上海市宝山区2013届高三第一学期期末数学学科质量监测试

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（解析版）上海市宝山区2013届高三第一学期期末数学学科质量监测试

本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．2013.1.19

考生注意：

1．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面．

2．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3．可使用符合规定的计算器答题．

一、填空题 (本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.在复数范围内，方程x2?x?1?0的根是 ．

1232【答案】??i

【 解析】因为??b2?4ac?1?4??3?0，所以方程的根为虚根，所以x???12.已知??3??2??3?X?????51??0?? ?1?y??1?，则由题意知?w??3?2??x??1??zy??3???w???52??，则二阶矩阵X= ． ?1??12?32 i。

【答案】???1??2?x【 解析】设X???z2??，根据矩阵乘法法?1??x?2z?3?x??1????1?y?2w?2?y?0则可?，解得?，即X????2?3x?z??5?z??2???3y?w??1?w??1????????0??. ?1?3.设A(2,3),B(?1,5)，且AD?3AB，则点D的坐标是__________； 【答案】(?7,9)

????????【 解析】设D(x,y),则由AD?3AB得(x?2,y?3)?3(?1?2,5?3)?3(?3,2)，即

，解得x??7,y?9，即D的坐标是(?7,9)。 x?2??9,y?3?6第 1 页 共 11 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

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4.已知复数(x?2)?yi (x,y?R)的模为3,则【答案】3

【 解析】由题意知(x?2)2?y2?半径为r?2k1?k2yx的最大值是 .

223，即(x?2)?y?3，所以对应的圆心为(2,0)，

3。设k?yx，则y?kx。当直线与圆相切时，圆心到直线y?kx的距离为

yx?3，解得k??3，所以由图象可知

的最大值是3。

5.不等式x?372?92的解集是 _________________.

【答案】[?1,2]

7292927292【 解析】由x?3?得??x?3?3?1?x?8，所以解得?1?x?2，所以，即

不等式的解集为[?1,2]。

6.执行右边的程序框图，若p?0.95，则输出的n? ．

【答案】6

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1n[1?()]1111n2【 解析】由程序框图可知S??()2???()n,则S?2?1?()， 122221?21当n?5时，S?1?()5?0.9687?0.95时，此时n?5?1?6，所以输出n?6。

217.将函数f(x)=3sinx1cosx?的图像按向量n?(?a,0)（a>0）平移，所得图像对应的函数

为偶函数，则a的最小值为 . 【答案】

56?

3cosx?sinx?2cos(x?)，即y?2cosx(?a?【 解析】由题意知f(x)?f(x?a)?2cos(x?a?a??6?)，按n?(?a,0)平移，得到函数

?6?6)此时函数为偶函数，所以，

56?6?k?,k?Z,所以a???6?k?,k?Z，所以当k?1时，a的最小值为?。

8.设函数f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，且f(?1)?2，则f(2011)?f(2012)? _． 【答案】0

【 解析】因为f(x)是定义在R上周期为3的奇函数，所以f(?1)??f(1)?2。所以

f(1)??2。所以f(2011)?f(670?3?1)?f(1)??2，

f(2012)?f(670?3?2)?f(2)?f(?1)?2，所以f(2011)?f(2012)??2?2?0。

9．二项式(x?13x)展开式中的常数项是 (用具体数值表示)

1066【答案】(?1)C10?210

【 解析】二项展开式的通项公式为Tk?1?C(x)30?5k666k1010?k(?1330?5kx)?(?1)Cxkkkn6，由

?0，得k?6，所以常数项为T7?(?1)C10?210。

10.在?ABC中，若B?60?,AB?2,AC?23,则?ABC的面积是 ． 【答案】23

ACsinBABsinC【 解析】由正弦定理?得sinC?ABsinBAC?2sin6023??12，因为AC?AB,

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所以C?B，所以C?300。所以A?90?，所以S?ABC?12AB?AC?12 ?2?23?23。11.若数列?an?的通项公式是an?3?n?(?2)?n?1，则 lim(a1?a2???an)=_______.

n??【答案】

76

11112)?(?12)???(?2【 解析】因为a1???an?[?()2??()n]?[1?(?33312)n?1]

1n1n(1?())1?(?))111n221n32?3???()??(?)，

112233321?1?(?)321所以lim(a1?a2???an)?lim[n??n??12?11n221n127()??(?)]???。 2333223612.已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于这三个点的小圆周长为4?，则R= ． 【答案】23 ?R3，且经过

【 解析】设三点分别为A、B、C，球心为O，由题意知∠AOB=∠AOC=∠BOC=

R3R3?3，所以

AB=BC=CA=R，所以小圆半径为，小圆周长为2???4?，解得R=23.

13.我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①_____________________；②_______________________．

【答案】①a|b,b|c?a|c；②a|b,a|c?a|(b?c)； ③a|b,c|d?ac|bd；④a|b,n?N?a|b

【 解析】由类比可知整除关系的两个性，为①a|b,b|c?a|c；②a|b,a|c③a|b,c|d?ac|bd；④a|b,n?N?a|b。

14.设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系上的两点，定义点A到点B的曼哈顿距离L(A,B)?x1?x2?y1?y2. 若点A(-1,1),B在y2?x上，则L(A,B)的最小值为 ．

*nn*nna?|(bc)?；

【答案】

74

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?y2?y,y?1【 解析】L(A,B)?|?1?x|?|1?y|?|1?y|?|y?1|?y?1?|y?1|??，当

2?y?y?2,y?122y?1时，L(A,B)?，∴L(A,B)min?1?1?2；

2当y?1时，L(A,B)?(y?7412)?74274，当y?12时，L(A,B)min?74，

因为

?2，所以L(A,B)min?.。

二、选择题 (本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15.现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法的种数为??（ ） （A）P53?P33 （B）P88?P66?P33 （C）P63?P55 （D）P88?P64 【答案】C

【 解析】先排剩下的5个人有P5种，5个人之间有6个空，然后从6个空中选3个把甲乙

335丙三人进行排列此时有P6种，所以共有P6?P5种，选C.

5uuuruuuruurruuuruuuruuur?C?A0；③若16.在△ABC中，有命题:①AB?AC?BC；②AB?BCuuuruuuruuuruuuruuuruuurABC是等腰三角形；④若AB?CA?0，则△ABC为(AB?AC)?(AB?A)C?，则△0锐角三角形．上述命题正确的是??????????????????????（ ）

(A) ②③

(B) ①④ (C) ①②

(D) ②③④

【答案】A

uuuruuuruur【 解析】因为AB?A?，所以①错误。排除B,C. ②正确。由CCuuur2uuur2uuuruuuruuuruuur????????(AB?AC)?(AB?AC)?0得AB?AC?0，即AB?AC，所以△ABC是等腰三

uuuruuuruuuruuur角形，所以③正确。若AB?CA?0，则AB?AC?0，即?A为钝角，所以△ABC为钝角

三角形，所以④错误，所以上述命题正确的是②③，选A.

17.函数f(x)?x|arcsinx?a|?barccosx是奇函数的充要条件是???????( )

22(A) a?b?0 (B)a?b?0 (C)a?b (D)ab?0

【答案】A

?0?b?0，此时，【 解析】f(x)是奇函数且f(0)存在?f(0)?0?b??2第 5 页 共 11 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

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f(x)?x|arcsinx?a|，

由f(?1)??f(1)??|???a|??|2?2?a|???2?a???2?a?a=0.所以选A.

?x?1,x?[?1,0),18.已知f(x)??2则下列函数的图像错误的是????????（ ）

?x?1,x?[0,1], (A)f(x?1)的图像 (B)f(?x)的图像 (C)f(|x|)的图像 (D)|f(x)|的图像 【答案】D

【 解析】因为f(x)的图象是图象错误的是D.选D.

。所以|f(x)|?f(x)，所以

三、解答题 （本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤． 19. (本题满分12分)

?如图，直三棱柱ABC?A1B1C1的体积为8，且AB?AC?2，∠BAC=90，E是AA1的

中点，O是C1B1的中点.求异面直线C1E与BO所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）

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B1A1EA

OC1OC1A1EB1BBFCAC解：由V?S?AA1?8得AA1?4，?????????3分 取BC的中点F，联结AF，EF，则C1F//BO，

所以?EC1F即是异面直线C1E与BO所成的角，记为?． ?????????5分

C1F2?18，C1E22?8，EF222?6，?????????8分 56cos??C1F?C1E?EF2C1F?C1E56?，?????????11分

因而??arccos??????????????????12分

20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数f(x)?Asin(?x??)(A＞0，?＞0，|?|＜)的图像与y轴的交点为（0，1），它

2π在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0?2π,?2). （1）求f(x)的解析式及x0的值； （2）若锐角?满足cos??的值.

解：（1）由题意可得A?2,??1213，求f(4?)

T2?2π,T=4π,2π??4π即

，?????????3分

12x??),f(0)?2sin??1,由|?|＜

π2f(x)?2sin(,???π6.

π??1f(x)?2sin?x??6??2???????????????????????????5分

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f(x0)?2sin(12x0?π6)?2,所以

12x0?2π3π6?2kπ+π2,x0?4kπ+2π3(k?Z),

又? x0是最小的正数，?x0?π1;????????????????????7分

（2）???(0,),cos??,?sin??23?cos2??2cos??1??f(4?)?2sin(2??π6)?2223,

4299?79,sin2??2sin?cos??3?,????????????10分

?469?793sin2??cos2??4279．???????14分

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数f(x)?log2(4x?b?2x?4)，g(x)?x. （1）当b??5时，求f(x)的定义域； （2）若f(x)?g(x)恒成立，求b的取值范围．

解：（1）由4x?5?2x?4?0??????????????????3分 解得f(x)的定义域为(??,0)?(2,??)．?????????6分 （2）由f(x)?g(x)得4x?b?2x?4?2x，即b?1??2x???4?????????9分 x?2?令h(x)?1??2x???4?，则h(x)??3，??????????????????12分 x?2?? 当b??3时，f(x)?g(x)恒成立．??????????????????14分

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3

小题满分7分．

设抛物线C：y?2px(p?0)的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点． (1)若p?2，求线段AF中点M的轨迹方程；

?2 (2) 若直线AB的方向向量为n?(1,2)，当焦点为F??1?,0?时，求?OAB的面积； ?2? (3) 若M是抛物线C准线上的点，求证：直线MA、MF、MB的斜率成等差数列． 解：(1) 设A(x0,y0)，M(x,y)，焦点F(1,0)，

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x0?1?x???x0?2x?1?2则由题意?，即???????????????2分

?y0?2y?y?y0??2所求的轨迹方程为4y2?4(2x?1)，即y2?2x?1??????????4分 (2) y2?2x，F(,0)，直线y?2(x?2112)?2x?1，????????5分

?y2?2x由?得，y2?y?1?0， ?y?2x?1AB?1?1k2y1?y2?52?????????????????7分

d?15， ?????????????????8分

S?OAB?12dAB?54 ?????????????????9分

(3)显然直线MA、MB、MF的斜率都存在，分别设为k1、k2、k3． 点A、B、M的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(-设直线AB：y?k?x???p2,m)．

2pp?22y?y?p?0，????????11分 ，代入抛物线得?k2?2所以y1y2??p，?????????????????12分

22又y1?2px1，y2?2px2，

因而x1?p2?y122p?p2?12p?y21?p2?，x2?p2?y222p?p2?p422py1?p2?p2y12?y21?p2?

因而k1?k2?y1?mx1?p2?y2?mx2?p2?2p2?y1?m?22p?y1?p???p2?2y1???m??y1?2p?y1?p22???2mp?????14

分

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而k3?0?m?p?????2?2?p??2mp，故k1?k2?2k3．?????????????????16

分

23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0，且有f(，直线1?x)?f(1?x)g(x)?4(x?1)被f(x)的图像截得的弦长为417，数列?an?满足a1?2，

* a?aga?fa?0n?N????????n?1nnn（1）求函数f(x)的解析式； （2）求数列?an?的通项公式；

（3）设b，求数列?bn?的最值及相应的n ?3fa?ga?n???nn?123 解：（1）设f(x)?a?x?1?2?a?0?，则直线g(x)?4(x?1)与y?f(x)图像的两个交点

16??4?1，? ???????????????????2分 ?aa?2为（1，0），? ??4??16???????a??a?2?417?a?0?，?a?1，f()x?x?1??

2??????4分

a?a?1，ga?4a?1 （2）f ??????nn?nn?a?a·4a?1?a?10? ? ????n?1nn?n?a?14a?3a?10? ? ???????????????5分 ??n?n?1n?22 ?????????????6分 a?2，?a?1，4a?3a?1?01nn?1na??1?a?1，a??11 ? ?n?1n143 数列?an?1?是首项为1，公比为33????a?1?，a? ?????nn????44n?134的等比数列???????????8分

n?1?1???????????????10分

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22n?1n?1?n?1n?????2??3??3???3??3? （3）b?3a?14a?1?3?????4???3????????? ?????nnn?1?4???4???4???????4???????3?令b?y，u???n?4?n?122??111??????3， 则y?3u???3u??????????12分 ??????4242????392791*距最近， ，，，??，经比较?n?N，?u的值分别为141664162189∴当n?3时，bn有最小值是?，??????????????15分

256当n?1时，bn有最大值是0 ????????????????18分

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