考点17 正弦定理和余弦定理

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考点17 正弦定理和余弦定理

一、选择题

1.（2012·湖南高考理科·Ｔ7）在△ABC中，AB=2 AC=3 AB·BC=1，则BC=（ ）

【解题指南】利用向量的数量积计算公式，和余弦定理组成方程组解出BC的值。

uuuruuur【解析】选A.由AB?BC

uuur

2BCcos(p-B)=1,cosB=-1.2BC

1,

由余弦定理

AC2=AB2+BC2-2AB BCcosB.即9=4+BC2-4BCcosB 5=BC2+4BC

1,

2BCBC2=3,\BC=

故选A.

2.（2012·湖南高考文科·Ｔ8）在△ABC中，

，BC=2，B =60°，则BC边上的高等于（ ）

A

．

B.

C. D.

【解题指南】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.根据余弦定理和直角三角形中的三角函数定义，列出方程组，解出答案。 【解析】选B.

222

设AB c，在△ABC中，由余弦定理知AC AB BC 2AB BC cosB，

22

c7 c 4 2 2 c cos60即， 2c 3 0,即(c-3)(c 1)=0.又c 0, c 3.

设BC边上的高等于h，由三角形面积公式

S ABC

11AB BC sinB BC h22，知

11 3 2 sin60

2 hh 22.故选B. ，解得

3.（2012·广东高考文科·Ｔ6）在 ABC中，若 A=60°, ∠B=45°，

则AC=（ ）

A．

【解题指南】已知两角一边解三角形，显然适合采用正弦定理，但在由正弦值求角时，要注意解的个数的判断。 【解析】选B.

ACBCBCsinB

, AC sinBsinAsinA

在 ABC中,

由正弦定理知

4.（2012·湖北高考文科·Ｔ8）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为（ ）

A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4

【解题指南】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,解答本题的关键是把边a,c均用b表示出来,再利用余弦定理把已知化简求值.

b2 c2 a2

2bc【解析】选D.由题意知： a=b+1,c=b-1, 3b=20acosA=20(b+1)=

b2 (b 1)2 (b 1)2

2b(b 1)7b2 27b 40 0，20(b+1) ,整理得：解之得：b=5,可知：a=6,c=4.

结合正弦定理可知答案.

二、填空题

5.（2012·湖北高考理科·Ｔ11）设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c.若（a+b-c）（a+b+c）=ab，则角C=______________. 【解题指南】本题考查余弦定理,把已知条件展开整理可得结果.

a2 b2 c21

cosC 222

2ab2,【解析】 由（a+b-c）（a+b+c）=ab,可知a b c ab.又

所以C 120. 【答案】 120.

6.（2012·福建高考文科·Ｔ13）在△ABC中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，

AC=_______

【解题指南】本题知两角一对边，选用正弦定理求另一对边．

ACBCBC

AC sinB 2 sinBsinAsinA【解析】选由正弦定理，，即

7.（2012·安徽高考理科·Ｔ15）设 ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c；则下列命题正确的是_____（写出所有正确命题的编号） ①若ab c；则

2

C

3 ②若a b 2c；则C

C

3

2 ④若(a b)c 2ab；则C

333

③若a b c；则

C

2

3

22222(a b)c 2ab；则 ⑤若

【解题指南】对于①②用余弦定理判断； ③用反证法； ④⑤举反例.

a2 b2 c22ab ab1 ab c cosC C

2ab2ab23 【解析】①

2

a2 b2 c24(a2 b2) (a b)21

a b 2c cosC C

2ab8ab23 ②

C

2时，c2 a2 b2 c3 a2c b2c a3 b3与a3 b3 c3矛盾

C

③当

2 C

④取a b 2,c 1满足(a b)c 2ab得：

3.

22222

a b 2,c 1(a b)c 2ab得： ⑤取满足

【答案】①②③

8.（2012·陕西高考文科·Ｔ13）在三角形ABC中，角A,B,C所对应的长分别

为a，b，c，若a 2，B=6，

b=

【解题指南】已知两边及其夹角，用余弦定理可求第三边. 【解析】

由余弦定理得：【答案】2.

9.（2012·北京高考理科·Ｔ11）在△ABC中，若a=2，b+c=7,则b=

【解题指南】对角B利用余弦定理列式求解. 【解析】 b c 7, c 7 b

122

b 4 (7 b) 2 2 (7 b) ( )222

4，由余弦定理得b a c 2accosB，即解得b 4.

cosB

1

4，

b2 a2 c2 2accosB 4 12 2 2

6 16 12 4，∴b 2.

【答案】4.

10.（2012·北京高考文科·Ｔ11）在△ABC中，若a=3，

大小为_________.

【解题指南】利用正弦定理求出B，再利用内角和定理求C.

A

3，则 C的

3

【解析】在 ABC中，

由正弦定理得

C

sin

3

，

sinB

1

a b, A B, B 2，6，

3

6

2.

【答案】2.

三、解答题

11.（2012·江苏高考·Ｔ15）（本小题满分14（1）求证：tanB 3tanA； （2

）若

cosC

求

分）在 ABC中，已知AB AC 3BA BC．

A的值．

【解题指南】（1）注意向量积公式的应用，和正弦定理的利用（边角转化）（2）

先利用程.

|AC|cosA 3|BA| |BC|cosB 【解析】（1）由AB AC 3BA BC得|AB|

cosC

求出tanC 2再利用两角和的正切公式构造与tanA有关的方

即为cbcosA 3cacosB

bcosA 3acosB由正弦定理得sinBcosA 3sinAcosB

两边同除cosAcosB得tanB 3tanA 即tanB 3tanA成立. （2

）因

cosC

所以

C为锐角，所以tanC 2

由（1）tanB 3tanA，且A B C 得tan[ (A C)] 3tanA 即

tan(A C) 3tanA

tanA tanC

3tanA

1 tanAtanC

tanA 2

3tanA

2tanA 1即

tanA

1

3。

tanA

1

3应舍去。

所以tanA 1或

因tanB 3tanA由内角和为 知两角均为锐角，故所以tanA 1所以

a

4.

12.（2012·浙江高考理科·Ｔ18）（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，

2

C的对边分别为a，b，c。已知cosA=3，

C.

（1）求tanC的值；

（2）若

ABC的面积.

【解题指南】解三角形问题，主要考查正、余弦定理，三角恒等变换的方法，注意同角三角函数间的互化和边角之间的互化.

2【解析】（1）由cosA=3可得

sinA=

由

C可得sin（A+C）

C

2

C sinC C

3

即

等号两边同除以cosC,可得

2

tanC

3tanC .

sinC

C

（2

）由tanC

可得

，解得c ∴

22C sinC

33

而

sinB=1S ABC acsinB

2. ∴

13.（2012·浙江高考文科·Ｔ18）（本题满分14分）在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且

。 （1）求角B的大小；

（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值。

【解题指南】考查三角形中的正、余弦定理的应用，注意其中边角间的互化。 【解析】（1）由

可得

又sinA 0，可得

tanB B

3.

（2）由sinC=2sinA可得c 2a，

222222

在 ABC中，9 a b 2abcosB a 4a 2a

3a，解得a

所以c 2a 14.（2012·安徽高考文科·Ｔ16）(本小题满分12分) 设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,，且有

2sinBcosA sinAcosC cosAsinC.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ) 若b 2，c 1，D为BC的中点，求AD的长.

【解题指南】（1）将A C B代入2sinBcosA sinAcosC cosAsinC化简得到

cosA

1

2，从而求出A；（2）根据余弦定理即可求出.

【解析】（Ⅰ）A C B,A,B (0, ) sin(A C) sinB 0

2sinBcosA sinAcosC cosAsinC sin(A C) sinB

cosA

1 A 23.

（II

）

a2 b2 c2 2bccosA a b2 a2 c2 B

2

在Rt

ABD中，

AD .

15.（2012·辽宁高考理科·T17）与（2012·辽宁高考文科·T17）相同 在 ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c。角A，B，C成等差数列. (Ⅰ)求cosB的值；

(Ⅱ)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值.

【解题指南】（1）结合等差数列定义和三角形内角和定理，求得角B； （2）利用等比数列的定义，结合正弦定理，将边的关系转化为角的关系，借助（1）的结论，解决问题

【解析】（Ⅰ）由已知2B A C,三角形的内角和定理A B C 180，解得B 60 所以

cosB cos60

1

2

.

abc

k

b acsinAsinBsinC（Ⅱ）由已知，据正弦定理，设

2

则a ksinA,b ksinB,c ksinC，代入b即

sinAsinC sin2B 1 cos2B

3

4.

2

ac得sin2B sinAsinC

16.（2012·天津高考文科·Ｔ16）在△ABC 中，内角A，B，C所对的边分别是a,b，c。已知

（I）求sinC和b的值； （II）求cos（2A+）的值.

-

4.

3

【解题指南】（1）根据余弦定理求解；

（2）利用三角函数的两角和、倍角公式化简计算. 【解析】（1）在 ABC中，由，又由

可得

ac，

, a 2,c sinC

sinAsinC4

b>0，故解得b

1，所以

sinC=

b=14.

（2

）由

cosA=-

A=44得

3sin2A=2sinAcosA=-4，，

cos2A=2cos2A-1=-

所以，cos(2A ) cos2Acos sin2Asin

3

3

3

. 17.（2012·江西高考理科·Ｔ17）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c.已知

A

bsin c csin B a

4 4 4，. B C

2；

（1）求证：

（2

）若ABC的面积.

bsin c csin B a

4 4 【解题指南】（1）选择将已知条件边化角，得出B C

2；

（2）由（1

）中结论及求出△ABC的面积. 【解析】

bsin C csin B a

4 4 （1） 证明：由，应用正弦定理，得

sinBsin C sinCsin B sinA

4 4 ，

sinB C C sinCB cosB 2 2 222 ，

整理得 sinBcosC cosBsinC 1， 即 sin B C 1， 由于

0 B,C

B C

4，从而2.

3 5

B ,C

4，因此88.

（2） ∵由

B C A

a A

4得

,b

asinB5 asinC

2sin,c 2sin,sinA8sinA8

15 1S bcsinA sin sin .

288882 所以

ABC的面积

18.（2012·江西高考文科·Ｔ16）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知3cos（B-C）-1=6cosBcosC。 （1）求cosA；

（2）若a=3，△ABC

的面积为b，c.

【解题指南】（1）选择将已知条件3cos（B-C）-1=6cosBcosC化简，先求得

cos B C

，再求得cosA；

（2）结合余弦定理，选择合适的 ABC的面积公式，建立关于b、c的方程组，解得b,c的值. 【解析】(1)

3(cosBcosC sinBsinC) 1 6cosBcosC3cosBcosC 3sinBsinC 13cos(B C) 1cos( A) cosA

13

则

13.

(2) 由（1

）得

sinA

,由面积可得bc=6①，则根据余弦定理

b2 c2 a2b2 c2 91

cosA

2bc123则b2 c2=13②，①②两式联立可得b=2，c=3或b=3，

c=2.

19.（2012·新课标全国高考理科·T17）已知a,b,c分别为 ABC三个内角A,B,C的

对边，acosCsinC b c 0

（1）求A （2）若a 2， ABC的面积为3；求b,c.

【解题指南】（1

）选择将已知条件acosCsinC b c 0边化角，求出角A； （2）结合角A的值，选择合适的 ABC的面积公式，建立关于b、c的方程组，解得b,c的值.

【解析】（1）由正弦定理得：

acosCsinC b c 0 sinAcosCAsinC sinB sinC

sinAcosC AsinC sin(a C) sinC A cosA 1 sin(A 30 )

A 30 30 A 60

12

.

（2

）

S

1

bcsinA bc 42

222

a b c 2bccosA b c 4

解得：b c 2.

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