九年级上册数学期末精选试卷达标训练题(Word版 含答案)

九年级上册数学期末精选试卷达标训练题（Word版含答案）

一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）

1．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．

（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）

（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程

中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨5

2

m%，购买数量和原计划一样：“美团”网

上的购买价格比原有价格下降了9

20

m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在

两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了15

2

m%，求出m的值．

【答案】（1）120；（2）20．

【解析】

试题分析：（1）本题介绍两种解法：

解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，解出即可；

解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；

（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”

网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+5

2

m%），在“美团”网上的购买实际消费

总额：a[120（1﹣25%）﹣9

20

m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划

的预算总额增加了15

2

m%”列方程解出即可．

试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，x≤120；

解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．

答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；

（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：

120×0.8a（1﹣25%）（1+5

2

m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣

9

20

m]（1+15m%）=120×0.8a（

1﹣25%）×2（1+ 15

2

m%），即72a（1+

5

2

m%）+a（72﹣

9

20

m）（1+15m%）=144a（1+

15

2

m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m的值是20．

点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际

消费总额是解题关键．

2．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．

（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012

年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的

汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．

【答案】解：（1）2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%

（2）从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆

【解析】

【分析】

（1）设年平均增长率x，根据等量关系“2008年底汽车拥有量×（1+年平均增长率）×（1+年平均增长率）”列出一元二次方程求得．

（2）设从2011年初起每年新增汽车的数量y，根据已知得出2011年报废的车辆是2010年底拥有量×10%，推出2011年底汽车拥有量是2010年底拥有量-2011年报废的车辆=2010年拥有量×（1-10%），得出等量关系是： 2010年拥有量×（1-10%）+新增汽车数量]×（1-10%）+新增汽车数量”，列出一元一次不等式求得．

【详解】

解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．

根据题意，得75（1+x）2=108，则1+x=±1.2

解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．

（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为

（108×90%+y）万辆，2011年底全市的汽车拥有量为[（108×90%+y）×90%+y]万辆．

根据题意得（108×90%+y）×90%+y≤125.48，

解得y≤20．

答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆．

3．已知二次函数y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当b＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4）

①求a的值；

②求当a≤x≤b时，一次函数y＝ax+b的最大值及最小值；

【答案】①a的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9

【解析】

【分析】

①根据题意解一元二次方程即可得到a的值；

②根据a≤x≤b，b＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y＝﹣4x﹣3，根据函数的性质当x＝﹣4时，函数取得最大值，x＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.

【详解】

解：①∵y＝9x2﹣6ax+a2﹣b，当b＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4）

∴4＝9×（﹣1）2﹣6a×（﹣1）+a2+3，

解得，a1＝﹣2，a2＝﹣4，

∴a的值是﹣2或﹣4；

②∵a≤x≤b，b＝﹣3

∴a＝﹣2舍去，

∴a＝﹣4，

∴﹣4≤x≤﹣3，

∴一次函数y＝﹣4x﹣3，

∵一次函数y＝﹣4x﹣3为单调递减函数，

∴当x＝﹣4时，函数取得最大值，y＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13

x＝﹣3时，函数取得最小值，y＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9.

【点睛】

此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解a、b的关系得到函数解析式是解题的关键.

4．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．

（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；

（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．

【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是5．

【解析】

【分析】

（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；

（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.

【详解】

（1）证明：

∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，

∴x2﹣7x+12﹣m2=0，

∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，

∵m2≥0，

∴△＞0，

∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；

（2）解：∵方程的一个根是2，

∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，

∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，

即m的值为

±，方程的另一个根是5．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.

当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.

5．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．

（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；

（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：

①∠FCD的最大度数为；

②当FC∥AB时，AD= ；

③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;

④△FCD的面积s的取值范围是 .

【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.

（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.

②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.

③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.

④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.

∵CD=10，∴AD=2.

（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.

∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."

② 如图，过点F作FH ⊥AC于点H，

∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.

∵FC∥AB，∠A=45°

，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.

③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，

由②知DH=3，FH=，则HC=.

在Rt △CFH中，根据勾股定理，得

.

∵以线段AD 、FC 、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，

∴，即，解得.

④设AD=x，易知，即.

而，

当时，；当时，.

∴△FCD的面积s的取值范围是.

考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.

二、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

6．对于函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），若存在实数x0，使得a2

x+（b+1）x0+b﹣2＝x0成立，则称x0为函数y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点．

（1）当a＝2，b＝﹣2时，求y＝ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）的不动点；

（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+

2121a +是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．

【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b

的取值范围是﹣4

≤b ＜0． 【解析】

【分析】

（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；

（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；

（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+

2121a +是线段AB 的垂

直平分线，从而可以求得b 的取值范围．

【详解】

解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，

函数y ＝2x 2﹣x ﹣4，

令x ＝2x 2﹣x ﹣4，

化简，得x 2﹣x ﹣2＝0

解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，

即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2；

（2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2，

整理，得

ax 2+bx+b ﹣2＝0，

∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，

设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0，

故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0，

解得，0＜a ＜2，

即a 的取值范围是0＜a ＜2；

（3）由题意可得，

点A 和点B 在直线y ＝x 上，

设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），

∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，

∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根，

∴x 1+x 2＝﹣b a

， ∵线段AB 中点坐标为（

122x x +，122x x +）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a -）， ∵直线y ＝﹣x+

2121a +是线段AB 的垂直平分线， ∴点（2b a -，2b a -）在直线y ＝﹣x+2121a +上， ∴2b a -＝21221

b a a ++ ∴﹣b

＝221a

a ≤+

4，（当a

＝2

时取等号） ∴0＜﹣b

≤b ＜0， 即b

的取值范围是﹣

4≤b ＜0． 【点睛】

本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

7．在平面直角坐标系中，将函数y ＝x 2﹣2mx+m （x≤2m ，m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为P(x 0，y 0)．

（1）当y 0＝﹣1时，求m 的值．

（2）求y 0的最大值．

（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x 1，则x 1的取值范围是 ．

（4）点A 在图象G 上，且点A 的横坐标为2m ﹣2，点A 关于y 轴的对称点为点B ，当点A 不在坐标轴上时，以点A 、B 为顶点构造矩形ABCD ，使点C 、D 落在x 轴上，当图象G 在矩形ABCD 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．

【答案】（1

或﹣1；（2）14；（3）0＜x 1＜1；（4）m ＝0或m ＞43或23≤m ＜1 【解析】

【分析】

（1）分m＞0，m＝0，m＜0三种情形分别求解即可解决问题；

（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；

（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，求出当抛物线顶点在x轴上时m的值，利用图象法判断即可；

（4）分四种情形：①m＜0，②m＝0，③m＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】

解：（1）如图1中，当m＞0时，

∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，

图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），

此时最底点P（m，﹣m2+m），

由题意﹣m2+m＝﹣1，

解得m＝51

2

+

或

51

2

-+

（舍弃），

当m＝0时，显然不符合题意，

当m＜0时，如图2中，

图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，

∴m＝﹣1，

综上所述，满足条件的m

的值为

51

2

或﹣1；

（2）由（1）可知，当m＞0时，

y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣1

2

）2+

1

4

，

∵﹣1＜0，

∴m＝1

2

时，y0的最大值为

1

4

，

当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，

综上所述，y0的最大值为1

4

；

（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，

当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，

∴m＝1或0（舍弃），

∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，

故答案为0＜x1＜1；

（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，

当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，

当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，

观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）

时，满足条件．

则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，

解得m＞

4

3

，

或﹣m≤2m﹣2＜0，

解得

2

3

≤m＜1（不合题意舍弃），

当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．

即或﹣m≤2m﹣2＜0，

解得

2

3

≤m＜1，

综上所述，满足条件m的值为m＝0或m＞

4

3

或

2

3

≤m＜1．

【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

8．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：

(Ⅰ)将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；

(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；

(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．

（探究）

（1）证明：OBC≌OED；

（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，是否存在x使得y有最小值，若存在求出x的值并求出y的最小值，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）x=4，16

【解析】

【分析】

（1）连接EF ，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用SAS 证明OBC ≌OED 即可；

（2）连接EF 、BE ，再证明△OBE 是直角三角形，然后再根据勾股定理得到y 与x 的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可．

【详解】

（1）证明：连接EF ．

∵四边形ABCD 是矩形，

∴AD ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD ＝∠ADE ＝∠DAF ＝90°

由折叠得∠DEF ＝∠DAF ，AD ＝DE

∴∠DEF ＝90°

又∵∠ADE ＝∠DAF ＝90°，

∴四边形ADEF 是矩形

又∵AD ＝DE ，

∴四边形ADEF 是正方形

∴AD ＝EF ＝DE ，∠FDE ＝45°

∵AD ＝BC ，

∴BC ＝DE

由折叠得∠BCO ＝∠DCO ＝45°

∴∠BCO ＝∠DCO ＝∠FDE ．

∴OC ＝OD ．

在△OBC 与△OED 中，

BC DE BCO FDE OC OD =??∠=∠??=?

，，

， ∴△OBC ≌△OED （SAS ）；

（2）连接EF、BE．

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝8．

由（1）知，BC＝DE

∵BC＝x，

∴DE＝x

∴CE＝8－x

由（1）知△OBC≌△OED

∴OB＝OE，∠OED＝∠OBC．

∵∠OED＋∠OEC＝180°，

∴∠OBC＋∠OEC＝180°．

在四边形OBCE中，∠BCE＝90°，∠BCE＋∠OBC＋∠OEC＋∠BOE＝360°，

∴∠BOE＝90°．

在Rt△OBE中，OB2＋OE2＝BE2．

在Rt△BCE中，BC2＋EC2＝BE2．∴OB2＋OE2＝BC2＋CE2．

∵OB2＝y，∴y＋y＝x2＋(8－x)2．

∴y＝x2－8x＋32

16．

∴当x=4时，y有最小值是

本题是四边形综合题，主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．

9．如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．

①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；

②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①有，

9

4

；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2)【解析】

【分析】

（1）由直线表达式求出点B、C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

（2）①根据PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣

3

2

）2+

9

4

即可求解；

②分PM＝PC、PM＝MC两种情况，分别求解即可．

【详解】

解：（1）对于y＝x﹣3，令x＝0，y＝﹣3，y＝0，x＝3，

故点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3），

将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：

930

3

b c

c

++=

?

?

=-

?

，

解得：

3

2

c

b

=-

?

?

=-

?

，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设：点M（x，x﹣3），则点P（x，x2﹣2x﹣3），

①有，理由：PM＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣

3

2

）2+

9

4

，

∵﹣1＜0，故PM有最大值，当x＝

3

2

时，PM最大值为：

9

4

；

②存在，理由：

PM2＝（x﹣3﹣x2+2x+3）2＝（﹣x2+3x）2；

PC2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2；

MC2＝（x﹣3+3）2+x2；

（Ⅰ）当PM＝PC时，则（﹣x2+3x）2＝x2+（x2﹣2x﹣3+3）2，

解得：x＝0或2（舍去

0），

故x＝2，故点P（2，﹣3）；

（Ⅱ）当PM＝MC时，则（﹣x2+3x）2＝（x﹣3+3）2+x2，

解得：x＝0或3±2（舍去0和3+2），

故x＝3﹣2，则x2﹣2x﹣3＝2﹣42，

故点P（3﹣2，2﹣42）．

综上，点P的坐标为：(2，﹣3)或(3﹣2，2﹣42)．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．

10．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k与直线y=kx+1交于A，B两点，点A 在点B的左侧．

（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；

（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A(-1,0) ，B(2,3)

（2）△ABP最大面积s=

1927

322

288

?=; P（

1

2

，﹣

3

4

）

（3）存在；

25

【解析】

【分析】

（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1，然后解方程组21

1

y x

y x

?=

?

=+

?

﹣

即可；

（2）设P（x，x2﹣1）．过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1），所以利

用S△ABP=S△PFA+S△PFB，

，用含x的代数式表示为S△ABP=﹣x2+x+2，配方或用公式确定顶点坐标即可．（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，用k分别表示点E的坐标，点F的坐标，以及点C的坐标，然后在Rt△EOF中，由勾股定理表示出EF的长，假设存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，设点N为OC中点，连接NQ，根据条件证明△EQN∽△EOF，然后根据性质对应边成比例，可得关于k的方程，解方程即可.

【详解】

解：（1）当k=1时，抛物线解析式为y=x2﹣1，直线解析式为y=x+1．

联立两个解析式，得：x2﹣1=x+1，

解得：x=﹣1或x=2，

当x=﹣1时，y=x+1=0；当x=2时，y=x+1=3，

∴A（﹣1，0），B（2，3）．

（2）设P（x，x2﹣1）．

如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）．

∴PF=y F﹣y P=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．

S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF

∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣

1

2

）2+

27

8

当x=

1

2

时，yP=x2﹣1=﹣

3

4

．

∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（

1

2

，﹣

3

4

）．

（3）设直线AB：y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，

则E（﹣

1

k

，0），F（0，1），OE=

1

k

，OF=1．

在Rt△EOF中，由勾股定理得：

22

11

1=

k

k

+

??

+

?

??

．

令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1．

∴C（﹣k，0），OC=k．

假设存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，如答图3所示，

则以OC 为直径的圆与直线AB 相切于点Q ，根据圆周角定理，此时∠OQC=90°． 设点N 为OC 中点，连接NQ ，则NQ ⊥EF ，NQ=CN=ON=

2k ． ∴EN=OE ﹣ON=1k ﹣2

k ． ∵∠NEQ=∠FEO ，∠EQN=∠EOF=90°，

∴△EQN ∽△EOF ， ∴NQ EN OF EF =，即：1221k k k k

-=， 解得：25， ∵k ＞0，

∴25． ∴存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°，此时25． 考点：1.二次函数的性质及其应用；2.圆的性质；3.相似三角形的判定与性质.

三、初三数学 旋转易错题压轴题（难）

11．(1)观察猜想

如图(1)，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,点D 是BC 的中点．以点D 为顶点作正方形DEFG ，使点A ，C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ，则线段BG 和AE 的数量关系是_____；

(2)拓展探究

将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图2，则(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.

(3)解决问题

若BC=DE=2，在(2)的旋转过程中，当AE 为最大值时，直接写出AF 的值．

【答案】（1）BG＝AE．

（2）成立．

如图②，

连接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．

∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．

∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分

（3）由（2）知，BG＝AE，故当BG最大时，AE也最大．

③．

正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°时，BG最大，如图

在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．

∴AF＝

【解析】

解：（1）BG＝AE．

（2）成立．

如图②，连接AD．

∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC

＝90°，点D是BC的中点．

∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．

∵∠BDG＝∠ADB －∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．

∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．

（3）由（2）知，BG＝AE ，故当BG最大时，AE也最大．Z+X+X+K]

因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上（即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270°）时，BG最大，如图③．

若BC＝DE＝2，则AD＝1，EF＝2．

在Rt△AEF中，AF2＝AE2＋EF2＝(AD＋DE)2＋EF2＝(1＋2)2＋22＝13．

∴AF＝．

即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF＝．

12．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为. 在旋转过程中，两个正方形只有点A 重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG.

（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；

（2）当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD 的度数；

（3）如图3，如果=45°，AB =2，AE=，求点G到BE的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）45°或135°；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再求出

∠BAE=∠DAG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可.

（2）当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，据此求解即可.

（3）根据和求解即可.

试题解析：（1）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°.

∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°.

∴∠BAE=∠DAG..

∴△ABE≌△ADG（SAS）.

∴BE=DG..

（2）如图，当点C在直线BE上时，可知点E与C重合或G点C与重合，此时∠FCD 的度135°.

数为45°或

由已知α=45°，可知∠BAE=45°.

又∵GE为正方形AEFG的对角线，∴∠AEG=45°.∴AB∥GE.

∵，∴GE =8.

∴.

过点B作BH⊥AE于点H.

∵AB=2，∴. ∴..

设点G到BE的距离为h.

∴.

∴.

∴点G

到BE的距离为.

考点：1.旋转的性质；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.平行的判定和性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用．

13．已知，如图：正方形ABCD，将Rt△EFG斜边EG的中点与点A重合，直角顶点F落在

正方形的AB边上，Rt△EFG的两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，（点P与点

F

重合），如图1

所示：

（1）求证：EP2+GQ2=PQ2；

（2）若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α（0°＜α≤90°），两直角边分别交AB、AD边于P、Q两点，如图2所示：判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间是否存在什么确定的相等关系？若存在，证明你的结论．若不存在，请说明理由；

（3）若将Rt△EFG绕着点A逆时针旋转α（90°＜α＜180°），两直角边所在的直线分别交BA、AD两边延长线于P、Q两点，并判断四条线段EP、PF、FQ、QG之间存在何种确定的相等关系？按题意完善图3，请直接写出你的结论（不用证明）．

【答案】（1）见解析；（2）PF2+FQ2=EP2+GQ2；（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的

关系为PF2+GQ2=PE2+FQ2．

【解析】

【分析】

（1）过点E作EH∥FG，由此可证△EAH≌△GAQ，然后根据全等三角形的性质得到EH=QG，又PQ=PH，在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，由此可以得到EP2+GQ2=PQ2；（2）过点E作EH∥FG，交DA的延长线于点H，连接PQ、

PH，由此可证

△EAH≌△GAQ，然后根据全等三角形的性质得到EH=QG，又PH=PQ，在Rt△EPH中，EP2+EH2=PH2，即EP2+GQ2=PH2，在Rt△PFQ中，PF2+FQ2=PQ2，故PF2+FQ2=EP2+GQ2；（3）四条线段EP、PF、FQ、QG之间的关系为PE2+GQ2=PF2+FQ2，证明方法同上．【详解】

（1）过点E作EH∥FG，连接AH、FH，如图所示：

∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，

∴△EAH≌△GAQ，

∴EH=QG，HA=AQ，

∵FA⊥AD，

∴PQ=PH．

在Rt△EPH中，

∵EP2+EH2=PH2，

∴EP2+GQ2=PQ2；

（2）过点E作EH∥FG，交DA的延长线于点H，连接PQ、PH，

∵EA=AG，∠HEA=∠AGQ，∠HAE=∠GAD，

∴△EAH≌△GAQ，

∴EH=QG，HA=AQ，

∵PA⊥AD，

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