图片如下：

13．请在图16-11的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和。

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14．在图16-12的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的3个数，居中的数是旁边两个数的平均数。现在已经填好了两个数，那么x等于多少？

此主题相关图片如下：

解：底行已有两个数，可计算其中间圆圈数为（13+17）/2=15

可知最上端数比左连线中间数大2，得15。从而得到中心上下连线的是中间数为16。

因此x=19。

15．请在图16-13所示的8个小圆圈内，分别填入1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好分别是1，2，3，4，5，6，7。

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