课堂新坐标2014高考数学（理）二轮专题复习滚动检测陕西、江西、

滚动检测(一) 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1

1．(2013·山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则f(－1)＝( )

A．－2 B．0 C．1 D．2 1【解析】 当x＞0时，f(x)＝x2＋x， 1

∴f(1)＝12＋1＝2.

∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2. 【答案】 A

2．(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】 当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，此时曲线y＝sin(2x＋φ)必过原点，但曲线y＝sin(2x＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．

【答案】 A

3．(2013·韶关模拟)设a＝log0.32，b＝log0.33，c＝20.3，d＝0.32，则这四个数

的大小关系是( )

A．a＜b＜c＜d C．b＜a＜c＜d

B．b＜a＜d＜c D．d＜c＜a＜b

【解析】 由函数y＝log0.3x是减函数知， log0.33＜log0.32＜0.

又20.3＞1,0＜0.32＜1，所以b＜a＜d＜c. 【答案】 B

4．下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A．y＝cos 2x，x∈R B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0 ex－e－x

C．y＝2，x∈R D．y＝x3＋1，x∈R

π

【解析】 A中，y＝cos 2x在(0，2)上递减，A不满足题意． C中函数为奇函数，D中函数非奇非偶．

对于B：y＝log2|x|(x≠0)是偶函数，在(1,2)内是增函数． 【答案】 B

5．设变量x，y

?x＋2y－5≤0，

满足约束条件?x－y－2≤0，

?x≥0，

则目标函数z＝2x＋3y＋1

的最大值为( )

A．11

B．10 C．9 D．8.5

【解析】 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．

2z1

又z＝2x＋3y＋1可化为y＝－3x＋3－3，结合图形可知z＝2x＋3y＋1在点A处取得最大值．

?x＋2y－5＝0，?x＝3，?由得?故A(3,1)． ?x－y－2＝0，?y＝1，此时z＝2×3＋3×1＋1＝10. 【答案】 B

x－1

?2e， x＜2，

6．设f(x)＝?则不等式f(x)＜2的解集为( ) 2

?log3?x－1?，x≥2，

A．(10，＋∞) C．(1,2]∪(10，＋∞)

B．(－∞，1)∪[2，10) D．(1，10)

?x≥2，

【解析】 原不等式等价于? 2

?log3?x－1?＜2，?x＜2，?x≥2，?x＜2，或?x－1即?或? 2

2e＜2，0＜x－1＜9，x－1＜0，???解得2≤x＜10或x＜1. 【答案】 B

7．(2013·山东高考)函数y＝xcos x＋sin x的图象大致为( )

π

【解析】 函数y＝xcos x＋sin x为奇函数，则排除B；当x＝2时，y＝1＞0，排除C；当x＝π时，y＝－π＜0，排除A，故选D.

【答案】 D

1

8．(2013·江西高考)若S1＝?2x2dx，S2＝?2xdx，S3＝?2exdx，则S1，S2，S3的

?1?1?1大小关系为( )

A．S1

2

B．S2

1?1171?

【解析】 S1＝?2x2dx＝3x3?＝3×23－3＝3，S2＝?2xdx＝ln x?＝ln 2，S3

?1?1??

1

1

2

77?

＝?2exdx＝ex?＝e2－e＝e(e－1)，ln 2

【答案】 B

9．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a

A．aC.ab

B．v＝ab a＋b

D．v＝2 2

【解析】 设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a

2ss＝2sab2ab2ab

＝<＝ab.

?a＋b?sa＋b2ab

a＋b

ab－a2a2－a22ab

又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a.

a＋ba＋ba＋b【答案】 A

10．(2012·重庆高考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图1所示，则下列结论中一定成立的是( )

图1

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 【解析】 当x＜－2时，y＝(1－x)f′(x)＞0，

得f′(x)＞0；

当－2＜x＜1时，y＝(1－x)f′(x)＜0，得f′(x)＜0； 当1＜x＜2时，y＝(1－x)f′(x)＞0，得f′(x)＜0； 当x＞2时，y＝(1－x)f′(x)＜0，得f′(x)＞0，

∴f(x)在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，

∴函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)． 【答案】 D

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)

11．(2013·烟台模拟)已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，则代23

数式a＋b的最小值为________．

23?23?【解析】 由题意知2a＋3b＝1，a＞0，b＞0，则a＋b＝?a＋b?(2a＋3b)＝4

??6b6a

＋9＋a＋b≥13＋2为25.

【答案】 25

6b6a123·＝25，当且仅当a＝b＝时取等号，即ab5a＋b的最小值?1，x>0，

12．(2013·孝感模拟)已知符号函数sgn(x)＝?0，x＝0，

?－1，x<0，

x)－ln2x的零点个数为________．

【解析】 当x>1时，ln x>0，sgn(ln x)＝1， ∴f(x)＝1－ln2x，令f(x)＝0，得x＝e. 当x＝1时，ln x＝0，sgn(ln x)＝0， ∴f(x)＝－ln2x，令f(x)＝0，得x＝1满足． 当0

则函数f(x)＝sgn(ln

【答案】 2

13．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1，若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.

【解析】 ∵y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1， ∴f(－1)＋(－1)2＝－[f(1)＋12]，∴f(－1)＝－3. 因此g(－1)＝f(－1)＋2＝－1. 【答案】 －1

?log2?1－x?，x≤0，

14．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝?

f?x－1?－f?x－2?，x＞0，?则f(2 013)＝________.

【解析】 当x＞0时，∵f(x)＝f(x－1)－f(x－2)， ∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，

∴f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)， ∴f(x＋6)＝f(x)，即当x＞0时， 函数f(x)的周期是6.

又∵f(2 013)＝f(335×6＋3)＝f(3)， 由已知得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0， f(1)＝f(0)－f(－1)＝0－1＝－1， f(2)＝f(1)－f(0)＝－1－0＝－1， f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0， ∴f(2 013)＝0. 【答案】 0

15．已知函数f(x)的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是________．

【解析】 若a＝0，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在极值；若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)2≤0，函数f(x)不存在极值；若a＞0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值；若－1＜a＜0，当x∈(－1，a)时，f′(x)＞0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＜0，所以函数f(x)在x＝a处取得极大值；若a＜－1，当x∈(－∞，a)时，f′(x)＜0，当x∈(a，－1)时，f′(x)＞0，所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，所以a∈(－1,0)．

【答案】 (－1,0)

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)已知集合A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)＞0}，B＝125

{y|y＝2x－x＋2，0≤x≤3}．

(1)若A∩B＝?，求a的取值范围；

(2)当a取使不等式x2＋1≥ax恒成立的a的最小值时，求(?RA)∩B. 【解】 A＝{y|y＜a或y＞a2＋1}，B＝{y|2≤y≤4}．

2

?a＋1≥4，

(1)当A∩B＝?时，?

?a≤2，

∴3≤a≤2或a≤－3.

∴a的取值范围是(－∞，－3]∪[3，2]． (2)由x2＋1≥ax，得x2－ax＋1≥0， 依题意Δ＝a2－4≤0， ∴－2≤a≤2. ∴a的最小值为－2.

当a＝－2时，A＝{y|y＜－2或y＞5}． ∴?RA＝{y|－2≤y≤5}． ∴(?RA)∩B＝{y|2≤y≤4}．

17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R. (1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值；

(2)若对任意的x∈[0，＋∞)都有f(x)＞2－x成立，求实数k的取值范围． 【解】 (1)∵f(x)＝2x＋k·2－x是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，x∈R， 即2－x＋k·2x＝－(2x＋k·2－x)，

∴(1＋k)＋(k＋1)·22x＝0对一切x∈R恒成立， ∴k＝－1.

(2)∵x∈[0，＋∞)，均有f(x)＞2－x， 即2x＋k·2－x＞2－x成立，

∴1－k＜22x对x≥0恒成立， ∴1－k＜(22x)min，

∵y＝22x在[0，＋∞)上单调递增， ∴(22x)min＝1， ∴k＞0.

∴实数k的取值范围是(0，＋∞)．

ln x

18．(本小题满分12分)(2013·北京高考)设L为曲线C：y＝x在点(1,0)处的切线．

(1)求L的方程；

(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方． 1－ln xln x

【解】 (1)设f(x)＝x，则f′(x)＝x2. 所以f′(1)＝1，所以L的方程为y＝x－1.

(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(?x>0，x≠1)．

g(x)满足g(1)＝0，且

x2－1＋ln x

g′(x)＝1－f′(x)＝.

x2当01时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增． 所以，g(x)>g(1)＝0(?x>0，x≠1)． 所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．

1

19．(本小题满分12分)(2013·济南模拟)已知函数f(x)＝3ax3＋(a－2)x＋c的图象如图2所示．

图2

(1)求函数y＝f(x)的解析式；

(2)若g(x)＝

kf′?x?

x－2ln x在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．

【解】 (1)∵f′(x)＝ax2＋a－2，

由图可知函数f(x)的图象过点(0,3)，且f′(1)＝0. ?c＝3，?c＝3，得?即? ?2a－2＝0，?a＝1.1

∴f(x)＝3x3－x＋3. (2)∵g(x)＝

kf′?x?k

－2ln x＝kx－xx－2ln x，

2

k2kx＋k－2x

∴g′(x)＝k＋x2－x＝.

x2∵函数y＝g(x)的定义域为(0，＋∞)，

∴若函数y＝g(x)在其定义域内为单调增函数，则函数g′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即kx2＋k－2x≥0在区间(0，＋∞)上恒成立．

2x

即k≥2在区间(0，＋∞)上恒成立．

x＋1令h(x)＝则h(x)＝

2x

，x∈(0，＋∞)， x＋1

22x2

＝1≤1(当且仅当x＝1时取等号)． x＋1

x＋x

2∴k≥1.

∴实数k的取值范围是[1，＋∞)．

20．(本小题满分13分)(2013·烟台模拟)某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中??128x＋20?x?

?k元．假设座位等距分布，且至少有两个一个座位的总费用为?2＋

25??座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元．

(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域； (2)当k＝50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

kk

【解】 (1)设转盘上总共有n个座位，则x＝n即n＝x， 3k2??128x＋20?x?k2

?， y＝x＋?2＋

25??x

???kk

?定义域x?0＜x≤2，x∈Z???

??

?. ??

(2)y＝f(x)＝k?＋

?x

2?5

?128x＋20??

?，

25?25k2，令y′＝0得x＝16. y′＝

3

－125＋64x2

25x

225?25???

当x∈?0，16?时，f′(x)＜0，即f(x)在x∈?0，16?上单调递减，

?????25??25?，25??当x∈16时，f′(x)＞0，即f(x)在x∈?16，25?上单调递增， ????2550

y的最小值在x＝16时取到，此时座位个数为25＝32个．

16

1

21．(本小题满分14分)(2013·鄂州模拟)已知函数f(x)＝3x3－ax＋1. (1)求x＝1时，f(x)取得极值，求a的值； (2)求f(x)在[0,1]上的最小值；

(3)若对任意m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线，求a的取值范围．

【解】 (1)因为f′(x)＝x2－a，

当x＝1时，f(x)取得极值，所以f′(1)＝1－a＝0，a＝1. 又当x∈(－1,1)时，f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0， 所以f(x)在x＝1处取得极小值，即a＝1符合题意． (2)当a≤0时，f′(x)＞0对x∈(0,1)成立，

所以f(x)在[0,1]上单调递增，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1， 当a＞0时，令f′(x)＝x2－a＝0，x1＝－a，x2＝a， 当0＜a＜1时，a＜1，

x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， x∈(a，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，

2aa

所以f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－3. 当a≥1时，a≥1，

x∈[0,1]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减， 4

所以f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝3－a. 综上所述，

当a≤0时，f(x)在x＝0处取最小值f(0)＝1； 当0＜a＜1时，f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝1－4

当a≥1时，f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝3－a.

(3)因为?m∈R，直线y＝－x＋m都不是曲线y＝f(x)的切线， 所以f′(x)＝x2－a≠－1对x∈R成立， 只要f′(x)＝x2－a的最小值大于－1即可， 而f′(x)＝x2－a的最小值为f(0)＝－a， 所以－a＞－1，即a＜1.

所以a的取值范围是(－∞，－1)．

2aa

； 3

滚动检测(二) 三角函数、解三角形与平面向量

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知全集U＝R，集合P＝{x|x2≤1}，那么?UP＝( ) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞) C．(－1,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

【解析】 ∵x2≤1?－1≤x≤1， ∴?UP＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 【答案】 D

2．(2013·江西高考)函数y＝xln(1－x)的定义域为( ) A．(0,1) C．(0,1]

B．[0,1) D．[0,1]

?1－x＞0【解析】 由?得，函数定义域为[0,1)．

?x≥0【答案】 B

3．(2012·重庆高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )

A．既不充分也不必要的条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．充要条件

【解析】 ①∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称． ∵f(x)为[0,1]上的增函数， ∴f(x)为[－1,0]上的减函数． 又∵f(x)的周期为2，

∴f(x)为区间[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数． ②∵f(x)为[3,4]上的减函数，且f(x)的周期为2， ∴f(x)为[－1,0]上的减函数． 又∵f(x)在R上是偶函数， ∴f(x)为[0,1]上的增函数．

由①②知“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件．

【答案】 D

π??1?x＋4．已知f(x)＝sin?4?，若a＝f(lg 5)，b＝f?lg5?，则( ) ????

2?

A．a＋b＝0 B．a－b＝0

C．a＋b＝1 D．a－b＝1

π??1＋sin 2x1??

【解析】 f(x)＝2?1－cos?2x＋2??＝，

2????1sin?2lg 5?

∴a＝2＋，

2

1??2lg sin?5???1sin?2lg 5?1

b＝2＋＝2－. 22因此，a＋b＝1. 【答案】 C

5．(2013·重庆高考)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( ) A．对任意x∈R，都有x2<0 B．不存在x∈R，使得x2<0 C．存在x0∈R，使得x20≥0 D．存在x0∈R，使得x20<0

【解析】 因为“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x20<0”．

【答案】 D

6．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形

B．直角三角形 D．不能确定

【解析】 由正弦定理，得a2＋b2

∴cos C＝2ab<0，则C为钝角， 故△ABC为钝角三角形． 【答案】 C

π??π

7．(2013·福建高考)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)?－2＜θ＜2?的图象向右平移φ(φ

???3?

＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P?0，?，

2??则φ的值可以是( )

5π5π

A.3 B.6

ππC.2 D.6

?3?

【解析】 ∵P?0，?在f(x)的图象上，

2??3

∴f(0)＝sin θ＝2. π?ππ?

∵θ∈?－2，2?，∴θ＝3，

??π??

∴f(x)＝sin?2x＋3?，

??π??2?x－φ?＋?∴g(x)＝sin . 3???3

∵g(0)＝2， 3?π?

∴sin?3－2φ?＝2.

??5

验证，φ＝6π时，

3?π??π5??4?

sin?3－2φ?＝sin?3－3π?＝sin?－3π?＝2成立． ??????【答案】 B

8．(2013·安徽高考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝( )

π2π3π5πA.3 B.3 C.4 D.6 【解析】 由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a， 57

所以a＝3b，c＝3b，

?5?22?7?2b??＋b－?3b?a＋b－c?3???12π

所以cos C＝2ab＝＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝523. 2×3b×b

2

2

2

【答案】 B

?3x＋y－6≥0，

9．(2013·天津高考)设变量x，y满足约束条件?x－y－2≤0，

?y－3≤0，

则目标函数

z＝y－2x的最小值为( )

A．－7 C．1

B．－4 D．2

【解析】 可行域如图阴影部分(含边界)．

令z＝0，得直线l0：y－2x＝0，平移直线l0知，当直线l过A点时，z取得最小值．

?y＝3，由?得A(5,3)． ?x－y－2＝0∴z最小＝3－2×5＝－7. 【答案】 A

10．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )

A．?x0∈R，f(x0)＝0

B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形

C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)上单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0

【解析】 若c＝0，则有f(0)＝0，所以A正确．

由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c得f(x)－c＝x3＋ax2＋bx，因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的对称中心为(0,0)，所以f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为(0，c)，所以B正确．由三次函数的图象可知，若x0是f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间(－∞，x0)单调递减是错误的，D正确．

【答案】 C

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)

11．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为________．

【解析】 ∵(2a＋b)·b＝0， ∴2a·b＋b2＝0， 1∴a·b＝－2b2，

设a与b的夹角为θ，又|a|＝|b|， 1

－2b2

a·b1

∴cos θ＝|a||b|＝|a||b|＝－2， ∴θ＝120°. 【答案】 120°

12．(2013·江西高考)设f(x)＝3sin 3x＋cos 3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．

【解析】 由于f(x)＝3sin 3x＋cos 3x＝

π?π?????

3x＋3x＋?≤2，要使|f(x)|≤a恒成立，则a≥2. 2sin?，则|f(x)|＝2?sin?6?6???????【答案】 [2，＋∞)

π

13．设e1，e2为单位向量， 且e1，e2的夹角为3，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．

【解析】 由于a＝e1＋3e2，b＝2e1，

12

所以|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e1＋6e1·e2＝2＋6×2＝5， a·b5所以a在b方向上的射影为|a|·cos＝|b|＝2. 5【答案】 2

14．(2013·北京高考)已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)．若平面区域D由所→＝λAB→＋μAC→(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为________． 有满足AP

→＝(2,1)，AC→＝(1,2)．

【解析】 设P(x，y)，且AB

→＝OA→＋AP→＝(1，－1)＋λ(2,1)＋μ(1,2)， ∴OP

?x＝1＋2λ＋μ，?3μ＝2y－x＋3，∴?∴? ?y＝－1＋λ＋2μ，?3λ＝2x－y－3，

又1≤λ≤2,0≤μ≤1，

?0≤x－2y≤3，∴?表示的可行域是平行四边形及内部． ?6≤2x－y≤935

如图，点B(3,0)到直线x－2y＝0的距离d＝5.又|BN|＝5.

35

∴区域D的面积S＝5×5＝3. 【答案】 3

1

15．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝3，则sin∠BAC＝________.

122

【解析】 因为sin∠BAM＝3，所以cos∠BAM＝3.在△ABM中，利用正BMAMBMsin∠BAM11

弦定理，得＝sin B，所以AM＝sin B＝3sin B＝.

sin∠BAM3cos∠BAC

CM

在Rt△ACM中，有AM＝sin∠CAM＝sin(∠BAC－∠BAM)．由题意知BM＝CM，所以

1

＝sin(∠BAC－∠BAM)．

3cos∠BAC

化简，得22sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1. 22tan∠BAC－1所以＝1，解得tan∠BAC＝2.

tan2∠BAC＋1

6

再结合sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC为锐角可解得sin∠BAC＝3. 6

【答案】 3

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

π

16．(本小题满分12分)函数f(x)＝Asin(ωx－6)＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，

π

其图象相邻两条对称轴之间的距离为2. (1)求函数f(x)的解析式；

πα

(2)设α∈(0，2)，f(2)＝2，求α的值． 【解】 (1)∵函数f(x)的最大值为3， ∴A＋1＝3，即A＝2.

π

∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2， ∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，

π

∴函数f(x)的解析式为y＝2sin(2x－6)＋1. απ

(2)∵f(2)＝2sin(α－6)＋1＝2， π1

∴sin(α－6)＝2. π

∵0<α<2， πππ∴－6<α－6<3， πππ∴α－6＝6，∴α＝3.

17．(本小题满分12分)(2013·北京高考)在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A，

(1)求cos A的值； (2)求c的值．

【解】 (1)因为a＝3，b＝26，∠B＝2∠A， 326所以在△ABC中，由正弦定理得sin A＝sin 2A. 所以

2sin Acos A266

＝.故cos A＝

sin A33. 63

(2)由(1)知cos A＝3，所以sin A＝1－cos2A＝3. 1

又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cosA－1＝3.

2

22

所以sin B＝1－cos2B＝3. 在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋ 53

cos Asin B＝9. asin C

所以c＝sin A＝5.

π??

18．(本小题满分12分)(2013·广东高考)已知函数f(x)＝2cos?x－12?，x∈R.

???π?(1)求f?－6?的值；

??

π?3?3π??

(2)若cos θ＝5，θ∈?2，2π?，求f?2θ＋3?.

????π??

【解】 (1)因为f(x)＝2cos?x－12?，

???π??ππ?所以f?－6?＝2cos?－6－12?

????π2?π?

＝2cos?－4?＝2cos 4＝2×2＝1.

??3?3π?

(2)因为θ∈?2，2π?，cos θ＝5，

??所以sin θ＝－1－cos2θ＝－

4?3?

1－?5?2＝－5， ??

7?3?cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×?5?2－1＝－25，

??3?4?24

sin 2θ＝2sin θcos θ＝2×5×?－5?＝－25.

??π?ππ???

所以f?2θ＋3?＝2cos?2θ＋3－12?

????

π??2?2?

＝2cos?2θ＋4?＝2×?cos 2θ－sin 2θ?

??2?2?7?24?17

＝cos 2θ－sin 2θ＝－25－?－25?＝25.

??

3x3xxx

19．(本小题满分12分)已知向量a＝(cos 2，sin 2)，b＝(－sin 2，－cos 2)，π

其中x∈[2，π]．

(1)若|a＋b|＝3，求x的值；

(2)函数f(x)＝a·b＋|a＋b|2，若c>f(x)恒成立，求实数c的取值范围． 3xx3xx【解】 (1)∵a＋b＝(cos 2－sin 2，sin 2－cos 2)， ∴|a＋b|＝

3xx3xx?cos 2－sin 2?2＋?sin 2－cos 2?2＝2－2sin 2x，

1

由|a＋b|＝3，得2－2sin 2x＝3，即sin 2x＝－2. π

∵x∈[2，π]，∴π≤2x≤2π.

ππ7π11π

因此2x＝π＋6或2x＝2π－6，即x＝12或x＝12. 3xx3xx

(2)∵a·b＝－cos 2sin 2－sin 2cos 2＝－sin 2x， ∴f(x)＝a·b＋|c＋b|2＝2－3sin 2x， ∵π≤2x≤2π，∴－1≤sin 2x≤0， ∴2≤f(x)＝2－3sin 2x≤5，∴[f(x)]max＝5. 又c>f(x)恒成立， 因此c>[f(x)]max，则c>5.

∴实数c的取值范围为(5，＋∞)．

20．(本小题满分13分)(2013·湖北高考)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.

(1)求角A的大小；

(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin Bsin C的值． 【解】 (1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得

2cos2A＋3cos A－2＝0，即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0. 1

解得cos A＝2或cos A＝－2(舍去)． π

因为0

(2)由S＝2bcsin A＝2bc·2＝4bc＝53，得bc＝20. 又b＝5，所以c＝4.

由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A＝25＋16－20＝21，故a＝21. bcbc22035

又由正弦定理，得sin Bsin C＝asin A·sin A＝sinA＝2·aa21×4＝7.

21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.

(1)求a，b，c，d的值；

(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围． 【解】 (1)∵曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)， ∴b＝d＝2.

∵f′(x)＝2x＋a，故f′(0)＝a＝4. ∵g′(x)＝ex(cx＋d＋c)， ∴g′(0)＝2＋c＝4，故c＝2. 从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.

(2)令F(x)＝kg(x)－f(x)，则F′(x)＝(kex－1)(2x＋4)， 由题设可得F(0)≥0，故k≥1， 令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2， ①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0， 从而当x∈[－2，x1)时，F′(x)＜0， 当x∈(x1＋∞)时，F′(x)＞0，

2即F(x)在[－2，＋∞)上最小值为F(x1)＝2x1＋2－x1－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0，

此时f(x)≤kg(x)恒成立；

②若k＝e2，F′(x)＝(ex＋2－1)(2x＋4)， 故F(x)在[－2，＋∞)上单调递增， 因为F(－2)＝0，所以f(x)≤kg(x)恒成立；

③若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0， 从而当x∈[－2，＋∞)时， f(x)≤kg(x)不可能恒成立． 综上所述k的取值范围为[1，e2]．

滚动检测(三) 数列、推理与证明

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2013·黄冈模拟)集合M＝{y|y＝lg(x2＋1)，x∈R}，集合N＝{x|4x＞4，x∈R}，则M∩N等于( )

A．[0，＋∞) B．[0,1) C．(1，＋∞)

D．(0,1]

【解析】 由x2＋1≥1知lg(x2＋1)≥0，所以M＝{y|y≥0}，由4x＞4知x＞1，所以N＝{x|x＞1}，

所以M∩N＝{x|x＞1}，故选C. 【答案】 C

2．如果命题“綈(p∧q)”是真命题， 则( ) A．命题p、q均为假命题 B．命题p、q均为真命题

C．命题p、q中至少有一个是真命题 D．命题p、q中至多有一个是真命题

【解析】 命题“綈(p∧q)”是真命题，则命题“p∧q”是假命题，则命题p、q中至多有一个是真命题，故选D.

【答案】 D

3．(2013·宁波模拟)等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，使得an＞0的最小正整数n为( )

A．7 B．8 C．9 D．10

13?a1＋a13?【解析】 由S13＝＝0得a1＋a13＝2a7＝0，所以a7＝0，又a1＝

2－12，故n≥8时，an＞0.

【答案】 B

4．(2013·课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )

1A.3 1C.9

1B．－3 1D．－9 【解析】 设公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，

2

?a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，?a1q＝9a1，∴?4∴?4 aq＝9，aq＝9，?1?1

1

解得a1＝9，故选C. 【答案】 C

5．下列函数中与函数y＝－3|x|奇偶性相同且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )

1A．y＝－x C．y＝1－x2

B．y＝log2|x| D．y＝x3－1

【解析】 函数y＝－3|x|是偶函数且在(－∞，0)是增函数，故选C. 【答案】 C

4

6．(2013·大纲全国卷)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－3，则{an}的前10项和等于( )

A．－6(1－3

－10

)

1

B.9(1－3－10) D．3(1＋3－10)

C．3(1－3－10)

an＋111

【解析】 由3an＋1＋an＝0，得a＝－3，故数列{an}是公比q＝－3的等比n??1??4?1－?－3?10?????4－10

数列．又a2＝－3，可得a1＝4.所以S10＝＝3(1－3).

?1?1－?－3???

【答案】 C

7．已知向量a、b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为( )

A．48 B．32 C．1 D．0

【解析】 b·(2a＋b)＝2a·b＋b2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0. 【答案】 D

1x?1??2??2 013?8．已知f(x)＝2 013＋log2，则f?2 014?＋f?2 014?＋?＋f?2 014?的值为

??????1－x( )

A．1

B．2 C．2 013 D．2 014

2

【解析】 对任意0＜x＜1，可得f(x)＋f(1－x)＝2 013. ?1??2??2 013?

设S＝f?2 014?＋f?2 014?＋?＋f?2 014?

???????2 013??2 102??1?

则S＝f?2 014?＋f?2 014?＋?＋f?2 014?

????????1??2 013????2?于是2S＝?f?2 014?＋f?2 014??＋?f?2 014?＋

?????????

?2 012???2 013??1?

f?2 014??＋?＋[f?2 014?＋f?2 014?] ???????

2

＝2 013×2 013＝2，所以S＝1. 【答案】 A

9．在等比数列{an}中，a1＋an＝34，a2an－1＝64，且前n项和Sn＝62，则项数n等于( )

A．4 C．6

B．5 D．7

【解析】 在等比数列中，a2an－1＝a1an＝64，又a1＋an＝34，解得a1＝2，a1?1－qn?a1－qan2－32q

an＝32或a1＝32，an＝2.当a1＝2，an＝32时，Sn＝＝＝＝1－q1－q1－q62，解得q＝2，又an＝a1qn－1，所以2×2n－1＝2n＝32，解得n＝5.同理当a1＝32，11?1??1??1?an＝2时，由Sn＝62解得q＝2，由an＝a1qn－1＝32×?2?n－1＝2，得?2?n－1＝16＝?2???????

4

，即n－1＝4，n＝5.综上，项数n等于5，故选B.

【答案】 B

10．(2013·东城模拟)在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝7，an＋2等于anan＋1(n∈

N*)的个位数，则a2 013的值是( )

A．8

B．6 C．4 D．2

【解析】 a1a2＝2×7＝14，所以a3＝4,4×7＝28，所以a4＝8,4×8＝32，所以a5＝2,2×8＝16，所以a6＝6，a7＝2，a8＝2，a9＝4，a10＝8，a11＝2，所以从第三项起，an成周期排列，周期数为6,2 013＝335×6＋3，所以a2 013＝a3＝4，故选C.

【答案】 C

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)

?255?

11．已知角α的终边与单位圆交于点?－则sin 2α的值为________． ，?，

55??525

【解析】 由已知得sin α＝5，cos α＝－5， 5?25?4

?＝－. 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×5×?－

55??4

【答案】 －

5

x

12．由直线y＝2与函数y＝2cos22(0≤x≤2π)的图象围成的封闭图形的面积为________．

x

【解析】 y＝2cos22＝cos x＋1，则所求面积为

2π

S＝∫2π0[2－?cos x＋1?]dx＝(x－sin x)|0＝2π.

【答案】 2π

13．(2013·潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝csin C，b2＋c2－a2＝3bc，则角B＝________.

222

b＋c－a3222

【解析】 由b＋c－a＝3bc得cos A＝.

2bc＝2，所以A＝30°

由acos B＋bcos A＝csin C得 sin Acos B＋cos Asin B＝sin2C， 即sin(A＋B)＝sin2C，

所以sin C＝sin2C. 因为0°＜C＜180°， 所以sin C＝1， 即C＝90°， 所以B＝60°. 【答案】 60°

14．(2013·淄博模拟)如图1，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n(n≥2)行的第2个数为________．

图1

【解析】 由已知得第n(n≥2)行的第2个数为3＋3＋5＋7＋?＋[2(n－2)＋?n－2?×2n21]＝3＋＝n－2n＋3.

2

【答案】 n2－2n＋3

15．(2013·孝感模拟)现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm，最下面的三节长度之和为114 cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n＝________.

【解析】 设对应的数列为{an}，公差为d(d＞0)．由题意知a1＝10，an＋an

－1

2＋an－2＝114，a6＝a1an，由an＋an－1＋an－2＝114得3an－1＝114，解得an－1＝38，

(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，所以an－1＝a1＋(n－2)d＝38，即10＋2(n－2)＝38，解得n＝16.

【答案】 16

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)(2013·安徽高考)设数列{an}满足a1＝2，a2＋a4＝8，?π?且对任意n∈N*，函数f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－an＋2sin x满足f′?2?＝

??0.

(1)求数列{an}的通项公式；

1??

(2)若bn＝2?an＋2a?，求数列{bn}的前n项和Sn.

?n?

【解】 (1)由题设可得f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－an＋2cos x. 对任意n∈N*，f′(π

2)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0， 即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列． 由a1＝2，a2＋a4＝8解得{an}的公差d＝1， 所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.

(2)由bn＝2?

?1??1?1?an＋2an??＝2??n＋1＋2n＋1??

＝2n＋2n＋2知，

1?

Sn?n＋1?2??1－?12?n??

?n＝b1＋b2＋?＋bn＝2n＋2·2

12＋1＝n＋3n＋1－2n. 1－2

17．(本小题满分12分)(2013·佛山模拟)在平面直角坐标系xOy中，以始边，角α的终边与单位圆O的交点B在第一象限，已知A(－1,3)．

(1)若OA⊥OB，求tan α的值； (2)若B点横坐标为4

5，求S△AOB.

【解】 (1)由题可知：A(－1,3)，B(cos α，sin α)， OA

→＝(－1,3)，OB→＝(cos α，sin α)， 由OA⊥OB，得OA→·OB→＝0，

∴－cos α＋3sin α＝0，tan α＝13.

(2)∵cos α＝423，即B??43?5，∴sin α＝1－cosα＝5?5，5??，

∴OA→＝(－1,3)，OB→＝??43?5，5???

，

∴|OA|＝?－1?2＋?3?2＝10，|OB|＝1， →－1×4＋3×3得cos∠AOB＝OA·OB

→55

|OA→||OB→＝

|

10×1

＝1010，

∴sin∠AOB＝1－cos2∠AOB＝310

10，

Ox为113103

则S△AOB＝2|AO||BO|sin∠AOB＝2×10×1×10＝2. 18．(本小题满分12分)(2013·青岛模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a1＋a2＋?＋an－1－an＝－1(n≥2且n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式an；

2

a2S2nn＋1＋an＋2

(2)令dn＝1＋loga(a＞0，a≠1)，记数列{d}的前n项和为S，若nn

5Sn

恒为一个与n无关的常数λ，试求常数a和λ.

【解】 (1)由题知a1＋a2＋?＋an－1－an＝－1，① 所以a1＋a2＋?＋an－an＋1＝－1.②

an＋1

由①－②得：an＋1－2an＝0，即a＝2(n≥2)，

n当n＝2时，a1－a2＝－1， a2因为a1＝1，所以a2＝2，a＝2，

1

所以，数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列． 故an＝2n－1(n∈N*)． (2)因为an＝2n－1，

22an＋1＋an＋2

所以dn＝1＋loga＝1＋2nloga2.

5

因为dn＋1－dn＝2loga2，

所以{dn}是以d1＝1＋2loga2为首项，以2loga2为公差的等差数列， 2n?2n－1?

×2loga22S2n所以S＝ n?n－1?n

n?1＋2loga2?＋2×2loga2

2n?1＋2loga2?＋

2＋?4n＋2?loga2＝＝λ 1＋?n＋1?loga2

?(λ－4)nloga2＋(λ－2)(1＋loga2)＝0， S2n因为S恒为一个与n无关的常数λ，

n

??λ－4?loga2＝0，所以?

??λ－2??1＋loga2?＝0，

1

解得λ＝4，a＝2. 19．(本小题满分12分)某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第1年的维护费用是4万元，从第2年到第7年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第8年开始，每年的维护费用比上年增加25%.

(1)设第n年该生产线的维护费用为an，求an的表达式． (2)设该生产线前n年的维护费用为Sn，求Sn.

【解】 (1)由题意知，当n≤7时，数列{an}是首项为4，公差为2的等差数列，

故an＝4＋(n－1)×2＝2n＋2.

当n≥8时，数列{an}从a7开始构成首项为a7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%5

＝4的等比数列，

?5?n－7

则此时an＝16×?4?，

??2n＋2，n≤7，??

所以an＝? ?5?n－7

16×?4?，n≥8.????

n?n－1?

(2)当1≤n≤7时，Sn＝4n＋2×2＝n2＋3n， ?5?1－?4?n－7

??5

当n≥8时，由S7＝70，得Sn＝70＋16×4×

5 1－4?5?

＝80×?4?n－7－10，

??

所以该生产线前n年的维护费用为 n2＋3n，1≤n≤7，??Sn＝? ?5?n－7

80×?4?－10，n≥8.????

20．(本小题满分13分)(2013·天津模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)，数列{bn}满足b1＝1，且点P(bn，bn＋1)(n∈N*)在直线y＝x＋2上．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式． (2)求数列{an·bn}的前n项和Dn.

nπnπ(3)设cn＝an·sin22－bn·cos22(n∈N*)，求数列{cn}的前2n项和T2n. 【解】 (1)当n＝1时，a1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，

所以an＝2an－1(n≥2)，所以{an}是等比数列，公比为2，首项a1＝2，所以an＝2n，

又点P(bn，bn＋1)(n∈N*)在直线y＝x＋2上，所以bn＋1＝bn＋2， 所以{bn}是等差数列，公差为2，首项b1＝1，所以bn＝2n－1. (2)由(1)知an·bn＝(2n－1)×2n，

所以Dn＝1×21＋3×22＋5×23＋7×24＋?＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，① 2Dn＝1×22＋3×23＋5×24＋7×25＋?＋(2n－3)×2n＋(2n－1)×2n＋1.② ①－②得－Dn＝1×21＋2×22＋2×23＋2×24＋?＋2×2n－(2n－1)×2n＋1 4?1－2n－1?＝2＋2×－(2n－1)×2n＋1

1－2＝(3－2n)2n＋1－6， 则Dn＝(2n－3)2n＋1＋6.

n

?2， n为奇数，(3)cn＝?

?－?2n－1?， n为偶数，

T2n＝(a1＋a3＋?＋a2n－1)－(b2＋b4＋?＋b2n) ＝2＋23＋?＋2

2n－1

22n＋1－22

－[3＋7＋?＋(4n－1)]＝－2n－n.

3

?1?21．(本小题满分14分)(2013·杭州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－?2???

n－1

＋2(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2nan.

(1)求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式．

??n＋1??

(2)设数列?an?的前n????

5n

n项和为Tn，证明：n∈N*且n≥3时，Tn＞. 2n＋1

(3)设数列{cn}满足an(cn－3n)＝(－1)n－1λn(λ为非零常数，n∈N*)，问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有cn＋1＞cn.

?1?n－1

【解】 (1)在Sn＝－an－?2?＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，

??1

即a1＝2，

?1?－

当n≥2时，Sn－1＝－an－1－?2?n2＋2，

???1?n－1

所以an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋?2?，

???1?所以2an＝an－1＋?2?n－1，即2nan＝2n－1an－1＋1.

??

因为bn＝2nan，所以bn＝bn－1＋1，即当n≥2时，bn－bn－1＝1. 又b1＝2a1＝1，所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列． 于是bn＝1＋(n－1)·1＝n＝2nan， n

所以an＝2n(n∈N*)．

n＋1?1?(2)由(1)得cn＝nan＝(n＋1)?2?n，

??

1?1??1??1?所以Tn＝2×2＋3×?2?2＋4×?2?3＋?＋(n＋1)?2?n，①

??????1?1?2?1?3?1?4?1?n＋1

???????2?.② T＝2×＋3×＋4×＋?＋(n＋1)

2n?2??2??2???1?1??1??1??1?由①－②得2Tn＝1＋?2?2＋?2?3＋?＋?2?n－(n＋1)?2?n＋1

????????1??1??

?1－?2?n－1?4?????1?n＋1

?2? ＝1＋－(n＋1)

1??1－23n＋3＝2－n＋1，

2n＋3

所以Tn＝3－2n， n＋35n5n

Tn－＝3－2n－

2n＋12n＋1?n＋3??2n－2n－1?＝，

2n?2n＋1?

5n

于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n＋1的大小，

2n＋1

由2＜2×1＋1；22＜2×2＋1；23＞2×3＋1；24＞2×4＋1；25＞2×5＋1；? 可猜想当n≥3时，2n＞2n＋1，证明如下： 方法一：①当n＝3时，对上式验算显示成立． ②假设当n＝k时成立，则n＝k＋1(k≥2)时，

2k＋1＝2·2k＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1， 所以当n＝k＋1时猜想也成立．

综合①②可知，对一切n≥3的正整数，都有2n＞2n＋1. 方法二：当n≥3时，

12n1n01n1n2n＝(1＋1)n＝C0n＋Cn＋Cn＋?＋Cn＋Cn≥Cn＋Cn＋Cn＋Cn＝2n＋2＞2n

－

－

＋1，

5n综上所述，当n≥3时，Tn＞. 2n＋1

n－1

?－1?λ·n

(3)因为cn＝3n＋

an

＝3n＋(－1)n－1λ·2n，

所以cn＋1－cn＝[3n＋1＋(－1)nλ·2n＋1]－[3n＋(－1)n－1λ·2n] ＝2·3n－3λ(－1)n－1·2n＞0， ?3?所以(－1)n－1·λ＜?2?n－1.①

??

?3?

当n＝2k－1(k＝1,2,3，?)时，①式即为λ＜?2?2k－2，②

??依题意，②式对k＝1,2,3，?都成立，所以λ＜1， ?3?

当n＝2k，k＝1,2,3，?时，①式即为λ＞－?2?2k－1，③

??依题意，③式对k＝1,2,3，?都成立， 33

所以λ＞－2，所以－2＜λ＜1，又λ≠0，

所以存在整数λ＝－1，使得对任意n∈N*有cn＋1＞cn.

滚动检测(四) 立体几何

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

→|＝|BC→|＝|CA→|＝2，则向量AB→·→＝

1．(2013·肇庆模拟)在△ABC中，已知|ABBC( )

A．2 B．－2 C．23 D．－23

2π2→→→→【解析】 向量AB与BC的夹角为3，则AB·BC＝2×2×cos3π＝－2. 【答案】 B

2．(2013·东营模拟)已知等比数列{an}，若存在两项am，an使得am·an＝a23，14

则m＋n的最小值为( )

3A.2 9C.4

5B.3 7D.6

141?14?1

＋??【解析】 由等比数列的性质知m＋n＝6，则m＋n＝6mn(m＋n)＝6??4mn?34mn?

?5＋n＋m?≥，当且仅当＝，即m＝2，n＝4时等号成立．

nm??2

【答案】 A

3．在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的( )

A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDE⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC

【解析】 若平面PDF⊥平面ABC，则顶点P在底面的射影在DF上，又因为正四面体的顶点在底面的射影是底面的中心，因此结论不成立，故选C.

【答案】 C

4．(2013·济宁模拟)点M、N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1的中点，用过A、M、N和D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图1，则该几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图依次为( )

图1

A．①②③ C．①③④

B．②③④ D．②④③

【解析】 根据三视图的定义可知选B. 【答案】 B

?x＋2y≥0，5．(2013·枣庄模拟)设z＝x＋y，其中实数x，y满足?x－y≤0，

?0≤y≤k，

大值为6，则z的最小值为( )

A．－3

B．－2 C．－1 D．0

若z的最

【解析】

?x＋2y≥0，

由z＝x＋y得y＝－x＋z，作出?x－y≤0，

?0≤y≤k，

的区域BCO，平移

直线y＝－x＋z，由图象可知当直线经过C时，直线的截距最大，此时z＝6，由?y＝x，?x＝3，?解得?所以k＝3，解得B(－6,3)，代入z＝x＋y得最小值?y＝－x＋6，?y＝3，为z＝－6＋3＝－3，选A.

【答案】 A

6．(2013·课标全国卷Ⅰ)如图2，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为( )

图2

500π

A.3 cm3 C.

1 372π3

cm 3

866π

B.3 cm3 D.

2 048π3

cm 3

11

【解析】 如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝2AB＝2×8＝4(cm)．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，

∴R＝5，

4500∴V球＝π×53＝π(cm3)．

33【答案】 A

7．(2013·临汾模拟)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )

A．AB∥m C．AB∥β

B．AC⊥m D．AC⊥β

【解析】 因为m∥α，m∥β，α∩β＝l，所以m∥l. 因为AB∥l，所以AB∥m，故A一定正确．

因为AC⊥l，m∥l，所以AC⊥m，从而B一定正确． 因为AB∥l，l?β，AB?β. 所以AB∥β.故C也正确．

因为AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立，故D不一定成立．

【答案】 D

8．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )

A．πa2 11

C.3πa2

7B.3πa2 D．5πa2

【解析】 设球心为O，正三棱柱上底面为△ABC，中心为O′，因为三棱a3

柱所有棱的长都为a，则可知OO′＝2，O′A＝3a，又由球的相关性质可知，21

球的半径R＝OO′2＋O′A2＝6a，

7

所以球的表面积为4πR2＝3πa2. 【答案】 B

9．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是AC的中点，AB1⊥BC1，则平面DBC1与平面CBC1所成的角为( )

A．30° C．60°

B．45° D．90°

→，AA→的方向分别为y轴和z轴的正方向建【解析】 以A为坐标原点，AC1立空间直角坐标系．

设底面边长为2a，侧棱长为2b，

则A(0,0,0)，C(0,2a,0)，D(0，a,0)，B(3a，a,0)，C1(0,2a,2b)，B1(3a，a,2b)． →⊥BC→，得AB→·→22由AB111BC1＝0，即2b＝a.

设n1＝(x，y，z)为平面DBC1的一个法向量， →＝0，n·→则n1·DB1DC1＝0.

?3ax＝0，即?又2b2＝a2，令z＝1， ?ay＋2bz＝0.解得n1＝(0，－2，1)．

同理可求得平面CBC1的一个法向量为n2＝(1，3，0)． |n1·n2|2

利用公式cos θ＝|n||n|＝2，得θ＝45°.

12【答案】 B

10．(2013·成都模拟)已知正四棱锥S—ABCD中，SA＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为( )

A．1 B.3 C．2 D．3

2

【解析】 如图所示，设正四棱锥高为h，底面边长为a，则2a＝12－h2，即a2＝2(12－h2)，

122

所以V＝3×a2×h＝3h(12－h2)＝－3(h3－12h)， 令f(h)＝h3－12h，则f′(h)＝3h2－12(h＞0)，

令f′(h)＝0，则h＝2，此时f(h)有最小值，V有最大值． 【答案】 C

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)

π??ωx＋?11．已知函数f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且f(0)＝3，6???则函数f(3)＝________.

2ππ

【解析】 ω＝2＝π，由f(0)＝Asin6＝3得A＝23， π?π???

所以f(x)＝23sin?πx＋6?，所以f(3)＝23sin?3π＋6?＝－3.

????【答案】 －3

12．(2013·南通模拟)关于直线m，n和平面α，β有以下四个命题： ①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n； ②若m∥n，m?α，n⊥β，则α⊥β； ③若α∩β＝m，m∥n，则n∥α且n∥β； ④若m⊥n，α∩β＝m，则n⊥α或n⊥β. 其中假命题的序号是________．

【解析】 命题①m与n也可相交或异面，所以①是假命题；命题②由条件可得m⊥β，又m?α，故α⊥β，所以②是真命题；命题③也可得到n?α或n?β，所以③错；命题④由已知只能得到n垂直α与β内的一条直线，无法判定n⊥α或n⊥β，所以命题④错．

【答案】 ①③④

13．(2013·陕西高考)某几何体的三视图如图3所示，则其体积为________．

图3

【解析】 原几何体可视为圆锥的一半，其底面半径为1，高为2， 11π

∴其体积为3×π×12×2×2＝3. π

【答案】 3

14．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3 23＝3＋5 32＝1＋3＋5 33＝7＋9＋11

42＝1＋3＋5＋7 43＝13＋15＋17＋19 52＝1＋3＋5＋7＋9 53＝21＋23＋25＋27＋29

根据上述分解规律，若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73，则m的值为________．

【解析】 由所给等式知，m3分解中第1个数为数列3,5,7，?中第2＋3＋4m2－m

＋?＋(m－1)＋1项，即2项，从而m3分解中第1个数为m2－m＋1，由m2－m＋1＝73得m＝9.

【答案】 9

15．(2013·南昌模拟)三棱锥S—ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：

图4

①异面直线SB与AC所成的角为90°. ②直线SB⊥平面ABC； ③平面SBC⊥平面SAC； 1④点C到平面SAB的距离是2a. 其中正确结论的序号是________．

【解析】 由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，①②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，1

故CE的长度即为C到平面SAB的距离2a，④正确．

【答案】 ①②③④

三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)(2013·深圳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对边的

边长分别是a，b，c.

π

(1)若c＝2，C＝3且△ABC的面积等于3，求cos(A＋B)和a，b的值； 312

(2)若B是钝角，且cos A＝5，sin B＝13，求sin C的值． π

【解】 (1)∵A＋B＋C＝π，C＝3，∴A＋B＝π－C， π1

∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C＝－cos 3＝－2. 由余弦定理及已知条件得，a2＋b2－ab＝4，

1

又因为△ABC的面积等于3，所以2absin C＝3，得ab＝4.

22

?a＋b－ab＝4，

联立方程组?

?ab＝4，

解得a＝2，b＝2.

312

(2)∵B是钝角，且cos A＝5，sin B＝13， ∴sin A＝1－cos2A＝ cos B＝－1－sinB＝－

2?3?41－?5?2＝5， ??5?12?2

1－?13?＝－13，

??

∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)

4?5?31216

＝sin Acos B＋cos Asin B＝5×?－13?＋5×13＝65.

??

17．(本小题满分12分)(2013·青岛模拟)在如图5所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1.

图5

(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一结论；

(2)求多面体ABCDE的体积．

【解】 (1)如图所示，由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连接BF、FH、AH，则FH11

綊2ED，又AB＝2ED，

∴FH綊AB，

∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH， 又因为BF?平面ACD，AH?平面ACD， ∴BF∥平面ACD.

(2)取AD中点G，连接CG.

因为AB⊥平面ACD，∴CG⊥AB，又CG⊥AD，

∴CG⊥平面ABED，即CG为四棱锥C—ABED的高，求得CG＝3， 1?1＋2?

∴VC—ABED＝3·2·2·3＝3.

18．(本小题满分12分)(2013·黄冈模拟)如图6，三棱柱ABC—A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1＝60°，AB⊥B1C.

(1)求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C； (2)若AB＝2，求三棱柱ABC—A1B1C1的体积．

图6

【解】 (1)由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1. 又AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以AB⊥平面BB1C1C， 又AB?平面AA1B1B，所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.

(2)由题意，CB＝CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1.

33

由(1)知，CO⊥平面AA1B1B，且CO＝2BC＝2AB＝3. 1123

连结AB1，则VC—ABB1＝3S△ABB1·CO＝6AB2·CO＝3. 123因为VB1—ABC＝VC—ABB1＝3VABC—A1B1C1＝3， 故三棱柱ABC—A1B1C1的体积VABC—A1B1C1＝23.

19．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，数列{bn}满足b1＝1，且bn＋1＝bn＋2.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

1－?－1?n1＋?－1?n

(2)设cn＝an－bn，求数列{cn}的前2n项和T2n.

22【解】 (1)当n＝1，a1＝2；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1， ∴an＝2an－1.

∴{an}是等比数列，公比为2，首项a1＝2，∴an＝2n. 由bn＋1＝bn＋2，得{bn}是等差数列，公差为2. 又首项b1＝1，∴bn＝2n－1.

n

?2 n为奇数，(2)cn＝?

－?2n－1? n为偶数，?

∴T2n＝2＋23＋?＋22n－1－[3＋7＋?＋(4n－1)] 22n＋1－22

＝－2n－n.

3

20．(本小题满分13分)如图7所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC.

图7

(1)求证：平面MOE∥平面PAC. (2)求证：平面PAC⊥平面PCB.

(3)设二面角M—BP—C的大小为θ，求cos θ的值．

【解】 (1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OE∥PA.

因为PA?平面PAC，OE?平面PAC， 所以OE∥平面PAC. 因为OM∥AC，

因为AC?平面PAC，OM?平面PAC， 所以OM∥平面PAC.

因为OE?平面MOE，OM?平面MOE，OE∩OM＝O， 所以平面MOE∥平面PAC.

(2)因为点C在以AB为直径的⊙O上， 所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC. 因为PA⊥平面BAC，BC?平面ABC， 所以PA⊥BC.

因为AC?平面PAC，PA?平面PAC，PA∩AC＝A， 所以BC⊥平面PAC. 因为BC?平面PCB， 所以平面PAC⊥平面PCB.

(3)如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系C—xyz.

因为∠CBA＝30°，PA＝AB＝2， 所以CB＝2cos 30°＝3，AC＝1. 延长MO交CB于点D. 因为OM∥AC，

13所以MD⊥CB，MD＝1＋2＝2， 13CD＝2CB＝2.

?3?3

所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，3，0)，M?，，0?.

?22?→＝(1,0,2)，CB→＝(0，3，0)．

所以CP

设平面PCB的法向量m＝(x，y，z)． →＝0，??m·CP

因为?

→?CB＝0.?m·

?1，0，2?＝0，??x，y，z?·?x＋2z＝0，

所以?即?

?0，3，0?＝0，??x，y，z?·?3y＝0.令z＝1，则x＝－2，y＝0. 所以m＝(－2,0,1)．

同理可求平面PMB的一个法向量n＝(1，3，1)． 1m·n

所以cos〈m，n〉＝|m|·＝－|n|5. 1

因为二面角M—BP—C为锐二面角，所以cos θ＝5.

图8

21．(本小题满分14分)(2013·天津高考)如图8，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．

(1)证明B1C1⊥CE；

(2)求二面角B1-CE-C1的正弦值；

2(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为6，求线段AM的长．

【解】 如图，以点A为原点，以AD，AA1，AB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)．

→→CE→＝0，所以

(1)证明：易得B→1C1＝(1,0，－1)，CE＝(－1,1－1)，于是B1C1·B1C1⊥CE.

→(2)B1C＝(1，－2，－1)．

设平面B1CE的法向量m＝(x，y，z)，

→??m·B?x－2y－z＝0，1C＝0，?则即?消去x，得y＋2z＝0，

→－x＋y－z＝0.??CE＝0，?m·

不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝(－3，－2,1)． 由(1)知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1， 可得B1C1⊥平面CEC1，

故B→1C1＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．

－4－27m·B→1C1→

于是cos〈m，B1C1〉＝＝＝7，从而sin〈m，B→1C1〉→14×2|m||B1C1|

21＝7.

21

所以二面角B1—CE—C1的正弦值为7. →＝(0,1,0)，EC→＝(1,1,1)． (3)AE1

→＝λEC→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM→＝AE→＋EM→＝(λ，λ＋1，λ)． 设EM1→＝(0,0,2)为平面ADDA的一个法向量． 可取AB11设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则 →·→|

|AMAB→→

sin θ＝|cos〈AM，AB〉|＝

→→|AM||AB|＝

2λλ

＝， 2222λ＋?λ＋1?＋λ×23λ＋2λ＋1λ21

＝，解得λ＝

3(负值舍去)， 3λ2＋2λ＋16

于是

所以AM＝2.

滚动检测(五) 解析几何

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2013·济南模拟)若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点( )

A．(1，－2) B．(1,2) C．(－1,2)

D．(－1，－2)

【解析】 依题意，k＋b＝－2，∴b＝－2－k， ∴y＝kx＋b＝k(x－1)－2，

∴直线y＝k(x－1)－2必过定点(1，－2)． 【答案】 A

2．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】 ∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A?B，∴a∈B且 a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A?B”的充分而不必要条件．

【答案】 A

3．(2013·陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( ) ．A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2 B．若z1＝z2，则z1＝z2 C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2

2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z2

【解析】 A，|z1－z2|＝0?z1－z2＝0?z1＝z2?z1＝z2，真命题；

B，z1＝z2?z1＝z2＝z2，真命题；

C，|z1|＝|z2|?|z1|2＝|z2|2?z1·z1＝z2·z2，真命题；

222

D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z21＝1，z2＝－1，即z1≠z2，假命

题．

【答案】 D

4．若圆心在x轴上、半径为5的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是( )

A．(x－5)2＋y2＝5 C．(x－5)2＋y2＝5

B．(x＋5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5

|a＋2×0|【解析】 设圆心为(a,0)(a<0)，则r＝＝5，解得a＝－5，所以，

12＋22所求圆的方程为：(x＋5)2＋y2＝5，故选D.

【答案】 D

x2y2

5．(2013·北京高考)若双曲线a2－b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为

( )

A．y＝±2x 1C．y＝±2x

B．y＝±2x 2

D．y＝±2x

a2＋b2c

【解析】 ∵e＝3，∴a＝3，即a2＝3，

22xy

∴b2＝2a2，∴双曲线方程为a2－2a2＝1，

∴渐近线方程为y＝±2x. 【答案】 B

6．(2013·课标全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px(p≥0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )

A．y2＝4x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x

B．y2＝2x或y2＝8x D．y2＝2x或y2＝16x

【解析】 设M(x0，y0)，A(0,2)，MF的中点为N.

?p?

由y＝2px，F?2，0?，

??

2

y0∴N点的坐标为2，2. p

由抛物线的定义知，x0＋2＝5， p

∴x0＝5－2.∴y0＝

p??

2p?5－2?. ??

p

x0＋2

|MF|5252

∵|AN|＝2＝2，∴|AN|＝4. px0＋2

y025＋2－22＝4. p??

2p?5－2???225－2＝4. 2

∴2

2

pp??

?5－2＋2?2??即＋

4

∴

p??

2p?5－2???2

－2＝0.整理得p－10p＋16＝0. 2

解得p＝2或p＝8.∴抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x. 【答案】 C

?x＋y≤2，

7．若变量x，y满足约束条件?x≥1，

?y≥0，

A．4和3 C．3和2

则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为( )

B．4和2 D．2和0

【解析】 作直线2x＋y＝0，并向右上平移，过点A时z取最小值，过点B时z取最大值，可求得A(1,0)，B(2,0)，

∴zmin＝2，zmax＝4. 【答案】 B

8．(2013·北京高考)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )

4A.3 8162C.3 D.3

【解析】 由C：x2＝4y，知焦点P(0,1)． 直线l的方程为y＝1. x2??

所求面积S＝?2－2?1－4?dx＝

???【答案】 C

x2y2

9．(2013·皖南八校联考)双曲线m－n＝1(m＞0，n＞0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4mx的焦点重合，则n的值为( )

A．1 B．4 C．8 D．12 【解析】 抛物线焦点F(m,0)为双曲线的一个焦点， ∴m＋n＝m2.又双曲线离心率为2， n

∴1＋m＝4，即n＝3m.

所以4m＝m2，可得m＝4，n＝12. 【答案】 D

x2y22

10．(2013·杭州质检)已知椭圆C的方程为16＋m2＝1(m＞0)，如果直线y＝2x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( )

A．2 C．8

B．22 D．23 B．2

x3??28?

?x－12??－2＝.

3???

2

【解析】 根据已知条件c＝16－m2，则点(16－m2，216－m2)在椭圆x2y2

16＋m2＝1(m＞0)上，

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