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中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷

考试日期：2011年 月 日 时间110分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分)

f(x)?x3?2x2?x，写出其Newton迭代公式 【注意重根】 ，使

*得由迭代公式产生的序列?xn?可以2阶收敛于方程的唯一正根x；

（1） 对方程（2）在[a,b]上，设

则当?(x)满足 ， 和 f(x)?0与x??(x)等价，

时，由xk?1??(xk)（k?0,1,2,L）产生的序列?xk?收敛于方程x??(x)的根；

?211??x1??4???????（3）用Doolittle分解法求方程：132x2?6 ????????122????x3????5??则：L= ，U= ，解x= ；

?211??4?????（4）已知 A?1?32,x??6， ???????122???5??则：A?? ；A1? ；x1? 。

（5）已知y?f(x)在区间[a,b]上通过点(xi,yi),i?0,1,2,?,n，则其三次样条插值函数S(x)是满足 ， ， ；

?y1??1??1?（6）设有线性回归模型?y2?2?1??2??2，其中?i~N(0,?2)(i?1,2,3) 且相互独立，写出参数

?y???2???123?3?1,?2的最小二乘估计 。

（7）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。写出三种常用的自变量的选取方法 。

（8）影响数学模型数值求解结果的误差有： ， ， 。 二、（本题8分）已知f(x)的数据如表：

x -2 0 2 6 f(x) 0 4 -2 10 试求三次Newton插值多项式N3(x)，求f(5)的近似值，并给出相应的误差估计式。 三、（本题10分）引入人工变量利用大M法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：

maxs..tZ?3x1?4x22x1?x2?4x1?0.5x2?1x1?0,x2?0

四、（本题8分）某厂生产甲、乙、丙三种产品，都分别经A,B两道工序加工，A工序在设备A1或A2上完成，B工序在B1，B2，B3三种设备上完成。已知产品甲可在A，B任何一种设备上加工；产品乙可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品丙只能在A2与B2设备上加工。加工单位产品所需要工序时间及其他数据见下表。

设备 甲 5 7 6 4 7 0.25 1.25 产品 乙 10 9 8 0.35 2.00 丙 12 11 0.50 2.80 设备有效台时 6000 10000 4000 7000 4000 设备加工费（元/小时） 0.05 0.03 0.06 0.11 0.05 A1 A2 B1 B2 B3 原料费（元/件） 售价（元/件） （1）建立线性优化模型，安排使该厂获利最大的最优生产计划（不要求计算出结果）； （2）写出所建立的模型的对偶形式。

五、（本题12分）一种生产降血压药品的生产厂家声称，他们生产的一种降压药服用一周后能使血压明显降低的效率可以达到80%，今在高血压的人群中随机抽取了200人服用此药品，一周后有148人血压有明显降低，试问生产厂家的说法是否真实(??0.01)？ 六、（本题10分）设有数值求积公式

? 3 ?3f(x)dx?A0f(?2)?A1f(0)?A2f(2)，试确定A0,A1,A2，使

该数值积分公式有尽量高的代数精度，并确定其代数精度为多少。

七、（本题12分）影响水稻产量的因素有秧龄、每亩基本苗数和氮肥，其水平如下表

因素 1水平 2水平 秧龄 苗数 氮肥 小苗 15万株/亩 8斤/亩 大亩 25万株/亩 12斤/亩 若考虑之间的交互作用，采用L8(27)安排试验，并按秧龄、每亩基本苗数、氮肥分别放在表的第一、二、四列，解答下列问题：

（1）它们的交互作用分别位于哪一列？（2）若按这种表头作试验并测得产量为83.4, 84.0, 87.3, 84.8, 87.3, 88.0, 92.3, 90.4，试寻找较好的生产条件。 八、（本题16分）设方程组为

?291??x1??12??????? 125x2?8 ????????832????x3????13??（1）对方程组进行适当调整，使得用雅可比迭代方法和高斯—塞德尔迭代法求解时都收敛；

（2）写出对应的高斯－塞德尔迭代格式的分量形式； （3）取初始向量

x(0)?(0,0,0)T，用雅可比迭代方法求准确解x* 的近似解

x(k?1)，使

x(k?1)?x*

??10?3 至少需要迭代多少次？

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷

考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程f(x)?0可表成x??(x)，且在[a,b]内有唯一根x*，那么?(x)满足 ，则由迭代公式xn?1??(xn)产生的序列?xn?一定收敛于x*。

（?(x)满足：?(x)?C1[a,b],且?x?[a,b]有?(x)?[a,b], ?'(x)?L?1；）

222. 已知二元非线性函数f(x)?x1?x1x2?x2?2x1?4x2,X0?(2,2)T，该函数从X0 出发的最速下降方

向为 （最速下降方向为：p???4,2?）；

T223．已知二元非线性函数f(x)?x1?x1x2?x2?2x1?4x2,X0?(2,2)T，该函数从X0 出发的Newton方

向为 （Newton方向为： p???2,0?）；

T4．已知y?f(x)在区间[a,b]上通过点(xi,yi),i?0,1,2,?,n，则其三次样条插值函数S(x)是满足 （（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[a,b]上二阶导数连续，（3）满足插值条件S(xi)?yi,i?0,1,2,?,n ）；

5．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值(X1,X2,?,Xn)落入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ；

6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ； 7

．

取

步

长

h?0.2，解

?y'?x?2y,x?[0,1]??y(0)?1的Euler法公式为：

（yn?1?yn?h(xn?2yn)?0.6yn?0.2xn,n?0,1,2,?,5 ）；

8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入误差。） 。

二、（本题8分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。

合金 矿石 1 2 3 4 5 锡（%） 锌（%） 25 40 0 20 8 10 0 15 20 5 铅（%） 10 0 5 0 15 镍（%） 杂质（%） 25 30 20 40 17 30 30 60 20 15 费用（元/吨） 340 260 180 230 190 （1）建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品成本最低。（不要求计算出结果）； （2）写出所建立的模型的对偶形式。

（1）设 xj（,j?1,2,?5) 是第j 种矿石的数量，目标是使成本最低，得线性规划模型如下：

mins..tZ?340x1?260x2?180x3?230x4?190x50.25x1?0.4x2?0.2x4?0.08x5?0.280.1x1?0.15x2?0.2x4?0.05x5?0.150.1x1?0.05x3?0.15x5?0.10.25x1?0.3x2?0.2x3?0.4x4?0.17x5?0.550.25x1?0.3x2?0.2x3?0.4x4?0.17x5?0.350.7x1?0.7x2?0.4x3?0.8x4?0.45x5?1xj?0,j?1,2,?5 4分

（2）上述线性规划模型的对偶形式如下：

maxs..tf?0.28y1?0.15y2?0.1y3?0.55y4?0.35y5?y60.25y1-0.1y2?0.1y3?0.25y4?0.25y5?0.7y6?3400.4y1?0.3y4?0.3y5?0.7y6?260?0.15y2?0.05y3?0.2y4?0.2y5?0.4y6?1800.2y1?0.2y2?0.4y4?0.4y5?0.8y6?2300.08y1?0.05y2?0.15y3?0.17y4?0.17y5?0.45y6?190y1?0,y2?0,y4?0,y5?0,y3?R1,y6?R1 4分

三、（本题8分）已知f(x)的数据如表：

x f(x) 0 1 3 7 0 0.5 2 1.5 试求三次插值多项式P(x)，求f(4)的近似值，并给出相应的误差估计式。 解：

用Newton插值法求f(x)的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下：

xi 0 1 3 7 4 f(xi) 0 0.5 2 1.5 18.25/7 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0.5 0.75 －0.125 -0.37 0.25/3 －0.875/6 -0.245 －1.375/42 -0.033 -0.000075 由差商表得出f(x)的三次插值多项式为：

N3(x)?0.5x?于是有

0.251.375x(x?1)?x(x?1)(x?3) 3分 342f(4)?N3(4)?0.5?4?0.251.375?4?3??4?3?1342 2分

2.7518.25?2?1??77相应的误差估计式为：

R3(x)?f[0,1,3,7,x]x(x?1)(x?3)(x?7)?f[0,1,3,7,4]?4?3?1?(?3)??0.000075?(?36) 2分 ?0.0027

四、（本题12分）为了考察硝酸钠NaNO3的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温度（0C），观察它在100的水中溶解的NaNO3的重量（g），得观察结果如下：

温度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43 重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10

（1） 求Y对X的线性回归方程。（结果保留小数点后两位。）

?xi?110i?293,

?yi?110i?81,

?xi?110iyi?2574,

?xi?1102i?9577,

?yi?1102i?701

（2）对回归方程的显著性进行检验。（取显著水平为0.05，0.01），5F=285).1,(0.0310.0F8),1(261.?，

t0.05(8)?1.8595

t0.01(8)?2.8965。

解：

（１）x?29.3y?8.1

LxY??xiyi?nx?y?2574?10?29.3?8.1?200.7

Lxx??xi?nx2?2574?10?29.32?992.1

LYY??yi?ny2?701?10?8.12?44.9 4分

22??Lxy?200.7?0.2023?0.20 a??y??bxb8?.1?0.20?23Lxx992.1?(x)回归函数为 ??2? 9.32.17 . 2 0 4分 2.?17x 0?2?（２）?1?)?1(44.9?0.2023?200.7)?0.54 (LYY?bLxYn?28?2Lb0.20232?200.7xY F???15.21，或T?F?3.9 2分 2??0.54 F?F0.05(1,8)或T?t0.05(8)

五、（本题10分）利用单纯形方法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：

F?F0.01(1,8) 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的 T?t0.01(8) 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的。12分

maxs..tZ?300x1?400x22x1?x2?40x1?1.5x2?30x1?0,x2?0

解：

第一步： 化为标准型，……………… ……………………..(2分) 第二步： 列出是单纯形表，…………………………… …..(2分) 第三步： 第一次单纯形迭代计算，…………………………..(3分) 第四步： 列出是单纯形表，…………………………… ……..(3分)

第五步： 正确写出结果，最优解x?(15,10),f?8500…(2分)

六、（本题10分）试确定求积公式? hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)中的待定系数，使其代数精

?h度尽量高。 解：

*T*1?A????13h?A?1?A0?A1?2h??4?f(x)?1,x,x2,???h(A?1?A1)?0??A0?h3??21?h2(A?1?A1)?h3?A?3??13h?hhhhhh??x3dx?(?h)3?(h)3?x4dx?(?h)4?(h)4?h?h3333hh4hh??f(x)dx?f(?h)?f(0)?f(h)具有三次代数精度.?h333

算出系数6分，验证3次2分，给出结论2分

七、（本题12分）设有4种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假定将24个病人分成4组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：

药物 1 2 3 4 治愈所需天数 5，7，7，7，12，8 4，6，6，13，4，6 6，4，8，5，3，9 7，4，6，6，3，15 试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？（??0.05，F0.05(3,20)?3.10） 解：

1612SST???xij2?nx2?1291?24?()?211

24SSE???xij2?6x12?6x22?6x32?6x42?1291?1090.5?200.5

SSA?AAT?SSE?10.5

方差来源 组间（因子） 组内（误差） 总和 平方和 10.5 200.5 211 自由度 3 20 23 样本方差 3.5 10.02 F值 0.35 由于F?F0.05(3,20)?3.10，故接受假设，即不同药物对病人的痊愈时间无显著差别 （正确算出F值给10分，结论正确给2分）

八、（本题16分）设方程组为

??x1?8x2?7 ???x1?9x3?8

?9x?x?x?73?12（1）对方程组进行适当调整，使得用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛；

（2）写出对应的高斯－塞德尔迭代格式； （3）取初始向量x 解：

(0)?(0,0,0)T，用该方法求近似解x(k?1)，使x(k?1)?x(k)??10?3。

?9x1?x2?x3?7??x1?8x2?7，此方程组系数矩阵按行严格对角占优，故用高斯—塞

（1）将原方程组调整为???x?9x?813?德尔迭代法求解时收敛。 5分 （2）高斯－塞德尔迭代格式为

?(k?1)1(k)1k7?x2?x3??x1999??(k?1)1(k?1)7?x1??x298??x(k?1)?1x(k?1)?83?919? 5分

（2）取x(0)?(0,0,0)T，用上述迭代格式计算得

(k)(k)(k)k x1 x2 x3

1 0.7777778 0.9722222 0.9753086 2 0.9941701 0.9992713 0.9993522 3 0.9998471 0.9999809 0.9999830 4 0.9999960 0.9999995 0.9999996

因

x(4)?x(3)*??0.0001489?10?3，

故取近似解x?x(4)?(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T。 6分

x*?x(4)?(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T。 6分

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）

考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分)

1. 若函数?(x)?C1[a,b],且?x?[a,b]有?(x)?[a,b]和 , 则方程x上的解存在唯一，对 为初值由迭代公式xn?1程x??(x)在[a,b]上的解x，且有误差估计式x*?x*??(x)在[a,b]??(xn)产生的序列?xn?一定收敛于方

k? ；

2. 建立最优化问题数学模型的三要素是： 、 、 ； 3．求解无约束非线性最优化问题的最速下降法会产生“锯齿现象”，其原因是：

； 4．已知函数y?f(x)过点(xi,yi),i?0,1,2,?,n，xi?[a,b]，设函数S(x)是f(x)的三次样条插值函数，则S(x)满足的三个条件是 ； 5．随机变量X~N(3,4),(X1,X2,?,X10)为样本，X是样本均值，则X~ ； 6．正交表LN(np?mq)中各字母代表的含义为 ； 7．线性方程组Ax?b其系数矩阵满足 时，可对A进行LU解，选主元素的Gauss消元法是为了避免 导致误差传播大，按列选取主元素时第k步消元的主元akk为 ；

?y'?3x?y8．取步长h?0.01，用Euler法解? ,x?[0,1]的公式为 。

?y(0)?1二、（本题6分）某汽车厂三种汽车：微型轿车、中级轿车和高级轿车。每种轿车需要的资源和销售的利润如下表。为达到经济规模，每种汽车的月产量必须达到一定数量时才可进行生产。工厂规定的经济规模为微型车1500辆，中级车1200辆，高级车1000辆，请建立使该厂的利润最大的生产计划数学模型。

钢材（吨） 人工（小时） 利润 微型车 1.5 30 2 中级车 2 40 3 高级车 2.5 50 4 资源可用量 6000（吨） 55000（小时） 三、（本题10分）已知f(x)的数据如表：

x f(x) 0 1 2 5 -5 3 0 6 用Newton插值法求f(x)的三次插值多项式N3(x)，计算f(6)的近似值，给出误差估计式。 四、（本题12分）为了研究小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有没有差异，现试验了在接种三种不同菌型伤寒杆菌（记为A1,A2,A3并假设Ai~N(?i,?)，i?1,2,3，）后的存活日数，得到的数据已汇总成方差分析表如下： 方差来源 平方和 组间SSA 组内SSE 总和SST 129 66 自由度 12 14 样本方差 F值 2 (1) 试把上述方差分析表补充完整（请在答卷上画表填上你的答案）

(2) 小白鼠在接种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数有无显著差异？（取??0.05，F0.05(2,12)?3.89）

五、（本题12分）用表格形式单纯形法求解

maxZ?20x1?8x2?6x3?8x1?3x2?2x3?250? ??2x1?x2?50s.t.??4x1?3x3?150???x1,x2,x3?0六、（本题10分）试确定求积公式

? 1 ?1f(x)dx?A0f(?1)?A1f(0)?A2f(1) 中的待定系数，使其代数精

度尽量高。

七、（本题12分）（1）在多元线性回归建模过程中，需要考虑自变量的选择问题。常用的方法有向前回归法、向后回归法、逐步回归法。试解释什么是逐步回归法？

（2）如果要考察因素A、B、C及交互作用A×B、A×C、B×C，如何用正交表L8(27)安排试验，交互作用见下表，试作表头设计。

7表 L8(2两列间交互作用表 )列号 (列号) 1 2 3 4 5 6 7 (1) 3 2 5 4 7 6 (2) 1 6 7 4 5 (3) 7 6 5 4 (4) 1 2 3 (5) 3 2 (6) 1

八、（本题14分）设方程组为

?025??x1??9??????? ?5104??x2???30?

?1020??x??14????3???（1）对方程组进行适当调整，使得用Gauss-Seidel迭代法求解时收敛； （2）取x（3）取x

(0)(0)?0，用Gauss-Seidel迭代法计算两步迭代值x(1)，x(2)； ?0，估计用Jacobi迭代求解x(100)与准确解x*的误差。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/4zzp.html