电磁学第一章

第一 章 真空中静电场的基本规律

一、选择题（每题三分）

1） 将一个试验电荷Q（正电荷）放在带有正电荷的大导体附近P点处，测得它所受力为F，若考虑到电量Q不是足够小，则：（）

A F/Q比P点处原先的场强数值大 C F/Q等于原先P点处场强的数值

B F/Q比P点处原先的场强数值小 D F/Q与P点处场强数值关系无法确定 答案（B）

·P

+Q

2） 图中所示为一沿X轴放置的无限长分段均匀带电直线，电荷线密度分别为+λ（X<0）和一个-λ（X>0），则OXY坐标平面上点（0，a）处的场强E为（ ）

Y ???? A、0 B、?i2??0a C、?i4??0a D、?(i?j)4??0a 答案（B） O (0,a) X 3) 图中所示曲线表示球对称或轴对称静电场的某一物理量随径向距离r变化的关系，请指出该曲线可描述下面那方面内容（E为电场强度的大小，U为静电势）（ ）

A、半径为R的无限长均匀带电圆柱体电场的E-r关系 C、半径为R的均匀带正电球体电场的U-r关系 ∞1 rr B、半径为R的无限长均匀带电圆柱面电场的E-r关系 D、半径为R的均匀带正电球面电场的U-r关系 o 答案（B）

4） 有两个点电荷电量都是+q ，相距2a,今以左边的点电荷为球心，以a为半径作一球形高斯面，在球面上取两块相等的小面积S1和 S2的电场强度通量分别为?1和 ?2，通过整个球面的电场强度通量为?3，则（）

A、?1＞?2， B、?1＜?2， 答案（A） 5） 已知一高斯面所包围的体积内电量代数和?qi?3=q?0 C、?1=?2， D、?1＜?2，?3=?3=qq ?0?0

?3=2q?0?0，则可肯定（）

A、高斯面上各点场强均为零 零 C、穿过整个高斯面的电通量为

B、穿过高斯面上每一面元的电通量为零 D、以上说法都不对 答案（C） 6） 两个同心带电球面，半径分别Ra,Rb(Ra场强度的大小为（） A、

?Rb)，所带电量分别为Q?a,Qb。设某点与球心相距r,当Ra?r?Rb时，该点的电

Q?Q1?a2b4??0rq6?0 B、

Q?Q1?a2b4??0rq48?0 C、

QQQa11 D、?(2a?b)?4??04??0r2rR2ba 答案（D）

7） 如图所示，一个带电量为q的点电荷位于立方体的A角上，则通过侧面abcd的电场强度通量为（） A、

B、

q12?0 C、

q24?0 D、 答案（C）

d A q 8） 半径为R的均匀带电球面，若其电荷密度为?，则在距离球面R处的电场强度为（）

b c 1

A、

??0 B、

?2?0 C、

?4?0 D、

?8?0 答案（C）

9） 高斯定理

???1sE?dS??0??dV （）

vA、适用于任何静电场 C、只适用于具有球对称性，轴对称性和平面对称性的静电场

B、只适用于真空中的静电场 D、只适用于虽然不具有(C)中所述的对称性，但可以找到合适的高斯面的静电场 答案（B） 10) 关于高斯定理的理解正确的是（）

A、 如果高斯面上处处E为零，则该面内必无电荷 C、如果高斯面内有许多电荷，则通过高斯面的电通量必不为零

??B、 如果高斯面内无电荷，则高斯面上处处E为零 D、如果高斯面的电通量为零，则高斯面内电荷代数和必为零 答案（D）

11) 如图两同心的均匀带电球面，内球面半径为R1，电量Q1，外球面半径为R2，电量Q2，则在内球面内距离球心为r处的P点场强大小E为（） A、

Q1?Q24??0r2 B、

Q1Q2 ?24??0R14??0R22 C、

Q14??0r2 D、0 答案（D） ? 12）若均匀电场的场强为E，其方向平行于半径为R的半球面的轴，则通过此半球面的电通量?为（）

A、?R21E B、2?R2E C、?R2E D、2?R2E

2E、?R2E2 答案（A）

13） 下列说法正确的是（）

A、 闭合曲面上各点场强为零时，面内必没有电荷 C、闭合曲面的电通量为零时，面上各点场强必为零

B、 闭合曲面内总电量为零时，面上各点场强必为零 D、通过闭合曲面的电通量仅决定于面内电荷 答案（D）

14) 在空间有一非均匀电场，其电力线分布如图，在电场中作一半径为R的闭合球面S，已知通过球面上某一面元?S的电场线通量为

??e，则通过该球面其余部分的电场强度通量为（）

4?r24?r2??S???e B、???e D、0 答案（A） A、???e C、

?S?S15) 在电荷为?q的电场中，若取图中点P处为电势零点，则M点的电势为（）

R ?SA、qq B、4??0a8??0a C、?qq D、?4??0a8??0a 答案（D） +q a P a M 16）下列说法正确的是（）

A、 带正电的物体的电势一定是正的 C、带负电的物体的电势一定是负的

B、 电势等于零的物体一定不带电 D、物体电势的正负总相对电势参考点而言的 答案（D）

17) 在点电荷q的电场中，选取以q为中心，R为半径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离为r的P点电势为（）

‘

2

A、

qq11qq11 B、 D、?(?) C、(?)

4??0r4??0rR4??0(r?R)4??0rR 答案（B）

18) 半径为R的均匀带电球面，总电量为Q，设无穷远处的电势为零，则球内距球心为r的P点处的电场 强度和 电势为（） A、E=0, U=

. U=

QQQ B、 E=0, U= C、E=

4??0r4??0R4??0r2QQ D、E=

4??0r4??0r2. U=Q 4??0R 答案（B）

19) 有N个电量为q的点电荷，以两种方式分布在相同半径的圆周上，一种是无规则地分布，另一种是均匀分 布，比较在这两种情况下在通过圆心O并垂直与圆心的Z轴上任意点P的 场强与电势，则有（） A、场强相等，电势相等B、场强不相等，电势不相等C、场强分量答案（C）

20）在边长为a正方体中心处放置一电量为Q的点电荷，设无穷远处为电势零点，则在一个侧面的中心处的电势为（） A、

Ez相等，电势相等D、场强分量Ez相等，电势不相等 QQQQ B、 C、 D、答案（B）

4??0a2??0R??0R22??0R21）如图两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R1，电量Q1，外球面半径为R2，电量Q2，则在内球面内距离球心为r处的P点的电势U为（）

A、

Q1?Q24??0r B、

Q1Q2+

4??0R14??0R2 C 、0 D、

Q14??0R1

答案（C）

22） 真空中一半径为R的球面均匀带电为Q，，在球心处有一带电量为q的点电荷，如图设无穷远处为电势零点，则在球内离球心O距离

为r的P点处的电势为（） A、

Q4??0r B、

1qQQ?q1qQ?q D、(?) C、(?) 答案（B）

4??0rR4??0r4??0rR?23）当带电球面上总的带电量不变，而电荷的分布作任意改变时，这些电荷在球心处产生的电场强度E和电势U将（）

????A、E不变， U不变 B、E不变，U改变CE改变 ，U不变 D、E改变，U也改变 答案（C）

24） 真空中有一电量为Q的点电荷，在与它相距为r的A点处有一检验电荷q,现使检验电荷q从A 点沿半圆弧轨道运动到B点，如图则

电场场力做功为（）

QQQ?r2 A、 B、 C、?2rq??rq D、0 答案（D） ??q4??0r24??0r24??0r2225） 两块面积为S的金属板A 和B彼此平行放置，板间距离为d（d远远小于板的线度），设A板带电量q1, B 板带电量q2,则A,B板间

的电势差为（） A、

q1?q22?0S B、

q1?q2q?q2q?q2?d C、1?d D、1?d 答案（C） 4?0S2?0S4?0S3

26） 图中实线为某电场中电力线，虚线表示等势（位）面，由图可以看出（） A、EaB、Ea?Eb?Ec Ua?Ub?Uc C 、Ea?Eb?Ec Ua?Ub?Uc

?Eb?Ec Ua?Ub?Uc D、Ea?Eb?Ec Ua?Ub?Uc 答案（A）

q，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为（）

答案（A）

27） 面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量为??q2A、

?0S?q2q2 B、 C、

2?0S2?0S2q2 D、

?0S2?28）长直细线均匀带电。电荷线密度为??，一条过B点且垂直y轴，一条过O点且平行于X轴，OB=2a,A为OB的中点，则EA的大小和

方向为（） A、0 B、

?2??0a，y轴正向C、

??0，y轴负向D、，与y轴成45角 ??0a2??0a答案（C）

29）下面四个图中有两个或四个大小相等的点电荷与圆点等距离分布在XOY平面上，设无限远 处为电势零点，则圆点处场强和电势均为零的是（） D、 + 答案（D）

30） 电量为Q，半径为RA的金属球A，放在内外半径为RB和RC的金属球壳内，若用导线连接A,B，设无穷远处U?A球的电势为（） A、

Y A、 B、 C Y + + O + X + Y Y + O + - + X - + O + - X O - X ?0，则

Q4??0RC B、

Q4??0RA C、

Q4??0RB D、

Q11(?)

4??0RBRC答案（A）

31）正方体四个顶角上分别放有电量为?q,?q,?2q,?2q,的点电荷，正方形的边长为b，则中心处O的 场强大小与方向为（）

A、222 B、 C、q,向上q,向左q,向下 2224??0b4??0b2??0b2q,向下 答案（c） 4??0b2-q +2q D、O +q -2q 填空题

1、A，B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小为E0，两平面外侧电场强度大小都为E0

3，方

4

向如图，则A，B两平面上的电荷密度分别为?A? ，?B?

答案：

4?0E03 ?2?0E03

2、由一根绝缘细线围成的边长为L的正方形线框，今使它均匀带电，其电荷线密度为?，则在正方形中心处的电场强度大小E=

答案：0

3、两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线1、2相距为d，其电荷线密度分别为?1和?2，则场强等于零的点与直线的距离为：

答案：

?1d?1??2

4、带电量均为+q的两个点电荷分别位于X轴上的+a和-a的位置，如图则Y轴上各点电场强度的表 示式为E?? （j为y方向单位矢量）场强最大的位置在Y=

?2qyj 答案：，?a 324??0(a2?y2)2? 5、一半径为R的带有一缺口的细圆环，缺口长为d（d<

qdqd?4??0R2(2?R?d)8?2?0R3

6、一半径为R长为L的均匀带电圆柱面，其单位长度带电量为?。在带电圆柱的中垂面有一点P，它到轴距离为r(r>R),则P点的电场

强度大小，当r<

?

2??0r?7、半径为R的半球面置于场强为E的均匀电场中，其对称轴与场强方向一致，如图所示则通过该半球面的电场强度通量为

答案：?R2E

18、 如图在边长为a 的正方形平面的中垂线上，距中点a处，有一电量为q的正点电荷，则通过该平面的电场强度通量为

2 答案：

q6?0

???9、一半径为R的均匀带电球面，其电荷面密度为?，该球面内外场强分布（r表示从球心引出的矢径）E(r)? （r

????R2r E(r)? （r>R） 答案：0；3?0r10、一半径为R的无限长均匀带电圆柱面，其电荷面密度为?，该柱面内外场强分布（r表示在垂直于圆柱面的平面 上，从轴线引出

???????Rr的矢径）E(r)? （rR） 答案：0；

?0r2

5

?????qqEE?E?EE11、带电量分别为1 和2的两个点电荷单独在空间各点产生的静电场强分别为1 和2，空间各点总场强为12 ，

??E?dS?E现在作一封闭曲面S如图，遇以下两式可分别求出通过S的电通量?1 ；??dS?

答案：

q1q1?q2；

?0?0?R2?012、一半径为R的均匀带电圆盘，其电荷面密度为?，设无穷远处为电势零点，则圆盘中心O点的电势U0=

答案：

13、在静电场中，一质子（带电量为e=1????????C）沿四分之一圆弧轨道从A点移到B点（如图）电场力作功?????????J，则

当质子沿四分之三的圆弧轨道从B点回到A点时，电场力作功A= ；设A点电势为零，B点电势UB= 答案：??????????J，??????V

14、图中所示为静电场中的电力线图，若将一负电荷从a点经任意路径移到b点，电场力作正功还 是负功 ；a,b两点哪一点电势高 答案：负功；a点高

15、一电子和一质子相距????答案：7.2ev

???m（两者静止）；将此两粒子分开到无究远距离时（两者仍静止）需要最小能量是

??16、在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分等于零，?E?dL?0，这表明静电场中电力线

L答案：不能闭合

17、如图在半径为R的球壳上均匀带电量Q 一点电荷q(q<

Qq4??0?11???R?r??

2?? 18、一无限长均匀带电的空心圆柱体，内半径为a,外半径为b,电荷 体密度为?，若作一半径为r(a

?19、空气平行板电容器的两极板面积均为S，两板相距很近，电荷在平板上的分布可以认为是均匀的，设两极板带电量分别为?Q，则

两板间相互吸引力为

Q2答案：

2?0S20、一半径为R的均匀带电细圆，带电量Q，水平放置，在圆环轴线的上方离圆心R处有一质量为m,带电量为q的小球从静止下落到

圆心位置时，它的速度为V=

12 答案：?2gR???Qq?1???1???

2?m?0R?2?? 6

21、若静电场的某个区域电势等于恒量，则该区域的电场强度分布是 ;若电势随空间坐标作线性变化，则该区域的场强分布

答案：处处为零；均匀分布

22、图中所示为静电场的等势（位）线图，已知U1>U2>U3,，在图上画出a,b两点的电场强度方向，并比较它们的大小 答案：Ea>Eb

23、在电量为q的点电荷的静电场中，若选取与点电荷距离为r0的一点为电势零点，则与点电荷距离 为r处的电势U= 答案：

q4??0?11???r?r??

0??R，

24、图示BCD是以O点为圆心，以R为半径的半圆弧，在A点有一电量为+q的点电荷，O点有一电量为- q的点电荷，线段AB?现将一单位电荷从B点沿半圆弧轨道BCD移到D点，则电场力所作功的大小为 答案：

q

6??0R三 计算题

1、 有一电子射入一电场强度是5?10N/C的均匀电场，电场方向是竖直向上，电子初速度是10m/s，与水平线所夹的入射

角为300（忽略重力），（1）求该电子上升的最大高度；（2）此电子返到其原来高度时水平射程 （10分） 解：（1）电子所受的电场力：F37????eE（1分）

???F?eE?其加速度a?（1分） mm当电子上升到最大高度时：V⊥=0（1分）

∴V⊥2=（V0sin300）2=2ah（1分）

?Vsin30??Vsin30?m?h??(1分)020200

2a2eE?31 ??10?0.5??9.1?10?2?1.4?10m?1分??1932?1.6?10?5?1072

（2）电子从上升到返回到原来高度时共用时间：

7

t?22h2hm?2分??2aeE2?1.4?10?2?9.1?10?31?21.6?10?19?5?103?1.13?10?8?秒??1分?

水平射程S?V011t?V0cos300t?1分??107?0.866?1.13?10?8?9.79?10?2?米??1分?

2、 电子所带电量（基本电荷-e）最先是由密立根通过油滴实验测出的，其实验装置如图所示。一个很小的带电油滴在电场E内，调节

E的大小，使作用在油滴上的电场力与油滴的质量平衡。如果油滴的半径为1.64?10的密度为0.851g/cm3,求油滴上的电荷 （7分）

解：没油滴的电量为Q，体密度为?，半径为R（设油滴所带电量为体分布），这时的电场力和重力分别为F和P（2分）

由F=P得：（1分） EQ=mg=

?4cm，平衡时E=1.92?105N/C，油

4??R3g(2分) 34??R3g4?1.6?10?6?0.851?103?9.8?1分? ?Q??53E3?1.92?10??3?8.02?10?19?库??1分?

3、 一半径为R的均匀带电圆环，电荷总量为q.（1）求轴线上离环中心O为x处的场强E；（2）求O点及x>>R处的场强以及最大场

强值及其位置；（3）定性地画出E-x曲线 （15分）

解：（1）如图所示，圆环上任一电荷无dq在P点产生的场强为： dE?dq?2分? 24??0r 根据对称性分析，整个圆环在距圆心x处P点产生的场强， 方向沿x轴，大小为

E??dEcos??

1dqx?2??2分?4??0rrxq4??0r2?Rxxq?dq??3?34??0r4??0r?322??1分?

?E（2）求的极值：

O点的场强x=0,E0=0 (1分)

E ?2R 2X （4分） 8

2R 2??d?qx由dE??4???20x?R2?3?2???dx??dx?0?2分? 得x2?R22?1分?（1分）

即x??2R2, 在距圆心左右两侧2R2处的场强最大。其值为Eqmax=63??R2(1分)

0（3）E-x曲线如图所示

4、 线电荷 密度为?的无限长均匀带电线，弯成图中形状，设圆弧半径为R，试求O点的场强 （10分）

解：

1）在O点建立坐标系，如图所示：A?半无限长直导线在O点产生的场强E?1

E??????y1????R??0?i??dy????j???i?2分?4??0?R2?y2?3j?24??2230?R?y?2?4???0R4??0R 同理：B?半无限长直导线在O点产生的场强E?2：

E?2???4??Rj???4??Ri(2分)

00⌒

AB弧在O点产生的场强为：

9

（

????j?i?2分?4??0R4??0R?????E?E1?E2?E弧AB?1分? ????i?j?1分?4??0R?E弧ΑΒ???（2）

?E1??E2????i??j?2分?4??0R???i??j?2分?4??0R????

??i?2分?4??0R?????E?E1?E2?E弧ΑΒ?0?1分?5、 无限长带电圆柱面的面电荷密度由下式表示：???0cos?,，式中?为过z轴和任意母线的平面与x轴的夹角，试求圆柱轴线

上的场强 （8分）

解：设该圆柱的横截面半径为R，无限长直带电线在空间一点产生的场强E=

?E弧ΑΒ??，得出（2

2??0r分）带电圆柱面上宽度为

dL??Rd??的无限长带电线在轴线一点产生的场强为：

?0cos?????2分?R??Rd?R2?R?02?R?0?cos???0cos??i?sin??jd?(1分）2??0?2??cos??E???00cos??i?sin??jd??1分?2??0???0?i?2分?2?0?dE??????

6、 一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为R1和R2，筒面上都均匀带电，沿轴线单位长度的电量分别为?1和?2。（1）求各区域内的

场强分布；（2）若?1= -?2,则场强的分布情况又如何？画出E-x曲线 。（15分） 解：如图（a）所示，将空间分成1，2，3三区域 （1）

?1区域内（r

2区域（R1

10

??q?sE?ds?E?2?r?h??E2??0(1分）?h(1分） ?0?1??2分?r2??0r ??方向一致 当?1>0时，E2的方向与r??方向相反（1分） 当?1<0时，E2的方向与r3区域（r＞R2）:

????2??2分? E3?1r2??0r??方向一致 当?1??2>0时，E3的方向与r当?1??方向相反 ??2<0时，E3的方向与r?????2时，则E1，E2不变（1分）

（2） 若?1???1??2=0 ?E3?0（1分）

E-r曲线如图：

7、 在一半径为a，电荷密度为?的均匀带电球体中，挖去一半径为c的球形空腔。空腔中心O1相对于带电球体中心O的位置矢径用b

表示。试证明空腔内的电场是匀强电场，即E=?b/3?0 （10分）

解：求空腔内任一点P的场强挖去体密度为?的小球，相当于不挖，而在同一位置处，放一体密度为-?的小球产生的场强的叠加（1分）；佃别以O，O`为中心，过P点作球面S1和S2为高斯面，则

??14?32r1 （2分） ?S1EdS?E14?r1???dv??03?0???E1?r1?2分?

3?0???r2?2分? 同理得：E2??3?0???????r1?r2??b?3分? P点场强E?E1?E2?3?03?08、 如图所示，若半球面的半径为R，匀强电场的场强E与半径为R的半球面的轴线平行，试计算过此半球的边线为边，另作一个任意

形状的曲面，通过该面的电通量为多少？ （8分）

解：S1面的通量：如图设与场强垂直的圆平面为S0，S1和S2组成一闭合曲面，其包围电荷?qi

?0，利用高斯定理得：（1分）

11

??????

??EdS???EdS???EdS?2分?s0

s1

??s0??s1?0?1分???s0???s1 ??2

?s0???EdS???RE?2分?s0

??s1???s0??R2E?1分?同理?s2???s01??R2E?1分?9、 半径为R的带电球，其体密度???0?1?r/R?，?0为常量，r为球内任意点至球心的距离。试求（1）球内外的场强分布；（2）

最大场强的位置与大小 （13分） 解：（1）????0?1?r/R?，?与r是线性关系，在球内过P点做一个半径为r的带电球同心的球面为高斯面如图，根据对称

0

性分析此球面上的场强大小相等，方向与r的一致（1分）

由高斯定理：

???qE??dS??1分???2??EdS?4?rE内?1分?rr??q???0?1??4?r2dr0?R??4r???0?r3???(1分)?3R??0

?0?r3?4r??4?rE内?????0?3R??r?3r??E内?0?1???1分?3?0?4R?2 当r>R时，即在球外过任一眯P仍作球形高斯面（1分） 由高斯定理：

12

??E?外dS??4?r2E外?1分?q??R???r?R??4?r3dr?10?0?13?0?R3?1分??4?r2E1外??0?R33?0?E?0R3外?12?r2?1分?0(2)dE内dr???3???1?3r?2R???0?1分?0?r?23R?1分?E?0R max?9??1分?0

r越大，E?外单调减小，因而球外场无极值（1分）

、半径为R的无限长直圆柱体均匀带电，体密度为?，试求场强分布，并画出E-r曲线 解：分别过圆柱体内外一点P0，P作如图（a）所示的高斯面，由高斯定理可得：（10分）

??E??

内dS?2?rlE内?2分????r2l

?1分? r?R时，

?0

；

?E?r

内?02??1分?0

??E????R2l外dS?2?rlE外??2分? r?R?时，

0?2

?E0R外?2??1分?0r场强的方向均为径向（1分）

E-r曲线如图（b）(2分)

、一电量为q=1.5?10?8C的点电荷，试问；（1）电势为30V的等势面的半径为多大？（2）电势差为1。0V的任意两个等势其半径之差是否相同？设U??0 （8分）

解：（1）选无限远为电位参考点，据点电荷电位公式

面，

13

10 11 U?q4??得?1分? 0r30?1.5?10?84???8.9?10?12?1分? ?r?q4??U(1分)0

9?109?1.5?10?8?30?4.5米(1分)（2）没半径差为?r，则r2=r1=?r(1分)

根据电位差公式得：

U?q?4????11?r?r??r?0?11???1分??U?1.0?伏? ??rr?4??0?1分?1?r1??r?q

?r???4??20r1?4??0r1?1?q????q?1分???r?r21q?1分?4???r10从上式看出，当r1取不同值时，?r值不等（1分）

12、电荷Q均匀分布在半径为R球体内，试求球内外的电势 （12分） 证明：利用高斯定理求得球内外任一点的场强

E内?Qr4??R3(2分);E外?Q4??2(2分) 00r离球心r处（ r

U??RE??????QRr内dL?RE外dL?4??3?rdr?Q?drr0R4???Rr2(3分)0r?Q8??3?R2?r2??QQ???3?3R2?r2?(2分)0R40R8??0R

证毕r?R处U???Q1Qr4??2dr?r(3分)0r4??013、 如图所示，电量q均匀地分布在长为2L的细直线上，试求空间任意一点P（x,y）的电势；再由此求出延长线上和中垂线上任意 一点电势。 （12分） 解：（1）在图中：r??x?l?2?y2，带电线元dl在P点的电位：

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du?q?8??0Ldl?x?l?dL2?y2 (2分）整个带电线在P点的电位：

qLU???L8??0L?q??ln?x?L??8??0L??x?L?2?y2?x?L?2?y2??L （2分）??L

x?L?qln8??0Lx?L??x?L??y（1分）22?x?L??y22 （2）当P点在其延长线上，距O为x (即 P(x,0))处

U?q8??0Llnx?L?x?L??x?L??x?L?22?q8??0Llnx?L（2分） x?L当P点在直线中垂面上，离中心O为y（即P（0，y））处

U?q8??0LlnL?L2?y2?L?L?y22 （2分）14、如图所示，半径为R1和R2的两个同心球面均匀带电，电量分别为Q1和Q2。（1）试求区域1，2，3中的电势；（2）讨论Q1=-Q2和

Q2=-Q1R2/R1两种情况下各区域中的电势，并画出U-r曲线 （14分） 解：（1）利用高斯定理求出：

??E1?0?r?R1?;E2??r?Q1Q1?Q2???r?R2（???2分） rR?r?R;E?r123224??0r4??0r???Q1?Q2Q1?Q2 电位分布： U3??E3dL??r?r?R2（?2分） dr?4??0r4??0r2

U2?Q14??0r?2?Q2（2分）

4??0R221

U1??R??R??R??1?Q1Q2????r?R1（?2分） E3dL??RE2dL??rE3dL????4??0?R1R2?1 当Q2=-Q1时：U3=0；U2?Q14??0?11??r?R2??Q1?;U??14??0??11????（2分） ?R??1R2? 当Q2=-

R2R1Q1时：U3??Q1?R2?R1?Q1;U2?4??0R1r4??0?11??（2分） ?r?R??;U1?01??在此两种情况下的U-r曲线如图 （2分）

15、半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为?。以轴线为电位参考点，求其电位分布 （10分）

解：用高斯定理求出场强的分布：

15

??R2??r?? （4分） E外?r;E内?r2?0r2?0以轴线为电位参考点得

U内??r0??0?r?r2?r?R?(2分）E内dr??rdr??2?04?0

2R?R?R2?R2?R2R?R2?R??4分）U外????rdr???ln??2ln?1??r?R（4?02?0r4?02?0r4?0?r?Q3R2?r216、电荷Q均匀分布在半径为R的球体内，设无究远处为电势零点，试证明离球心r(r

3q1Qr2R?4分? U1=??34??0r4??0r4??0R球面外电荷产生的电势，在球面外取r??r??dr的薄球层，其上电量

??Qr3Q3Q22?dq?4?rdr?3r?dr? 3R4?R3它对该薄层内任一点产生的电势为

dU2?dq3Q?r?dr?（2分）34??0r?4??0R3Q3QR2?r2R?2分?U2??dU2?r?dr??3?r34??0R8??0R??

Qr23QR2?r2Q3R2?r2?2分?U?U1?U2???3334??0R8??0R8??0R??若根据电势定义U??EdL直接算出同样给分

17、一电荷面密度为?，的“无限大”平面，在距平面a米远处的一点场强大小的一半是由平面 上的一个半径为R的圆面积范围内的电

荷所产生的，试求该圆半径的大小 （10分）

解：电荷面密度为?的无限大均匀带电平面在任意点场强大小为E图中O点为圆心，取半径为r??????2?0?2分?

?r?dr的环形面积，其电量为dq??2?rdr?2分?

它在距离平面为a的一点处产生的场强dE??ardr2?0a2?r?322?（2分）

则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为

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??aRrdr??aE???1?2??2分?3?022?0?a2?r2?22?0?a?R? 由题意,令E??4?0,得到R?3a?2分?18、一高为h的直解形光滑斜面，斜面倾角为?。在直角顶点A处有一电量为-q的点电荷，另有一质量为m带电量+q的小球在斜面的顶

点B由静止下滑。设小球可看作质点，试求小球到达斜面底部C点时的速率 （5分） 解：因重力和电场力都是保守力，小球从顶点B到达C点过程中能量守恒

q21q22?3分???mgh?m??4??0h24??0hctg?

2?q??tg??1??2gh??2分??????2??0mh?19、一带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为???0sin?，式中?0为一常数，?为半径R与X轴所成的夹角，如图所示，

试求环心O处的电场强度

解：在?处取电荷元，其电量为dq=?dl=?0Rsin

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?d?

它在O点产生的场强为dE??0sin?d?dq?2分? ?24??0R4??0R 在X、Y轴上的二个分量dEx??dEcos?1分,dEy??dEsin?1分 对名分量分别求和

?????0?Ex??sin?cos?d??0?2分??04??0R?0?2?0 Ey???2分? sin?d????04??0R8?0R????0??E?Exi?Eyj??j?2分?8?0R20、如图所示，在电矩为P的电偶极子的电场中，将一电量为q的点电荷从A点沿半径为R的圆弧（圆心与电偶极子中心重合，R大于

电偶极子正负电荷之间距离）移到B点，求此过程中电场力所作的功。 （10分）

???p?r 解：用电势叠加原理可导出电偶极子在空间任意点的电势U?

4??0r3? 式中r为从电偶极子中心到场点的矢径（5分）

于是知A、B两点电势分别为

R ?pA B 17

UA?UB??p4??0R2p???p?p24??0R

q从A移到B电场力作功?与路径无关?为qp?5分?A?q?UA?UB???2??0R221、假如静电场中某一部分的电力线的形状是以O点为中心的同心圆弧，如图所示。试证明：该部分上每点的电场强度的大小都应与该点

到O点的距离成反比 （5分）

?? 证：由任意两条同心圆弧作扇形小环路abcda。设E1和E2分别为ab和cd 段路径的场强，bc和da段路径与场强方向垂直（2分）

按静电场的环路定理： ????b??c??d??a??Edl?Edl?Edl?Edl?Edl?E?ab?E?cd?0?2分??l?a1?b?c2?d12? E1cdr2??r2??????1分?E2abr1??r1a d c b O

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