空间直线与直线、面平行或垂直的判定

空间直线

1. 空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面. 2. 公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行. 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.

3．异面直线所成的角

直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．

4．异面直线的距离

和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离． [要点内容]

1．空间两条直线的三种位置关系—相交、平行、异面。相交直线和平行直线都是共面直线，异面直线是立体图形。

2．空间两直线的位置关系分类

从有无公共点的角度看，可分为两类：

（1）两条直线有且仅有一个公共点—相交直线；

3．异面直线概念的理解 “不同在任何一个平面内的两条直线”，是指这两条直线不能同时在任何一个平面内。注意：分别在某两个平面内的两条直线，不一定是异面直线，它们可能是相交直线，也可能是平行直线，如图。

4．异面直线的画法及判定

画异面直线时，以平面为衬托，可使两直线不能共面的特点显示得更清楚，如图

判定两条直线是异面直线的方法： 方法一，利用：“过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。”

方法二，利用反证法，假设这两条直线不是异面直线，推导出矛盾。这可能是与公理矛盾、与定理矛盾、与定义矛盾、与已知条件或事实矛盾等。

5．对于两条异面直线所成的角的定义应注意以下几点：

（1）取直线a′、b′所成的锐角（或直角）作为异面直线a、b所成的角。

（2）在这个定义中，空间一点是任意选取的，根据等角定理，可以判定异面直线a和b所成的角和a′和b′所成的锐角（或直角）相等，而与点O的位置无关。

（3） 由于异面直线a、b所成的角与点O的位置无关，一般情况下，可将点O取在直线a或b上。

6．求两条异面直线所成的角，主要方法有（1）平移；（2）补形。

两条异面直线所成角的范围是

7．两条异面直线的公垂线是一条直线，它具有和这两条异面直线都垂直，并且都相交这样两个属性。对于任意两条异面直线，它们的公垂线有且只有一条。因此，它们的公垂线段也是存在且唯一的。这就是说，对于任意两条异面直线，它们间的距离是唯一确定的。 8．求两条异面直线的距离，一般可根据它的定义分两步进行： （1）确定两条异面直线的公垂线；（2）计算公垂线段的长度。 [重点] 1．空间直线的三种位置关系

2．两条异面直线所成角和距离的概念 3．反证法的运用 [难点] 1．反证法的运用

2．求两条异面直线所成的角

3．计算已经给出公垂线的两条异面直线的距离 1．空间两条直线的三种位置关系

注意：异面直线概念的理解：不同在任何一个平面内，意思是不存在平面

，使 且

。

既不平行，又不相交的两条直线一定是异面直线。可据此用反证法证明两条直线为异面直线。 2．平行公理与等角定理

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 注意：在等角定理中强调两角方向相同。如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。

等角定理和平行公理是我们求解两条异面直线所成角的理论基础和重要工具。 3．两条异面直线所成的角和两条异面直线间的距离。

由于两条异面直线不相交，因此表示两条异面直线的相对位置要引入所成角的概念。在异面直线所成角的定义中，注意：①异面直线所成角的范围是 ；②空间一点可任意选取，而所成的角不会改变；③为方便起见，一般将点取在一条异面直线上的一个特殊点上。 两条异面直线间的距离指两条异面直线的公垂线段的长度。注意：公垂线与两条异面直线既要垂直，又要相交。 [例题分析] 第一阶梯

[例1]已知：四边形ABCD是空间四边形（四个顶点不共面的四边形），E、H分别是边AB、

AD的中点，F、G分别是边CB、CD上的点，且 求证：四边形EFGH是梯形.

证明：连BD

（2）∵CC′∥BB′，

∴BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角． ∵=∠A′BB′=45°，

∴BA′和CC′所成的角是45°． （3）∵AB⊥AA′，AB∩AA′=A， 又∵AB⊥BC，AB∩BC=B，

∴AB是BC和AA′的公垂线段． ∵AB=a，

∴BC和AA′的距离是a．

说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距离的综合题，解题时要注意书写规范． [例3]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4cm，BC=3cm，B1B=2cm。求： （1）异面直线A1A与BC的距离； （2）异面直线A1A与C1D1的距离； （3）异面直线A1B1与BC的距离．

解：

⑴因为ABCD－A1B1C1D1是长方体，AB⊥A1A于A，AB⊥BC干B．所以AB的长度就是异面直线A1A与BC的距离，因为AB=4cm，所以A1A与BC的距离为4cm．

⑵因为A1D1⊥A1A于A1，A1D1⊥C1D1于D1，A1D1的长度就是异面直线A1A与C1D1的距离，因为A1D1=BC=3cm，所以A1A与C1D1的距离为3cm． ⑶因为B1B⊥A1B1于B1，B1B⊥BC于B．B1B的长度就是异面直线A1B1与BC的距离，因为B1B=2cm，所以A1B1与BC的距离等于2cm．

例4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1。 （1）M是CD1中点，求AD1与BM所成的角；

（2）M，N，P分别是AA1，CD，BC的中点，求MN与DP所成的角； （3）求A1C与BC1所成的角。

（4）O是BD1中点，M为AA1中点。证明：MO是AA1和BD1的公垂线，并求AA1

和BD1的距离。

解：（1）∵ BC1//AD1，∴ ∠MBC1就是AD1与BM所成角或其补角。连结MC1，

在ΔMC1B中， ，

， 。

∴

∴ ∠MBC1=30°， ∴ AD1与B M所成的角是30°。

（2）取PC中点Q，连结ＮＱ，

，

∴ 在ΔCDP中，NQ是中位线，∴ NQ//DP。

∴ ∠MNQ就是MN与DP所成角或其补角，连结MQ，

在ΔMNQ中， ，

。

，

∵ ， ∴ ∠MNQ=90°， ∴ MN与DP所成角是90°。

（3）在原正方体的正前方补一个棱长为1的正方体ABC＇D＇-A1B1C1'D1＇ ∵ BC1//C＇B1//A1D＇

∴ ∠P＇A1C就是A1C与BC1所成角或其补角， 在ΔA1D＇C中，

，

，

∵ ， ∴ ， ∴ A1C与BC1所成角是90°。

反思：“补形”的目的是希望平移BC1到合适位置与A1C相交。 （4）连结MD1，MB。

∵ ，

，

∴ MD1=MB， ∴ ΔMD1B是等腰三角形，∵ O是D1B中点， ∴ MO⊥D1B， 在ΔOA1A中，同理可证OM⊥AA1。

由异面直线的公垂线定义，OM是AA1和BD1的公垂线。

∴ AA1和BD1的距离是OM的长即 。 异面直线知识要点提示

公理:若a//b，b//c，则a//c.(*)

等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等. 推论 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.

掌握两条异面直线所成角的概念及其取值范围：分别和两条异面直线平行且相交的两条直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角，它的取值范围是大于0°小于或等于90°. 异面直线的公垂线和异面直线的距离是两个重要的概念.要会求两条异面直线所成的角与距离的大小.但是对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.

公理(*)是论证平行问题的主要依据.等角定理及其推论是两条异面直线所成的角的定义的基础，并为定义两条异面直线所成的角提供了可能性与唯一性. 两条异面直线所成的角，是利用平行线将异面直线转化为相交直线，将异面直线所成的角转化为平面图形，体现了研究立体几何问题的平面化原则.两条异面直线互相垂直是指两条异面直线所成的角是直角.不论是相交直线或异面直线互相垂直，都是指它们所成的角是直角.从另一方面看，说两条直线互相垂直，它们可能是相交的，也可能异面.

两条异面直线的公垂线是指和这两条异面直线都垂直相交的直线，要注意这里的“垂直”和“相交”两个条件，并注意它的存在性和唯一性.若不相交，便不会有交点，也就没有公垂线段，距离也就无从定义了.

6．如图，AAl BB1 CC1，AA1=4, A1B=7. 在ΔABC中，AB＝BC＝3 ，AC＝6，且AC⊥AAl，若D、D1分别是AC、A1C1中点，求异面直线A1D和B1D1所成的角． 分析:平移B1D1至BD，构造ΔA1BD．

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