课时作业25 正弦定理、余弦定理

正弦定理 余弦定理

一、一周知识概述

本周主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用，正弦定理是指在一个三角形

中，各边和它所对角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何

一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题．认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况． 二、重点知识讲解 1、三角形中的边角关系

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有 （1）角与角之间的关系：A＋B＋C＝180°； （2）边与角之间的关系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝c2＋a2－2accosB c2＝a2＋b2－2abcosC 射影定理：a＝bcosC＋ccosB b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋bcosA

2、正弦定理的另三种表示形式：

3、余弦定理的另一种表示形式：

4、正弦定

一、选择题

1．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c＝( )

A．52

106 3

2、在 ABC中，已知b B．2 D．6 2,c 1,B 45 ，则a=（ ）

2 1 D. 3 2 A. 6 2 B. 26 2 C. 2

3、在 ABC中，若a 2bsinA，则B= （ ）

A. 30 B. 60 C. 30或150 D. 60或120

2224、在 ABC中，已知a c b ab，则 C （ ）

A. 60 B. 45或135 C. 120 D. 30

5、在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，则△ABC为( )

A．直角三角形 B．等腰直角三角形

C．等边三角形 D．等腰三角形

6、在 ABC中，a:b:c 3:5:7，则 ABC的最大角是 （ ）

A. 30 B. 60 C. 90 D. 120

37．在△ABC中，已知B＝45°，c＝2，b＝，则

正弦定理、余弦定理

基础练习

1．在△ABC中：

（1）已知A?45?、B?30?、a?53，求b；

（2）已知B?75?、C?45?、a?6，求c． 2．在△ABC中（角度精确到1°）：

（1）已知b?15、c＝7、B＝60°，求C； （2）已知a?6、b＝7、A＝50°，求B． 3．在△ABC中（结果保留两个有效数字）： （1）已知a＝5、b＝7、C＝120°，求c；

（2）已知b?33、c＝7、A＝30°，求a． 4．在△ABC中（角度精确到1°）： （1）已知a?6、b＝7、c?9，求A； （2）已知a?33、b?4、c?79，求C．

5．根据下列条件解三角形（角度精确到1°，边长精确到0.1）： （1）A?37?，B?60?，a?5； （2）A?40?，B?45?，c?7； （3）B?49?，a?5，b?3； （4）C＝20 ，a＝5，c＝3； （5）a?4，b?7，C?80?； （6）a?10，b?13，c?14． 6．选择题：

（1）在△ABC中，下面等式成立的是（ ）．

A．abcosC?bccosA B．absin

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

必修5 正弦定理、余弦定理

二、教学目标

（1）熟练的掌握正弦定理、余弦定理及其简单的应用。

（2）在正、余弦定理应用过程中，体会利用函数与方程的数学思想处理已知量与未知量的关系。

利用等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想应用正弦定理、余弦定理解题。

三、知识要点分析

1、正弦定理的有关知识（设△ABC 的,,A B C ∠∠∠所对的边是a ，b ，c ，外接圆半径是R ） 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===，

由正弦定理得（i ）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++

（ii ）::sin :sin :sin a b c A B C =。

正弦定理应用：（1）已知一边和两角求其余的边和角。

2、三角形的面积公式

（1）1,(2a a S a h h a =

?是边上高）（h a 是a 边上的高）（2）111S sin sin sin 222ab C bc A ac B ===。 （3） 1(),(2S a b c r r =++?是内切圆半径） 3、余弦定理的有关知识。（设△A, B, C ABC ∠∠∠的三个角所

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

必修5 正弦定理、余弦定理

二、教学目标

（1）熟练的掌握正弦定理、余弦定理及其简单的应用。

（2）在正、余弦定理应用过程中，体会利用函数与方程的数学思想处理已知量与未知量的关系。

利用等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想应用正弦定理、余弦定理解题。

三、知识要点分析

1、正弦定理的有关知识（设△ABC 的,,A B C ∠∠∠所对的边是a ，b ，c ，外接圆半径是R ） 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C ===，

由正弦定理得（i ）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++

（ii ）::sin :sin :sin a b c A B C =。

正弦定理应用：（1）已知一边和两角求其余的边和角。

2、三角形的面积公式

（1）1,(2a a S a h h a =

?是边上高）（h a 是a 边上的高）（2）111S sin sin sin 222ab C bc A ac B ===。 （3） 1(),(2S a b c r r =++?是内切圆半径） 3、余弦定理的有关知识。（设△A, B, C ABC ∠∠∠的三个角所

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考点17 正弦定理和余弦定理

一、选择题

1.（2012·湖南高考理科·Ｔ7）在△ABC中，AB=2 AC=3 AB·BC=1，则BC=（ ）

【解题指南】利用向量的数量积计算公式，和余弦定理组成方程组解出BC的值。

uuuruuur【解析】选A.由AB?BC

uuur

2BCcos(p-B)=1,cosB=-1.2BC

1,

由余弦定理

AC2=AB2+BC2-2AB BCcosB.即9=4+BC2-4BCcosB 5=BC2+4BC

1,

2BCBC2=3,\BC=

故选A.

2.（2012·湖南高考文科·Ｔ8）在△ABC中，

，BC=2，B =60°，则BC边上的高等于（ ）

A

．

B.

C. D.

【解题指南】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.根据余弦定理和直角三角形中的三角函数定义，列出方程组，解出答案。 【解析】选B.

222

设AB c，在△ABC中，由余弦定理知AC AB BC 2AB BC cosB，

22

c7 c 4 2 2 c c

1.2正弦定理、余弦定理及其应用

考纲要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．

1. 有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长 （ ） A. 1公里 B. sin10°公里 C. cos10°公里 D. cos20°公里

22

2. 已知三角形的三边长分别为x+x+1,x－1和2x+1(x＞1)，则最大角为 （ ） A. 150° B. 120° C. 60° D. 75° 3．在△ABC中，

，那么△ABC一定是 （ ） A．锐角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形

4．在△ABC中，一定成立的等式是 ( ) A.asinA=bsinB B.acosA

第6节 正弦定理和余弦定理及其应用

课时训练 练题感 提知能 【选题明细表】

一、选择题

1.(2013广东湛江十校联考)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知b=2,B=30°,C=15°,则a等于( A ) (A)2 (B)2 (C)- (D)4 解析:A=180°-30°-15°=135°, 由正弦定理

=

,得=,

即a=2.故选A.

2.(2014四川攀枝花模拟)已知△ABC的一个内角是120°,三边长构成公差为4的等差数列,则三角形的面积是( D ) (A)10 (B)30 (C)20 (D)15 解析:设A、B、C所对边长分别为b-4,b,b+4,

则cos 120°=∴b2-10b=0,

∴b=10或b=0(舍去), ∴b=10,b-4=6,

,

∴三角形的面积

S=×10×6×=15.故选D.

3.已知△ABC,sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶,则此三角形的最大内角的度数是( B )

(A)60° (B)90° (C)120°

1.1正弦定理和余弦定理

基本要求：

1. 能证明正弦定理、余弦定理．

2. 能理解正弦定理、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用． 3. 能用正弦定理、余弦定理解斜三角形．

4. 理解用正弦定理、余弦定理讨论三角形解的情形． 重点：正弦定理和余弦定理及其推导．

难点：用正弦定理解三角形时解的个数的讨论． 考点结构分析：

1. 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等，即：

1abc??． sinAsinBsinC2. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦积的两倍，即：

2a2?b2?c2?2bccosA． b2?c2?a2?2cacosB． c2?a2?b2?2abcosC．

3. 余弦定理推论：

b2?c2?a2cosA?．

2bcc2?a2?c2cosB?．

2caa2?b2?c2cosC?．

2ab4. 重要结论：

C的对边，A?B?C?a?b?c?sinA?sinB?sinC．b、（1） 在?ABC中， a、c分别为A、B、

（2） 在?ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C有解（即存在）的充要条件是cosA?cosB?0． 5. 解斜三角形的类型：

（1） 已知两角一边，用正

第七讲 正弦定理与余弦定理

考点梳理 1.正弦定理

____________________，其中R是三角形外接圆的半径． 2．正弦定理的常见变形：

(1)sin A∶sin B∶sin C＝________；

a＋b＋cabc

(2)＝＝＝＝______； sin Asin Bsin Csin A＋sin B＋sin C(3)a＝________，b＝________，c＝________； (4)sin A＝______，sin B＝______，sin C＝______.

3.三角形面积公式：S＝__________＝__________＝__________. 4．余弦定理 a2＝__________________，b2＝________________，c2＝_______________. 余弦定理可以变形为： cosA＝⑧_____________________，cosB＝⑨______________，cosC＝⑩__________________. 5．解三角形的类型 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 a＝bsinA 一解 bsinA