2016年中考（锐角三角函数中考+填空+解答题）

2016年07月17日397679180的初中数学组卷（锐角三角函数

中考 填空 解答题）

一．填空题（共7小题） 1．（2016?岳阳）如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了 米．

2．（2016?荆州）全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为 米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．

3．（2016?宁波）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）．

4．（2016?上海）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为 米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）

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5．（2016?十堰）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度为 米．（结果保留根号）

6．（2016?大连）如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为 海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．

7．（2016?大庆）一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为 海里/小时．

二．解答题（共23小题）

8．（2016?连云港）如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=． （1）求BC的长；

（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：

=1.4，=1.7，=2.2）

9．（2016?包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E． （1）若∠A=60°，求BC的长； （2）若sinA=，求AD的长．

（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

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10．（2016?上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求： （1）线段BE的长； （2）∠ECB的余切值．

11．（2016?厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC，若CD=3，BD=

，sin∠DBC=

，求对角线AC的长．

12．（2016?泰州）如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞行至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD=75°．求村庄C、D间的距离（取1.73，结果精确到0.1千米）

13．（2016?台州）保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC，已知BC=30cm，AC=22cm，∠ACB=53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）

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14．（2016?邵阳）如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，）．

15．（2016?娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）

16．（2016?兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

17．（2016?黄冈）“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储D处调集救援物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C、B、A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O．已知：OA⊥AD，∠ODA=15°，∠OCA=30°，

∠OBA=45°CD=20km．若汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批

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物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O？（在物资搬运能力上每个码头工作效率相同，参考数据：≈1.4，≈1.7）．

18．（2016?贵州）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m） （1）求B，C的距离．

（2）通过计算，判断此轿车是否超速．

19．（2016?烟台）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

20．（2016?淮安）小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．

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21．（2016?临夏州）图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与地面垂直的OM位置时的示意图．已知AC=0.66米，BD=0.26米，α=20°．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364） （1）求AB的长（精确到0.01米）； （2）若测得ON=0.8米，试计算小明头顶由N点运动到M点的路径π）

的长度．（结果保留

22．（2016?贵阳）“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790m．如图，DE∥BC，BD=1700m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m）

23．（2016?济宁）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：． （1）求新坡面的坡角a；

（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．

24．（2016?荆门）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为是多少？

米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度

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25．（2016?贺州）如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：=1.414，=1.732）

26．（2016?宜宾）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）

27．（2016?昆明）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）

28．（2016?河南）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

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29．（2016?眉山）如图，埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救，其中一艘潜艇在海面下500米的A点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B点，在B处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度（结果保留根号）．

30．（2016?深圳）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）

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2016年07月17日397679180的初中数学组卷（锐角三

角函数中考 填空 解答题）

参考答案与试题解析

一．填空题（共7小题） 1．（2016?岳阳）如图，一山坡的坡度为i=1：米到达点B，则小辰上升了 100 米．

，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200

【分析】根据坡比的定义得到tan∠A边的关系求解．

【解答】解：根据题意得tan∠A=所以∠A=30°，

所以BC=AB=×200=100（m）．

故答案为100．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式 2．（2016?荆州）全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为 58 米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．

=

=

，

=

，∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三

【分析】直接利用锐角三角函数关系得出EC的长，进而得出AE的长，进而得出答案． 【解答】解：如图所示：由题意可得：CE⊥AB于点E，BE=DC， ∵∠ECB=18°48′， ∴∠EBC=78°12′， 则tan78°12′=

=

=4.8，

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解得：EC=48（m），

∵∠AEC=45°，则AE=EC，且BE=DC=10m， ∴此塑像的高AB约为：AE+EB=58（米）． 故答案为：58．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出EC的长是解题关键． 3．（2016?宁波）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 10\\sqrt{3}+1 m（结果保留根号）．

【分析】首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案． 【解答】解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m， ∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°， ∴BE=AE?tan60°=10（m）， ∴BC=CE+BE=10+1（m）． ∴旗杆高BC为10+1m． 故答案为：10+1．

【点评】本题考查仰角的定义．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．

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4．（2016?上海）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为 208 米．（精确到1米，参考数据：≈1.73）

【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度． 【解答】解：由题意可得：tan30°=解得：BD=30tan60°=

=

=， ，

=

=

，

解得：DC=90，

故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120≈208（m）， 故答案为：208．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 5．（2016?十堰）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度为 （30+10\\sqrt{3}） 米．（结果保留根号）

【分析】如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，设CK=HB=x，根据tan30°=

列出方程即可解决问题．

【解答】解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，

设CK=HB=x，

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∵∠CKA=90°，∠CAK=45°， ∴∠CAK=∠ACK=45°，

∴AK=CK=x，BK=HC=AK﹣AB=x﹣30， ∴HD=x﹣30+10=x﹣20，

在RT△BHD中，∵∠BHD=30°，∠HBD=30°， ∴tan30°=∴

=

， ，

解得x=30+10．

∴河的宽度为（30+10）米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用、方向角、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会利用三角函数的定义，列出方程解决问题，属于中考常考题型． 6．（2016?大连）如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为 11 海里（结果取整数）（参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）．

【分析】作PC⊥AB于C，先解Rt△PAC，得出PC=PA=9，再解Rt△PBC，得出PB=

≈11．

【解答】解：如图，作PC⊥AB于C， 在Rt△PAC中，∵PA=18，∠A=30°， ∴PC=PA=×18=9，

在Rt△PBC中，∵PC=9，∠B=55°， ∴PB=

≈

≈11，

答：此时渔船与灯塔P的距离约为11海里． 故答案为11．

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【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，含30°角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义．解一般三角形的问题可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 7．（2016?大庆）一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为 \\frac{40+40\\sqrt{3}}{3} 海里/小时．

【分析】设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC=3x，AQ⊥BC，∠BAQ=60°，∠CAQ=45°，AB=80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC=40+40=3x，解方程即可． 【解答】解：如图所示：

设该船行驶的速度为x海里/时，

3小时后到达小岛的北偏西45°的C处， 由题意得：AB=80海里，BC=3x海里， 在直角三角形ABQ中，∠BAQ=60°， ∴∠B=90°﹣60°=30°， ∴AQ=AB=40，BQ=

AQ=40

，

在直角三角形AQC中，∠CAQ=45°， ∴CQ=AQ=40，

∴BC=40+40=3x， 解得：x=

．

海里/时；

．

即该船行驶的速度为故答案为：

【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．

二．解答题（共23小题）

8．（2016?连云港）如图，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=． （1）求BC的长；

（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：

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=1.4，=1.7，=2.2）

【分析】（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，由含30°的直角三角形性质得AD=AC=2，由三角函数求出CD=2

，在Rt△ABD中，由三角函数求出BD=16，即可

得出结果；

（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD=

即可得出结果．

【解答】解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示： 在Rt△ADC中，AC=4， ∵∠C=150°， ∴∠ACD=30°， ∴AD=AC=2， CD=AC?cos30°=4×

=2

=， =，

在Rt△ABD中，tanB=

∴BD=16，

∴BC=BD﹣CD=16﹣2；

（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2所示： ∵∠ACB=150°，

∴∠AMC=∠MAC=15°， tan15°=tan∠AMD=

=

=

≈

≈0.27≈0.3．

【点评】本题考查了锐角三角函数、含30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键． 9．（2016?包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E． （1）若∠A=60°，求BC的长； （2）若sinA=，求AD的长．

（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

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【分析】（1）要求BC的长，只要求出BE和CE的长即可，由题意可以得到BE和CE的长，本题得以解决；

（2）要求AD的长，只要求出AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE的长，本题得以解决．

【解答】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=∴∠E=30°，BE=tan60°?6=6

，

，∠E=30°，

，

又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=∴CE=

=8，

∴BC=BE﹣CE=6﹣8；

，

（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x， ∴3x=6，得x=2， ∴BE=8，AE=10， ∴tanE=

==，

=

，

=

，

解得，DE=

∴AD=AE﹣DE=10﹣即AD的长是

．

【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答． 10．（2016?上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求： （1）线段BE的长； （2）∠ECB的余切值．

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【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函数得出AE=，即可得出BE的长； （2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，由三角函数求出EH=BH=BE?cos45°=2，得出CH=1，在Rt△CHE中，由三角函数求出cot∠ECB=【解答】解：（1）∵AD=2CD，AC=3， ∴AD=2，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3， ∴∠A=∠B=45°，AB=

=

=3

， =即可．

∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°， ∴AE=AD?cos45°=2×

=

，

∴BE=AB﹣AE=3﹣=2， 即线段BE的长为2；

（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示： ∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°， ∴EH=BH=BE?cos45°=2∵BC=3， ∴CH=1，

在Rt△CHE中，cot∠ECB=即∠ECB的余切值为．

=， ×

=2，

【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过作辅助线求出CH是解决问题（2）的关键．

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11．（2016?厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BCD是钝角，AB=AD，BD平分∠ABC，若CD=3，BD=

，sin∠DBC=

，求对角线AC的长．

【分析】过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，得到∠E=90°，根据三角形函数的定义得到DE=2，推出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=，根据勾股定理得到结论．

【解答】解：过D作DE⊥BC交BC的延长线于E， 则∠E=90°， ∵sin∠DBC=

，BD=

，

∴DE=2， ∵CD=3，

∴CE=1，BE=4， ∴BC=3， ∴BC=CD，

∴∠CBD=∠CDB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∴∠ABD=∠CDB， ∴AB∥CD， 同理AD∥BC，

∴四边形ABCD是菱形， 连接AC交BD于O，

则AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=∴OC=∴AC=2

．

=

，

，

【点评】本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 12．（2016?泰州）如图，地面上两个村庄C、D处于同一水平线上，一飞行器在空中以6千米/小时的速度沿MN方向水平飞行，航线MN与C、D在同一铅直平面内．当该飞行器飞

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行至村庄C的正上方A处时，测得∠NAD=60°；该飞行器从A处飞行40分钟至B处时，测得∠ABD=75°．求村庄C、D间的距离（取1.73，结果精确到0.1千米）

【分析】过B作BE⊥AD于E，三角形的内角和得到∠ADB=45°，根据直角三角形的性质得到AE=2．BE=2，求得AD=2+2，即可得到结论． 【解答】解：过B作BE⊥AD于E， ∵∠NAD=60°，∠ABD=75°， ∴∠ADB=45°， ∵AB=6×

=4，

∴AE=2．BE=2， ∴DE=BE=2， ∴AD=2+2，

∵∠C=90，∠CAD=30°， ∴CD=AD=1+

．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 13．（2016?台州）保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC，已知BC=30cm，AC=22cm，∠ACB=53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）

【分析】根据锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而结合勾股定理得出答案．

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【解答】解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求， 理由：如图2所示：过点B作BD⊥AC于点D， ∵BC=30cm，∠ACB=53°， ∴sin53°=

=

≈0.8，

解得：BD=24， cos53°=

≈0.6，

解得：DC=18，

∴AD=22﹣18=4（cm）， ∴AB=

=

=

＜

，

∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出BD，AD的长是解题关键． 14．（2016?邵阳）如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，）．

【分析】根据sin75°=解．

【解答】解：在直角三角形ACO中，sin75°=解得OC≈38.8，

在直角三角形BCO中，tan30°=

=

≈

， =

≈0.97，

=

，求出OC的长，根据tan30°=

，再求出BC的长，即可求

解得BC≈67.3．

答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3cm．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．

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15．（2016?娄底）芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米，≈1.732）

【分析】设DH=x米，由三角函数得出=x，得出BH=BC+CH=2+x，求出AH=BH=2+3x，由AH=AD+DH得出方程，解方程求出x，即可得出结果． 【解答】解：设DH=x米， ∵∠CDH=60°，∠H=90°， ∴CH=DH?sin60°=x， ∴BH=BC+CH=2+x， ∵∠A=30°，

∴AH=BH=2+3x， ∵AH=AD+DH， ∴2+3x=20+x， 解得：x=10﹣，

∴BH=2+（10﹣）=10﹣1≈16.3（米）． 答：立柱BH的长约为16.3米．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用；由三角函数求出CH和AH是解决问题的关键． 16．（2016?兰州）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）

【分析】根据题意，可以得到BC=BD，由∠CDB=45°，∠EDB=53°，由三角函数值可以求得BD的长，从而可以求得DE的长．

【解答】解：设BD=x米，则BC=x米，BE=（x+2）米， 在Rt△BDE中，tan∠EDB=

，

第20页（共46页）

【分析】过点B作BD⊥AC于点D，由等腰直角三角形的性质求出AD的长，再由直角三角形的性质即可得出结论．

【解答】解：由题意知：∠BAC=45°，∠FBA=30°，∠EBC=45°，AB=10°海里； 过B点作BD⊥AC于点D， ∵∠BAC=45°，

∴△BAD为等腰直角三角形； ∴BD=AD=50，∠ABD=45°； ∴∠CBD=180°﹣30°﹣45°﹣45°=60°， ∴∠C=30°；

∴在Rt△BCD中BC=100≈141海里，CD=50， ∴AC=AD+CD=50+50≈209海里．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

第46页（共46页）

即，

解得，x≈6.06， ∵sin∠EDB=即0.8=

，

，

解得，ED≈10

即钢线ED的长度约为10米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用三角函数值求出相应的边的长度． 17．（2016?黄冈）“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储D处调集救援物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C、B、A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O．已知：OA⊥AD，∠ODA=15°，∠OCA=30°，

∠OBA=45°CD=20km．若汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O？（在物资搬运能力上每个码头工作效率相同，参考数据：≈1.4，≈1.7）．

【分析】利用三角形外角性质计算出∠COD=15°，则CO=CD=20，在Rt△OCA中利用含30度的直角三角形三边的关系计算出OA=OC=10，CA=

OA≈17，在Rt△OBA中利用等腰

直角三角形的性质计算出BA=OA=10，OB=OA≈14，则BC=7，然后根据速度公式分别计算出在三个码头装船，运抵小岛所需的时间，再比较时间的大小进行判断． 【解答】解：∵∠OCA=∠D+∠COD， ∴∠COD=30°﹣15°=15°， ∴CO=CD=20，

在Rt△OCA中，∵∠OCA=30°， ∴OA=OC=10，CA=

OA=10

≈17，

在Rt△OBA中，∵∠OBA=45°， ∴BA=OA=10，OB=OA≈14， ∴BC=17﹣10=7，

当这批物资在C码头装船，运抵小岛O时，所用时间=当这批物资在B码头装船，运抵小岛O时，所用时间=当这批物资在A码头装船，运抵小岛O时，所用时间=所以这批物资在B码头装船，最早运抵小岛O．

第21页（共46页）

++

=1.2（小时）； =1.1（小时）； +

=1.14（小时）；

【点评】本题考查了解直角三角形：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． 18．（2016?贵州）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m） （1）求B，C的距离．

（2）通过计算，判断此轿车是否超速．

【分析】（1）在直角三角形ABD与直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出BD与CD的长，由BD﹣CD求出BC的长即可；

（2）根据路程除以时间求出该轿车的速度，即可作出判断． 【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AD=24m，∠B=31°， ∴tan31°=

，即BD=

=40m，

在Rt△ACD中，AD=24m，∠ACD=50°， ∴tan50°=

，即CD=

=20m，

∴BC=BD﹣CD=40﹣20=20m， 则B，C的距离为20m；

（2）根据题意得：20÷2=10m/s＜15m/s， 则此轿车没有超速．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 19．（2016?烟台）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

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【分析】如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N，根据中利用tan72°=

，求出AN即可解决问题．

=

，求出CM，在RT△AMN

【解答】解：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N． 由题意

=

，即

=，CM=，

在RT△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4，∠AMN=72°， ∴tan72°=

，

∴AN≈12.3，

∵MN∥BC，AB∥CM，

∴四边形MNBC是平行四边形， ∴BN=CM=， ∴AB=AN+BN=13.8米．

【点评】本题考查解直角三角形、三角函数，影长等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 20．（2016?淮安）小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．

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【分析】根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可以分别求得CM、DN的长，由于AB=CN﹣CM，从而可以求得AB的长．

【解答】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示， 由题意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45°，∠BDF=60°， ∴CM=DN=

米， 米，

）米，

∴AB=CD+DN﹣CM=100+20﹣60=（40+20即A、B两点的距离是（40+20）米．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答问题． 21．（2016?临夏州）图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与地面垂直的OM位置时的示意图．已知AC=0.66米，BD=0.26米，α=20°．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364） （1）求AB的长（精确到0.01米）； （2）若测得ON=0.8米，试计算小明头顶由N点运动到M点的路径π）

的长度．（结果保留

【分析】（1）过B作BE⊥AC于E，求出AE，解直角三角形求出AB即可； （2）求出∠MON的度数，根据弧长公式求出即可． 【解答】解：（1）过B作BE⊥AC于E，

则AE=AC﹣BD=0.66米﹣0.26米=0.4米，∠AEB=90°， AB=

=

≈1.17（米）；

（2）∠MON=90°+20°=110°，

第24页（共46页）

所以的长度是=π（米）．

【点评】本题考查了弧长公式，解直角三角形的应用，能把实际问题转化成数学问题是解此题的关键． 22．（2016?贵阳）“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790m．如图，DE∥BC，BD=1700m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m）

【分析】首先过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M，进而表示出AM，DF的长，再利用AE=

，求出答案．

【解答】解：过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M， 由题意可得：EM⊥AC，DF=MC，∠AEM=29°， 在Rt△DFB中，sin80°=

，则DF=BD?sin80°，

AM=AC﹣CM=1790﹣1700?sin80°， 在Rt△AME中，sin29°=故AE=

=

，

≈238.9（m），

答：斜坡AE的长度约为238.9m．

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【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意正确表示出AM的长是解题关键． 23．（2016?济宁）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：． （1）求新坡面的坡角a；

（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．

【分析】（1）由新坡面的坡度为1：

，可得tanα=tan∠CAB=

=

，然后由特殊角的

三角函数值，求得答案； （2）首先过点C作CD⊥AB于点D，由坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：可求得AD，BD的长，继而求得AB的长，则可求得答案． 【解答】解：（1）∵新坡面的坡度为1：， ∴tanα=tan∠CAB=

=

，

．即

∴∠α=30°．

答：新坡面的坡角a为30°；

（2）文化墙PM不需要拆除．

过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6，

∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：∴BD=CD=6，AD=6， ∴AB=AD﹣BD=6﹣6＜8， ∴文化墙PM不需要拆除．

，

【点评】此题考查了坡度坡角的知识．注意根据题意构造直角三角形是关键．

24．（2016?荆门）如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800（1+）米，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角

第26页（共46页）

是30°，小军的行走速度为是多少？

米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度

【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒，根据直角三角形的性质用x表示出AC与BC的长，再根据小明与小军同时到达山顶C处即可得出结论． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设AD=x米，小明的行走速度是a米/秒， ∵∠A=45°，CD⊥AB， ∴AD=CD=x米， ∴AC=x． 在Rt△BCD中， ∵∠B=30°， ∴BC=

=

=2x，

∵小军的行走速度为∴

=

米/秒．若小明与小军同时到达山顶C处，

，解得a=1米/秒．

答：小明的行走速度是1米/秒．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键． 25．（2016?贺州）如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：=1.414，=1.732）

【分析】根据正切的定义分别求出AB、DB的长，结合图形求出DH，比较即可． 【解答】解：由题意得，AH=10米，BC=10米， 在Rt△ABC中，∠CAB=45°，

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∴AB=BC=10，

在Rt△DBC中，∠CDB=30°， ∴DB=

=10

，

∴DH=AH﹣AD=AH﹣（DB﹣AB）=10﹣10+10=20﹣10≈2.7（米）， ∵2.7米＜3米，

∴该建筑物需要拆除．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 26．（2016?宜宾）如图，CD是一高为4米的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得树顶A点的仰角α=30°，从平台底部向树的方向水平前进3米到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角β=60°，求树高AB（结果保留根号）

【分析】作CF⊥AB于点F，设AF=x米，在直角△ACF中利用三角函数用x表示出CF的长，在直角△ABE中表示出BE的长，然后根据CF﹣BE=DE即可列方程求得x的值，进而求得AB的长．

【解答】解：作CF⊥AB于点F，设AF=x米， 在Rt△ACF中，tan∠ACF=则CF=

=

=

，

=

x，

在直角△ABE中，AB=x+BF=4+x（米）， 在直角△ABF中，tan∠AEB=∵CF﹣BE=DE，即解得：x=则AB=

， +4=

（米）． 米． x﹣

，则BE=

=

=

（x+4）米．

（x+4）=3．

答：树高AB是

第28页（共46页）

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度． 27．（2016?昆明）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上），已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）

【分析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解直角△AFD得到DF的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE﹣CE． 【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H． 则DE=BF=CH=10m，

在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°， ∴DF=AF=70m．

在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°， ∴CE=

=

=10

（m），

∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．

答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．

【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题．要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 28．（2016?河南）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

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【分析】通过解直角△BCD和直角△ACD分别求得BD、CD以及AD的长度，则易得AB的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由“速度=

”进行解答即可．

【解答】解：在Rt△BCD中，BD=9米，∠BCD=45°，则BD=CD=9米．

在Rt△ACD中，CD=9米，∠ACD=37°，则AD=CD?tan37°≈9×0.75=6.75（米）． 所以，AB=AD+BD=15.75米，

整个过程中旗子上升高度是：15.75﹣2.25=13.5（米）， 因为耗时45s， 所以上升速度v=

=0.3（米/秒）．

答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 29．（2016?眉山）如图，埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救，其中一艘潜艇在海面下500米的A点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B点，在B处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度（结果保留根号）．

【分析】过C作CD⊥AB于D，交海面于点E，设BD=x，利用锐角三角函数的定义用x表示出BD及CD的长，由CE=CD+DE即可得出结论．

【解答】解：过C作CD⊥AB于D，交海面于点E，设BD=x， ∵∠CBD=60°， ∴tan∠CBD=

=

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∴CD=x． ∵AB=2000， ∴AD=x+2000， ∵∠CAD=45° ∴tan∠CAD=

=1，

∴x=x+2000，

解得x=1000+1000，

∴CD=（1000+1000）=3000+1000， ∴CE=CD+DE=3000+1000+500=3500+1000答：黑匣子C点距离海面的深度为3500+1000

． 米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 30．（2016?深圳）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）

【分析】如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线，根据题意确定出∠ABC与∠ACB的度数，利用锐角三角函数定义求出AD与BD的长，由CD+BD求出BC的长，即可求出BH的长． 【解答】解：如图，作AD⊥BC，BH⊥水平线， 由题意得：∠ACH=75°，∠BCH=30°，AB∥CH， ∴∠ABC=30°，∠ACB=45°， ∵AB=32m，

∴AD=CD=AB?sin30°=16m，BD=AB?cos30°=16m， ∴BC=CD+BD=（16+16）m， 则BH=BC?sin30°=（8+8）m．

第31页（共46页）

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．

二．解答题（共15小题） 31．（2016?泸州）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．

【分析】如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M，先在RT△BDN中求出线段BN，在RT△ABM中求出AM，再证明四边形CMBN是矩形，得CM=BN即可解决问题． 【解答】解：如图作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M． 在RT△BDN中，BD=30，BN：ND=1：， ∴BN=15，DN=15，

∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°， ∴四边形CMBN是矩形，

∴CM=BM=15，BM=CN=60﹣15=45， 在RT△ABM中，tan∠ABM=∴AM=60，

∴AC=AM+CM=15+60

=，

．

【点评】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．

第32页（共46页）

32．（2016?青岛）如图，AB是长为10m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）． （参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin65°≈

，tan65°≈

）

【分析】作BF⊥AE于点F．则BF=DE，在直角△ABF中利用三角函数求得BF的长，在直角△CDB中利用三角函数求得CD的长，则CE即可求得． 【解答】解：作BF⊥AE于点F．则BF=DE． 在直角△ABF中，sin∠BAF=在直角△CDB中，tan∠CBD=

，则BF=AB?sin∠BAF=10×=6（m）． ，则CD=BD?tan65°=10×

≈21（m）．

则CE=DE+CD=BF+CD=6+21=27（m）．

答：大楼CE的高度是27m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度． 33．（2016?鄂州）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示，AB=60（）海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得AD=120（海里．

（1）分别求出A与C及B与C的距离AC、BC（结果保留根号）

）

第33页（共46页）

（2）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，图中有无触礁的危险？

（参考数据：=1.41，=1.73，=2.45）

【分析】（1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E，可求得∠CBD=45°，∠CAD=60°，设CE=x，在Rt△CBE与Rt△CAE中，分别表示出BE、AE的长度，然后根据AB=60（）海里，代入BE、AE的式子，求出x的值，继而可求出AC、BC的长度；

（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F，在△ADF中，根据AD的值，利用三角函数的知识求出DF的长度，然后与100比较，进行判断． 【解答】解：（1）如图所示，过点C作CE⊥AB于点E， 可得∠CBD=45°，∠CAD=60°， 设CE=x，

在Rt△CBE中，BE=CE=x， 在Rt△CAE中，AE=∵AB=60（∴x+

x=60（

， x=120

， x，

）海里，

），

解得：x=60则AC=

BC=x=120，

答：A与C的距离为120海里，B与C的距离为120（2）如图所示，过点D作DF⊥AC于点F， 在△ADF中，

∵AD=120（），∠CAD=60°，

∴DF=ADsin60°=180﹣60≈106.8＞100， 故海监船沿AC前往C处盘查，无触礁的危险．

海里；

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目中所给方向角构造直角三角形，然后利用三角函数的知识求解，难度适中． 34．（2016?常德）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份

第34页（共46页）

的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？

（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732，=1.732，=1.414）

【分析】过B作BD⊥AC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD与AD的长，在直角三角形BCD中，求出CD的长，由AD+DC求出AC的长即可． 【解答】解：过B作BD⊥AC， ∵∠BAC=75°﹣30°=45°，

∴在Rt△ABD中，∠BAD=∠ABD=45°，∠ADB=90°， 由勾股定理得：BD=AD=

×20=10

（海里），

在Rt△BCD中，∠C=25°，∠CBD=75°， ∴tan∠CBD=

，即CD=10

×3.732=52.77048，

则AC=AD+DC=10+10×3.732=66.91048≈67（海里），即我海监执法船在前往监视巡查

的过程中行驶了67海里．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键． 35．（2016?巴中）如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从A地到B地有一条笔直的铁路通过，但在附近的C处有一大型油库，现测得油库C在A地的北偏东60°方向上，在B地的西北方向上，AB的距离为250（+1）米．已知在以油库C为中心，半径为200米的范围内施工均会对油库的安全造成影响．问若在此路段修建铁路，油库C是否会受到影响？请说明理由．

第35页（共46页）

【分析】根据题意，在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=45°，AB=250（+1）米，是否受到影响取决于C点到AB的距离，因此求C点到AB的距离，作CD⊥AB于D点． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于D， ∴AD=CD?cot45°=CD， BD=CD?cot30°=CD， ∵BD+AD=AB=250（+1）（米）， 即CD+CD=250（+1）， ∴CD=250，

250米＞200米．

答：在此路段修建铁路，油库C是不会受到影响．

【点评】此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30°、45°、60°）． 36．（2016?衡阳）在某次海上军事学习期间，我军为确保△OBC海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在O、B、C处监控△OBC海域，在雷达显示图上，军舰B在军舰O的正东方向80海里处，军舰C在军舰B的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）

（1）若三艘军舰要对△OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径r至少为多少海里？

（2）现有一艘敌舰A从东部接近△OBC海域，在某一时刻军舰B测得A位于北偏东60°方向上，同时军舰C测得A位于南偏东30°方向上，求此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为多少海里？

（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20海里/小时的速度靠近△OBC海域，我军军舰B沿北偏东15°的方向行进拦截，问B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A？

【分析】（1）求出OC，由题意r≥OC，由此即可解决问题．

（2）作AM⊥BC于M，求出AM即可解决问题．

（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x，先列出方程求出x，再求出BN、AN利用不等式解决问题． 【解答】解：（1）在RT△OBC中，∵BO=80，BC=60，∠OBC=90°， ∴OC=

==100，

第36页（共46页）

∵OC=×100=50

∴雷达的有效探测半径r至少为50海里． （2）作AM⊥BC于M， ∵∠ACB=30°，∠CBA=60°， ∴∠CAB=90°， ∴AB=BC=30，

在RT△ABM中，∵∠AMB=90°，AB=30，∠BAM=30°， ∴BM=AB=15，AM=

BM=15

，

∴此时敌舰A离△OBC海域的最短距离为15海里．

（3）假设B军舰在点N处拦截到敌舰．在BM上取一点H，使得HB=HN，设MN=x， ∵∠HBN=∠HNB=15°，

∴∠MHN=∠HBN+∠HNB=30°， ∴HN=HB=2x，MH=x， ∵BM=15， ∴15=x+2x， x=30﹣15， ∴AN=30﹣30， BN=由题意

=15（

≤﹣

），设B军舰速度为a海里/小时，

，

∴a≥20．

∴B军舰速度至少为20海里/小时．

【点评】本题考查解直角三角形的应用、方位角、直角三角形30°角性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 37．（2016?内江）禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可以船只，测得A、B两处距离为200海里，可疑船只正沿南偏东45°方向航行，我渔政船迅速沿北偏东30°方向前去拦截，经历4小时刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的平均速度（结果保留根号）．

第37页（共46页）

【分析】先过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，得出AD=（200﹣x）海里，在Rt△BCD中，根据tan45°=据cos45°=

，求出CD，再根据BD=CD求出BD，在Rt△BCD中，根

，求出BC，从而得出答案．

【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，则AD=（200﹣x）海里， ∵∠ABC=45°， ∴BD=CD=x， ∵∠BAC=30°， ∴tan30°=

，

（200﹣x），

在Rt△ACD中，则CD=AD?tan30°=则x=

（200﹣x），

解得，x=100﹣100，

即BD=100﹣100， 在Rt△BCD中，cos45°=

，

解得：BC=100﹣100，

则100﹣100÷4=25（﹣）（海里/时），

则该可疑船只的航行速度约为25（﹣）海里/时．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．

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38．（2016?菏泽）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20（1+）海里的C处，为了防止某国还巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．

【分析】作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的知识，可得出AD，继而可得出BD，结合题意BC=CD+BD可得出方程，解出x的值后即可得出答案． 【解答】解：如图，作AD⊥BC，垂足为D， 由题意得，∠ACD=45°，∠ABD=30°． 设CD=x，在Rt△ACD中，可得AD=x， 在Rt△ABD中，可得BD=x， 又∵BC=20（1+），CD+BD=BC， 即x+x=20（1+）， 解得：x=20，

∴AC=x=20（海里）．

答：A、C之间的距离为20海里．

【点评】此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型进行求解，难度一般． 39．（2016?达州）如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．以轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测

第39页（共46页）

得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．

（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？ （2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）

【分析】（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，首先证明△ABC是直角三角形，再证明∠BAC=30°，再求出BD的长即可角问题． （2）求出CD的长度，和CN、CM比较即可解决问题． 【解答】解：（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，如图所示．

∵∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°，∠CAF=30°， ∴∠ECB=30°，∠ACF=60°， ∴∠BCA=90°， ∵BC=12，AB=36×

=24，

∴AB=2BC，

∴∠BAC=30°，∠ABC=60°， ∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°， ∴∠BDC=∠BCD=30°， ∴BD=BC=12， ∴时间t=

=小时=20分钟，

∴轮船照此速度与航向航向，上午11：：00到达海岸线． （2）∵BD=BC，BE⊥CD， ∴DE=EC，

在RT△BEC中，∵BC=12，∠BCE=30°， ∴BE=6，EC=6≈10.2， ∴CD=20.4，

∵20＜20.4＜21.5，

∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．

第40页（共46页）

【点评】本题考查方向角、解直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，由数量关系推出∠BAC=30°，属于中考常考题型． 40．（2016?乐山）如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．

【分析】设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时，由题意得出∠ABC=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，由三角函数得出BD、AD的长度，得出CD=10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示， 由题意得：∠ABC=45°+75°=120°，AB=12，BC=10x，AC=14x， 过点A作AD⊥CB的延长线于点D， 在Rt△ABD中，AB=12，∠ABD=60°， ∴BD=AB?cos60°=AB=6，AD=AB?sin60°=6∴CD=10x+6．

在Rt△ACD中，由勾股定理得：解得：

（不合题意舍去）．

，

，

答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、三角函数；由三角函数和勾股定理得

出方程是解决问题的关键． 41．（2016?黔东南州）黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，

第41页（共46页）

在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．

（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）

【分析】延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，由三角函数求出求出CH、DH的长，得出CG，设AB=xm，根据正切的定义求出BG，得出方程，解方程即可． 【解答】解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示： 在Rt△DHC中，∠DCH=60°，CD=4，

则CH=CD?cos∠DCH=4×cos60°=2，DH=CD?sin∠DCH=4×sin60°=2， ∵DH⊥BG，∠G=30°， ∴HG=

=

=6，

∴CG=CH+HG=2+6=8， 设AB=xm，

∵AB⊥BG，∠G=30°，∠BCA=45°， ∴BC=x，BG=

=

=

x，

∵BG﹣BC=CG， ∴x﹣x=8， 解得：x≈11（m）；

答：电线杆的高为11m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 42．（2016?临沂）一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处（参考数据：≈1.732，结果精确到0.1）？

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【分析】利用题意得到AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20，如图，在Rt△APC中，利用余弦的定义计算出PC=10，利用勾股定理计算出AC=10，再判断△PBC为等腰直角三角形得到BC=PC=10，然后计算AC﹣BC即可．

【解答】解：如图，AC⊥PC，∠APC=60°，∠BPC=45°，AP=20， 在Rt△APC中，∵cos∠APC=∴PC=20?cos60°=10， ∴AC=

=10

，

，

在△PBC中，∵∠BPC=45°， ∴△PBC为等腰直角三角形， ∴BC=PC=10，

∴AB=AC﹣BC=10﹣10≈7.3（海里）．

答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角：在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 43．（2016?宿迁）如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：≈1.73）

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【分析】作PC⊥AB于C，如图，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8，设PC=x，先判断△PBC为等腰直角三角形得到BC=PC=x，再在Rt△PAC中利用正切的定义得到8+x=

，解得

x=4（+1）≈10.92，即AC≈10.92，然后比较AC与10的大小即可判断海轮继续向正东方向航行，是否有触礁的危险．

【解答】解：没有触礁的危险．理由如下：

作PC⊥AB于C，如图，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8， 设PC=x，

在Rt△PBC中，∵∠PBC=45°， ∴△PBC为等腰直角三角形， ∴BC=PC=x，

在Rt△PAC中，∵tan∠PAC=∴AC=

，即8+x=

， ，解得x=4（

+1）≈10.92，

即AC≈10.92， ∵10.92＞10，

∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题：在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 44．（2016?绍兴）如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图2． （1）求∠CBA的度数．

（2）求出这段河的宽（结果精确到1m，备用数据≈1.41，≈1.73）．

第44页（共46页）

【分析】（1）根据三角形的外角的性质、结合题意计算即可；

（2）作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD=xm，根据正切的定义用x表示出CD、AD，根据题意列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）由题意得，∠BAD=45°，∠BCA=30°， ∴∠CBA=∠BAD﹣∠BCA=15°；

（2）作BD⊥CA交CA的延长线于D， 设BD=xm， ∵∠BCA=30°， ∴CD=

∵∠BAD=45°， ∴AD=BD=x， 则x﹣x=60， 解得x=

≈82， =

x，

答：这段河的宽约为82m．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 45．（2016?赤峰）为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛进行了全面调查，一测量船在A岛测得B岛在北偏西30°，C岛在北偏东15°，航行100海里到达B岛，在B岛测得C岛在北偏东45°，求B，C两岛及A，C两岛的距离（≈2.45，结果保留到整数）

第45页（共46页）

【分析】过点B作BD⊥AC于点D，由等腰直角三角形的性质求出AD的长，再由直角三角形的性质即可得出结论．

【解答】解：由题意知：∠BAC=45°，∠FBA=30°，∠EBC=45°，AB=10°海里； 过B点作BD⊥AC于点D， ∵∠BAC=45°，

∴△BAD为等腰直角三角形； ∴BD=AD=50，∠ABD=45°； ∴∠CBD=180°﹣30°﹣45°﹣45°=60°， ∴∠C=30°；

∴在Rt△BCD中BC=100≈141海里，CD=50， ∴AC=AD+CD=50+50≈209海里．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

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