6年高考4年模拟第4章 第1节 三角函数的概念、同角三角函数的关系

第四章 三角函数及三角恒等变换

第一节 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式

第一部分 六年高考荟萃

2010年高考题

一、选择题

1.（2010浙江理）（9）设函数f(x)?4sin(2x?1)?x，则在下列区间中函数f(x)不存在．零点的是

（A）??4,?2? （B）??2,0? （C）?0,2? （D）?2,4? 答案

A

解析：将f?x?的零点转化为函数g?x??4sin?2x?1?与h?x??x的交点，数形结合可知答案选A，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题 2.（2010浙江理）（4）设0＜x＜?2，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 答案 B

解析：因为0＜x＜

π2，所以sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，结合xsin2x与xsinx的取值范围

相同，可知答案选B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题 3.（2010全国卷2文）（3）已知sin??53191923，则cos(x?2?)?

（A）?（B）?（C）（D）

53

【解析】B：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵ SINA=2/3，

cos(??2?)??cos2???(1?2sin?)??219

∴

?4.（2010福建文）2．计算1?2sin22.5的结果等于( )

A．

12 B．

22 C．

33 D．

32

【答案】B

【解析】原式=cos45?=22,故选B．

【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值 5.（2010全国卷1文） (1)cos300??

(A)?32 (B)-

12 (C)

12 (D)

32

【答案】 C

【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】cos300??cos?360??60???cos60??12

6.（2010全国卷1理）(2)记cos(?80?)?k,那么tan100??

1?kk2A. B. -

1?kk2 C. k1?k2 D. -k1?k2

二、填空题

tan(??2a)??1.（2010全国卷2理）（13）已知a是第二象限的角，

43nt，则aa? ．

【答案】?12

【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.

【解析】由tan(??2a)??tan???12或ta?n?43得tan2a??432?，又tana2tan?1?tan?122??43，解得

2a是第二象限的角，所以tan???，又.

2.（2010全国卷2文）（13）已知α是第二象限的角,tanα=1/2，则cosα=__________

?25512，∴

【解析】

tan??? ：本题考查了同角三角函数的基础知识

cos???255 ∵

353.（2010全国卷1文）(14)已知?为第二象限的角，sina?tan2?? . ,则

答案 ?247

【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为?为第二象限的角,又sin??所tan(2?)?2tan?1?tan?235, 所以cos???45，tan??sin?cos???34,

??247

354.（2010全国卷1理）(14)已知?为第三象限的角，cos?2??tan(,则

?4?2?)? .

三、解答题

1.（2010上海文）19.（本题满分12分） 已知0?x??2，化简：

2lg(cosx?tanx?1?2sinx2)?lg[2cos(x??2)]?lg(1?sin2x).

解析：原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)2?0． 2.（2010全国卷2理）（17）（本小题满分10分）

?ABC中，D为边BC上的一点，BD?33，sinB?513，cos?ADC?35，求AD．

【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】

由cos∠ADC=＞0，知B＜.

由已知得cosB=，sin∠ADC=.

从而 sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.

由正弦定理得 ，所以=.

【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.

3.（2010全国卷2文）（17）（本小题满分10分）

?ABC中，D为边BC上的一点，BD?33，sinB?513，cos?ADC?35，求AD。

【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。

由?ADC与?B的差求出?BAD，根据同角关系及差角公式求出?BAD的正弦，在三角形ABD中，由正弦定理可求得AD。

4.（2010四川理）（19）（本小题满分12分）

1证明两角和的余弦公式C???:cos(???)?cos?cos??sin?sin?； （Ⅰ）○

2由C???推导两角和的正弦公式S???:sin(???)?sin?cos??cos?sin?. ○

?????1???（Ⅱ）已知△ABC的面积S?,AB?AC?3，且cosB?235，求cosC.

本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。

解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4. 则P1(1,0),P2(cosα,sinα)

P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))

由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得

[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2 展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ) ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.????????4分 ②由①易得cos(

?2－α)＝sinα,sin(?2?2－α)＝cosα ?2sin(α＋β)＝cos[

＝cos(

－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)] ?2?2－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

＝sinαcosβ＋cosαsinβ??????????????6分 (2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c 则S＝

122????????AB?AC＝bccosA＝3＞0

bcsinA＝

1

∴A∈(0,

?2),cosA＝3sinA

101031010又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝

3545,cosA＝

由题意，cosB＝,得sinB＝

1010∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝

故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－

1010??????????12分

5.（2010天津文）（17）（本小题满分12分） 在?ABC中，

ACAB?cosBcosC。

（Ⅰ）证明B=C： （Ⅱ）若cosA=-13，求sin?4B??????的值。 3?【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角

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