2006年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)文科数学试题及答案(WORD版)

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（文史类）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

2

1. 集合P x|x 16 0，Q x|x 2n,n Z ，则P Q

A.｛－2，2｝ B.｛－2，2，－4，4｝ C.｛－2，0，2｝ D.｛－2，2，0，－4，4｝

2. 已知非零向量a、b，若a＋2b与a－2b互相垂直，则

ab

＝

A.

14

B.4 C.

12

D.2

3. 已知sin2 =

23

， （0， ），则sin ＋cos ＝

3

B.

3

C.

53

D.－

53

4.在等比数列｛an｝中， a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9＝

5.甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件. 那么 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 6.关于直线m、n与平面a、 , 有下列四个命题： ① ② ③ ④

若m// ,n// 且a// ,则m//n； 若m ,n 且 ，则m n； 若m ,n// 且a// ，则m n； 若m// ,n 且 ，则m//n.

其中真命题的序号是

A.①、② B.③、④ C.①、④ D.②、③ 7.设f x lg

2 x2 x

，则f() f()的定义域为

x2x

2

A. ( 4,0) (0,4) B. ( 4, 1) (1,4) C. ( 2, 1) (1,2) D. ( 4, 2) (2,4)

8.

在24的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有

A.3项 B.4项 C.5项 D.6项

9.设过点P x,y 的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P

关于y轴对称，O为坐标原点，若 BP 2PA,且OQ AB 1，则P点的轨迹方程是

A．3x C．

2

32

y2 1(x﹥0,y﹥0 ) B. 3x2

32

32

y2 1(x﹥0,y﹥0 )

32

x2 3y2 1( x﹥0,y﹥0 ) D.

2

2

2

x2 3y2 1(x﹥0,y﹥0 )

10．关于x的方程(x 1) x 1 k 0,给出下列四个命题： ① 存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根. 其中假命题的个数是 ．A.0 B.1 C.2 D.3

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。 11.在△ABC中，已知

a=

4 3

30,则sinB＝ 。

12.接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有5人接种疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为 。（精确到0.01） 13.若直线y=kx+2与圆(x 2) (y 3) 1有两个不同的交点，则k的取值范围为 。 14.安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的种数是 。（用数字作答） 15.半径为r的圆的面积S r r，周长C r 2 r，若将r看作（0，+ ）上的变量，

2

22

则( r) 2 r ①

①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。

2'

对于半径为R的球，若将R看作（0，+ ）上的变量，请你写出类似于①的式子：

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ②

②式可用语言叙述为 。 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分）

设向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),x R,函数f x a (a b)。 （Ⅰ）求函数f x 的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式f x

32

成立的x的取值集合。

17.（本小题满分12分）

某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组，在参加活动的职工中，青年人占42.5％，中年人占47.5％，老年人占10％。登山组的职工占参加活动总人数的

14

，且该组中，青年人占50％，中年人占40％，老年人占10％。

为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本，试确定

（Ⅰ （Ⅱ）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数。 18．（本小题满分12分）

如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1的侧棱长和底面边长为1，M是底面BC边上的中点，

N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N。

（Ⅰ）求二面角B1 AM N的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。 19．（本小题满分12分）

设函数f x x ax bx c在x 1处取得极值 2。试用c表示a和b，并求f x 的

3

2

单调区间。 20．（本小题满分13分）

设数列 an 的前n项和为Sn，点 n,

Sn *

(n N)均在函数y 3x 2的图像上。

n

（Ⅰ）求数列 an 的通项公式； （Ⅱ）设bn

3anan 1

，Tn是数列 bn 的前n项和，求使得Tn

m20

对所有n N都成立的

*

最小正整数m。 21．（本小题满分14分） 设A、B分别为椭圆

x2a2

y2b2

1(a,b 0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x 4．．．

是它的右准线。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于（此题不要求在答题卡上画图） A,B的M、N，证明点B在以MN为直径的圆内。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）

数学（文史类）参考答案

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分50分。 1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．D 7．B 8．C 9．D 10．A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分25分。 11．

2

12．0.94 13．（0，

43

） 14．78

15．( R3)' 4 R2．球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

43

三、解答题

16．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的基本知识，以及运用三角函数的图像和性质的能力。

f x a

a b a a a b sin2x cos2x sinxcosx cos2x

解：（Ⅰ）∵

13

1 sin2x cos2x 1）＝ sin(2x )

22224

1

∴f x

的最大值为（Ⅱ）由（Ⅰ）知

32

2

，最小正周期是

2 2

。

f

x

32

32

2

x

4

)

32

sin(2x

2k 2x

4

2k k

8

x k

3 8

4

3 8

) 0

,k Z

即f x

32

成立的x的取值集合是 x|k

x k

,k Z . 8

17．本小题主要考查分层抽样的概念和运算，以及运用统计知识解决实际问题的能力。

解：（Ⅰ）设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、b、c，则有

x 40% 3xb

4x

47.5%,

x 10% 3xc

4x

10%，解得b=50%,c=10%.

故a=100%－50%－10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40％、 50％、10％。

（Ⅱ）游泳组中，抽取的青年人数为200

34

；抽取的中年人数为 40% 60（人）

33

；抽取的老年人数为200 10％＝15（人）。 200 50％＝75（人）

44

18．本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力。考查应用向量知识解决数学问题的能力。

解法1：（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，所以AM BC，又AM CC1,所以AM 面BCC1B1，从而AM B1M, AM NM，所以 B1MN为二面角，B1—AM—N的平面角。

又B

1

2

,MN

56

,

连B1N，得B1N

中

，

由

2

余

2

2

定

3

，在 B1MN理

得

弦

52510

B1M MN B1N故所求cosB1MN

2 B1M MN526

二面角B1—AM—N

的平面角的余弦值为

5

。

（Ⅱ）过B1在面BCC1B1内作直线B1H MN，H为垂足。又AM 平面BCC1B1，所以AM B1H。于是B1H 平面AMN，故B1H即为B1到平面AMN的距离。在R1 B1HM中，

B1H＝B

1MsinB1MH

2

1。故点B1到平面AMN的距离为1。

解法2：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则B1（0，0，1），M（0，

12

，0）,

C(0,1,0), N (0,1,

23

) , A (

1

,0)，所以，

22

112AM 0,0)，MB1 (0, ,1),MN (0,,)。

2223

因为

MB1 AM M

B

1

0 0 ( ) 0 1 022

AMNM AM。 ,同法可得

所以

1

故﹤MB1,MN﹥为二面角B1—AM—N的平面角

MB1 MN

∴cos﹤MB1,MN﹥＝

MB1 MN

5

526

故所求二面角B1—AM—N

的平面角的余弦值为

5

。

（Ⅱ）设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量，则由n AM,n MN得

x 0 2

1y 2z 0 3 2

x 0

3

4 故可取n (0, ,1)

4y z 3

MB1 n设MB1与n的夹角为a

，则cosa MB1 n

5

。 3235

1。

所以B1到平面AMN

的距离为MB1 cosa

2

19.本小题主要考查层数的概念和计算，考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。

解：依题意有f(1) 2,f(1) 0,而f(1) 3x 2ax b,

'

'

2

故

1 a b c 2 3 2a b 0

解得

a c b 2c 3

从而

f'(x) 3x2 2cx (2c 3) (3x 2c 3)(x 1)。

令f(x) 0，得x 1或x

'

2c 33

。

由于f(x)在x 1处取得极值，故 （1） 若

2c 33

1，即c 3。

2c 33

2c 3 '

1，即c 3，则当x , 时，f(x) 0；

3

当x

2c 3

,1 时，f'(x) 0；当x (1, )时，f'(x) 0； 3

2c 3 2c 3

,1, ；单调减区间为 3,1 3

从而f(x)的单调增区间为 , （2） 若

2c 33

1，即c 3，同上可得，

2c 32c 3 , ；单调减区间为 1, f(x)的单调增区间为 ,1 , 33

20.本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。 解：（I）依题意得，

n

n

3n 2,即Sn 3n2 2n。

当n≥2时，a

2 3 n 1 2 2(n 1) 6n 5; (3n 2n) ansnsn 1 2

3×-2×1-1-6×1-5 1s1

当n=1时，a1

所以an 6n 5(n N )。 （II）由（I）得bn

n

3anan 1

1

(6n 5)6(n 1) 5

1 11

，

2 6n 56n 1

故Tn b

1 1

1 1 11 1 1 1 1

1 ... =1 。 2 7 713 6n 1 6n 56n 1 2

因此，使得

1 1 m1m

﹤成立的m必须满足≤，即m≥10,故满足要1 n N

2 6n 1 20220

求的最小整数m为10。

21．本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。

a 2c

a 2

解：（I）依题意得 a2解得 从而

,

c 1 4

c

故椭圆方程为

x24

y23

1。

（II）解法1：由（I）得A（-2，0），B（2，0）。设M(x0,y0)。

2

M点在椭圆上， yo

3

4 x 。 4

20

又M点异于顶点AB, 2 x0 2.

6y0

曲P A M三点共线可得P 4,. 2 x0 6y0

BM x 2,y,BP 2,. 从面 0 0

x0 2

6y0222 BM BP 2x0 4 x0 4 3y0 .

x0 2x0 2

5

将①式代入②式化简得BM BP 2 x0

2

2 x0>0, BM BP>0.于是 MBP为锐角,从而 MBN为钝角,故点B在以MN为

直径的圆内.

解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设P（4， ）（ 0），M（x1，y1），N（x2，，则直线AP的方程为y y2）

6

(x 2)，直线BP的方程为y

2

(x 2)。

点M、N分别在直线AP、BP上，

2

，y2＝（x2－2）.从而y1y2＝（x1＋2）（x2－2）.③ y1＝（x1＋2）

1262

y (x 2), 62222

联立 2消去y得（27＋）＋4x＋4（－27）＝0. x 2

x y 1. 43

．x1 x1，－2是方程得两根， （－2）

4( 227)

27

2

，即x1＝

2(27 2)

27

2

. ④

又BM．BN=（x1－2, y1）．(x2－2,y2)＝（x1－2）（x2－2）＋y1y2. ⑤

于是由③、④式代入⑤式化简可得

5 2

（x2－2）. BM．BN＝2

27

N点在椭圆上，且异于顶点A、B， x2 2<0.

又 0，

5 2

2 27

> 0, 从而BM．BN<0.

故 MBN MBN为钝角，即点B在以MN为直径的圆内.

解法3：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），则－2<x1<2 , －2<x2<2.又MN的中点Q的坐标为（

BQ

2

14

2

MN14

2

x1 x2y1 y2

）， ,

22

x x2y y22122

(1 2)2 (1) (x x) (y y)1212 224

2

化简得BQ－

MN＝（x1－2）（x2－2）＋y1y2. ⑥

直线AP的方程为

y

y2x1 2

(x 2)

，直线BP的方程为y

y2x2 2

(x 2).

点P在准线x＝4上，

6y1 2y2，即y2

3(x2 2)y1

. ⑦

x1 2

x2 2

x1 2

2又 M点在椭圆上，

x1y214

＋

3

＝1，即y21

34

(4 x21). 于是将⑦、⑧式化简可得BQ2

－14

MN2

＝

54

(2 x1)(x2 2) 0.

从而B在以MN为直径的圆内.

⑧

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