正弦定理和余弦定理(一轮复习)

[备考方向要明了] 考什么 掌握正 弦定理、余 1.以选择题或填空题的形式考查正弦定理、 余弦定理在求三角形边或角中的应用，如 2012年天津T6,北京T11等. 2.与平面向量、三角恒等变换等相结合出现 怎么考

弦定理，并能解决一些 简单的三角 形度量问题.

在解答题中，如2012年江苏T15等.

[归纳· 知识整合] 1.正弦定理和余弦定理定理 正弦定理 余弦定理

a b c a2=b2+c2-2bccos A sin A=sin B=sin C 2 a2+c2-2accos B 内容 b= =2R 2 2 c2= a +b -2abcos C

定理

正弦定理 ①a=2Rsin A,b= 2Rsin B ,c=

余弦定理 cos A =

2Rsin C

b2+c2-a2 a b c 2bc ②sin A=2R,sin B= ,sin C= 2R 2R 变形 cos B= (其中 R 是△ABC 外接圆半径) 形式 a2+c2-b2 2ac ③a∶b∶c= sin A∶sin B∶sin C cos C= ④asin B=bsin A,bsin C= a2+b2-c2 2ab csin B,asin C=csin A

定理解决

正弦定理①已知两角和任一边，求另

余弦定理①已知三边，求各 角； ②已知两边和它们 的夹角，求第三边

三角形的 问题

一角和其他两条边.②已知两边和其中一边的对 角，求另一边和其他两角.

和其他两个角

[探究]

1.在三角形ABC中，“A>B”是“sin A>

sin B”的什么条件？“A>B”是“cos A<cos B”的什么

条件？提示：“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，“A >B”是“cos A<cos B”的充要条件.

2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况 A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式 a=bsin A 一解 解的 个数

bsin A<a<b 两解

a≥b 一解

a>b 一解

a≤b 无解

[探究] 2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A为例) 提示：∵cos A与b2+c2-a2同号， ∴当b2+c2-a2>0时，角A为锐角，若可判定其他 两角也为锐角，则三角形为锐角三角形； 当b2+c2-a2=0时，角A为直角，三角形为直角三 角形；

当b2+c2-a2<0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形.

[自测· 牛刀小试]1.(教材习题改编)在△ABC 中，若 a=2,c=4,B=60° , 则 b 等于 ( )

A.2 3

B.12

C.2 7

D.28

解析：由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 即 b2=4+16-8=12,所以 b=2 3.答案：A

2.(教材习题改编)在△ABC 中，a=15,b=10,A=60° , 则 cos B 等于 ( )

2 2 A.- 3

2 2 B. 3

6 C.- 3

6 D. 3

a b 15 10 解析：∵sin A=sin B,∴sin 60° sin B, = 2 3 3 ∴sin B=3× 2 = 3 . 又∵a>b,A=60° , ∴B<60° , 6 ∴cos B= 1-sin B= 3 . 答案：D2

2 3.△ABC 中，a= 5,b= 3,sin B= 2 ,则符合条件的 三角形有A.1 个 B.2 个 C.3 个

(D.0 个

)

10 解析： ∵asin B= 2 ,∴asin B<b= 3<a= 5, ∴符合条件的三角形有 2 个.

答案：B

1 4.在△ABC 中，a=3 2,b=2 3,cos C=3,则△ABC 的

面积为________.

1 2 2 解析：∵cos C=3,∴sin C= 3 , 1 1 2 2 ∴S△ABC=2absin C=2×3 2×2 3× 3 =4 3.答案：4 3

5.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b

=2asin B,则角A的大小为________.解析：由正弦定理得 sin B=2sin Asin B,∵sin B≠0, 1 ∴sin A=2,∴A=30° A=150° 或 .

答案：30°或150°

利用正、余弦定理解三角形[例1] (2012· 浙江高考)在△ABC中，内角A,B,C

的对边分别为a,b,c,且bsin A= 3 acos B. (1)求角B的大小； (2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.

[自主解答]

(1)由 bsin A= 3acos B 及正弦定理

a b =sin B,得 sin B= 3cos B, sin A π 所以 tan B= 3,所以 B=3.

a c (2)由 sin C=2sin A 及sin A=sin C,得 c=2a. 由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 9=a2+c2-ac. 所以 a= 3,c=2 3.

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正、余弦定理的选用原则

解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷.在解题时， 还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理 地实施边和角的相互转化.——————————————————————————

1.在△ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已 cos A-2cos C 2c-a 知 = b . cos B

sin C (1)求sin A的值；

1 (2)若 cos B=4,△ABC 的周长为 5,求 b 的长.

a b c 解：(1)由正弦定理，设 = = =k, sin A sin B sin C 2c-a 2ksin C-ksin A 2sin C-sin A 则 b = = , ksin B sin B cos A-2cos C 2sin C-sin A 所以 = , cos B sin B 即(cos A-2cos C)sin B=(2sin C-sin A)cos B, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C). 又因为 A+B+C=π,所以 sin C=2sin A. sin C 因此 =2. sin A

sin C (2)由 =2 得 c=2a. sin A 1 由余弦定理及 cos B= 得 4 1 b =a +c -2accos B=a +4a -4a × =4a2. 42 2 2 2 2 2

所以 b=2a.又 a+b+c=5,从而 a=1.因此 b=2.

利用正、余弦定理判断三角形的形状[例2] 在△ABC中，若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B),试判断△ABC的形状. [自主解答] ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),

∴b2[sin(A+B)+sin(A-B)]=a2[sin(A+B)-sin(A-B)],∴2sin Acos B·2=2cos Asin B·2, b a 即a2cos Asin B=b2sin Acos B.

法一：由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B,∴sin2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B, 又sin A· B≠0,∴sin Acos A=sin Bcos B, sin

∴sin 2A=sin 2B.

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