直线与平面垂直的判定（郑佳义）

直线与平面垂直的判定 郑佳义

一、教学目标 知识目标：

（1）、理解直线与平面垂直的定义；

（2）、能应用线面垂直的定义及线面垂直的判定定理解题． 能力目标：

培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知、操作确认的基础上培养学生类比、分析、归纳、猜想、概括、论证等逻辑思维能力，进一步培养学生的空间观念．

情感目标：

（1）、激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神； （2）、渗透事物间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点；

（3）、引导学生提出问题、分析问题和解决问题，培养学生勇于探索的思维品质。 （4）、让学生亲身经历数学概念的形成过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，培养探索新知识的能力以及勇于创新的勇气．

二、教学重点与难点

直线与平面垂直的定义及判定定理的应用.

三、教学方法 启发探究式. 四、教学手段 多媒体，三角板. 五、教学流程

从线面垂直的实际背景引入课题?构建线面垂直的定义->探究线面垂直的判定定理->直线与平面垂直的判定定理的应用->课堂小结

五、教学过程

1、实例引入（观察图片）

A、大桥的桥柱与水面的位置关系； B、直立的旗杆与地面的位置关系；

C、直立于桌面的书本的书脊和桌面的位置关系；

问题1：根据三个实例，抽象出相应的几何图形？并在草稿纸上画出来； （直观感知，引出课题）

问题2：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线是怎样的位置关系？ （为给出定义做准备）

2、动态演示（几何画板）形成概念

ABB1C1C 多媒体演示旗杆与其在地面上影子的位置变化，观察归纳出线面垂直的概念。在多媒体演示时，先展示动画1：使学生感受到旗杆AB所在直线与过点B的直线都垂直。再展示动画2：使学生直观感知旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线B1C1也垂直，进而引导学生归纳出直线与平面垂直的定义。

直线与平面垂直的定义：如果直线a与平面?内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面?互相垂直，记作：a⊥?。随之给出垂线、垂面、垂足的概念。

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α

辨析：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。 请学生回答，并用多媒体演示反例，着重解释“无数”与“任何”的不同。并说明线面

a???垂直和线线垂直可以相互转化，给出常用命题：??a?b

b???说明：线面垂直的定义，教材中没有直接给出证明，而是让学生在对图形、实例的观察感知的基础上，借助动画的直观演示来帮助学生概括得出，并通过辨析问题深化对定义的理解。这样就避免了学生死记硬背概念，有利于理解数学概念的本质。让学生理解了垂直概念后，还要求把具体的文字语言转化为数学语言，再次提示学生要学会习惯使用数学的符号语言，把具体问题抽象化、数学化。

由线面垂直概念可知，要判定直线是否与平面垂直，可以用定义加以判定，但是方便吗？有没有更为简洁的判定方式呢？

3、探究直线与平面垂直的判定定理

定义中强调了与任意直线垂直，具体判断时不太方便，能否选出有限条垂直呢？引导学生思考一下三个问题：

1.、直线垂直与平面内的一条直线，那么该直线与平面垂直吗？ 2.、直线垂直与平面内的两条平行直线呢？

3、直线垂直与平面内两条相交直线呢？

（配合实验加以说明，两个人同折一个三角形纸片，亲身经历折纸过程，体会接受线面垂直的现状）

实验：过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC 与桌面接触）.ABDC ⑴ 折痕AD与桌面垂直吗？

⑵ 如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？ ⑶ 多媒体演示翻折过程。

A

B C D 说明：在折纸试验中，在学生所折纸中会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经过讨论交流，使学生发现只要保证折痕AD是BC边上的高线，即AD⊥BC，翻折后的折痕AD就与桌面垂直，再利用多媒体演示翻折过程，增强几何直观性。

思考：由折痕AD⊥BC，翻折之后的垂直关系，即AD⊥CD，AD⊥BD发生变化吗？由此你能得到什么结论？

归纳引出线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。（判定定理可先请一位同学叙述，老师加以完善补充；同时画出图形，写出符号语言。）

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m??,n??,m?n?P?p ??l??m l?m,l?nn α ?

说明：线面垂直的判定定理不易发现，在教学中，通过创设问题情境引起学生思考，安排折纸试验，讨论交流，给学生充分活动的时间与空间，帮助学生从自己的实践中经历新知识的发现过程（经历：观察，模仿，体验，互助，感受，提取），体会获取知识后的乐趣。教师尽量少讲，学生能做的事就让他们自己去做，使学生更好的参与教学活动，展开思维，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

4、例题讲解

例1、在空间四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD，E为BD的中点， 求证：（1）BD ⊥面AEC； （2） AC ⊥ BD。

D

ADEBC 说明：设置本题的目的是想要学生通过观察，从图中设别垂直关系，结合问题，会用线面垂直的判断定理证明第一小问；再利用线面垂直的定义，证明线线垂直，进而引导学生直接证明第二小问的思路，总结出线线垂直的现有办法。教学时采用学生回答，教师板书的互动式教学法，同时要求学生能精准地用数学语言进行表达。

例2、 如图,在正方体AC1中， 求证: BC1⊥平面A1B1CD

D1A1B1C1DABC 说明：本题为更好地巩固判定定理，设置的有梯度的例题，使学生在不同的几何体中体会线面垂直关系，发展学生的几何直观能力与一定的推理论证能力。同时，在教学中，始终注重训练学生准确地进行三种语言（文字语言、图形语言和符号语言）的转换，培养运用图形语言进行符号交流的能力。本题教学时可以尝试由一位学生板书，其他同学在草稿纸上练习，教师根据学生的板书的实绩情况进行讲评和修改。

5、总结反思

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？ （2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？

（3）本节课你还有哪些问题？（提示：线面垂直判定定理的证明放在后续教学中，体现出教学的严谨性）

说明：学生发言，互相补充，教师点评，归纳出判断直线与平面垂直的方法，同时，说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路，并鼓励学生反思，大胆质疑，教师作好记录，以便查缺补漏，以问题讨论的方式进行小结，培养学生反思的习惯，鼓励学生对问题多质疑、多概括。

6、作业布置

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