正弦定理和余弦定理知识点总结（学案）

正弦定理和余弦定理

一、正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 a2＝b2＋c22bccosA； 内容 abc＝＝sin Asin Bsin C＝2R b2＝c2＋a22cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC (1)a＝2Rsin A，b＝2RsinB，c＝2RsinC； abc(2)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R； (3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；变形 a＋b＋cabc(4)＝＝＝； sin A＋sin B＋sin Csin Asin Bsin C(5)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A 二、对三角形解的个数的探究 正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： 1．已知两角和任意一边，求另两边和另一角； 2．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．

第一类问题有唯一解，当三角形的两角和任一边确定时，三角形就被唯一确定． 第二类问题的三角形不能唯一确定，可能出现一解、两解或无解的情况． 下面以已知a，b和A，解三角形为例加以说明．

法一;由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： bsin A

(1)若sin B＝>1，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；

absin A

(2)若sin B＝＝1，则满足条件的三角形的个数为1；

absin A

(3)若sin B＝<1，则满足条件的三角形的个数为1或2.

a

bsin A

显然由0

a大边”、“三角形内角和等于180°”等，此时需进行讨论．

判断三角形解的个数也可由“三角形中大边对大角”来判定．设A为锐角，若a≥b，则bsin AA≥B，从而B为锐角，有一解；若a1，

a无解；②sin B＝1，一解；③sin B<1，两解．

b2＋c2－a2cos A＝2bc； c2＋a2－b2cos B＝2ac； a2＋b2－c2cos C＝2ab 常见 法二： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数

三、三角形的面积公式

已知条件 三角形的一边及此边上的高 选用公式 111公式1：S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·h222c (ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高) 三角形的两边及夹角 111公式2：S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin 2221sin Bsin C1sin Asin C 公式3：S△ABC＝a2，S△ABC＝b2， 2sin A2sin B1sin Asin BS△ABC＝c2. 2sin C公式4：(海伦公式)S△ABC＝p?p－a??p－b??p－c?， 三角形的三边 1其中p＝(a＋b＋c). 2①a＝bsin A ②a≥b 一解 bsin Ab 一解 a≤b 无解 三角形的两角及一边

111abc1

S△ABC＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B＝4R＝2(a＋b＋c)·r(R、r分别是三角形外接圆、内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形

例1、(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满足条件的三角形有( ) A．1个 C．0个

B．2个 D．无法确定

(2)在△ABC中，已知sinA∶sinB＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内角A，B，C的度数依次是________．

1π

(3)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sinB＝2，C＝6，则b＝________. 【感悟提升】(1)判断三角形解的个数的两种方法

①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．

(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数．

【变式探究】(1)已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是( )

A．x＞2 C．2＜x＜22

B．x＜2 D．2＜x＜23

(2)在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB＝________. 高频考点二 和三角形面积有关的问题

π例2、(2015·浙江)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A＝4，b2－1a2＝2c2.

(1)求tanC的值；

(2)若△ABC的面积为3，求b的值． 【感悟提升】

111

(1)对于面积公式S＝2absinC＝2acsinB＝2bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 【变式探究】四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求C和BD；

(2)求四边形ABCD的面积．

高频考点三 正弦、余弦定理的简单应用

c

例3、(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b

B．直角三角形 D．等边三角形

Ba＋c

(2)在△ABC中，cos22＝2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( ) A．等边三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形

【举一反三】(2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

sinB(1)求sinC；

2

(2)若AD＝1，DC＝2，求BD和AC的长． 【感悟提升】(1)判断三角形形状的方法

①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意

①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．

【变式探究】在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状为( )

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形 练习：

π

1．已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝3，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于( )

3333 A.2 B.4 C.6 D.8 c

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝2B，则b为( )

A．2sinC B．2cosB C．2sinB D．2cosC

c－bsinA

3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则B＝( )

c－asinC＋sinB

πππ3πA.6 B.4 C.3 D.4

1

4．在△ABC中，若lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lgb－lg，则A＝( )

b＋c

A．90° B．60° C．120° D．150°

2sin2B－sin2A

5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为( ) sin2A

117

A．－9 B.3 C．1 D.2 6．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝3acosC，则sinA＋sinB的最大值是( )

A．1 B.2 C.3 D．3

7.在△ABC中,若A=错误！未找到引用源。,B=错误！未找到引用源。,BC=3错误！未找到引用源。,则AC=( )

A.错误！未找到引用源。 到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.2错误！未找

D.4错误！未找到引用源。

8.在△ABC中,若a2+b2

A.锐角三角形

B.直角三角形 C.钝角三角形

D.不能确定

9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,则B= ( )

A.错误！未找到引用源。 引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到

D.错误！未找到引用源。

10.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120°,c=错误！未找到引用源。a,则 ( )

A.a>b B.a

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