高等工程数学试题及参考答案-2010年-工程硕士

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷

考试日期：2010年 4 月 日 时间110分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分) 1. 若方程f(x)?0可表成x??(x)，且在[a,b]内有唯一根x*，那么?(x)满足 ??(xn)产生的序列?xn?一定收敛于x*。

，则由迭代公式xn?1（?(x)满足：?(x)?C1[a,b],且?x?[a,b]有?(x)?[a,b], ?'(x)?L?1；）

22T2. 已知二元非线性函数f(x)?x1?x1x2?x2?2x1?4x2,X0?(2,2)，该函数从X0 出发的最速下降方

向为 （最速下降方向为：p???4,； 2?）

T22T3．已知二元非线性函数f(x)?x1?x1x2?x2?2x1?4x2,X0?(2,2)，该函数从X0 出发的Newton方

向为 （Newton方向为： p???2,； 0?）

T4．已知y?f(x)在区间[a,b]上通过点(xi,yi),i?0,1,2,,n，则其三次样条插值函数S(x)是满足

（（1）在每个小区间是次数不超过3次的多项式，（2）在区间[a,b]上二阶导数连续，（3）满足插值条件S(xi)?yi,i?0,1,2,,n ）；

,Xn)落入W的概率为

5．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值(X1,X2,0.15，则犯第一类错误的概率为________（0.15） ；

6．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 大 愈好，而置信区间的长度愈 短 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 变长 ； 7

．

取

步

长

h?0.2，解

?y'?x?2y,x?[0,1]??y(0)?1,5 ）；

的Euler法公式为：

（yn?1?yn?h(xn?2yn)?0.6yn?0.2xn,n?0,1,2,8．对实际问题进行建模求解时可能出现的误差有： （模型误差，观测误差，方法误差，舍入

误差。） 。

二、（本题8分）某钢铁公司生产一种合金，要求的成分是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍介于35%到55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如下表。矿石杂质在冶炼中废弃，并假设矿石在冶炼过程中金属含量没有发生变化。

合金 矿石 1 2 3 4 5 锡（%） 锌（%） 25 40 0 20 8 10 0 15 20 5 铅（%） 10 0 5 0 15 镍（%） 杂质（%） 25 30 20 40 17 30 30 60 20 15 费用（元/吨） 340 260 180 230 190 （1）建立线性优化模型，安排最优矿物冶炼方案，使每吨合金产品成本最低。（不要求计算出结果）； （2）写出所建立的模型的对偶形式。

,j?1,2,（1）设 xj（5) 是第j 种矿石的数量，目标是使成本最低，得线性规划模型如下：

mins..tZ?340x1?260x2?180x3?230x4?190x50.25x1?0.4x2?0.2x4?0.08x5?0.280.1x1?0.15x2?0.2x4?0.05x5?0.150.1x1?0.05x3?0.15x5?0.10.25x1?0.3x2?0.2x3?0.4x4?0.17x5?0.550.25x1?0.3x2?0.2x3?0.4x4?0.17x5?0.350.7x1?0.7x2?0.4x3?0.8x4?0.45x5?1xj?0,j?1,2,5 4分

（2）上述线性规划模型的对偶形式如下：

maxs..tf?0.28y1?0.15y2?0.1y3?0.55y4?0.35y5?y60.25y1-0.1y2?0.1y3?0.25y4?0.25y5?0.7y6?3400.4y1?0.3y4?0.3y5?0.7y6?260?0.15y2?0.05y3?0.2y4?0.2y5?0.4y6?1800.2y1?0.2y2?0.4y4?0.4y5?0.8y6?2300.08y1?0.05y2?0.15y3?0.17y4?0.17y5?0.45y6?190y1?0,y2?0,y4?0,y5?0,y3?R1,y6?R1 4分

三、（本题8分）已知f(x)的数据如表：

x 0 1 3 7 0 0.5 2 1.5 f(x) 试求三次插值多项式P(x)，求f(4)的近似值，并给出相应的误差估计式。

解：

用Newton插值法求f(x)的插值多项式，由所给数据如表可得差商表如下：

xi 0 1 3 7 4 f(xi) 0 0.5 2 1.5 18.25/7 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0.5 0.75 －0.125 -0.37 0.25/3 －0.875/6 -0.245 －1.375/42 -0.033 -0.000075 由差商表得出f(x)的三次插值多项式为：

N3(x)?0.5x?于是有

0.251.375x(x?1)?x(x?1)(x?3) 3分 342f(4)?N3(4)?0.5?4?0.251.375?4?3??4?3?1342 2分

2.7518.25?2?1??77相应的误差估计式为：

R3(x)?f[0,1,3,7,x]x(x?1)(x?3)(x?7)?f[0,1,3,7,4]?4?3?1?(?3)??0.000075?(?36) 2分

?0.0027

四、（本题12分）为了考察硝酸钠NaNO3的可容性温度之间的关系，对一系列不同的温度（C），观察它在100的水中溶解的NaNO3的重量（g），得观察结果如下：

温度x 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43 重量y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10

（1） 求Y对X的线性回归方程。（结果保留小数点后两位。）

0?xi?110i?293,

?yi?110i?81,

?xi?110iyi?2574,

?xi?1102i?9577,

?yi?1102i?701

（2）对回归方程的显著性进行检验。（取显著水平为0.05，0.01），F0.05(1,8)=5.32F0.01(1,8)?11.26，

t0.05(8)?1.8595

t0.01(8)?2.8965。

解：

（１）x?29.3y?8.1

LxY??xiyi?nx?y?2574?10?29.3?8.1?200.7 Lxx??xi?nx2?2574?10?29.32?992.1

LYY??yi?ny2?701?10?8.12?44.9 4分

22??Lxy?200.7?0.2023?0.20 a??y??bx8?.1?0.20?23bLxx992.1?(x)回归函数为 ??2? 9.32.17 . 2 0 4分 2.?17x 0??（２）?21?)?1(44.9?0.2023?200.7)?0.54 (LYY?bLxYn?28?2Lb0.20232?200.7xY??15.21，或T?F?3.9 2分 F??2?0.54 F?F0.05(1,8)或T?t0.05(8)

五、（本题10分）利用单纯形方法求解下面的线性规划（要求写出计算过程）：

F?F0.01(1,8) 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的 T?t0.01(8) 故在显著水平为0.05，0.01下线性回归是显著的。12分

maxs..tZ?300x1?400x22x1?x2?40x1?1.5x2?30x1?0,x2?0

解：

第一步： 化为标准型，……………… ……………………..(2分) 第二步： 列出是单纯形表，…………………………… …..(2分) 第三步： 第一次单纯形迭代计算，…………………………..(3分) 第四步： 列出是单纯形表，…………………………… ……..(3分)

第五步： 正确写出结果，最优解x?(15,10),f?8500…(2分)

六、（本题10分）试确定求积公式? hf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)中的待定系数，使其代数精

?h度尽量高。 解：

*T*1?A????13h?A?1?A0?A1?2h??4?f(x)?1,x,x2,???h(A?1?A1)?0??A0?h3??21?h2(A?1?A1)?h3?A?3??13h?hhhh3hh43344xdx?(?h)?(h)xdx?(?h)?(h)??h??h3333hh4hh??f(x)dx?f(?h)?f(0)?f(h)具有三次代数精度.?h333

算出系数6分，验证3次2分，给出结论2分

七、（本题12分）设有4种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假定将24个病人分成4组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下面的记录：

药物 1 2 3 4 治愈所需天数 5，7，7，7，12，8 4，6，6，13，4，6 6，4，8，5，3，9 7，4，6，6，3，15 试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？（??0.05，F0.05(3,20)?3.10） 解：

161SST???xij2?nx2?1291?24?()2?211

24SSE???xij2?6x12?6x22?6x32?6x42?1291?1090.5?200.5 SSA?AAT?SSE?10.5

方差来源 组间（因子） 组内（误差） 总和 平方和 10.5 200.5 211 自由度 3 20 23 样本方差 3.5 10.02 F值 0.35 由于F?F0.05(3,20)?3.10，故接受假设，即不同药物对病人的痊愈时间无显著差别 （正确算出F值给10分，结论正确给2分）

八、（本题16分）设方程组为

??x1?8x2?7 ???x1?9x3?8

?9x?x?x?723?1（1）对方程组进行适当调整，使得用高斯—塞德尔迭代法求解时收敛；

（2）写出对应的高斯－塞德尔迭代格式； （3）取初始向量x 解：

(0)?(0,0,0)T，用该方法求近似解x(k?1)，使

x(k?1)?x(k)??10?3。

?9x1?x2?x3?7??x1?8x2?7，此方程组系数矩阵按行严格对角占优，故用高斯—塞

（1）将原方程组调整为???x?9x?813?德尔迭代法求解时收敛。 5分 （2）高斯－塞德尔迭代格式为

?(k?1)1(k)1k7?x2?x3??x1999??(k?1)1(k?1)7?x1??x298??x(k?1)?1x(k?1)?83?919? 5分

（2）取x(0)?(0,0,0)T，用上述迭代格式计算得

(k)(k)(k)

k x1 x2 x3

1 0.7777778 0.9722222 0.9753086 2 0.9941701 0.9992713 0.9993522 3 0.9998471 0.9999809 0.9999830 4 0.9999960 0.9999995 0.9999996

因

x(4)?x(3)*??0.0001489?10?3，

故取近似解x?x(4)?(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T。 6分

x*?x(4)?(0.9999960,0.9999995,0.9999996)T。 6分

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