初中数学辅导2013中考总结复习冲刺专题：动态几何问题

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2013中考总结复习冲刺练： 动态几何问题

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【前言】

从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，

第一部分 真题精讲

【例1】（2012，密云，一模）

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，BC?10，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．

ADN

BMC（1）当MN∥AB时，求t的值；

（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M，N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN//AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。 【解析】

解：（1）由题意知，当M、N运动到t秒时，如图①，过D作DE∥AB交BC于E点，则四边形ABED是平行四边形．

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ADN

BEMC∵AB∥DE，AB∥MN．

∴DE∥MN． （根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题） ∴∴

MCNC?． （这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键） ECCD10?2tt50?．解得t?．

10?3517【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解 【解析】

（2）分三种情况讨论：

① 当MN?NC时，如图②作NF?BC交BC于F，则有MC?2FC即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质） ∵sin?C?∴cos?C?DF4?， CD53， 53t， 5∴10?2t?2?解得t?25． 8ADN

BMFC② 当MN?MC时，如图③，过M作MH?CD于H． 则CN?2CH， ∴t?2?10?2t??∴t?3． 560． 17京翰教育初中家教——专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班

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ADNH

CBM③ 当MC?CN时， 则10?2t?t．

t?10． 3256010、或时，△MNC为等腰三角形． 1738综上所述，当t?【例2】（2012，崇文，一模）

C不重合） 在△ABC中，∠ACB=45o．点D（与点B、为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝4含x的式子表示）

（用2，BC?3，CD=x，求线段CP的长．

【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。 【解析】：

（1）结论：CF与BD位置关系是垂直；

证明如下：?AB=AC ，∠ACB=45o，∴∠ABC=45o． 由正方形ADEF得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90o， ∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD． ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o．即 CF⊥BD．

【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。 （2）CF⊥BD．(1)中结论成立．

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BGD

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理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45o∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90o． 即CF⊥BD

【思路分析3】这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP. （3）过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， ①点D在线段BC上运动时，

∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x， 易证△AQD∽△DCP，∴

CPCDCPx? ， ∴?，

DQAQ4?x4x2?CP???x．

4②点D在线段BC延长线上运动时，

∵∠BCA=45o，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x． 过A作

AG?AC交CB延长线于点G，

??ACF．? CF⊥BD，

则?AGD?△AQD∽△DCP，∴DQ?AQ ， ∴

x2?CP??x．

4【例3】（2012，怀柔，一模） 已知如图，在梯形（1）求证：梯形

CPCDCPx?， 4?x4点MABCD中，AD∥BC，AD?2，BC?4，是

AD的中点，△MBC是等边三角形．

ABCD是等腰梯形；

（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ?60?保持不变．设PC式；

（3）在（2）中，当

?x，MQ?y，求y与x的函数关系

y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

A

M D

60° B

P

Q

C

【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必

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说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定∠MPQ=60°，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路. 【解析】

（1）证明：∵△MBC是等边三角形 ∴MB?MC，∠MBC?∠MCB?60? AD中点

∵M是∴∵

AM?MD

AD∥BC

?∠MBC?60?，∴∠AMB∠DMC?∠MCB?60?

∴△AMB≌△DMC ∴

AB?DC

ABCD是等腰梯形．

?MC?BC?4，∠MBC?∠MCB?60?，∴梯形

（2）解：在等边△MBC中，MB∠MPQ?60?

∴∠BMP?∠BPM∴∠BMP?∠BPM?∠QPC?120? (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩)

?∠QPC

∴△BMP∽△CQP ∴

PCCQ?BMBP

∵PC∴

?x，MQ?y ∴BP?4?x，QC?4?y

x4?y12 ∴y?x?x?4 (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子) ?44?x4【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了。由已知的BC=4，自然看出P是中点，于是问题轻松求解。 （3）解： ∵

△PQC为直角三角形

y?12?x?2??3 4∴当

y取最小值时，x?PC?2

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（2）点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由； C，请直接写出当⊙C存在时，⊙O与⊙C的位置关系，以及相应的⊙C（3）在点O运动的过程中，以点C为圆心，CN为半径作⊙半径CN的取值范围。

【思路分析】这道题和其他题目不同点在于本题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP，从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。

【思考4】2012，北京 在?A P D

A

D

M O N C B

（备用图）

C

B

ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90?得到线段EF(如图1)

（1）在图1中画图探究：

①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90? 得到线段EC1.判断直线FC1与直线CD的位置关系，并加以证明；

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E 逆时针旋转90?得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD=6,tanB=范围.

【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴，但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90°的条件。旋转90°自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建

43,AE=1,在①的条件下，设CP1=x，S?P1FC1=

y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值

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立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营的去解答。

第三部分 思考题解析

【思考1解析】 （1）证明：∵ 又∵ ∴

DE?EC，∴ ?DEC?90?．∴ ?AED??BEC?90?．

?A??B?90?，∴ ?AED??EDA?90?．

∽?BEC．

，

?BEC??EDA．∴ ?ADE （2）证明：如图，过点E作EF ∵

//BC，交CD于点F

1(AD?BC)． 21 在Rt?DEC中，∵ DF?CF，∴ EF?CD．

211 ∴ (AD?BC)?CD．

22E是AB的中点，容易证明EF? ∴

AD?BC?CD．

第25题

（3）解：?AED的周长? 设AD ∵

AE?AD?DE?a?m，BE?a?m．

?x，则DE?a?x．

?A?90?，∴ DE2?AE2?AD2．即a2?2ax?x2?m2?x2．

∴

a2?m2x?2a．

由（1）知?ADE∽?BEC，

∴

a2?m2a?m?ADE的周长AD??． 2a?BE2a?BEC的周长a?m2a??ADE的周长?2a．

a?m?BEC的周长与m值无关． ?BEC的周长? ∴ ∴

【思考2答案】

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解：（1）∠BPD= 30 °； （2）如图8，连结CD．

解一：∵ 点D在∠PBC的平分线上， ∴ ∠1=∠2．

∵ △ABC是等边三角形， ∴ BA=BC=AC，∠ACB= 60°． ∵ BP=BA， ∴ BP=BC． ∵ BD= BD， ∴ △PBD≌△CBD．

∴ ∠BPD=∠3．- - - - - - - - - - - - - - - - - 3分 ∵ DB=DA，BC=AC，CD=CD， ∴ △BCD≌△ACD．

1 ∴ ?3??4??ACB?30?．

2APB12D图8 34C ∴ ∠BPD =30°． 解二：∵ △ABC是等边三角形， ∴ BA =BC=AC． ∵ DB=DA，

∴ CD垂直平分AB． 1 ∴ ?3??4??ACB?30?．

2 ∵ BP=BA， ∴ BP=BC．

∵ 点D在∠PBC的平分线上，

∴ △PBD与△CBD关于BD所在直线对称． ∴ ∠BPD=∠3． ∴ ∠BPD =30°． （3）∠BPD= 30°或 150° ． 图形见图9、图10．

PAAPADBD京翰教育或初中家教——专业对初中学生开设针对性的初三数学辅导补习班

BCBCPCD京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班

【思考3解析】

BC,在Rt△ABE中，由AB=5，cosB=解：（1）过点A作AE⊥ ∵CD⊥BC，AD//BC，BC=6，

∴AD=EC=BC－BE=3．

当BO=AD=3时， 在⊙O中，过点O作OH⊥AB,则BH=HP

3得BE=3． 539BH?cosB,∴BH=3??．

55BO18 ∴BP=．

5 ∵

（2）不存在BP=MN的情况- 假设BP=MN成立，

∵BP和MN为⊙O的弦，则必有∠BOP=∠DOC. 过P作PQ⊥BC，过点O作OH⊥AB, ∵CD⊥BC，则有△PQO∽△DOC- 设BO=x，则PO=x,由∴BP=2BH=

3BH3?cosB?，得BH=x,

5x56x. 51824∴BQ=BP×cosB=x，PQ=x．

2525187∴OQ=x?x?x．

252524PQDC25x294??∵△PQO∽△DOC，∴即，得x?．

76?xOQOC6x25当x?29629时，BP=x=＞5=AB，与点P应在边AB上不符， 655∴不存在BP=MN的情况.

O与⊙C相外切，此时，0＜CN＜6；------7分 （3）情况一：⊙

情况二：⊙O与⊙C相内切，此时，0＜CN≤

73.-------8分

A D 京翰教育初中家教初三数学辅导补习班 P ——专业对初中学生开设针对性的M H B

C 京翰教育北京家教辅导-开设全国中小学一对一课外辅导班

【思考4解析】

解：（1）①直线FG1与直线CD的位置关系为互相垂直． 证明：如图1，设直线FG1与直线CD的交点为H．

∵线段EC、EP1分别绕点E逆时针旋转90°依次得到线段EF、EG1， ∴?PEG11∵?G1EF∴?G1EF??CEF?90°，EG1?EP，EF?EC． 1?90°??PEF?90°??PEF，?PEC， 111??PEC． 1G1

F

A B

∴△G1EF≌△PEC． 1∴?G1FE??PCE． 1∵EC⊥CD， ∴?PCE1G2 ?90°， ?90°．

?90°． ?90°．

E C P2 图1

P1 H D ∴?G1FE∴?EFH∴?FHC∴FG1⊥CD．

②按题目要求所画图形见图1，直线G1G2与直线CD的位置关系为互相垂直． （2）∵四边形∴?B∵

ABCD是平行四边形，

??ADC．

G1 4， 34tan?EBC?tanB?． ∴DE?5，3AD?6，AE?1，tanB?可得CEF A B E C ?4．

P1 H D 由（1）可得四边形EFCH为正方形．

图2 初三数学辅导补习班 京翰教育初中家教——专业对初中学生开设针对性的

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∴CH?CE?4．

G1 F A B 图3 H D P1 C ①如图2，当P1点在线段CH的延长线上时， ∵FG1?CP，PH?x?4， 1?x11∴S△PFG11x(x?4)． ??FG1?PH?122E 12∴y?x?2x(x?4)．

2②如图3，当P1点在线段CH上（不与C、H两点重合）时， ∵FG1?CP，PH?x?4， 1?x11∴S△PFG1?1x(4?x)． FG1?PH?122∴

1y??x2?2x(0?x?4)．

2?4时，△PFG11不存在．

③当P1点与H点重合时，即x综上所述，

y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是

y?121x?2x(x?4)y??x2?2x(0?x?4)22或．

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∴CH?CE?4．

G1 F A B 图3 H D P1 C ①如图2，当P1点在线段CH的延长线上时， ∵FG1?CP，PH?x?4， 1?x11∴S△PFG11x(x?4)． ??FG1?PH?122E 12∴y?x?2x(x?4)．

2②如图3，当P1点在线段CH上（不与C、H两点重合）时， ∵FG1?CP，PH?x?4， 1?x11∴S△PFG1?1x(4?x)． FG1?PH?122∴

1y??x2?2x(0?x?4)．

2?4时，△PFG11不存在．

③当P1点与H点重合时，即x综上所述，

y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是

y?121x?2x(x?4)y??x2?2x(0?x?4)22或．

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