高等教学课程教学大纲

高等教学课程教学大纲

课程编号:40812031-40812041 课程名称:高等数学

英文名称:Advanced Mathematics 学 时:236学时 学 分:13

先修课程:初等数学(中学阶段)

适用专业:长春工业大学05级本科（实验班） 一、 总论

(一)课程性质`

高等数学是理工科院校开设的及其重要的基础课,高水平的工程技术人才需要具备较高的数学修养和数学基础,本课程为顺利学习后继课程提供必要的数学知识和数学技术，是长春工业大学为本科生（实验班）开设的公共必修课程。 (二) 开课目的与任务

通过课程的教学,使学生掌握课程的基本理论，基本知识和基本技能,培养学生的抽象思维能力,逻辑推理能力，发散思维能力及综合运用所学知识去分析解决问题的能力，特别是要注意培养学生创新意识和创新能力,使学生具备较高的数学修养和掌握必要的数学知识及数学技术为后续课程的学习和考研打下良好的数学基础。

(三) 课程教学重点、难点、手段、方法等有关说明

本课程内容可分为：函数与极限,一元函数微分学一元函数积分学,向量代数与空间解析几何,多元函数微分学,多元函数积分学,无穷级数,微分方程等八部分。

函数与极限 重点：极限。

难点：极限的“??N” 、“???”定义， 求极限。 一元函数微分学

重点：导数与微分的概念,导数、微分的计算，微分中值定理,函数的各种性态,函数的极值与最值。

难点：复合函数的求导,微分中值定理。 一元函数积分学

重点：不定积分与定积分的概念,积分计算方法，变上限积分定理与牛顿—莱布尼兹公式,元素法

难点：积分计算,元素法 向量代数与空间解析几何 重点：数量积,向量积,平面方程的几种形式与位置关系,空间直线方程的几种形式与位置关系

难点：平面方程的位置关系,空间直线方程的位置关系 多元函数微分学

重点：多元函数概念，多元复合函数求导法则，多元函数极值。 难点：二重极限，多元复合函数求导法则。

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多元函数积分学

重点：重积分概念，重积分计算，线积分概念，线积分计算，面积分概念，面积分计算。

格林公式 高斯公式

难点：各种积分的计算，相关概念的引入及定理的证明，无穷级数。 重点：数项级数审敛法，幂级数的收敛域，函数展开成幂级数。

难点：幂级数求和，傅氏系数an，bn的计算。

微分方程

重点：变量可分离微分方程，一阶性微分方程，二阶常系数齐次与非齐次线性微分方程。

难点：利用微分方程建立函数模型，确定待定系数。

二 、课程内容及其学时分配、教学要求

（一）课程内容及其学时分配

第一章 函数与极限 共16学时 §1.1映射与函数 4学时 §1.2数列的极限 2学时 §1.3函数的极限 2学时 §1.4无穷小与无穷大 1学时 §1.5极限运算法则 1学时 §1.6极限存在准则 两个重要极限 2学时 §1.7无穷小的比较， 1学时 §1.8函数的连续与间断 1学时 §1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 1学时 §1.10闭区间二连续函数的性质 1学时 第二章 导数与微分 共14学时 §2.1导数的概念 4学时 §2.2函数的求导法则 4学时 §2.3高阶导数 2学时 §2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 2学时 §2.5函数的微分 2学时 第三章 微分中值定理与导数的应用 共14学时 §3.1微分中值定理 2学时 §3.2洛必达法 2学时 §3.3泰勒公式 2学时 §3.4函数的单调性 2学时 §3.5函数的极值与最大值最小值 2学时 §3.6函数图形的描述 2学时 §3.7曲率 2学时 第四章 不定积分 共12学时 §4.1定积分的概念与性质 4学时 §4.2换元积分法 4学时 §4.3分部积分法 2学时

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§4.4有理函数的积分 2学时 第五章 定积分 共10学时 §5.1定积分的概念与性质 4学时 §5.2微积分基本公式 2学时 §5.3定积分的换元法和分部积分法 2学时 §5.4反常积分 2学时 第六章 定积分的应用 共6学时 §6.1定积分的元素法 1学时 §6.2定积分在几何学上的应用 3学时 §6.3定积分在物理学上的应用 2第七章 空间解析几何与向量代数 §7.1向量及其线形运算 4§7.2数量积、向量积、混合积 2§7.3曲面及其方程 2§7.4空间曲线及其方程 2§7.5平面及其方程 2§7.6空间直线及其方程 2第八章 多元函数微积分法及其应用 §8.1多元函数的基本概念 4§8.2偏导数 2§8.3全微分 2§8.4多元复合函数的求导法则 2§8.5隐函数的求导公式 2§8.6多元函数微积学的几何应用 2§8.7方向导数与梯度 2§8.8多元函数的极值及其求法 2第九章 重积分 §9.1二重积分的概念与性质 2§9.2二重积分的计算法 4§9.3三重积分 4§9.4重积分的应用 2第十章 曲线积分与曲面积分 §10.1对弧长的面线分法 2§10.2对坐标的曲线积分 2§10.3格林公式及其应用 2§10.4对面积的曲面积分 2§10.5对坐标的曲面积分 2§10.6高斯公式通量与散度 2§10.7斯托克斯公式、环流量与旋度第十一章 无穷级数 §11.1常数项级数的概念和性质 2§11.2常数项级数的审敛法 4§11.3级数 2§11.4函数展开成级数 2

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学时 共14学时 学时 学时 学时 学时 学时 学时 共18学时 学时 学时 学时 学时 学时 学时 学时 学时 共12学时 学时 学时 学时 学时 共14学时 学时 学时 学时 学时 学时 学时 学时 共16学时 学时 学时 学时 学时

2§11.7傅里叶级数 4学时 §11.8一般周期函数的博里叶级数 2学时 第十二章 微分方程 共18学时 §12.1微分方程的基本概念 2学时 §12.2可分离变量的微分方程 2学时 §12.3齐次方程 2学时 §12.4一阶线性微分方程 2学时 §12.5全微分方程 2学时 §12.6可降阶的高阶微分方程 2学时 §12.7高阶线性微分方程 2学时 §12.8常系数齐次线性微分方程 2学时 §12.9常系数非齐次线性微分方程 2学时 （二） 教学要求 1.函数与极限

(1)理解函数的概念掌握函数的表示法，会建立简单应用问题中的函数关系。 (2)了解函数的有界性、单调性、周期性及奇偶性。

(3)理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 (4)掌握基本初等函数的性质及其图形。 (5)了解极限“??N” 、“???”定义，并在学习过程中逐步理解极限的概念，掌握极限的性质。

(6)理解无穷小，无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等阶无穷小求极限。

(7)掌握极限四则运算法则。

(8)掌握极限存在两个准则，会用两个重要极限求极限。 (9)理解函数在一点连续的概念，会判别间断点的类型。

(10)了解初等函数的连接性和闭区间上连接函数的性质会应用这些性质。 2. 一元函数微分学

(1)理解导数的概念及其几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导与连续性之间的关系。

(2)掌握导数的四则运算和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，会求反函数和分段函数的导数。

(3)了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数，会求分段函数的二阶导数。 (4)会求隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶函数。

(5)理解微分的概念，理解倒数与微分的关系，了解微分的四则运算和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

(6)理解罗尔（Rolle）定理，拉格朗日（Lagrange）定理，了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。会应用上述微分中值定理中值定理。 (7)掌握用罗必达(L.hospital)法则求未定式极限的方法。

(8)掌握用导数判定函数的单调性，会用导数判定函数图像的凹凸性，会求函数图像的拐点。

(9)理解函数极值概念，掌握用导数求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的方法，及其简单应用。

(10)会求函数图形的水平，铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

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(11)了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 3．一元函数积分学

(1)理解原函数和不定函数的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。

(2)掌握不定积分的换元积分法，分部积分法，会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

(3)理解定积分的概念，掌握定积分性质及积分中值定理。

(4)理解变上限积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿（Newdon）——莱布尼兹（Leibniz）公式。

(5)掌握定积分的换元法与分部计分法。

(6)了解反常积分的概念，会计算反常积分。

(7)掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量。 4.向量代数与空间解析几何

(1)了解空间直角坐标系、向量的概念及其表示。

(2)掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件。

(3)理解单位向量、方向角、方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

(4)理解曲面方程的概念，掌握常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴得旋转曲面及母线平行坐标轴的柱面方程。

(5)了解空间曲面方程的概念，了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标面上的投影，会求其方程。 (6)掌握平面方程及其方法，会求平面与平面之间的夹角，会求点到平面的距离。 (7)掌握空间直线方程及其方法，会求直线与直线、直线与平面之间的夹角，会求点到直线的距离。 5.多元函数微分学

(1)理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义，了解二元函数的极限与连续性概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 (2)理解多元函数偏导数的概念，会求偏导数。

(3)理解多元函数全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件。

(4)掌握多元复合函数的一阶二阶偏导数的求法。 (5)会用隐函数求导公式求隐函数的偏导数。

(6)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 (7)理解方向导数与梯度的概念，掌握它们的计算方法。

(8)理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件。了解二元函数存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最值，会求解一些简单的应用问题。 6.多元函数积分学

(1)理解二重积分，三重积分的概念，了解重积分的性质，了解重积分的中值定理。

(2)掌握二重积分，三重积分的计算方法。 (3)会用积分求一些几何量与物质量。

(4)理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质，及两类曲线积分的关系。

(5)掌握两类曲线积分的计算方法，会用曲线积分求一些几何量与物理量。

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/0s82.html