七年级培优试题及答案

1．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B；

（1）求证：CD⊥AB，并指出你在证明过程中应用了哪两个互逆的真命题；

（2）如图2，若AE平分∠BAC，交CD于点F，交BC于E．求证：∠AEC=∠CFE； （3）如图3，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC=3CE，AB=4AD，△ABC、△CEF、S△CEF、S△ADF，△ADF的面积分别为S△ABC、且S△ABC=36，则S△CEF﹣S△ADF= 3 ．（仅填结果）

【考点】命题与定理；三角形的面积；直角三角形的性质．

【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B=90°，然后求出∠A+∠ACD=90°，从而得到∠ADC=90°，再根据垂直的定义证明即可；

（2）根据角平分线的定义可得∠CAE=∠BAE，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CAE+∠AEC=90°，∠BAE+∠AFD=90°，从而得到∠AEC=∠AFD，再根据对顶角相等可得∠AFD=∠CFE，然后等量代换即可得证；

（3）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S△ACD和S△ACE，然后根据S△CEF﹣S△ADF=S△ACE﹣S△ACD计算即可得解． 【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠ADC=90°， 即CD⊥AB，

证明时应用了“直角三角形两锐角互余”和“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”；

（2）证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE=∠BAE，

∵∠CAE+∠AEC=90°，∠BAE+∠AFD=90°，

∴∠AEC=∠AFD，

∵∠AFD=∠CFE（对顶角相等）， ∴∠AEC=∠CFE；

（3）解：∵BC=3CE，AB=4AD，

∴S△ACD=S△ABC=×36=9，S△ACE=S△ABC=×36=12， ∴S△CEF﹣S△ADF=S△ACE﹣S△ACD =12﹣9 =3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了命题与定理，三角形的面积，直角三角形两锐角互余的性质，有两个锐角互余的三角形是直角三角形，（3）利用等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S△ACD和S△ACE是解题的关键．

E分别是边AC，BC上的点，∠C=90°，点D，点P是一动点．令∠PDA=∠1，2. Rt△ABC中，

∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．

（1）若点P在线段AB上，如图①，且∠α=50°，则∠1+∠2= 140° ； （2）若点P在斜边AB上运动，如图②，则∠α、∠1、∠2之间的关系为 ∠1+∠2=90°+∠α ；

（3）如图③，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系： ∠2﹣∠1=90°+∠α；∠2=∠1+90°；∠1﹣∠2=∠α﹣90° ；

（4）若点P运动到△ABC形外（只需研究图④情形），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由．

【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．

【专题】探究型．

【分析】（1）连接PC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，再表示出∠1+∠2即可； （2）利用（1）中所求得出答案即可；

（3）利用三角外角的性质分三种情况讨论即可； （4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出． 【解答】解：（1）如图，连接PC， ∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，

∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C， ∵∠DPE=∠α=50°，∠C=90°， ∴∠1+∠2=50°+90°=140°， 故答案为：140°；

（2）连接PC，

∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，

∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C， ∵∠C=90°，∠DPE=∠α， ∴∠1+∠2=90°+∠α； 故答案为：∠1+∠2=90°+∠α；

（3）如图1， ∵∠2=∠C+∠1+∠α，

∴∠2﹣∠1=90°+∠α；

如图2，∠α=0°，∠2=∠1+90°； 如图3，∵∠2=∠1﹣∠α+∠C， ∴∠1﹣∠2=∠α﹣90°．

故答案为；∠2﹣∠1=90°+∠α；∠2=∠1+90°；∠1﹣∠2=∠α﹣90°． （4）

∵∠PFD=∠EFC，

∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC， ∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2， ∴∠2=90°+∠1﹣α． 故答案为：∠2=90°+∠1﹣α．

【点评】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键．

3.阅读下面的材料:

如图①，在?ABC中，试说明?A??B??C?180?.

分析:通过画平行线，将?A、?B、?C作等量代换，使各角之和恰为一个平角，依辅助线不同而得多种方法.

第24题

解:如图②，延长BC到点D,过点C作CE //BA. 因为BA//CE(作图所知)，

所以?B??2,?A??1(两直线平行，同位角、内错角相等). 又因为?BCD??BCA??2??1?180?(平角的定义)， 所以?A??B??ACB?180?(等量代换).

如图③，过BC上任一点F，作FH//AC, FG//AB，这种添加辅助线的方法能说明?A??B??C?180?吗?并说明理由. . 能 理由：因为FH∥AC，所以?1??C,?2??CGF，因为FG∥AB，所以

?3??B,?CGF??A，所以?A??2，因为?BFC?180?，

所以?A??B??C?180?.

4.如图，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E.设点F在线

段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由. .①若?CFG1??ECD，此时线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.证明如下： ∵?CFG1??ECD，∴?CFG1??FCP1.

又∵?CFG1??CG1F?90?，∴?FCP1??PCG11?90?. ∴?CG1F??PCG11. ∴CP1?G1P1.

又∵?CFG1??FCP1，∴CP1?FP1. ∴CP1?FP1?G1P1. ∴线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.

②若?CFG2??EDC，此时线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线.证明如下：

（3）不能．假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB．则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°，那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能． 解答： 解：（1）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°

在△BCD中，∠D+∠BCD+∠CBD=180° ∴∠BCD+∠CBD=180°﹣∠D 在△DEF中，∠D+∠E+∠F=180° ∴∠E+∠F=180°﹣∠D

∴∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°

∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD=140°+100°=240°． 故答案为：240°；

（2）∠ABD+∠ACD=40°； 理由如下：

∵∠E+∠F=100°

∴∠D=180°﹣（∠E+∠F）=80°

∴∠ABD+∠ACD=180°﹣∠A﹣∠DBC﹣∠DCB =180°﹣40°﹣（180°﹣80°） =40°；

（3）不能．假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB．则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°，那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能． 故答案为：不能．

点评：考查三角形内角和定理，外角性质．熟练掌握这些性质是解题的关键．

16．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动

点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．

（1）如图1，若AB∥ON，则 ①∠ABO的度数是20°；

②当∠BAD=∠ABD时，x=120°；当∠BAD=∠BDA时，x=60°．

（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

考点：三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形内角和定理．

专题：计算题．

分析：利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想． 解答： 解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20° ∵AB∥ON∴∠ABO=20°

②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°

∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60° 故答案为：①20 ②120，60

（2）①当点D在线段OB上时，

若∠BAD=∠ABD，则x=20 若∠BAD=∠BDA，则x=35 若∠ADB=∠ABD，则x=50

②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°， 所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．

综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角， 且x=20、35、50、125．

点评：本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．

17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．

（1）求∠BAE的度数； （2）求∠DAE的度数；

（3）探究：小明认为如果只知道∠B﹣∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

考点：三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形的外角性质． 专题：探究型． 分析：（1）利用三角形的内角和定理求出∠BAC，再利用角平分线定义求∠BAE． （2）先求出∠BAD，就可知道∠DAE的度数． （3）用∠B，∠C表示∠DAE即可． 解答： 解：（1）∵∠B=70°，∠C=30°， ∴∠BAC=180°﹣70°﹣30°=80°， 因为AE平分∠BAC， 所以∠BAE=40°；

（2）∵AD⊥BC，∠B=70°，

∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°， 而∠BAE=40°， ∴∠DAE=20°；

（3）可以． 理由如下：

∵AE为角平分线， ∴∠BAE=

∵∠BAD=90°﹣∠B， ∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=

﹣（90°﹣∠B）=

，

，

若∠B﹣∠C=40°，则∠DAE=20°． 点评：熟练运用角平分线定义和三角形的内角和定理．同时也要熟练掌握角与角之间的代换．

18．如图，

（1）在图1中，猜想：∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2=360度．并试说明你猜想的理由． （2）如果把图1称为2环三角形，它的内角和为：∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2； 图2称为2环四边形，它的内角和为∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠A2+∠B2+∠C2+∠D2； 图3称为2环5五边形，它的内角和为

∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠E1++∠A2+∠B2+∠C2+∠D2+∠E2

请你猜一猜，2环n边形的内角和为360（n﹣2）度（只要求直接写出结论）．

考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理． 专题：规律型． 分析：（1）连结B1B2，可得∠A2+∠C1=∠B1B2A2+∠B2B1C1，再根据四边形的内角和公式即可求解；

（2）A1A2之间添加两条边，可得B2+∠C2+∠D2=∠EA1D+∠A1EA2+∠EA2B2，再根据边形的内角和公式即可求解；2环n边形添加（n﹣2）条边，再根据边形的内角和公式即可求解．

解答： 解：（1）连结B1B2，

则∠A2+∠C1=∠B1B2A2+∠B2B1C1，

∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2=∠A1+∠B1+∠B1B2A2+∠B2B1C1+∠B2+∠C2=360度； （2）如图，A1A2之间添加两条边，

可得B2+∠C2+∠D2=∠EA1D+∠A1EA2+∠EA2B2 则

∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠A2+∠B2+∠C2+∠D2=∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠A2+∠EA1D+∠A1EA2+∠EA2B2=720°；

2环n边形添加（n﹣2）条边，2环n边形的内角和成为（2n﹣2）边形的内角和．其内角和为180（2n﹣4）=360（n﹣2）度． 故答案为：（1）360；（2）360（n﹣2） 点评：考查了多边形内角和定理：（n﹣2）?180° （n≥3）且n为整数）．

19．已知如图∠xOy=90°，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相

交于点C，当点A，B分别在射线Ox，Oy上移动时，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而变化，请求出变化范围．

考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质．

分析：根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解． 解答： 解：∠C的大小保持不变．理由：

∵∠ABY=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，

∴∠ABE=∠ABY=（90°+∠OAB）=45°+∠OAB，

即∠ABE=45°+∠CAB， 又∵∠ABE=∠C+∠CAB， ∴∠C=45°，

故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．

点评：本题考查的是三角形内角与外角的关系，掌握“三角形的内角和是180°”是解决问题的关键．

20．某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，

∠B=90°，∠A=30°；图②中，∠D=90°，∠F=45°．图③是该同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．

（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，该同学发现：F、C两点间的距离逐渐变小；连接FC，∠FCE的度数逐渐变大．（填“不变”、“变大”或“变小”）

（2）△DEF在移动的过程中，∠FCE与∠CFE度数之和是否为定值，请加以说明． （3）能否将△DEF移动至某位置，使F、C的连线与AB平行？请求出∠CFE的度数．

考点：三角形的外角性质；平行线的判定；三角形内角和定理． 分析：（1）利用图形的变化得出F、C两点间的距离变化和，∠FCE的度数变化规律； （2）利用外角的性质得出∠FEC+∠CFE=∠FED=45°，即可得出答案； （3）要使FC∥AB，则需∠FCE=∠A=30°，进而得出∠CFE的度数． 解答： 解；（1）F、C两点间的距离逐渐变小；连接FC，∠FCE的度数逐渐变大； 故答案为：变小，变大；

（2）∠FCE与∠CFE度数之和为定值； 理由：∵∠D=90°，∠DFE=45°， 又∵∠D+∠DFE+∠FED=180°， ∴∠FED=45°，

∵∠FED是△FEC的外角， ∴∠FEC+∠CFE=∠FED=45°，

即∠FCE与∠CFE度数之和为定值；

（3）要使FC∥AB，则需∠FCE=∠A=30°， 又∵∠CFE+∠FCE=45°， ∴∠CFE=45°﹣30°=15°． 点评：此题主要考查了三角形的外角以及平行线的判定和三角形内角和定理等知识，熟练利用相关定理是解题关键．

21.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm．若动点P从点C开始，

按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒． （1）当t=6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？ （2）当t=6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？

∴∠A+∠D=∠B+∠C；

（2）交点有点M、O、N，

以M为交点有1个，为△AMD与△CMP，

以O为交点有4个，为△AOD与△COB，△AOM与△CON，△AOM与△COB，△CON与△AOD，

以N为交点有1个，为△ANP与△CNB， 所以，“8字形”图形共有6个；

（3）∵∠D=40°，∠B=36°， ∴∠OAD+40°=∠OCB+36°， ∴∠OCB﹣∠OAD=4°，

∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线， ∴∠DAM=∠OAD，∠PCM=∠OCB， 又∵∠DAM+∠D=∠PCM+∠P，

∴∠P=∠DAM+∠D﹣∠PCM=（∠OAD﹣∠OCB）+∠D=×（﹣4°）+40°=38°；

（4）根据“8字形”数量关系，∠OAD+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠PCM+∠P， 所以，∠OCB﹣∠OAD=∠D﹣∠B，∠PCM﹣∠DAM=∠D﹣∠P， ∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线， ∴∠DAM=∠OAD，∠PCM=∠OCB， ∴（∠D﹣∠B）=∠D﹣∠P，

整理得，2∠P=∠B+∠D．

点评：本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．

26．课本拓展

旧知新意：

我们容易证明，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 1．尝试探究：

（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？ 2．初步应用： （2）如图2，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2﹣∠C=50°；

（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案∠P=90°﹣∠A． 3拓展提升：

（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）

考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理． 专题：探究型． 分析：（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形内角和定理整理即可得解； （2）根据（1）的结论整理计算即可得解；

（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根据角平分线的定义求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解；

（4）延长BA、CD相交于点Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的结论整理即可得解． 解答： 解：（1）∠DBC+∠ECB =180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB =360°﹣（∠ABC+∠ACB） =360°﹣（180°﹣∠A） =180°+∠A；

（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C， ∴130°+∠2=180°+∠C， ∴∠2﹣∠C=50°；

（3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A，

∵BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，

∴∠PBC+∠PCB=（∠DBC+∠ECB）=（180°+∠A）， 在△PBC中，∠P=180°﹣（180°+∠A）=90°﹣∠A； 即∠P=90°﹣∠A；

故答案为：50°，∠P=90°﹣∠A；

（4）延长BA、CD于Q， 则∠P=90°﹣∠Q，

∴∠Q=180°﹣2∠P，

∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q， =180°+180°﹣2∠P， =360°﹣2∠P．

点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．

27．（1）已知：如图1，P为△ADC内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC

和∠ACD，如果∠A=60°，那么∠P= 120 °；如果∠A=90°，那么∠P= 135 °；如果∠A=x°，则∠P= 90+ °；（答案直接填在题中横线上）

（2）如图2，P为四边形ABCD内一点，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并写出你的探索过程；

（3）如图3，P为五边形ABCDE内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E的数量关系：

（∠A+∠B+∠E）﹣90° ；

（4）如图4，P为六边形ABCDEF内一点，DP、CP分别平分DP、CP分别平公∠ADC和∠ACD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系： 180° ；

（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣

（5）若P为n边形A1A2A3…An内一点，PA1平分∠AnA1A2，PA2平分∠A1A2A3，请直接写出∠P与∠A3+A4+A5+…∠An的数量关系： ×90° ．（用含n的代数式表示）

（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）

【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质． 【专题】探究型．

【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；

（2）根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理（1）解答即可； （3）根据五边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可； （4）根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可； （5）根据n边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理（1）解答即可． 【解答】解：（1）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD， ∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD， ∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD =180°﹣∠ADC﹣∠ACD =180°﹣（∠ADC+∠ACD） =180°﹣（180°﹣∠A） =90°+∠A，

∴如果∠A=60°，°；那么∠P=120°；如果∠A=90°，那么∠P=135°；如果∠A=x°，则∠P=（90+）（2）∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD， ∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD， ∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD

=180°﹣∠ADC﹣∠BCD =180°﹣（∠ADC+∠BCD） =180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B） =（∠A+∠B）；

（3）五边形ABCDEF的内角和为：（5﹣2）?180°=540°， ∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD， ∴∠P=∠EDC，∠PCD=∠BCD， ∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD =180°﹣∠EDC﹣∠BCD =180°﹣（∠EDC+∠BCD） =180°﹣（540°﹣∠A﹣∠B﹣∠E） =（∠A+∠B+∠E）﹣90°， 即∠P=（∠A+∠B+∠E）﹣90°．

（4）六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）?180°=720°， ∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD， ∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD， ∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD =180°﹣∠EDC﹣∠BCD =180°﹣（∠EDC+∠BCD）

=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F） =（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°， 即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．

（5）同（1）可得，∠P=（∠A3+∠A4+∠A5+…∠An）﹣（n﹣4）×90°．

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