数学定理

数学定理

1.点到直线的距离计算公式：

2.6714(黑洞数)定理黑洞数又称陷阱数，是类具有奇特转换特性的整数.任何一个数字不全相同整数，经有限“重排求差”操作，总会得某一个或一些数，这些数即为黑洞数.“重排求差”操作即把组成该数的数字重排后得到的最大数减去重排后得到的最小数.或者是冰雹原理中的“1”黑洞数.举个例子，三位数的黑洞数为495.简易推导过程：随便找个数，如297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为972和279，相减，得693.按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495.之后反复都得到495.再如，四位数的黑洞数有6174.

3.阿基米德折弦定理（阿基米德中点定理）

AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，M是弧ABC的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD.折弦定义：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦

4.伯特兰·切比雪夫定理

伯特兰·切比雪夫定理说明：若整数n> 3，则至少存在一个质数p，符合n

5.陈氏定理：任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个 半素数 （数学中，两个素数的乘积所得的自然数我们称之为半素数，也叫双素数，开始的几个半素数是4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, ... 它们包含1及自己在内合共有3或4个因子）的和。

数学定理

6.婆罗摩笈多定理

若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边.如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M.EF⊥BC，且M在EF上.那么F是AD的中

点.

7.拿破仑定理

以三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则他们的中心构成一个等边三角形.‖该等边三角形称为拿破仑三角形.如果向内(原三角形不为等边三角形)作三角形，结论同样成立。 8.外接圆 （1）与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆。 三角形有外接圆，其他的图形不

一定有外接圆。 三角形的外接圆圆心是任意两边的 垂直平分线的交点。 三角形外接圆圆心叫外心。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。钝角三角形外心在三角形外。外接圆圆心到三角形各个 顶点的 线段长度相等 （2）作图方法

即做三角形三条边的垂直平分线(两条也可，两线相交确定一点）

以线段为例，可以看作是三角形一边。分别以两个 端点为圆心适当长度（相等）为半径做圆（只画出与线段相交的弧即可），再分别以两交点为圆心，等长为半径（保证两圆相交）做圆，过最后的两个圆的两个交点做直线，这条直线垂直且平分这条线段即线段的 垂直平分线

9.清宫定理

设P，Q为△ABC的外接圆上异于A，B，C的两点，P关于三边BC，CA，AB的对称点分别是U，V，W，且QU，QV，QW分别交三边BC，CA，AB或其延长线于D，E，F，则D，E，F在同一直线上.

数学定理

10.中线定理(阿波罗尼乌斯定理，重心定理)

三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半的平方与该边中线平方的和的两倍. 11.燕尾定理

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有S△AOB∶S△AOC=BD∶CD，S△AOB∶S△COB=AE∶CE，S△BOC∶S△AOC=BF∶AF.

12. 鸟头（共角）定理模型

1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；

2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图上图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 则有：S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE）

13.任意四边形中的比例关系：

蝴蝶定理 14.蝴蝶定理（Butterfly Theorem）：设M为 圆内 弦PQ的中点，过M作弦AB和

CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的 中点。 去掉中点的条件， 结论变为一个一般关于 有向线段的 比例式，称为“ 坎迪定理”， 不为中点时满足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。

15.柯西不等式

二维形式 公式变形

等号成立条件：当且仅当

（即

）时。

数学定理

二维形式的证明

等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

三角形式的证明

两边开平方得

应用例子

柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主。

巧拆常数证不等式

数学定理

例：设a、b、c为正数且互不相等，求证：

证明：将a+b+c移到不等式的左边，化成：

=

由于a、b、c为正数且互不相等，等号取不到。

附用16.基本不等式证 设 ，则所证不等式等价于

因为

所以上式显然成立。

求某些函数最值

例：求函数

的最大值。

数学定理

万能公式，包括三角函数、导函数、函数公式等，将sinα、cosα、tanα代换成tan(α/2)

的式子，这种代换称为万能置换的代换公式。

常用 不常

用

31.笛沙格定理

平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

32.帕普斯定理

帕普斯(Pappus)定理:如图，直线L1上依次有点A,B,C，直线L2上依次有点

数学定理

D,E,F，设AE,BD交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。 33.鸽巢原理

简单形式

如果n+1个物体被放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体 加强形式

令q1,q2,...qn为正整数。如果将q1+q2+...+qn-n+1个物体放入n个盒子内,那么或者第一个盒子至少含有q1个物体,或者第二个盒子至少含有q2个物体,...,或者第n个盒子含有qn个物体.

所以 已知n + 1个正整数，它们全都小于或等于2n，证明当中一定有两个数是互质的

34.割线定理

割线定理（Secant Theorem），指的是从 圆外一点引圆的两条 割线（一条直线与一条弧线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线。），这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。割线定理为 圆幂定理之一。 表达式 LA·LB=LC·LD=LT2

35.费马点

在一个三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。即在ABC内求一点P，使 PA+PB+PC之值为最小，人们称这个点为“费马点”。

(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。 证明方法及作图方法：

（三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形

（2）若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。 （3）当△ABC为等边三角形时,此时内心与费马点重合。

ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.）

36.三圆定理

设三个圆C1, C2, C3交于一点O，而M, N, P分别是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点。设A为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。那么B, N, C这三点共线。

数学定理

逆定理：如果是三角形，M, N, P三点分别在边AB, BC, CA上，那么△AMP、△BMN、△CPN 的外接圆交于一点O。

数学定理

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