1.1正弦定理和余弦定理知识点

1.1正弦定理和余弦定理

基本要求：

1. 能证明正弦定理、余弦定理．

2. 能理解正弦定理、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用． 3. 能用正弦定理、余弦定理解斜三角形．

4. 理解用正弦定理、余弦定理讨论三角形解的情形． 重点：正弦定理和余弦定理及其推导．

难点：用正弦定理解三角形时解的个数的讨论． 考点结构分析：

1. 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等，即：

1abc??． sinAsinBsinC2. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦积的两倍，即：

2a2?b2?c2?2bccosA． b2?c2?a2?2cacosB． c2?a2?b2?2abcosC．

3. 余弦定理推论：

b2?c2?a2cosA?．

2bcc2?a2?c2cosB?．

2caa2?b2?c2cosC?．

2ab4. 重要结论：

C的对边，A?B?C?a?b?c?sinA?sinB?sinC．b、（1） 在?ABC中， a、c分别为A、B、

（2） 在?ABC中，给定A、B的正弦或余弦值，则C有解（即存在）的充要条件是cosA?cosB?0． 5. 解斜三角形的类型：

（1） 已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解．

（2） 已知两边及其一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为以下情况，在?ABC中，已知a、b和

1

角A时，解的情况如下： 关系式 解个数 A为锐角 A为钝角或直角 a?bsinA 一解 bsinA?a?b 两解 a?b 一解 a?b 一解 上表中A为锐角时，a?bsinA时，无解；A为钝角或直角时，a?b，a?b均无解． （3） 已知三边，用余弦定理有解时，只有一解． （4） 已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解．

6. 三角形面积：

1ah（h为BC边上的高）； 21（2） S?absinC；

2（1） S?（3） S?2RsinAsinBsinC（R为?ABC外接圆半径）；

2abc（R为?ABC外接圆半径）； 4R1（5） S?p(p?a)(p?b)(p?c)，p?(a?b?c)．

2（4） S?疑难点清单：

判断三角形形状基本思想是：利用正弦定理进行角边统一．即将条件化为只含角的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．结论一般为特殊的三角形，如等边三角形，等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形等．另外，在变形过程中要注意A、B、C内角的固定范围对三角函数数值的影响． 附：

1. 正弦定理的证明： ① 定义法（教科书中给出）

如图１，在Rt?ABC中，?C是最大的角，所对的斜边c是最大的边，要考虑边长之间的数量关系，就涉及到了锐角三角函数．根据正弦函数的定义，

a?sinA， cb ?sinB．

c 所以

又sinC?1，所以

ab??c． sinAsinBabc??． sinAsinBsinC那么，对于一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？

2

如图２，当?ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据三角函数的定义，

CD?asinB， CD?bsinA，

所以

asinB?bsinA， 得到

同理，在?ABC中， 所以

② 向量法

如图３，?ABC为锐角三角形时，过A作三位向量j垂直于AB，则j与AB的夹角为90?，j与BC的夹角为

因为AB?BC?CA?0，

所以j?AB?j?BC?j?CA?j?0?0． 即|j||AB|cos??????ab?． sinAsinBbc?． sinBsinCabc??． sinAsinBsinC???????2?B，j与CA的夹角为

???2?A，设AB?c，BC?a，AC?b．

?????????2?|j||BC|cos(???2?B)?|j||CA|cos(???2?A)?0．

ab?． sinAsinBbcabc???同理可得：，即． sinBsinCsinAsinBsinC所以asinB?bsinA，即

当?ABC为钝角三角形或者直角三角形时，利用同样的方法可以证得结论．（可以请学生来给出证明） ③ 几何法

如图４，设O为?ABC的外接圆的圆心，连接BO并延长交 ⊙O与点A?，连接A?C，则A??A或A????A，?sinA?

BCaab??2R，同理可证?2R， ，即A?B2RsinAsinBcabc?2R，故有??． sinCsinAsinBsinC注：在运用时，有时需要对它进行变形，如a:b:c?sinA:sinB:sinC； a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC． sinA??3

如图５，当?ABC为钝角三角形时，设B为钝角．过C作AB的 垂线与AB的延长线交于D点，由三角函数的定义得

CD?bsinA，CD?asin(180??B)?asinB，

ab?． sinAsinBacabc??? 同理可得，?． sinAsinCsinAsinBsinC ?bsinA?asinB，即

2. 余弦定理证明：

??????如图６，设CB?a，CA?b，AB?c，那么c??a??b?，

|c?|2?c??c??(a??b?)?(a??b?)?a??a??b??b??2a??b?

?a2?b2?2abcosC

所以

c2?a2?b2?2abcosC．

同理可以证明：

a2?b2?c2?2bccosA． b2?c2?a2?2cacosB．

4

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