北工大07-08学年概率论与数理统计试卷

北京工业大学2007—2008年度第一学期

“概率论与数理统计”课程考试试题(工类)

学号 姓名 得分

题号 得分 一 二(1) 二（2） 二(3) 二(4) 二(5) 一. 填空题(每空两分,共30分)

1. 若A,B为随机事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.3。 当A,B相互独立时, P(A∪B) = ，

P(A-B)= 。

２.袋中有同型号小球９只，其中５只是黑色的，４只是白色的，现不放回地从中抽取３

只，每次抽一只。则依次抽到黑球、白球和黑球的概率为 ；若已知第二次抽到黑球，则第一次抽到黑球的概率为 。

3. 若X 服从[0,1]区间上均匀分布，记A?{0.1?X?0.3}，Y表示对X进行20次独立

观测时事件A发生的次数。则E(Y)= ，Var(Y)? 。

4. 若随机变量X只能取?2, 0, 1三个值,且P(X??2)?0.25,P(X?1)?0.35。则

E(X)? ，Var(X)? 。

6. 若随机变量X~U(?1,2), Y~N(?, ?)，且二者相互独立。其中?,?22为常数。当

E(X?Y)?2,Var(2X?Y)?4时，?? ， ?2? 。

6．设(X,Y)服从区域G上的均匀分布，其中G=｛（ｘ,ｙ）: 0

概率密度函数f(x)? （ <ｘ< ），Y的边缘概率密度函数

Xf(y)? （

Y

7. 若X1,X2,?,Xn为抽自正态总体N(0, 4)的随机样本，记

nX??i?1X,S?2i1n?1n?(X?X),S?22i1i?11n?(Xi?X).

2 则X～ ，E(S)= , E(S1)= 。

1

22

注：做以下各题须写出计算步骤，否则不能得分。

二. (本题14分) 有型号相同的产品两箱，第一箱装12件产品，其中两件为次品；

第二箱装8件产品，其中一件为次品。先从第一箱中随机抽取两件产品放入第二箱，再从第二箱中随机抽取一件产品。 (1). 求从第二箱中取出次品的概率；

(2). 若从第二箱中取出了次品，求从第一箱中未取到次品的概率。

解 以Ai表示从第一箱中取到i件次品，i?0,1,2；B表示从第二箱中取到次品。

则 (1). P(B)?P(A0B)?P(A1B)?P(A2B)

?P(A0)P(B|A0)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2) ?C10C21C2122010?C10C22C2121110?C10C23C1220210

?10?912?11?10215?10?812?11?10?2?312?11?10

?;

(2). P(A0|B)?P(A0B)P(B)?10?912?11?10?152?4588.

2

?1?x,三. (本题16分)设随机变量X有概率密度函数f(x)???1?x,?0,?x?(?1,0],x?(0,1],其他，令Y

?X2。

(1). 求Y的概率密度函数fY(y)； (2). 求P(0.25?Y?1.96)；

(3). 求Y的期望E(Y)与方差Var(Y)。

解 (1). 记FY(y)为随机变量Y的分布函数，则y?0时，FY(y)?0；y?(0,1]时，

FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)?P(?y?X?y)??yy?f(x)dx?2y?y；

y?1时，FY(y)?1。于是，

?1??y?1,fY(y)????0,y?(0,1],其他;

(2). P(0.25?Y?1.96)? ??1.960.25fY(y)dy

?10.25fY(y)dy

?FY(1)?FY(0.25)

?0.25；

16 (3). E(Y)?E(X2)? 由 E(X)?4?11?1xf(x)dx??x(1?x)dx??x(1?x)dx??1020212；

115?1?1xf(x)dx??x(1?x)dx??x(1?x)dx??1040414及

Var(Y)?E(Y2)?[E(Y)]2?E(X)?[E(X)]，

得 Var(Y)?

15?136?7180422.

3

四. (本题16分)设二维随机向量(X,Y)的联合概率密度函数为

?c?e?y,f(x,y)???0,0?x?y??，其他.

(1). 求常数c；

(2). 求X和Y的边缘概率密度fX(x)和fY(y)； (3). 求P(X?Y?1)。 解 (1). 由 1?????????f(x,y)dxdy???0dy?c?e0y?ydx?c?ye0??ydx?c，

得c?1；

???e?ydy,f(x,y)dy???x??0， (2). fX(x)??????e?x??x?0?0，x?0,x?0,x?0,

fY(y)?????y??e?ydx,f(x,y)dx???0??0，?y?e?y??y?0?0，y?0,0.5y?0,y?0;?1/2

(3). P(X?Y?1)??0.50dx?1?xxe?ydy??0(e?x?ex?1)dx?(1?e)

2 4

五． (本题14分) 若X1,X2,?,Xn(n?2)为抽自总体X的随机样本，总体X有概率密

度函数

?(??1)x?,fX(x)???00?x?1;其他.

其中???1为待估参数，求?的矩估计??与极大似然估计??。

解 记 X?1?nXi。由E(X)?i?1n????x?fX(x)dx??10(??1)x??1dx???1??2。利用

X?E(X)，得X?1?2X。解该式，得 ???; ?X?1??2nni?1???1记 L(?)??ni?1fX(xi)?(??1)(?xi)??1为参数?的似然函数。则

ni?1lnL(?)?nln(??1)?(??1)?lnxi

与

dlnL(?)d??n??1???nni?1lnxi.

解似然方程

dlnL(?)d??0，得 ???1?nni?1。故

lnxi????1??ni?1.

lnXi 5

六. (本题14分)对一批锰的熔点做5次测定，测定结果为1269,1267,1271,1263和

1265oC,已知锰的熔点服从正态分布N(?,?2),给定检验的显著性水平??0.05，问

(1). 在?2未知的情况下，可否通过样本推断出“总体均值等于1270.6”？ (2). 可否通过样本推断出“总体方差不超过4.25”？

附 t分布与?2分布表

t4(0.025)?2.7764 t4(0.05)?2.1318 t5(0.025)?2.5706 t5(0.05)?2.0150 2222?4(0.025)?11.143 ?4(0.05)?9.488 ?4(0.95)?0.711 ?4(0.975)?0.484 2222?5(0.025)?12.833 ?5(0.05)?11.071 ?5(0.95)?1.145 ?5(0.975)?0.831 解 易见：n?5，??0.05。由x1?1269，x2?1267,?，x5?1265，得

x?15ix?5i?1?1267，s2?15i2?x)?10，s?(x?4i?110.

(1). 记 H0: ??1270.6(?0) ? H1: ??1270.6(?0). 由 |x?1270.6|?3.6?3.9263?(s/n)?tn?1(?/2)，

知：可通过样本推断H0为真，即接受“总体均值等于1270.6”；

?: ?(2). 记 H022?4.25(?0) ? H1?:?2?4.25(?0).

2222 由 (n?1)s/?0?2.2145?9.488??n?1(?)，

?为真，即接受“总体方差不超过4.25”知：可通过样本推断H0。

6

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/zjj2.html