关于灰色系统理论中灰色聚类方法综述(1)(1)

灰色聚类方法综述

杨雅捷

（西安理工大学 理学院，陕西 西安 710054）

摘要：灰色聚类是根据灰色关联矩阵或灰数的白化权函数将一些观测指标或观测对象划分成若干个可定义类别的方法。一个聚类可以看成是属于同一类的观测对象的集合。灰色聚类分为灰色关联聚类和灰色白化权函数聚类。灰色关联聚类主要用于同类因素的归并，以使复杂系统简化。灰色白化权函数聚类主要用于检查观测对象是否属于事先设定的不同类别，以便区别对待。它的应用十分广泛，本文具体举例说明灰色聚类方法的应用情况，以及对其进行改进提出一些建议。

关键词：灰色系统理论；灰色聚类；应用及改进措施 文献表示码：A 中图分类号：N941.5

The summarize of grey clustering method

YANG-Yajie

(Xi’an University of Technology School of Science Shaanxi Xi’an 710054)

Abstract: Grey clustering function divided observation targets or observation objects into a number of method that can be defined, which is based on grey relational matrix or grey whitening weight.A cluster can be seen as a set of the same observation objects.Grey cluster is divied into grey relational clustering and grey whitening weight function clustering. Grey relational cluster is mainly used for merging of similar factors,to make complex systems easier. Grey whitening weight function clustering is mainly used for checking whether the observation of different categories of obiects are set in advance so that it can be treated differently. It application is widely used. This article illustrates the application of grey clustering method,As well as to improve it.

Key words: Grey system theory, Grey clustering, Application and improvement measures

1 前言

灰色系统理论是邓聚龙教授80年代初提出的，在短短几十年间，得到了长足发展，目前，在我国已成功运用到了社会，经济，科教等各个方面，成为这些领域中进行预测，决策，分析和控制的有力工具【1】。它是以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，着重研究“外延明确、内涵不明确”的对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为的正确认识和评价。

灰色系统分析包括灰色关联、灰色聚类和灰色统计评估。其中灰色聚类方法

是发展较早并应用较广的一种方法【2、5】。

灰色聚类可分为灰色关联聚类和灰色白化权函数聚类。灰色关联聚类主要于同类因素的归并，使复杂系统简单化，属于变量删减问题。灰色白化权函数聚类主要用于检查观测对象是否属于事先设定的不同类别。灰色白化权函数聚类又包括灰色变权聚类和灰色定权聚类两种【4、5】。灰色变权聚类适用于指标的意义、量纲皆相同的情形。当聚类指标的意义、量纲不同，且在数量上悬殊较大时，变权聚类可能导致某些指标参与聚类的作用十分微弱。解决这一问题有两种方法：一条途径是采用初值化算子或均值化算子将各个指标值化为无量纲数据，然后进行聚类。另一条途径是各聚类指标事先赋权，即为灰色定权聚类【6、7】。

2 灰色聚类的基本概念

灰色聚类法【8】（灰类白化权函数聚类法）是建立在灰数的白化函数生成基础上的一种方法，它是将聚类对象（评价对象）对不同聚类指标（评价指标）所 拥有的白化值（实测值或分析数据)按N个灰类（评价等级）进行归纳整理，从而判断聚类对象属于哪一类的灰色统计法。

2．1 灰色关联聚类

定义2.1.1 设有n个观测对象，每个对象观测m个特征数据，得到序列如下：

X1?(x1(1),x1(2),?,x1(n))X2?(x2(1),x2(2),?,x2(n))??Xn?(xn(1),xn(2),?,xn(n))

对所有的i?j,i,j?1,2?,m,计算出Xi与Xj的灰色关联度?ij,得上三角矩阵

??11?A??????12??1n??22??2m???????mm?

其中，?ij?1,i?1,2,?,m。称矩阵A为特征变量关联矩阵。

取定临界值r??0,1?，一般要求r>0.5，当?ij?r(i?j)时，则视Xi与Xj为同类特征。

定义2.1.2 特征变量在临界值r下的分类称为特征变量的r灰色关联聚类。

r可根据实际问题的需要确定，r越接近于1，分类越细，每一组分中的变量相对的越少；r越小，分类越粗，这时每一组分中的变量相对的越多。

2.2 灰色变权聚类

定义2.2.1 设有n个聚类对象，m个聚类指标，s个不同灰类，根据第

i(i?1,2,?,n)个对象关于j(j?1,2,?,m)指标的观测值

1,2,?,s?)个灰类，称为灰xij(i?1,2,?,n;j?1,2,?,m)将第i个对象归入第k(k??色聚类。

定义2.2.2 将n个对象关于指标j的取值相应地分为s个灰类，我们称之为j指标子类。j指标k子类的白化权函数为fjk???。

定义2.2.3 设j指标k子类的白化权函数fjk???为如图4-1所示的典型白化权函

kkk数，则称xk1?，xkj?j?2?，xj?3?，xj?4?为fj???的转折点。典型百化权函数记为kkk??????fjkxk1,x2,x3,xjjjj?4?

??定义2.2.4 （1）若白化函数fjk???无第1个或第2个转折点xk1?，xkj?j?2?，即如

k图4-2所示，则称fjk???为下限测度白化权函数，记为fjk?,?,xkj?3?,xj?4?。 k（2）若白化函数fjk???无第2个或第3个转折点xkj?2?，xj?3?重合，即如图4-3k所示，则称fjk???为中测度白化权函数，记为fjkxk1?,xkj?j?2?,?,xj?4?。

k（3）若白化函数fjk???无第3个或第4个转折点xk即如图4-4所示，j?3?，xj?4?，

????则称fjk???为上限测度白化权函数，记为fjkxk1?,xkj?j?2?,?,?。 命题2.2.1 （1）对于图1所示的典型白化权函数，有

?0,x?xk1?,xkj?j?4??k?x?xj?1?kk??,x?x1,xjj?2??kk?xj?2??xj?1?kfj?x???kx?xk?1,j?2?,xj?3??kkk?xj?4??x,??x?x3,xjj?4?k?xk?j?4??xj?3???????????fjk o xj?1? xj?2? xj?3? xj?4? kkkkx 图1

（2）对于图2所示的下限测度白化权函数有

??k0,x?0,xj?4???fjk?x???1,x?0,xkj?3??kkk?xj?4??x,??x?x3,xjj?4??xk?4??xk?3?j?j??????fjk o xkj?3? 图2 xkj?4? x

（3）对于图3所示的中测度白化权函数有

???0,?k?x?xj?1?kfj?x???k,k?xj?2??xj?1??xk?4??xj?,k?xk?j?4??xj?2?x?xk1?,xkj?j?4?????x?xk1?,xkj?j?2??k??x?xk2,xjj?4??fjk o xk1? xkj?j?2? 图3 xkj?4? x

（4）对于图4所示的上限测度白化权函数有

?0,x?xk1?j??kx?x1??j?kfj?x???k,x?xk1?,xkj?j?2?k????x2?x1j?j?1,kx?xj?2????fjk o k ??xk1xjj?2? x 图4 定义2.2.5 （1）对于图1所示的j指标k子类白化权函数，令

?kj?1kxj?2??xkj?3?2??

（2）对于图2所示的j指标k子类白化权函数，令?kj?xk; j?3?（3）对于图3和4所示的j指标k子类白化权函数，令?kj?xkj?2?,则称。 ?kj为j指标k子类的临界值定义2.2.6 设?kj为j指标k子类的临界值，则称?jk??kj??j?1m为j指标k子类的权。

kj定义2.2.7 设xij为对象i关于指标j的观测值，fjk???为j指标k子类白化权函

数。?kk子类的权，则称?jk??fjk?xij???kj为对象i关于k灰类的灰色变j为j指标权聚类系数。

定义2.2.8 （1）称

?i???,?,?,?1i2isi?mm?m1?122ss???fj?xij???j,?fj?xij???j,?,?fj?xij???j? 为对象i的

j?1j?i?j?1?聚类系数向量。

（2）称???ik??1??1?12??1s??12s?????22???2 为聚类系数矩阵。 ??????12s??????nnn?????ik???ik，则称对象i属于灰类k?。 定义2.2.9 设max?1?k?s灰色变权聚类适用于指标的意义、量纲皆相同的情形，当聚类指标的意义、量纲不同，并且不同指标的样本值在数量上悬殊较大时，不宜采用灰色变权聚类。

2.3灰色定权聚类

当聚类指标的意义、量纲不同且在数量上悬殊较大时，采用灰色变权聚类可能导致某些指标参与聚类的作用十分微弱。解决这一问题有两种途径：一条途径是先采用初值化算子或均值划算子将各个指标样本值化为无量纲数据，然后进行聚类。这种方式对所有聚类指标一视同仁，不能反映不同指标在聚类过程中的差异性。另一条途径是对各聚类指标事先赋权。

定义2.3.1 设xij?i?1,2,?,n;j?1,2,?,m?为对象i关于指标j的观测值，

fjk????j?1,2,?,m;k?1,2,?s?为j指标k子类白化权函数。若j指标k子类的权

kkk与无关，即对任意的总有???kj?1,2,?,m;k?1,2,?,s???kk?1,2,?,sjj??j 1,2i2此时可将?的上标k去掉，记为并称???fjk?xij???j为对象i?j?j?1,2,?,m?，

kjkjj?1m属于k灰类的的灰色定权聚类系数。

定义2.3.2 设xij?i?1,2,?,n;j?1,2,?,m?为对象i关于指标j的观测值，

fjk????j?1,2,?,m;k?1,2,?s?为j指标k子类白化权函数。若对任意的

m11kj?1,2,?,m总有?j?,则称?j??fjk?xij???j?fjk?xij?为对象i属于k灰类

mmj?1的灰色等权聚类系数，

定义2.3.3 （1）根据灰色定权聚类系数的值对聚类对象进行归类，称为灰色定权聚类；

（2）根据灰色等权聚类系数的值对聚类对象进行归类，称为灰色等权聚类。 灰色定权聚类可按下列步骤进行：

第1步 给出j指标k子类白化权函数fjk????j?1,2,?,m;k?1,2,?s?。 第2步 确定各指标的聚类权?j?1,2,?,m?。

第3步 从第1步和第2步得到的白化权函数fjk????j?1,2,?,m;k?1,2,?s?，聚类权?j?j?1,2,?,m?以及对象i关于指标j的观测值xij?i?1,2,?,n;j?1,2,?,m?，计算出灰色定权聚类系数???fjk?xij???j?i?1,2,?,n;k?1,2,?,s?。

kjj?1m?ik???ik，则断定对象i属于灰类k? 第4步 若max??1?k?s依照上面定义的计算方法， 即为一般的灰色聚类方法。 其中， 当指标子类的权?kj与k有关时，称为变权灰色聚类方法；反之，称为灰色定权聚类系数

3 灰色聚类方法的应用情况

灰色聚类这种方法应用十分广泛，社会生产实践当中发挥着重要的作用。下面是灰色聚类方法的应用举例。

（1）比如船舶应急疏散顺序【9】，根据本文2.2中的灰色白化权聚类方法，由

max?ik??ik，判断对象i属于灰类k?。这时应用这种方法得到表3-1：

1?k?s

???表5 在港船舶聚类结果

疏散优

泊位编号

先等级

高优

先等级

较高

A油1、11、14、17、60、61B

优先等级

16、54A、54B

一般优

24、56B、57B、58B、61A、63A

先等级

26、34、35、56A、57A、62A

较低

13、15、31、36、37、38、62B

优先等级

低优

先等级

它作为解决类似问题的一种尝试，尚有一些不足之处。在对船舶疏散顺序影响因素的认识和理解程度上有待进一步深入，应急疏散顺序指标体系尚待进一步完善。

（2）在汽车维修质量评价中【10】，灰色聚类分析作为一种综合评价车辆维修质量的新方法，在应用过程中可针对具体的系统确定各自的聚类指标和分级标准，还可以根据评价目的的要求确定灰类。同时，还可以发现灰色聚类法不需要临界判据，只要根据车辆维修质量的级别就可获得评价结果，因而避免了人的主观随意性，结果更符合实际情况。灰类划分如表3-2：

表6 灰类划分

灰类 可靠性 1差 0.35 2一般 0.775 3较好 0.9 4好 1

（3）在水环境质量评估中【11】，灰色聚类关联法也是一种加权的宽域聚类法，信息利用率高，因而也能区分多测点环境质量的优劣，区分方法为：级别不同者，则级别越低，环境质量越好；级别相同者，则再比较其次高级别，次高级别越低，质量越好，依次类推，如果最后一个级别仍相同，则再比较与第2，3级的关联度，关联度越大，则质量越好。

夏志勇，林聃，和何林在企业自主创新能力评价【12-13】中认为大企业是国家自主创新的重要生力军，是国家经济实力的基础和依托，他们用基于灰色白化权函数定权聚类法构建了大企业自主创新能力的评价模型，对其自主创新能力进行了实证测度。牛会永应用灰色理论对大企业城市道路交通进行安全评价【14】，文中指出影响城市道路交通安全的指标很多，在综合分析国内外道路交通安全评价方法的基础上，建立了城市道路交通安全的灰色评价方法。应用灰色聚类方法对道路交通安全的3项指标进行归纳和计算，从而判断各城市所属的灰类，更合理地评价各城市的交通安全状况。应用该方法，对城市道路交通安全状况进行了事后灰色综合评价，取得较为满意的效果。还有物流中心选址【15】以及在图像处理方面的应用

【20】

动力性 0.35 0.775 0.9 1 指标 经济性 0.35 0.775 0.9 1 车容 0.35 0.775 0.9 1 噪声 0.35 0.775 0.9 1

。

4灰色聚类方法的现状和改进措施

4.1灰色聚类方法的现状

灰色聚类评估方法是灰色理论技术家族中最早发展并得以广泛应用的一门技术，它与灰色系统分析、灰色建模、灰色预测、灰色决策、灰色控制、灰色优化一起构成了较为成熟的灰色理论技术体系。常见的灰色聚类方法有灰关联聚类、邓聚龙教授的灰色变权聚类方法、刘思峰教授的定权灰色聚类方法基于三角白化权函数的灰色聚类方法等等【16-17】。以上几种方法从不同的方面对灰色类进行了研究， 且都是在灰色聚类系数向量分量的最大原则的基础上依据具体算法给出聚类结果的，在实际应用中，后三种聚类方法备受科研人员的喜爱。

4.2灰色聚类方法的改进措施

一般的灰色聚类方法即指后三种方法。实际应用中，往往遭遇灰色聚类系数无显著性差异的情况，这时上面几种方法就不能判断聚类对象属于何种灰类。党耀国等人提出了聚类系数无差异条件下的一种综合灰色聚类方法，从数学分析的角度出发，给出权重的定义，附议统计学的合理解释，提出一种改进的灰色聚类评估方法【18】。

当聚类系数表现出无显著性差异这一统计性质时，一般的灰色聚类方法是不能对其进行计算分析的。党耀国、李思峰等给出的方法是借助等距加权的数学函数对归一化后的聚类系数向量进行计算并分门别列的。一般的灰色聚类提出的方法要么无需考虑灰度的权重。本文从研究灰度权重的角度出发，给出了灰度权重的数学定义以及计算公式，从而得到了改进的灰色聚类过程【19-20】。其计算步骤如下：

（1） 按照一般的灰色聚类方法进行计算，得到灰色聚类系数矩阵； （2） 将灰色聚类系数矩阵?归一化，得到归一化灰色聚类系数矩阵?； （3） 求出矩阵?列向量极差R?k?,k?1,2,?s，根据公式

?k?R?k??R?k?k?1s,k?1,?,s算出所有的灰类权重?k,k?1,2,?s；

（4） 利用下面给出的公式计算得出新的灰色聚类系数矩阵N：

N???diag??1,?2?,?s?

（5） 对新的灰色聚类系数矩阵进行行向量去打运算，从而得出聚类结果。

k??该步骤与下面的定义中给出的操作运算相同：设max?kjj，称

1?k?s???对象i属于灰类k?。

5 总结

本文详细的叙述了灰色聚类方法的研究背景、基本内容和其现状，并列举了具体的实例，这种方法应用十分广泛，在社会生产实践当中发挥着重要的作用。当然也存在着不足，文中提出了一种聚类系数无显著性差异条件下的改进灰色聚类方法，这种方法结合数学分析、统计学的知识提出了灰度权重的计算方法，值得推广，不过还是需要不断实践，来不断完善灰色聚类方法。

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